2011届《走向高考》高三数学二轮复习 第1讲等差数列、等比数列专题攻略课件 理 新人教版

数列，常用方法有两种：一种是由定义判断，二
是看任意相邻三项是否满足等差中项(或等比中 项)．注意只要其中的一项不符合，就不能为等差 (或等比)数列．而想判断某个数列不是等差(或等 比)数列，只需看前三项即可．
变式训练
3an－1－2 3．已知数列{an}中，a1＝3，an＝ (n≥2，n an－1 ∈N*)． an－2 (1)若数列{bn}满足 bn＝ ，证明：数列{bn}是等 1－an 比数列； (2)求数列{an}的通项公式以及最大值，并说明理由．
题型二 例2
等差、等比数列的性质
(1)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}
中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋„＋a7＝(
A．14 C．28 B．21 D．35
)
(2)(2010年高考安徽卷)设{an}是任意等比数列，它的前 n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列
等比数列{bn}中有bp·q＝bm·n.这些公式自己结合这两 b b
种数列的通项公式推导后可加强记忆与理解．
变式训练 2．(1)在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增 数列的充要条件是( A．q>1 C．0<q<1 ) B．q<1 D．q<0
(2)已知等差数列{an}满足2a2－a＋2a12＝0，且数列
方法突破 例
已知数列{an}的前n项和为Sn，S15＝S37，a1>0，
三点P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋3，an＋2)在一
条直线上，则当n＝________时，Sn取得最大值．
【解析】 由点 P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋ an＋1－an an＋2－an＋1 3，an＋ 2)在一条直线上，得 ＝ ，即 3 3 2an＋1＝an＋an+2
专题三
数
列
第1讲
等差数列、等比数列
要点知识整合
1．等差数列 (1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数)． (2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. na1＋an nn－1d (3)前 n 项和公式：Sn＝ ＝na1＋ . 2 2 (4)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)． (5)性质：①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． ②若 m＋n＝p＋q， am＋an＝ap＋aq(m， p， 则 n， q∈N*)．
【解】
(1)∵{an}是首项为 a1＝19，公差为 d
＝－2 的等差数列， ∴an＝19－2(n－1)＝21－2n， 1 Sn＝19n＋ n(n－1)×(－2)＝20n－n2. 2 (2)由题意得 bn－an＝3n－1， bn＝an＋3n－1， 即 ∴ bn＝3n－1－2n＋21，Tn＝Sn＋(1＋3＋„＋3n－1)＝－ 3n－1 n2＋20n＋ . 2
所以数列{an}是等差数列，Sn是关于n的二次函数，
又S15 ＝S37 ，a1>0，由二次函数图象性质可知，S26
最大． 【答案】 26 数列是一种特殊的函数，数列的通项
【题后拓展】
公式以及前n项和公式可以看作是关于正整数n的函
数．利用“数形结合”研究数列问题就是借助函数图
象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数 的有关问题来解决．
(4)等比中项公式：a2 ＝an－1an＋1(n∈N*，n≥2)． n (5)性质：①an＝amq
n－m
(n，m∈N )．
*
②若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq(p，q，m，n∈N*
注意：(1)a＝an－1an＋1是an－1，an，an＋1成等 比数列的必要不充分条件．
(2)利用等比数列前n项和的公式求和时，不可
忽视对公比q是否为1的讨论．
热点突破探究
典例精析 题型一 等差与等比数列的基本运算
例1 (2010年高考重庆卷)已知{an}是首项为19， 公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和． (1)求通项an及Sn； (2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数
列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.
3an－1－2 解：(1)证明：∵an＝ (n≥2，n∈N*)， an－1 3an－1－2 －2 an－1 an－2 3an－1－2－2an－1 ∴bn＝ ＝ ＝ 1－an 3an－1－2 an－1－3an－1－2 1－ an－1 an－1－2 1 ＝ ＝ b－. 21－an－1 2 n 1 1 1 bn ∴ ＝ ，又∵b1＝－ ，故数列{bn}是首项为 b1 2 bn－1 2 1 1 ＝－ ，公比为 的等比数列． 2 2
注意：为了方便，有时等差数列的通项公式也可
写成an＝pn＋q的形式，前n项和的公式可写成Sn
＝An2＋Bn的形式(p，q，A，B为常数)．
2．等比数列 an＋1 (1)定义式： ＝q(n∈N*，q 为非零常数)． an (2)通项公式：an＝a1qn－1. (3)前 n 项和公式：Sn＝ q＝1， na1 a11－qn 1－q q≠1. (4)等比中项公式： 2 ＝an－1an＋1(n∈N*， an n≥2)． (5)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)． ②若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq(p，q，m，n ∈N*)．
等式中恒成立的是(
A．X＋Z＝2Y C．Y2＝XZ
)
B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
【解析】
(1)由等差数列性质得 a3＋a4＋a5＝3a4，
由 3a4＝12，得 a4＝4，所以 a1＋a2＋„＋a7＝ 7a1＋a7 ＝7a4＝28. 2 (2)法一：设数列{an}首项为 a1，公比为 q，则 X＝ a1＋a2＋„＋an， Y＝X(1＋qn)，Z＝X(1＋qn＋q2n)， ∴Y(Y－X)＝X(1＋qn)·nX＝X2qn(1＋qn)， q X(Z－X)＝X2(qn＋q2n)，∴Y(Y－X)＝X(Z－X)．
b1q＝3， b2＝3，b4＝5＋7＝12，所以 3 b1q ＝12.
3 3 b1＝ b1＝－ ， 2 或 2 解得 q＝2 q＝－2. 3 3 n 1－2 － [1－－2n] 2 2 所以 Tn＝ 或 Tn＝ ， 1－2 1－－2 3 n 1 即 Tn＝ (2 －1)或 Tn＝ [(－2)n－1]． 2 2
注意：为了方便，有时等差数列的通项公式也
可写成an＝pn＋q的形式，前n项和的公式可写成Sn ＝An2＋Bn的形式(p，q，A，B为常数)．
2．等比数列 an＋1 (1)定义式： ＝q(n∈N*，q 为非零常数)． an (2)通项公式：an＝a1qn－1. q＝1， na1 (3)前 n 项和公式：Sn＝a11－qn 1－q q≠1.
{bn}是等比数列，若b7＝a7，则b5b9＝(
A．2 C．8 B．4 D．16
)
答案：(1)C (2)D
解析：(1)当q<0时，{an}为摆动数列，不具备增减 性，当q>0时，由an－an－1＝a1qn－1－a1qn－2＝a1qn
－2(q－1)>0，且a 1<0，q n－2>0.
∴q－1<0，∴q<1.综合知0<q<1.
法二：对任意的等比数列，涉及前2n项和的，可 取特殊数列：1，－1,1，－1,1，－1，„，则Y＝
0，再取n＝1有X＝1，Z＝1，可排除A、B、C.
【答案】 (1)C (2)D
【题后点评】
等差数列与等比数列有很多类似的性
质，抓住这些性质可以简化运算过程．例如当p＋q＝ m＋n时，在等差数列{an}中有ap ＋aq ＝am＋an ，而在
A．6
C．8
B．7
D．9
解析：选 A.∵{an}是等差数列， ∴a4＋a6＝2a5＝－6， a5－a1 －3＋11 即 a5＝－3，d＝ ＝ ＝2，得{an}是首 4 5－1 项为负数的递增数列，所有的非正项之和最 小．∵a6＝－1，a7＝1，∴当 n＝6 时，Sn 取最小 值，故选 A.
3．(2010 年高考辽宁卷)设{an}是由正数组成的等 比数列， n 为其前 n 项和． S 已知 a2a4＝1， 3＝7， S 则 S5＝( 15 A. 2 33 C. 4 ) 31 B. 4 17 D. 2
项和，且Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a1＝1.
(1)设bn＝an＋1－2an(n∈N*)，求证：数列{bn}是等比
数列； (2)求数列{an}的通项公式．
【规范解答】
(1)证明：∵Sn＋1＝4an＋2，Sn＋2＝
4an＋1＋2，两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，
即an＋2＝4an＋1－4an，
(2)若等比数列{bn}满足b2＝S1，b4＝a2＋a3，
求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)a1＝S1＝3， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－ 1)]＝2n＋1，当n＝1时，上式也成立，所以an＝2n＋
1(n∈N*)．
（2)设等比数列{bn}的公比为 q， 则
∴an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，3分 ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＋1＝2bn， 由此可知{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列，
∴bn＝3·n－1.6 分 2 (2)由(1)知，bn＝3·n－1，∴an＋1－2an＝3·n－1， 2 2 an＋1 an 3 ∴ n＋1－ n＝ ， 2 4 2
真题聚焦 1．(2010年高考重庆卷)在等比数列{an}中，a2010＝ 8a2007，则公比q的值为( A．2 ) B．3
C．4
D．8
3
a2010 解析：选 A.∵a2010＝8a2007，∴q ＝ ＝8，∴q＝2. a2007
2．(2010年高考福建卷)设等差数列{an}的前n项和 为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小 值时，n等于( )