积分对称性定理
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关于积分对称性定理
1、 定积分:
设)(x f 在[],a a -上连续,则
()()()()-0
0,d 2d ,a a
a
f x x f x x f x x f x x ⎧⎪
=⎨⎪⎩⎰
⎰为的奇函数,为的偶函数.
2、 二重积分:
若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续,则
(1)如果积分区域D 关于x 轴对称,),(y x f 为y 的奇(或偶)函数,即 ),(),(y x f y x f -=-(或),(),(y x f y x f =-),则二重积分
()()()()1
0,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ⎧⎪
=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,
为的偶函数. 其中:1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。
(2) 如果积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇(或偶)函数,即()(),,f x y f x y -=-(或()(),,f x y f x y -=),则二重积分
()()()()2
0,
,,d d 2,d d ,
,D
D f x y x f x y x y f x y x y f x y x ⎧⎪
=⎨⎪⎩⎰⎰
⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.
其中:2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。
(3)如果积分区域D 关于原点对称,),(y x f 为y x ,的奇(或偶)函数,即
),(),(y x f y x f -=--(或),(),(y x f y x f =--)则二重积分
()()()()2
0,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ⎧⎪
=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.
其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。 (4)如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分
()()y x x y f y x y x f D
D
d d ,d d ,⎰⎰⎰⎰=.(二重积分的轮换对称
性)
(5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有
1
0,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-⎧⎪
=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰当时当时
利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特性。
3、三重积分:
(1)若()z y x f ,,为闭区域Ω上的连续函数,空间有界闭区域Ω关
于xoy 坐标面对称,1Ω为Ω位于xoy 坐标面上侧0≥z 的部分区域,则有
()()()()1
0,,,,,d d d 2,,d d d ,,,f x y z z f x y z x y z f x y z x y z f x y z z ΩΩ⎧⎪
=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数. 注:),,(z y x f 是z 的奇函数:),,(),(z y x f z y x f -=-
),,(z y x f 是z 的偶函数:),,(),(z y x f z y x f =-
同样,对于空间闭区域Ω关于yoz xoz ,坐标面对称也有类似的性质。
4、
曲线积分(第一类)
(1)若分段光滑平面曲线L 关于y 轴对称,且()y x f ,在L 上为连续函数,1L 为L 位于y 轴右侧的弧段,则
()()()()1
0,,,d 2,d ,,L
L f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨
⎪⎩⎰
⎰为的奇函数,为的偶函数.
(2)若分段光滑平面曲线L 关于x 轴对称,且()y x f ,在L 上为连续函数,1L 为L 位于x 轴上侧的弧段,则
()()()()1
0,,,d 2,d ,,L L f x y y f x y s f x y s f x y y ⎧⎪=⎨
⎪⎩⎰⎰为的奇函数,为的偶函数. (3)若L 关于直线x y =对称,则
ds
x y f ds y x f L
L
⎰⎰=),(),(
其中(3)式也称为第一类曲线积分的轮换对称性。 5、第二类曲线积分
(1)设分段光滑的平面曲线L 关于x 轴对称,且L 在x 轴的上半部分1L 与在下半部分的2L 方向相反,
则
()()()()1
0,,,d 2,d ,
,L L P x y y P x y x P x y x P x y y ⎧⎪
=⎨⎪⎩⎰⎰是关于的偶函数,
是关于的奇函数.
(2)设分段光滑的平面曲线L 关于y 轴对称,且L 在y 轴的右半部分1L 与在左半部分的2L 方向相反
则
()()()()1
0,,,d 2,d ,,L L P x y x P x y x P x y x P x y x ⎧⎪
=⎨⎪⎩⎰⎰是关于的偶函数,是关于的奇函数.
对于积分(),L
Q x y dy ⎰也有类似地结论。上述结论可推广到空间曲线的情
形.
6、 第一类曲面积分:
若曲面∑关于xoy 坐标面对称,()z y x f ,,为∑上的连续函数,1∑为∑位于xoy 上侧0≥z 的部分曲面,则