第6讲-矩阵分解

第6讲 矩阵分解

内容：1. 矩阵的三角分解

2. 矩阵的满秩分解

3. 矩阵的QR 分解

4. 矩阵的Schur 定理

5. 矩阵的谱分解和奇异值分解

矩阵分解指将一个矩阵写成结构比较简单的或性质比较熟悉的另一些矩阵的乘积．它在控制理论和系统分析等领域有广泛应用．

§1 矩阵的三角分解

定义 1.1 称⎥

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⨯nn n n n

n ij a a a a a a a A 00

0)(22211211为上三角矩阵，T A B =为下三角矩阵．特别地，称A （或T A ）的对角元素为1

的上（下）三角矩阵为单位上（下）三角矩阵．三角矩阵是一类特殊的矩阵，具有特殊的性质． 1.Gauss 消元法

n 元线性方程组⎪⎪

⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++n

n nn n n n n n b a a a b a a a b a a a ξξξξξξξξξ 22112

122221211

1212111 ，其矩阵形式 b Ax =，

其中：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⨯nn n n n n n

n ij a a a a a a a a a a A 2

12222111211)(，[]T n x ξξξ,,,21 =，[]T n b b b b ,,,21 =． 采用按自然顺序选主元素进行消元．假定化A 为上三角矩阵的过程未用到行和列交换，按自然顺序进行消元，即进行行倍加初等变换，使

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211→⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣

⎡nn n n n c c c c a a a 22221121100→ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣

⎡nn n n e c c a a a 00022211211， 其中顺序主子式：0111≠=∆a ，,,00

22

12112 ≠=

∆c a a 01≠∆-n ．称这种

对A 的元素进行的消元过程为Gauss 消元法． 2.矩阵的三角分解

定义 1.2 如果方阵A 可分解成一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵R 的乘积，则称A 可作三角分解或LR 分解，当L 是单位下三角矩阵时，则称此分解为A 的杜利特（Doolittle ）分解；当R 是单位上三角矩阵时，则称此分解为A 的克劳特（Crout ）分解．如果方阵A 可分解成LDR A =，其中L 是单位下三角矩阵，D 是对角矩阵，R 是单位上三角矩阵，则称A 可作LDR 分解．

定理 1.1 n 阶矩阵A 有三角分解LR 或LDR 的充要条件是A 的顺序主子式不为零，即0≠∆r ，

（1,,2,1-=n r ）．n 阶非奇异矩阵A 有三角分解LR 或LDR 的充要条件是A 的顺序主子式都不为零，即0≠∆r ，（n r ,,2,1 =）．

注：矩阵的三角分解（LR A =）不是惟一的，而LDR 分解是惟一的．

设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣

⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n nn n n n n r r r r r r l l l a a a a a a a a a 000101001222112112121212222111211，则 n j a r j j ,,2,1,11 ==；n i r a l i i ,,3,2,1111 ==；

n k k j n k r l a r k m mj mk kj kj ,,1,;,,3,2,1

1

+==-=∑-=；

n k i n k r r l a l kk k m mk im kj ik ,,1;1,,3,2,)(1

1

+=-=-=∑-=．

定理1.2 设n n C A ⨯∈是Hermite 正定矩阵，n n ij a A ⨯=)(，则存在下三角矩阵n n ij g G ⨯=)(，使H GG A =，如果G 具有正对角元素的下三角矩阵，则此分解是惟一的．其中，

⎪⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧

<>-=-=∑∑-=-=j i j i g g g a n

i g g a g jj j k jk ik ij i k ik ik ii ij ,0,)(,,2,1,1

111 ．

称H GG A =为A 的乔累斯基（Cholesky ）分解(平方根分解、对称三角分解)．

例1.2 已知矩阵⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡----=110132025A ，求A 的Cholesky 分解.

解：可求得

⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=11600

11551100

525116

1150

0511520

05

110132025A ．

§2 矩阵的满秩分解

将矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，在讨论广义逆矩阵的问题中是非常重要的．

定义2.1 设n m C A ⨯∈，若A 的秩m r =,则称矩阵A 行满秩; 若A 的秩n r =,则称矩阵A 列满秩.若矩阵n

m r C A ⨯∈,存在矩阵

r m r C F ⨯∈及n r r C G ⨯∈，有FG A =，则称FG A =为A 的一个满秩分解

(或最大秩分解).

定理2.1 任一矩阵n m r C A ⨯∈,存在矩阵r m r C F ⨯∈及n r r C G ⨯∈，使得FG A =．

证明: 设r A rank =)(,则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆

矩阵Q 使得()n r r

m n m r

E E E PAQ ⨯⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=00000,有 ()1

1

00-⨯⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q E E P A n r r

m , 记r

m E P F ⨯-⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛=01,()1

0-⨯=Q E G n r ,则得FG A =. 显然，满秩分解是不唯一的.

定义2.2 设n m r C B ⨯∈，1≥r ，且满足：1）B 的前r 行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后)(r m -行的元素全为零（称为零行）；2） 若B 中第i 行的第一个非零元素（即1）在第i j 列),,2,1(r i =，则

r j j j <<< 21; 3）矩阵B 的第1j 列，第2j 列，…,第r j 列合起来

恰为m 阶单位方阵m E 的前r 列，称B 为Hermite 标准形（行阶梯