上海华师大第二附中2020届高三期中考试数学试卷答案解析与点睛(18页)

上海华师大第二附中2020届高三期中考试数学试卷

数学试卷

一. 填空题

1.已知1

sin

23

α

=

，则cos α=________. 【答案】7

9

【解析】 【分析】

根据二倍角的余弦公式计算可得cos α的值. 【详解】2

17cos 12sin 12299

αα=-=-⨯=， 故答案为：

7

9

. 【点睛】本题考查二倍角的余弦，注意二倍角的余弦公式有3种形式，应根据半角的三角函数的形式选择合适的公式进行计算，本题属于容易题.

2.双曲线2

212

x y -=的实轴长为________

【答案】 【解析】 【分析】

根据双曲线标准方程以及实轴长为2a 求解即可.

【详解】由2

212

x y -=得,22a =,故实轴长为2a =.

故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的基本量求解,属于基础题型.

3.集合{}1,2,M zi =，i 为虚数单位，{}3,4N =，{}4M N =I ，则复数z =________. 【答案】4i - 【解析】 【分析】

根据{}4M N =I 可得4M Î，从而可求z .

【详解】因为{}4M N =I ，故4M Î，而{}1,2,M zi =， 所以4zi =，故4

4z i i

==-，此时{}1,2,4M =，满足{}4M N =I . 故答案为：4i -.

【点睛】本题考查集合的交以及复数的除法，注意根据集合元素的确定性来解决问题，本题属于容易题. 4.在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x ＝a |＝1的图象只有一个交点，则a 的值为________＝ 【答案】12

- 【解析】

由已知直线2y a =是平行于x 轴的直线，由于y x a =-为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数1y x a =--的图象是折线，所以直线2y a =过折线顶点时满足题意，所以21a =-，解得12

a =-，故答案为12

-

. 5.投掷两颗均匀的骰子一次，则点数之和为5的概率等于________. 【答案】

19

【解析】 【分析】

求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式计算可得所求的概率. 【详解】投掷两颗均匀的骰子一次，我们用(),a b 表示两个骰子出现的点数对，则共有如下基本事件：

()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6， ()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6，()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6， ()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6，()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，

所以基本事件的总数为36.

设A 为事件“点数之和为5”，则A 中的基本事件如下：

()()()()1,4,2,3,3,2,4,1，共4个基本事件，故()41369

P A =

=.

故答案为：

19

【点睛】本题考查古典概型的概率计算，注意基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数可以用枚举法、树形图法等来计数，本题属于基础题. 6.已知函数21()x f x x a

+=+1

()2a ≠的图象与它的反函数的图象重合，则实数a =________.

【答案】2- 【解析】 【分析】

求出()f x 的反函数，令其与原函数相等，则可求实数a 的值.

【详解】令21+=+x y x a ，则21+=+xy ay x ，所以12-=-ay x y ，故()1

12

ax f x x --=-，

因为()f x 的图象与它的反函数的图象重合，根据()()1

f x f x -=，

所以

2112

+-=+-x ax x a x ，整理得到恒等式()

222

2321x x ax a x a --=-+-+， 故2a =-. 故答案为：2-.

【点睛】本题考查反函数性质及反函数的求法，注意函数与其反函数的图象关于y x =对称，求反函数的基本步骤是反解、互换，本题属于基础题.

7.设1e u v ，2e u u v 为单位向量，且1e u v ，2e u u v 的夹角为π3

，若123a e e =+u

v u u v v ，12b e =u v v ，则向量a v 在b v 方向上的投影

为______．

【答案】

52

【解析】 【分析】

根据向量a r 在向量b r

上投影为a b b

⋅r r r ，然后分别算出a b ⋅r r 和b r ，代入求得结果. 【详解】由于123a e e =+u

v u u v v ，12b e u v v =，

所以2b v =，2112

1262652

a b e e e ⋅=+⋅=+⨯=u v u v u u v v v ， 的

所以向量a v 在b v 方向上的投影为

5cos ,2a b a a b b

⋅⋅==v v v v v v . 故答案为

5

2

【点睛】本题考查了向量的基本运算和向量数量积的几何意义，熟练运用公式是解题的关键，属于基础题. 8.若n a 是()

()*

2,2,n

x n N n x R +∈≥∈展开式中2

x

项的系数，

则2323

222lim n n n a a a →∞⎛⎫

++⋅⋅⋅+=

⎪⎝⎭ ． 【答案】8 【解析】

试题分析：由题意2

2

2

n n n

a C -=

，3

22118()(1)21n n n n a n n n n -==--⋅-，∴2323222n

n

a a a ++⋅⋅⋅+= 111118[(1)()()]2231n n -+-++--L 8

8n =-，∴232

32228lim()lim(8)8n n n n a a a n →∞→∞++⋅⋅⋅+=-=．

考点：二项展开式的通项与裂项相消法求和，极限．

9.在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围为________． 【答案】7(1,)8

-- 【解析】

试题分析：由题意得：890,0a a ><，所以770,780d d +>+<，即71.8

d -<<- 考点：等差数列性质

10.给出下列命题:① 1y =是幂函数；② 函数2()2log x

f x x

=-零点有且只有1个；③

2)0x -≥的解集为[2,)+∞；④“1x <”是“2x <”的充分非必要条件；⑤ 数列{}n a 的前n 项和为

n S ，且1n n S a =-()a R ∈，则{}n a 为等差或等比数列；其中真命题的序号是________.

【答案】④ 【解析】