一次分式型“耐克”函数

课题1：一次分式型函数、“耐克”函数

● 教学目标：

掌握一次分式型函数的定义、图像和性质，常见的分式型符合函数的性质和运算技巧；

掌握赖克函数的定义、图像和性质，常见与赖克函数相符合函数的性质和运算技巧；

● 教学重点：图像和性质

● 教学难点：性质的灵活运用

● 教学过程

一、一次分式型函数：

1、定义：形如cx d b y x ax b a +⎛⎫=≠- ⎪+⎝⎭

的函数，称为一次分式型函数； 2、图像：先分离常数：2d bc c a a y b

a x a

-=++，再由相应的反比例函数2''d bc a a y x -=平移而得到。

3、性质： （1

（2,b a ⎫-⎪⎭，⎛ ⎝,b a ⎫-⎪⎭，⎛ ⎝（3）对称性：关于',b c O a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭

成中心对称； （4）渐近线：直线b x a =-

，c y a =是曲线的两条渐近线； 4、典型例题：

例1、已知函数()1x f x x =+，求111(1)(2)()(3)()(4)()234

f f f f f f f ++++++的值。 例2、已知函数()221x f x x =+，求()111(1)(2)(3)2010()()()232010

f f f f f f f +++++++++L L 的值。

答案：120092

。 二、“耐克”函数：

1、两个重要不等式：

重要不等式１：22

,,2a b R a b ab ∈+≥（当且仅当a b =时取“＝”号）

重要不等式2：,,a b R a b +∈+≥（当且仅当a b =时取“＝”号） 图一：20d bc a a -> 图二：20d bc a a -<

2、定义：形如()0b y ax x x =+

≠的函数，称为“耐克”函数； 3、图像：

①当00

a b >⎧⎨>⎩时，如图：①

②当00a b <⎧⎨<⎩

时，如图：② ③当00

a b >⎧⎨<⎩时，如图：③

④当00a b <⎧⎨>⎩时，如图：④ 4、性质：

（1）定义域：{}

0x x ≠； 值域：当00a b >⎧⎨>⎩，或00a b <⎧⎨<⎩

时，值域为

()

,⎡-∞-+∞⎣U ； 当00a b <⎧⎨>⎩，或00a b >⎧⎨<⎩

时，值域为(),-∞+∞。 （2）单调性：

①当00a b >⎧⎨>⎩

时，当x ⎛∈ ⎝

时，函数是减函数；当x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭

时，函数是减函数；

当,x ⎛

∈-∞ ⎝

时，函数是增函数；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭

时，函数是增函数； ②当00a b <⎧⎨<⎩

时，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭

时，函数是减函数；当,x ⎛∈-∞ ⎝

时，函数是减函数；

当x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭

时，函数是增函数；当x ⎛∈ ⎝时，函数是增函数； ③当00

a b <⎧⎨>⎩时，()0,x ∈+∞，函数是减函数；(),0x ∈-∞，函数是减函数；

④当00a b >⎧⎨<⎩

时，()0,x ∈+∞，函数是增函数；(),0x ∈-∞，函数是增函数； （3）对称性：关于点()0,0O 成中心对称；函数的奇函数；

（4）渐近线：直线y ax =与直线0x =是他们的两条渐近线；

5、典型例题：

例1、（2011年天津理科卷13题） 已知集合{}349A x x x =∈++-≤R ，()146,0,B x x t t t ⎧

⎫=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭

R ，则集合A B =I ． 【解】{}25x x -≤≤

例2、（2011年湖南卷第10题）

设,x y R ∈，且0xy ≠，则2222114x y y x ⎛

⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭

⎝⎭的最小值为 ； 答案：9

例3、（2011年重庆卷第7题）

已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b

=

+的最小值是（ ） A ．72 B ．4 C ．92 D ．5 答案：C

● 板书设计

● 教学反思：

● 作业布置：