人教版高中数学选修1-1第二章 椭圆同步教案1

【知识点3】椭圆的几何性质：

【方法总结】

(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.

(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距 离为a ＋c ，最小距离为a －c .

(3)在椭圆中，离心率2

2

2

22221a b a b a a c a c e -=-===

(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆；

【知识点4】椭圆中的焦点三角形:

定 义:∣PF 1∣+∣PF 2∣＝2a ∣F 1F 2∣＝2c 余弦定理:)(221212

2212

21θθ

=∠-+=PF F COS PF PF PF PF F F

面积公式:在椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，

θ=∠21PF F ，则2

tan 2

21θb S PF F =∆

标准方程

()22

22

10x y a b a b += >> ()22

22

10x y a b b a += >> 图形

性质

范围 ,a x a b y b -≤≤-≤≤

,b x b a y a -≤≤-≤≤

对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点

顶点 A 1(－a,0)， A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b )

A 1(0，－a )，A 2(0，a )

B 1(－b,0)，B 2(b,0)

轴 长轴A 1A 2的长为2a ； 短轴B 1B 2的长为2b

焦距 ∣F 1F 2 |=2c

离心率 e=

c

a

∈(0,1) a ，b ，c 的关系 c 2＝a 2－b 2

例题精讲

【考点一：椭圆的定义及标准方程】

【例1】已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23

＋y 2

＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC

边上，则△ABC 的周长是（ ）

（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12

【分析】通过观察分析，充分巧妙利用定义（“12PF PF |2a +=”）是解决问题的关键。

【例2】如图，把椭圆22

12516

x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于

1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，

则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= . 【分析】通过观察分析，利用对称性并结合定义处理。

【例3】如果22

2=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）

A ．()+∞,0

B ．()2,0

C ．()+∞,1

D ．()1,0 【分析】一般方程→标准化；焦点在y 轴上则y 2

的分母大

【例4】已知方程

22

138x y k k

+=--表示椭圆，求k 的取值范围。 【分析】观察分析椭圆方程的特征：x 2

和y 2

的分母均为正，且不相等（若相等即为圆的方程）。

【例5】已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和1492

2=-+-k

y k x 有相同的（ ） A. 长轴和短轴 B. 焦点 C. 离心率 D. 焦距

【分析】通过观察分析，充分把握平方关系“222

c a b =-” 是解题的关键。

【例6】根据下列条件分别求椭圆的标准方程：

（1） 中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为1

2

，长轴长为8； （2） 椭圆经过(2,3)M -和N ,23（1）

【分析】求椭圆标准方程常用待定系数法，若不知道焦点位置，通常设方程为2

2

1(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，

解题的关键是建立方程组。

【考点二：椭圆的几何性质的考查】

【题型一、椭圆的几何性质的灵活运用】

【例1】在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆

19

252

2=+y x 上，则sin sin sin A C

B

+= .

【分析】根据标准方程确定a,b,c 的值，并结合正弦定理“

2sin sin sin a b c

R A B C

===” 的性质“::sin :sin :sin a b c A B C =”即可。

【例2】椭圆2

214

x y +=的两个焦点为12,F F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF 等 于（ ） A ．

3

2

B.3

C. 722()a c +

D.4

【分析】掌握椭圆通径长2

2b a

=并结合椭圆定义即可解决

【★★★★题型二、离心率的求法】

【方法技巧】椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法：

○

1求a ，求c ，再求比. ○2数形结合，充分利用图形蕴藏的数量关系，含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可.

【例1】如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为

A ．

51 B ．52 C ．5

5 D ．552

【例2】设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，

则椭圆的离心率是( )

A.

22 B. 212

- C. 22- D.21- 【例3】设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，

若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为（ ）

A. 3－1

B.2－3

C.22

D.2

3