积分对称性定理

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关于积分对称性定理

1、 定积分:

设)(x f 在[],a a -上连续,则

()()()()-0

0,d 2d ,a a

a

f x x f x x f x x f x x ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰

⎰为的奇函数,为的偶函数.

2、 二重积分:

若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续,则

(1)如果积分区域D 关于x 轴对称,),(y x f 为y 的奇(或偶)函数,即 ),(),(y x f y x f -=-(或),(),(y x f y x f =-),则二重积分

()()()()1

0,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,

为的偶函数. 其中:1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。

(2) 如果积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇(或偶)函数,即()(),,f x y f x y -=-(或()(),,f x y f x y -=),则二重积分

()()()()2

0,

,,d d 2,d d ,

,D

D f x y x f x y x y f x y x y f x y x ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰

⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.

其中:2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。

(3)如果积分区域D 关于原点对称,),(y x f 为y x ,的奇(或偶)函数,即

),(),(y x f y x f -=--(或),(),(y x f y x f =--)则二重积分

()()()()2

0,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.

其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。 (4)如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分

()()y x x y f y x y x f D

D

d d ,d d ,⎰⎰⎰⎰=.(二重积分的轮换对称

性)

(5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有

1

0,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-⎧⎪

=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰当时当时

利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特性。

3、三重积分:

(1)若()z y x f ,,为闭区域Ω上的连续函数,空间有界闭区域Ω关

于xoy 坐标面对称,1Ω为Ω位于xoy 坐标面上侧0≥z 的部分区域,则有

()()()()1

0,,,,,d d d 2,,d d d ,,,f x y z z f x y z x y z f x y z x y z f x y z z ΩΩ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数. 注:),,(z y x f 是z 的奇函数:),,(),(z y x f z y x f -=-

),,(z y x f 是z 的偶函数:),,(),(z y x f z y x f =-

同样,对于空间闭区域Ω关于yoz xoz ,坐标面对称也有类似的性质。

4、

曲线积分(第一类)

(1)若分段光滑平面曲线L 关于y 轴对称,且()y x f ,在L 上为连续函数,1L 为L 位于y 轴右侧的弧段,则

()()()()1

0,,,d 2,d ,,L

L f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨

⎪⎩⎰

⎰为的奇函数,为的偶函数.

(2)若分段光滑平面曲线L 关于x 轴对称,且()y x f ,在L 上为连续函数,1L 为L 位于x 轴上侧的弧段,则

()()()()1

0,,,d 2,d ,,L L f x y y f x y s f x y s f x y y ⎧⎪=⎨

⎪⎩⎰⎰为的奇函数,为的偶函数. (3)若L 关于直线x y =对称,则

ds

x y f ds y x f L

L

⎰⎰=),(),(

其中(3)式也称为第一类曲线积分的轮换对称性。 5、第二类曲线积分

(1)设分段光滑的平面曲线L 关于x 轴对称,且L 在x 轴的上半部分1L 与在下半部分的2L 方向相反,

()()()()1

0,,,d 2,d ,

,L L P x y y P x y x P x y x P x y y ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰是关于的偶函数,

是关于的奇函数.

(2)设分段光滑的平面曲线L 关于y 轴对称,且L 在y 轴的右半部分1L 与在左半部分的2L 方向相反

()()()()1

0,,,d 2,d ,,L L P x y x P x y x P x y x P x y x ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰是关于的偶函数,是关于的奇函数.

对于积分(),L

Q x y dy ⎰也有类似地结论。上述结论可推广到空间曲线的情

形.

6、 第一类曲面积分:

若曲面∑关于xoy 坐标面对称,()z y x f ,,为∑上的连续函数,1∑为∑位于xoy 上侧0≥z 的部分曲面,则

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