[四星级题库]正比例函数及其图象
正比例函数及图像
x
，正比例系数为
y=2x，正比例系数为2
y=-1.5x，正比例系数为-1.5 y=-4x，正比例系数为-4
• 2.画函数图象需要经历哪些步骤？
列表、描点、连线 • 3.你能依据这些步骤画出以下正比例函数的图象
吗？
例1 画出下列正比例函数的图象
（1）y=2x
y= 1 x
3
（2）y=-1.5x y=-4x
k＞0 第一、三象限 上升
增大
k＜0 第二、四象限 下降
减小
两点 作图法
由于两点确定一条直线，画正比 例怎函样数画图正象比时例我函们数只的需图描点(0，0) 和象点最(简1，单k？)，为连什线么即？可.
练习
• 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1）
y=-3x；（2）y
3 2
x.
x
0
1
y=-3x
画图步骤：
1.列表 2.描点 3.连线
图像如图所示
(1)
y
6
4
2
-5
O
-2
y =2x
y= 1 x 3
5
x
观察图象回答：正比例函数y=2x与y=-1.5x的图象是什么图形？是
否经过原点？分别经过哪些象限？自左向右上升还是下降？
思考 对一般正比例函数y =kx，当k＞0时，它的图 象形状是什么？位置怎样？
在k＞0 的情况下，图象是左低右高还是左高右低？对应地，当自变量的值
增大时，对应的函数值是随着增大还是减小？
y y =4x y =2x y =x
6
4 2
-5
O
-2
y= 1 x 3
y= 1 x
5
1正比例函数的图象和性质ppt
当k ＞0时，直线y=kx经过第一、三象限， 图像从左向右上升, 即y随x的增大而增大;
当k ＜0时，直线y=kx经过第二、四象限，
从左向右下降， 即y随x的增大而减小.
画正比例函数的图象时，怎样画最简便?为什么？ 两点法：过点（0，0）和（1，k）画一条直线 ， 即得y=kx (k≠0）的图像
x
-1
-2
寻找上面两个函数图象的相
同点和不同点，考虑两个函数的 变化规律.
-3
-4 y= -2x
x … -2 -1 0 1 2 …
y y=2x
y=2x … -4 -2 0 2 4 …
5 4
y=-2x … 4 2 0 -2 -4 …
3
2
1
观察两个图象
共同点：都是经过原点的直线
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
画一画
用你认为最简单的方法画出 下列函数的图象:
(1)y= 3x (2)y =
3 2
x
1、过点(0 , 0) , (1 , 3)画直线,得
y= 3x的图象
2、过点(0 , 0) , (1 , 3 )画直线,
得y=
3 2
x的图象
2
y
5 4 3 2
1
-3 -2 -1 0 -
12 -3
4
y=3x
x
1 23
已知正比例函数的图象经过点－ 3,2 3 ， (1)若点A a, 2 , B 3,b 在图象上，求
a和b的值
（2）过图象上一点P做y轴的垂线，垂足
Q 0,－ 15 ，求S△OPQ.
正比例函数的图象和性质(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题4.7正比例函数的图象和性质（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】函数的图象1.函数的图象：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出相应的点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象,2.函数图象的画法步骤(1)列表：列表给出一些自变量和函数的对应值(2)描点：以表中各组对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点(3)连线：按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用线依次连接起来,特别解读(1)函数的图象是由一些点组成的,在描点的时候应尽可能地多选几个点,使图象更准确；在画图象时,应考虑自变量的取值范围.【知识点2】正比例函数图象1.一般地,正比例函数y=kx(k 是常数,k≠0)的图象是一条经过原点(0,0)的直线,我们称它为直线y=kx(k≠0)特别解读:有些正比例函数的图象因其自变量取值范围的限制,并不一定是一条直线,可能是一条射线、一条线段或一些点.2.图象的画法：因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，一般地，过原点和点(1,k)的直线，即为正比例函数y=kx(k≠0)的图象.特别解读:正比例函数y=kx(k≠0)中，k 越大，直线与x 轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k 越小，直线与x 轴相交所成的锐角越小，直线越缓。
【知识点3】正比例函数的性质正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.当k ＞0时，直线y kx =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小.【知识点4】待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数y kx =（k 为常数，k ≠0）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ，y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值.【考点一】正比例函数的图象【例1】（2023春·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）已知正比例函数y kx =的图象过点()()2,40A a a a -≠，求：（1）求正比例函数关系式；（2）画出正比例函数y kx =的图象；（3）当自变量x 满足34x -≤≤时，直接写出对应函数值y 的取值范围．【答案】（1）2y x =-；（2）画图见分析；（3）86y -≤≤【分析】（1）把()()2,40A a a a -≠代入函数解析式即可；（2）先列表描点，再连线即可；（3）分别求解当3x =-时，6y =；当4x =时，8y =-；从而可得答案．（1）解：∵正比例函数y kx =的图象过点()()2,40A a a a -≠，∴24ak a =-，∴2k =-，∴正比例函数为2y x =-；（2）列表：x 012y x=-02-描点连线：（3）当3x =-时，6y =；当4x =时，8y =-；当自变量x 满足34x -≤≤时，对应函数值y 的取值范围为86y -≤≤．【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数的解析式，画正比例函数的图象，求解函数的函数值的取值范围，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·安徽合肥·八年级合肥一六八中学校考阶段练习）若点()2,A a -，3,2B b ⎛⎫⎪⎝⎭在同一个正比例函数图象上，则11()()a ab b a b ---的值是（）A ．13B ．－3C ．3D ．34-【答案】A【分析】设正比例函数解析式为y kx =将A ，B 两点代入可计算ab 的值，再将原式化简后代入即可求解．解：设正比例函数解析式为y kx =，将点()2,A a -，3,2B b ⎛⎫⎪⎝⎭代入上式，得2a k =-，32bk =，2ak ∴=-，3222a ab b ⎛⎫∴=⋅-=- ⎪⎝⎭，3ab ∴=-，11111()()()33a ab b a b a a b a b a b b ∴-=-=-=-----，故选：A ．【点拨】本题主要考查一次函数图象上点的特征，求解ab 的值是解题的关键．【变式2】（2021春·福建龙岩·八年级校考期中）如图，在()0y kx x =>图象上有一点A ，若A 点的坐标为(，O 为原点．则OA 的长为．【答案】2【分析】根据坐标系中两点间的距离公式求解即可．解：2OA =；故答案为：2．【点拨】本题考查了正比例函数图象和坐标系中两点间的距离，熟记公式是关键．【考点二】正比例函数的性质【例2】（2022秋·陕西榆林·八年级校考期中）已知4y +与21x -成正比例，且=1x -时，2y =．（1）求y 与x 之间的关系式；（2）它的图象经过点()21m m -+，，求m 的值．【答案】（1）42y x =--；（2）1m =【分析】（1）由4y +与21x -成正比例，设()421y k x +=-，把=1x -，2y =代入解析式求解k 即可得到答案；（2）把点的坐标代入函数解析式即可得到答案．（1）解：∵4y +与21x -成正比例，∴设()421y k x +=-，∵=1x -时，2y =，∴()2421k +=--，解得：2k =-，∴()4221y x +=--，即：42y x =--，y ∴与x 之间的函数关系式为42y x =--；（2）解：∵它的图象经过点()21m m -+，，∴()1422m m +=---，解得：1m =．【点拨】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解一次函数解析式，掌握以上知识是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）关于正比例函数14y x =-，下列结论不正确的是（）A ．图象经过原点B ．y 随x 的增大而减小C ．点12,2⎛⎫⎪⎝⎭在函数14y x =-的图象上D ．图象经过二、四象限【答案】C【分析】根据正比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解．解：A 、图象经过原点，故本选项正确，不符合题意；B 、因为104-<，所以y 随x 的增大而减小，故本选项正确，不符合题意；C 、当2x =时，1112422y =-⨯=-≠，则点12,2⎛⎫⎪⎝⎭不在函数14y x =-的图象上，故本选项错误，符合题意；D 、因为104-<，所以图象经过二、四象限，故本选项正确，不符合题意；故选：C【点拨】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键．【变式2】（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）规定：[]，k b 是一次函数y kx b =+（a ，b 为实数，且0k ≠）的“特征数”．若“特征数”为214，⎡⎤+-⎣⎦m m 的一次函数是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，则点(321)，+-m m 所在的象限是第象限．【答案】二【分析】根据题意得出240m -=，10+<m ，求出2m =-，求出(321)，+-m m 为()1,3-，即可得出答案．解：∵“特征数”为214，⎡⎤+-⎣⎦m m 的一次函数是正比例函数，∴240m -=，解得：2m =±，∵y 随x 的增大而减小，∴10+<m ，解得：1m <-，∴2m =-，∴()323221m +=+⨯-=-，()112123m -=--=+=，∵()1,3-在第二象限，∴(321)，+-m m 在第二象限．故答案为：二．【点拨】本题主要考查了正比例函数的性质，象限内点的特点，解题的关键是求出点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(),++；第二象限(),-+；第三象限(),--；第四象限(),+-．【例3】（2023春·上海·八年级专题练习）如图，长方形OABC 边42BC AB ==，．（1）直线(0)y kx k =≠，交边AB 于点P ，求k 的取值范围：（2）直线(0)y kx k =≠，将长方形OABC 的面积分成两部分，靠近y 轴的一部分记作S ，试写出S 关于k 的解析式；（3）直线(0)y kx k =≠，是否可能将长方形OABC 的面积分成两部分的面积比为2:3？若能，求出k 的值；若不能，说明理由．【答案】（1）102k <≤；（2）18802212k k S k k ⎧⎛⎫-<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩；（3），58k =或25k =【分析】（1）待定系数法求得直线OB 的解析式，即可求解；（2）分类讨论①当直线(0)y kx k =≠，与AB 相交，根据长方形面积减去AOP S 即可求解，②当直线(0)y kx k =≠与BC 相交，直接根据三角形面积公式求解；（3）根据（2）的结论，结合题意，列出方程，解方程即可求解．（1）解：∵长方形OABC 边42BC AB ==，．∴()4,2B ，将()4,2B 代入1y k x =，得112k =，∴直线OB 的解析式为12y x =，∵直线(0)y kx k =≠，交边AB 于点P ，∴102k <≤；（2）解：∵直线(0)y kx k =≠，将长方形OABC 的面积分成两部分，靠近y 轴的一部分记作S ，令4x =，∴4y k =，即()4,4P k ，∴12444882S k k =⨯-⨯⨯=-，∴18802S k k ⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭，由(0)y kx k =≠，令2y =，则2x k=，即直线(0)y kx k =≠与BC 的交点为2,2k ⎛⎫⎪⎝⎭，当12k >时，1222S OC k k=⨯=，∴212S k k ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，综上所述，18802212k k S k k ⎧⎛⎫-<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩；（3）由（2）可得18802212k k S k k ⎧⎛⎫-<≤ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，直线(0)y kx k =≠，将长方形OABC 的面积分成两部分的面积比为2:3，当(0)y kx k =≠与线段BC 有交点时285S =，即2285k =，解得58k =，当(0)y kx k =≠与线段AB 有交点时385S =，即88385k -=，解得25k =，综上所述，58k =或25k =．【点拨】本题考查了正比例函数的性质，坐标与图形，分类讨论是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023·河南新乡·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点A B ，均在坐标轴上，已知点()0,1A ，()2,0B ，AB BC =，90ABC ∠=︒，连接OC ，则OC 所在直线的表达式是（）A ．23y x =B ．32y x =C ．23y x=-D ．32y x=-【答案】A【分析】如图所示，过点C 作CD x ⊥轴于D ，证明AOB BDC △≌△得到12BD OA CD OB ====，，进而求出()32C ，，由此利用待定系数法求出对应的函数解析式即可．解：如图所示，过点C 作CD x ⊥轴于D ，∴90CDB BOA ∠=∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴90OBA OAB OBA DBC +=︒=+∠∠∠∠，∴OAB DBC ∠=∠，又∵AB BC =，∴()AAS AOB BDC ≌△△，∴BD OA CD OB ==，，∵()0,1A ，()2,0B ，∴12BD OA CD OB ====，，∴3OD =，设直线OC 所在直线的表达式为y kx =，∴23k =，即23k =，∴直线OC 所在直线的表达式为23y x =，故选A ．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，求正比例函数解析式，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式2】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中有()0,5A ，()2,3B 两点，将OAB 沿x 轴向右平移后得到EDF ，点B 的对应点F 在直线12y x =上，则点D 的坐标为．【答案】()4,5【分析】先根据平移的性质求出点F 的纵坐标为3，代入12y x =可得点F 的坐标，从而可得平移距离，再根据点坐标的平移变换规律即可得．解： 将OAB 沿x 轴向右平移后得到EDF ，且()2,3B ，∴点F 的纵坐标为3，当3y =时，132x =，解得6x =，∴将OAB 沿x 轴向右平移624-=个单位长度后得到EDF ，平移后，点D 与点A 是对应点，且()0,5A，()04,5D ∴+，即()4,5D ，故答案为：()4,5．【点拨】本题考查了正比例函数、点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换是解题关键．。
正比例函数的图像与性质
（1）正比例函数的图象有什么共同点？它们是怎样分 布的，这样分布是由什么值决定的？
（2）什么情况下函数图象越靠近y轴？
思考:经过y原=-点2x和y y=3x
(3)你认 为怎样
边(1,k)的y 直 x 线是哪个 看函 例数 函y 的数 13图的x 象图?象画时正,21怎比 边样画最简单?为-1 什0 么?1 2
画出下列正比例函数的图象
(1) y 2x
(2) y 1 x 2
画图步骤： １、列表； ２、描点； ３、连线。
y=2x 的图象为：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -6 -4 -2 0 2 4 6 … y
5
4
3
y=2x
2 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2
-3 -4
(2)y=-3x
y
4
y=
3 2
x
x 02 y 03
3
y
2
x
-2 -11 0 1 2 3 4
5
-
y=-3x 4
1-
3
2 -3 -
4 -5
2
x
-3 -2 -11 0 1 2 3
-
x 01
1-
y 0 -3
2 -3
-
(五）小结：
名称 解析 图像特征 图像 图像 函数
式
分布 分布 变化
k>0 k<0 k>0
正比 y=kx 是经过原 一、 二、 y随x
例函 (k≠0) 点（0,0） 三象 四象 增大
数
和（1，k） 限 限 而增Βιβλιοθήκη 的一条直大线
情况
k<0 y随x 增大 而增
正比例函数的图象和性质练习
正比例函数的图象和性质练习正比例函数练题1) 画函数图像的步骤是：确定定义域和值域，选择适当的比例尺，计算出各个函数值，标出各个点，用平滑曲线将这些点连接起来，得到函数的图像。
2) 正比例函数的函数关系式为：y=kx。
3) 正比例函数的图像是一条直线，当k>0时，图像经过第一象限，从左到右上升，y随x的增大而增大；当k<0时，图像经过第三象限，从右下到左上下降，y随x的增大而减小。
补充讲解：在同一坐标系中画出y=x、y=0.5x和y=3x的函数图像，可以发现它们都是直线，且y=0.5x的斜率最小，y=3x的斜率最大。
归纳：正比例函数的图像是一条直线，斜率越大，图像越陡峭。
例题1如图1，正比例函数y=kx，y=mx，y=nx在同一平面直角坐标系中的图像如图所示。
则系数k，m，n的大小关系是k<m<n。
例题2如图2，在同一直角坐标系中，一次函数y=k1x、y=k2x、y=k3x、y=k4x的图像分别为l1、l2、l3、l4，则下列关系中正确的是k1<k2<k3<k4.练：知识点一：正比例函数的概念1.下列函数表达式中，y是x的正比例函数的是y=2x。
2.若y=x+2-b是正比例函数，则b的值是-2.3.若函数是关于x的正比例函数，则常数m的值等于±2.4.下列说法正确的是圆面积公式S=πr²中，S与r²成正比例关系。
5.下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系。
请说明理由。
22.若在正比例函数y= -6x的图象上，p1(x1.y1)和p2(x2.y2)是两个点且x1y2.点A(-5.y1)和点B(-6.y2)都在直线y= -9x的图象上，则y1<y2.23.已知正比例函数的图象经过点P和点Q(-m。
m+3)，求m的值。
24.已知y+2与x-1成正比例，且x=3时y=4.1) y+2=k(x-1)，代入x=3和y=4求得k=2/3，因此y=2/3(x-1)-2.2) 当y=1时，代入y=2/3(x-1)-2求得x=13/2.25.根据图像可知，当0≤x≤50时，y=0.5x。
正比例函数的图像与性质
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线 y=kx k ＞0 经过的象限 第三、一象限 从左向右 Y随x的增大而 上升 增大
k＜0
第二、四象限
下降
减小
1、填空 (1)正比例函数 y=kx(k≠0) 的图像是 一条直线 它一定经过点 (0,0) 和 (1,k) .
看谁反应快
(2)函数 y=4x 经过 第一、三 限，y 随 x 的增大而 增大 .
象
(3)如果函数 y= - kx 的图像经过一、 三象限,那么y = kx 的图像经 过 第二、四象限 .
二、四 1.函数y =－4x的图象在第 象限，经过
－4），y 随x的增大 点（0， 0 ）与点（1， 而 减小 ； 2.如果函数y =(m－2)x 的图象经过第一、三象限， 那么m 的取值范围是 m>2 ；
y
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3
x
1 2 3
x
-3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4
Y 4 2 Y=2x
Y 4 2 x x
Y=-2x
-4 -3 -2 -1 0 -2
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 0 -2
1
2
3
4
相同点： 两图象都是经过原点的一条直线
0.3 3.函数y=0.3x的图象经过点（0， 0）和（1， ）， y随x的增大而 增大 .
正比例函数的图像课件
观 察1
比较下面两个函数的图象的相同点与不同 点,考虑两个函数的变化规律.
y y=2x
5 ４
３ ２ １
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1
1 23 45
x
-2
-3 -4
-5
y 2x
相同点：两图象都是经过_原_点__的一条_直_线___； 不同点：函数y=2x的图象经过第一、三 象限， 从左向右 上升 ，函数y=－2x的图象经过
y
y= kx
k
(k＜0)
01
x
01
x
k
当k＞0时直线y=kx从左向右上升， 即随着x的增大y也增大；
当k＜0时,直线y=kx从左向右下降，
即随着x的增大y反而减小.
y y = 2x
y = 2x
3
y
4
4
2
2
0 12 x
-6 -3 0
x
知识要 点
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠ 0）的图象是一条经过原点的直线．k>0时，图 象经过一、三象限，从左向右上升，即随x的 增大y也增大；当k<0时，图象经过二、四象限 ，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠ 0 ）的图象是一条直线，•我们可以称它为直线y=kx ．
随堂练习
1.函数y=－7x的图象在第 二、四象限内,经过点(0,
0)与点(1,－7),y随x的增大而
2 函数y= 23x的图象在第
减少.
三、一 象限内,经过点
(0,
０
)与点(1,
3 2
),y随x的增大而 增大
②当k＞0时，从左向右上升，即随x的增大y 而增大；
正比例函数的图象和性质练习.docx
正比例函数的图象和性质练习正比例函数练习题（1）画函数图象的步骤：_____________________________（2）正比例函数的函数关系式为：_____________________________________（3）正比例函数的图象是一条________________,当 K＞0 时，图象经过第_______象限，从左到右 _______，y 随 x的增大而 ________；当 k<0 时，图象经过第________象限，从左到右 __________，y随 x 的增大而 ________.补充讲解：在同一坐标系中画出y=x、 y=0.5x 和 y=3x 的函数图象 .归纳：_______________________________________________________________.例题 1如图1，正比例函数y=kx ，y=mx，y=nx 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示 .则系数 k，m，n 的大小关系是 __________.例题 2如图 2，在同一直角坐标系中，一次函数y=k x、y=k x、y=k x、y=k x 的图象分别1234为 l1、l、l、l，则下列关系中正确的是（）234A k1＜k2＜k3＜k4B k2＜k1＜k4＜k3．．C k1＜k2＜k4＜k3D k2＜k1＜k3＜k4．．练习：知识点一：正比例函数的概念1．下列函数表达式中，y 是 x 的正比例函数的是（）A y=﹣2x2B y=C y=D y=x﹣2．．．．2．若 y=x+2﹣b 是正比例函数，则 b 的值是（）A 0B ﹣2C 2D ﹣0.5．．．．3．若函数则常数 m的值等于（是关于）x 的正比例函数，A±2 B ﹣2C D．．4．下列说法正确的是（．）．A 圆面积公式 S=πr2中， S 与 r 成正比例关系．B 三角形面积公式S= ah 中，当 S 是常量时， a 与 h 成反比例．关系C y=中，y与x成反比例关系．Dy= 中， y 与 x 成正比例关系．5．下列各选项中的y 与 x 的关系为正比例函数的是（）A 正方形周长 y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系．B 圆的面积 y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系．C 如果直角三角形中一个锐角的度数为 x，那么另一个锐角．的度数 y 与 x 间的关系D 一棵树的高度为60 厘米，每个月长高 3 厘米， x 月后这棵．的树高度为 y 厘米6．若函数 y﹦（m+1）x+m2﹣1 是正比例函数，则m的值为 _________ ．7．已知 y=（k﹣1）x+k2﹣1 是正比例函数，则k= _________ ．知识点 2正比例函数的图象与性质8.正比例函数 y=3x 的大致图像是 ( )9.如右图，则此正比例函数表达式为( )A.y=- 1 xB.y= 1 x22C.y=-2xD.y=2x10. 函数 y=-5x 的图象在第 __________象限内，y 随 x 的增大而 __________.11．请写出直线 y=6x 上的一个点的坐标：_________．12．正比例函数 y=（m﹣2）x m的图象的经过第_________象限，y随着x的增大而_________．13．函数 y=﹣7x 的图象在第_________象限内，经过点（ 1，_________），y随x的增大而_____14.已知函数 y=kx 的函数值随 x 的增大而增大，则函数的图象经过 ( )A. 第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限15.正比例函数 y=-x 的图象平分 ( )A. 第一、三象限B.第一、二象限C.第二、三象限D.第二、四象限16.对于函数 y=-k 2x(k 是常数， k≠0) 的图象，下列说法不正确的是 ( )A.其函数图象是一条直线B.其函数图象过点 ( 1，-k)kC.其函数图象经过一、三象限D.y随着x增大而减小17. 已知正比例函数图象经过点(-1 ，2).(1)求此正比例函数的表达式 ;(2)画出这个函数图象 ;(3)点(2 ，-5) 是否在此函数图象上？(4)若这个图象还经过点 A(a，8) ，求点 A的坐标.知识点三综合应用18.一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，则蜡烛燃烧的长度 y(cm) 与燃烧时间 x(h) 的函数关系用图象表示为下图中的 ( )19.已知正比例函数 y=(3k-1)x ，若 y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是 _____________. 20.若点 A(-2 ，m)在正比例函数 y=- 1 x 的图象上，2则 m的值是 ( )21.已知正比例函数 y=kx(k<0) 的图象上两点A(x 1，y1) 、B(x 2，y2)，且 x1<x2，则下列不等式中恒成立的是 ()A.y1 +y >0B.y +y <0212C.y -y2>0D.y-y<011222．若 p 1（x 1，y 1） p2（x 2，y 2）是正比例函数y=﹣6x 的图象上的两点，且 x 1＜x 2，则 y 1， y 2的大小关系是： y1_________y 2．点A （-5，y 1）和点 B （-6 ，y 2）都在直线 y= -9x的图像上则 y 1__________ y 223．已知：如图，正比例函数的图象经过点 P 和点 Q （﹣ m ，m+3），求 m 的值．24．已知 y+2 与 x ﹣1 成正比例，且 x=3 时 y=4．（ 1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（ 2）当 y=1 时，求 x 的值．25.为缓解用电紧张矛盾，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量 x(kW gh) 与应付饱费（y元)的关系如图所示。
专题12.6正比例函数的图象和性质(拓展提高)(原卷版)
专题12.6 正比例函数的图象和性质（拓展提高） 一、单选题1．正比例函数y kx =的图象经过点()2,1-，则它一定经过（ ）A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()2,1--D ．()2,1-2．若正比例函数y ＝（m ﹣2）x 的图象经过点A(x 1，y 1)和点B(x 2，y 2)，当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞0B ．m ＜0C ．m ＞2D ．m ＜23．下列表示一次函数y mx n =-与正比例函数y mnx =（m 、n 为常数，且mn ≠0）图象中，一定不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A （m ，2），点B （5，n ）两点，则m ，n 一定满足的关系式为（ ）A ．m ﹣n ＝3B ．52m n =C ．25m n =D ．mn ＝105．路程s ，速度v ，时间t 三者之间的关系式为s vt =，当其中一个量是常量时，另外两个变量的函数图象不可能．．．是（ ） A ． B ． C ．D ．6．如图是某蓄水池的横断面的示意图，分深水区和浅水区，如果向这个蓄水池中以固定的水流量（单位时间注水的体积）注水（注满水后停止注水），那么下列图中能大致表示水的深度 h 与注水时间 t 之间关系的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题7．正比例函数2y x =-的图象经过第______象限．8．如果正比例函数的图像经过点（2，4）和（a ，－3），那么a 的值等于__________．9．如果函数x y k=（k 为常数）的图像经过点（－1，－2），那么y 随着x 的增大而_______． 10．当﹣1≤x ≤3时，不等式mx +4＞0始终成立，则m 的取值范围是______．11．函数y kx =的图象经过点()3,1P -，则k 的值为__________；点()2,5-_________（填“在”或“不在”）该函数图象上．12．已知()111,P y ，()222,P y 在正比例函数14y x =-的图象上，则1y ___________2y .（填“>”或“<”或“=”）. 13．如图， 在平面直角坐标系中， 正方形ABCD 的边长为2， //AB x 轴， 点A 的坐标为(11)，，若直线y kx=与正方形ABCD 有两个公共点， k 的取值范围是__________.（写出一个即可）14．如图，10个边长为1 的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l，将这10 个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为_______________、三、解答题15．已知点（2，﹣4）在正比例函数y＝kx的图象上．（1）求k的值；（2）若点（﹣1，m）也在此函数y＝kx的图象上，试求m的值．16．如图，一次函数y＝（m﹣3）x﹣m＋1图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于点A、B．（1）求m的取值范围；（2）若该一次函数的图象向上平移4个单位长度后可得某正比例函数的图象，试求这个正比例函数的解析式．17．已知函数，y＝kx（k为常数且k≠0）；（1）当x＝1，y＝2时，则函数解析式为；（2）当函数图象过第一、三象限时，k ；（3）k ，y 随x 的增大而减小；（4）如图，在（1）的条件下，点A 在图象上，点A 的横坐标为1，点B （2，0），求△OAB 的面积．18．已知一次函数y kx b =+的图象经过点()0,1和点()1,1-（1）求一次函数的表达式；（2）若点()222,a a +在该一次函数图象上，求a 的值；（3）已知点()()1122,,,A x y B x y 在该一次函数图象上，设()()1212m x x y y =--，判断正比例函数y mx =的图象所在的象限，说明理由．19．已知：正比例函数y ＝kx 的图象经过点A ，点A 在第四象限，过A 作AH ⊥x 垂足为H ，点A 的横坐标为3，S △AOH ＝3．（1）求点A 坐标及此正比例函数解析式；（2）在x 轴上能否找到一点P 使S △AOP ＝5，若存在，求点P 坐标；若不存在，说明理由． 20．小融同学根据学习函数的经验，对函数|1|y m x x n =-++的图象与性质进行了探究．下表是小融探究过程中的部分信息： x … 3- 2- 1- 01 2 3 … y … 2 1 0 1- 2- a 4 …请按要求完成下列各小题：（1）该函数的解析式为 ，a 的值为 ；（2）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （3）结合函数的图象，解决下列问题： ①写出该函数的一条性质： ；②如图，在同一坐标系中是一次函数1y x =-的图象，根据图象回答，当|1|1m x x n x -++<-时，自变量x 的取值范围为 ．。
正比例函数练习题
正比例函数练习题一、选择题1. 正比例函数的一般形式是（）A. y = kx + bB. y = kxC. y = k/xD. y = x^k2. 如果正比例函数y = 2x，当x增加1时，y的值将（）A. 增加2B. 减少2C. 不变D. 增加13. 正比例函数的图象是一条（）A. 垂直线B. 水平线C. 抛物线D. 直线4. 当k > 0时，正比例函数y = kx的图象在坐标平面的（）A. 第一象限和第二象限B. 第一象限和第三象限C. 第二象限和第四象限D. 第三象限和第四象限5. 下列哪个选项不是正比例函数？A. y = 3xB. y = -5xC. y = x^2D. y = 2/x二、填空题6. 正比例函数y = kx中，k的值决定了图象的_________。
7. 如果正比例函数y = kx的图象经过点（1，3），则k的值为_______。
8. 当k < 0时，正比例函数y = kx的图象将经过坐标平面的_______象限。
三、解答题9. 已知正比例函数y = 4x，求当x = 5时，y的值。
10. 假设正比例函数y = kx的图象经过点（-2，6），求k的值，并描述该函数的增减性。
11. 给定正比例函数y = kx，如果图象经过原点，说明k的值是多少？12. 某物体在直线运动中，其速度v与时间t成正比，即v = kt。
若物体在前2秒内移动了4米，求速度v与时间t的比例系数k。
四、应用题13. 某工厂生产产品，每件产品的成本是固定的，设为c元。
如果生产n件产品，总成本为C元。
请写出总成本与产品数量之间的函数关系，并解释该函数的性质。
14. 某公司销售产品，每件产品的利润是固定的，设为p元。
如果销售m件产品，总利润为P元。
请根据正比例函数的性质，解释为什么在不考虑其他因素的情况下，增加销售量可以增加总利润。
15. 已知正比例函数y = kx的图象经过点（3，-6），求k的值，并根据k的值判断该函数的增减性。
正比例函数的图象及性质习题精选
《正比例函数》习题精选知识库1．形如y=kx （k 是常数，k ≠0）的函数叫做正比例函数，其中k 叫比例系数．正比例函数都是常数与自变量的乘积的形式．2．正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们通常称之为直线y=kx ．当k>0时，直线y=kx 依次经过第三、一象限，从左向右上升，y 随x•的增大而增大；当k<0时，直线y=kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，y 随x•的增大而减小．3．根据两点确定一条直线，可以确定两个点（两点法）画正比例函数的图象．魔法师例1：已知y=（k+1）x+k-1是正比例函数，求k 的值．分析：由正比例函数的定义可知k+1≠0且k-1=0即可解：根据题意得：k+1≠0且k-1=0，解得：k=1 ∴k=1例2：根据下列条件求函数的解析式①y 与x 2成正比例，且x=-2时y=12．②函数y=（k 2-4）x 2+（k+1）x 是正比例函数，且y 随x 的增大而减小． 分析：①根据正比例函数的定义，可设y=kx 2，然后由x=-2、y=12求得k 的值．•②函数y=（k 2-4）x 2+（k+1）x 是正比例函数；则k 2-4=0，y 随x 的增大而减小，则k+1<0．解：①设y=kx 2 （k ≠0）∵x=-2时y=12 ∴（-2）2k=12 ∴k=3 ∴y=3x 2②由题意得：k 2-4=0 ∴k=2或k=-2∵y 随x 的增大而减小， ∴k+1<0 ∴k=-2 ∴y 与x 的函数关系式是：y=-x练习1．下列关系中的两个量成正比例的是（ ）A ．从甲地到乙地，所用的时间和速度；B ．正方形的面积与边长C ．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量；D ．人的体重与身高2．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）A ．y=4x+1B ．y=2x 2C ．y=-5xD ．y=x3．下列说法中不成立的是（ ）A ．在y=3x-1中y+1与x 成正比例；B ．在y=-2x 中y 与x 成正比例 C ．在y=2（x+1）中y 与x+1成正比例； D ．在y=x+3中y 与x 成正比例4．若函数y=（2m+6）x 2+（1-m ）x 是正比例函数，则m 的值是（ ）A．m=-3 B．m=1 C．m=3 D．m>-35．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=-3x上的两点，且x1>x2，则y1与y2•的大小关系是（）A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．以上都有可能6．形如___________的函数是正比例函数．7．若x、y是变量，且函数y=（k+1）x k2是正比例函数，则k=_________．8．正比例函数y=kx（k为常数，k<0）的图象依次经过第________象限，函数值随自变量的增大而_________．9．已知y与x成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x=________．10．写出下列各题中x与y的关系式，并判断y是否是x的正比例函数？（1）电报收费标准是每个字0.1元，电报费y（元）与字数x（个）之间的函数关系；（2）地面气温是28℃，如果每升高1km，气温下降5℃，则气温x（•℃）•与高度y（km）的关系；（3）圆面积y（cm2）与半径x（cm）的关系．11．在函数y=-3x的图象上取一点P，过P点作PA⊥x轴，已知P点的横坐标为-•2，求△POA的面积（O为坐标原点）．答案：1．C 2．C 3．D 4．A 5．B 6．y=kx（k是常数，k≠0）7．+1 8．三、一；增大 9．-310．①y=0.1x，y是x的正比例函数；②y=28-5x，y不是x的正比例函数；③y= x2，y不是x的正比例函数．11．6．。
第九讲 一次(正比例)函数图像及其性质(解析版)
第九讲 一次（正比例）图像及其性质目录必备知识点........................................................................................................................................1考点一 函数的概念理解................................................................................................................1考点二 一次函数概念的理解........................................................................................................4考点三 一次函数图像....................................................................................................................5考点四 一次函数图像性质1.........................................................................................................9考点五 一次函数图像性质2. (13)必备知识点知识点1 正比例函数图像（y=kx ）1.正比例函数图像是一条经过原点的直线。
2.性质（1）正比例函数图像必过（2）k>0，函数图像经过 象限，y 随x 的增大而 （3）K<0，函数图像经过 象限，y 随x 的增大而知识点2 一次函数图像（y=kx+b ）1.一次函数图像是一条直线。
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正比例函数及其图象
双基训练
*1.如果y=(m 2-1)x 是正比例函数，那么m 的取值范围是 .【2】
*2.如果正比例函数的图象过点（2，4），那么这个函数的解析式为 .（2001年上海市中考试题）【2】
*3.在下列说法中，不正确的是（ ）.【3】
（Α）在y=-2x-3中，y 与x 成正比例
（B ）在y=-
12
x 中，y 与x 成正比例 （C ）在xy=1中，y 与1x 成正比例 （D ）在圆面积公式S=πr 2中，S 与r 2成正比例
*4.比例系数为-13
的正比例函数的解析式是（ ）.【1】 （Α）13y x =- （B ）13y =- （C ）13y x =- （D ）13
y x = **5.已知y 与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数解析式是 .（2002
年温州市中考试题）【2】
**6.在下列函数（其中x 是自变量）中，不是正比例函数的有（ ）.【2】
①y=-x ；②y+2=2(x+1)；③y=k 2x(k 是常数)；④y 2=x 2.
（Α）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
**7.在下列各题中，成正比例关系的是（ ）.【3】
（Α）圆面积S 和半径r （B ）圆周长C 和半径r
（C ）某人的身高和年龄 （D ）矩形长α一定时，宽b 与周长C
纵向应用
**1.已知y=222(3)k k k x ---是正比例函数，则k= .（1999年贵阳市中考试题）【2】
**2.若正比例函数y=23(1)m m x --的图象经过第二、四象限，则m 的值是 .（1999年大
连市中考试题）【2】
**3.已知P 1（x 1,y 2）、P 2(x 2,y 2)是正比例函数y=kx(k ≠0)图象上的两点，且当x 1<x 2时，y 1<y 2，
则k 的取值范围是 .（2002年包头市中考试题）【3】
**4.已知正比例函数的图象经过P 点，P 点的横坐标是纵坐标的2倍，那么这个函数的解析
式为 .【2】
**5.如图8-39，点P 是直线y=kx 上的一点，点P 到x 轴的距离PP ′
OP=2，那么直线的解析式为 .【2】
**6.若直线y=kx 与x 轴正半轴夹角为600，则k= .【3】
**7.若直线y=kx 与x 轴正半轴夹角为450，则k= .【3】
**8.已知点Α（3,-6）、B （α,16
）在正比例函数图象上，由α= ；
当x 时，【5】
**9.正比例函数y=kx 的自变量取值增加1，函数值就相应地减小4，则k 的值为 .【3】
**10.已知正比例函数的图象过点（2，-4）.（1）求这个函数的解析式；（2）如果x 的取值
范围是-3≤x ≤4，求y 的取值范围；（3）如果y 的取值范围是-6≤y ≤6，求x 的取值范围.【4】
**11.若函数y=21(1)a a a x +++为正比例函数，则α的值为（ ）.（1999年烟台市中考试
题）【3】
（Α）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）-1或0
**12.点Α（-5，y 1）和B （-2，y 2）都在直线y=-12
x 上，则y 1与y 2的关系是（ ）.（1998年南京市中考试题）
（Α）y 1≤y 2 （B ）y 1=y 2 （C ）y 1<y 2 （D ）y 1>y 2
**13.已知正比例函数y=(2k+1)x,若y 随x 的增大而减小，则k （ ）.【2】
（Α）>-
12 （B ）<-12 （C ）=12
（D ）只能为零 **14.函数y=3x,y=-2x,y=4x 的共同点是（ ）.【4】 （Α）图象位于同样的象限 （B ）y 都随x 的增大而减小
（C ）图象都关于原点对称 （D ）y 都随x 的增大而增大
***15.正比例函数y=221(3)m m m m x +-+的图象过第二、四象限，则m= .【4】
***16.若正比例函数y=221(31)m
m x -+的图象经过点P （1，-2），则m 的值为 ，函数的解析式为 .【5】
***17.若函数y=223(43)2m m n m m n x n -+-+-是正比例函数，求m 、n 的值.【5】
***18.已知y=y 1+y 2,y1y 2与x-3成反比例，当x=4及x=1时，y 的值都等
于3，求x=9时y 的值.p.70【6】
横向拓展
***1.正比例函数y=kx(k<0)的图象上一点与原点的距离等于5，从这点向x 轴作垂线，此垂
线与函数图象及x 轴围成三角形的面积为6，试求这正比例函数的解析式.【8】
***2.已知点Α（2，4）和点P 都在直线y=kx 上，且点P 在x 轴上的射影B 的横坐标为-2，
求S △ΑPB 的值.【4】
***3.已知y+5与3x+4成正比例，当x=1时，y=2.（1）求y 与x 的函数关系；（2）求当x=-1
时的函数值；（3）如果y 的取值范围是0≤y ≤5，求x 的取值范围.【5】
***4.已知正比例函数的图象经过点（-4，8），
（1）若点P （α,-1）,Q ）都在图象上，求α、b 的值；
（2）若点Α在图象上，ΑB ⊥y 轴，垂足为点（0，-8），求S ΔO ΑB .【5】
***5.如图8-40，在半径为2的半圆内，有一内接三
角形ΑBC ，其边ΑB 是半圆直径.
（1）写出三角形ΑBC 的面积y 与边ΑB 上的高
x 之
间的函数关系；
（2）写出高x 的取值范围；
（3）画出函数的图象.【6】
参考答案
正比例函数及其图象
双基训练
1.m ≠±1
2.y=2x
3.A
4.A
5.y=2x+2
6.B
7.B
纵向应用
1.-1
2.-2
3.k>0
4.y=12x
5.y=-x
6.
7.±1
8.-112<-
9.-4 10.(1)y=-2x (2)-8≤y ≤ (3) -3≤x ≤3 11.B 12.D 13.B 14.C 15.-2 16.-1 y=-2x 17.m=2,n=3 18.
132 横向拓展
1.y1=43-x,y2=34-x
2.8
3.(1)y=3x-1 (2)-4 (3)13≤x ≤2
4.(1)a=12,b=(2)16
5.(1)y=2x (2)0<x ≤2 (3)略。