小学奥数607讲 平面几何综合

学科培优数学

“平面几何综合”

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知识定位

本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，包括直线型图形的五大模型以及圆与扇形方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。

知识梳理

直线型图形五大模型

模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：

即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边

之比。

S

1︰S

2

=a︰b ；

模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）

如图，三角形AED占三角形ABC面积的2

3

×

1

4

=

1

6

模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）

①S

1︰S

2

=S

4

︰S

3

或者S

1

×S

3

=S

2

×S

4

②②AO︰OC=（S

1+S

2

）︰（S

4

+S

3

）

模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）

①S

1︰S

3

=a2︰b2

S4

S3

s2

s1

a

b

s2

s1

S4

S3

s2

s1

O

D

C

B

A

②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2

模型四：相似三角形性质

①

a b c h

A B C H

=== ; ②S 1︰S 2=a 2︰A 2

模型五：燕尾定理

S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；

【重点难点解析】

1. 三角形的相似问题

2. 四边形中的蝴蝶定理

3. 三角形中燕尾定理的运用

【竞赛考点挖掘】

1. 三角形或四边形中的部分面积求解

2. 相似形的相关性质

3. 多边形内角和

4. 圆与圆弧的相关图形面积和周长求解

h

h H c

b a C

B A

a

c b H

C B

A

F E

D C

B

A

例题精讲

【试题来源】

【题目】如图，长方形ABCD 中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB 的长是9.那么四边形OECD 的面积是_____.

【答案】119

【解析】连结DE ，依题意

54921

21=⨯⨯=⨯⨯=

∆AO AO BO S AOB ，

得AO=12.于是可推知

96121621

21=⨯⨯=⨯⨯=

∆AO DO S AOD ，

又因为

OE S S DOE AOB ⨯⨯=

==∆∆1621

54，

所以OE=43

6

.

这样可得

833043692121=⨯⨯=⨯⨯=

∆EO BO S BOE ，从而有

BOE

BCD ECD S S S ∆∆∆-=

ABD BOE =S -S 3(50+49)-308

5119

8

∆∆==

【知识点】平面几何综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如下左图.将三角形ABC 的BA 边延长1倍到D ，CB 边延长2倍到E ，AC 边延长3倍到F.如果三角形ABC 的面积等于l ，那么三角

形DEF 的面积是_____.

【答案】18

【解析】连结AE 、BF 、CD(如上右图).由于三角形AEB 与三角ABC 的高相等，而底边EB=2BC ，所以三角形AEB 的面积是2.同理，三角形CBF 的面积是3，三角形ACD 的面积是1. 类似地

三角形AED 的面积=三角形AEB 的面积=2. 三角形BEF 的面积=2×(三角形CBF 的面积)=6. 三角形CFD 的面积=3×(三角形ACD 的面积)=3.

于是三角形DEF 的面积等于三角形ABC 、AEB 、CBF 、ACD 、AED 、BEF 、CFD 的面积之和，即 1+2+3+1+2+6+3=18.

【知识点】平面几何综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如图，三角形ABC 的面积是1平方厘米，且BE=2EC ，F 是CD 的中点．那么阴影部分的面积是( )平方厘米．

【答案】

【解析】ABE

2

S

3=

(平方厘米)，

ACE

1

S

3=

(平方厘米).

又

ACF

ADF BCF

BDF S

S

S

S

==，，，

所以S

ACF BCF

ABC

11

+S

S 2

2==

(平方厘米)．