第五章_黑油模型(IMPES方法)

式中
C t = Cφ + C o S o + C w S w + C g S g Cφ = 1 φ φ Po Co = 1 Bo Bg Rso + Bo Po Bo Po 1 Bg Cg = Bg Po
1 Bw Bg Rsw Cw = + Bw Po Bw Po
2) 隐式压力差分方程组的建立 对（15）式写差分方程时，由于网格节点多，因此可 用简化形式。 i,j,k-1 y i,j+1,k x
（2）
气组分 kkrg kkro (pg ρg gD)＋ Rso (po ρo gD) Bgg Boo
kkrw sg s s (pw ρw gD) + qgv = φ Bg + Rso Boo + Rsw Bww ＋ Rsw t Bww 式中Rso—气油比 ， Rsw—气水比
(11)
二、组分质量守恒方程
将（7）、（8）、（11）代入（1）、（2）、（3） 的右端项得组分质量守恒方程 油组分
kk ro ( p o ρ o g D ) + q ov = φ S o + S o φ φ S2o B o P o B o t B o P o B o P o t Bo o
如D4排列
4 14 1
k=1
19 5 15 10 20 6 24 11 21
k=2
16 2 13 7 17 3 22 8 18 12 23 9
对第i,j,k个网格，可写成如下的一般式：
+ + ATk PKn11 + ASJ PJn+1 + AWI PIn11 + ABk Pkn++1 + ANJ PJn++11 + AEI PIn+1 + EPn+1 = B （17） 1 1 +1
式中
1 n n ATk = Bon + Bgn ( Rsok 1 Rsok ) A n 1 2 Ok 2 n 1 n n + Bw + Bgn ( Rswk 1 RSwk ) A n 1 + Bgn A n 1 gk 2 wk 2 2 1 n n AS J = Bon + Bgn ( Rsoj 1 Rsoj ) A n oj 1 2 2
S o φ φS o Bo Po φ S o φS o ( )= +( 2 ) t Bo Bo t Bo Po Bo Po t S φ φS w Bw Po φ S w φS w ( )= +( w 2 ) t Bw Bw t Bw Po Bw Po t
(7) (8)
Sg So Sw φ S g S g φ φS g Bg Po [φ ( + Rso + Rsw )] = + 2 t Bg Bo Bw Bg t Bg Po Bg Po t S o Rso φ φS o Rso φRso S o Bo Po + + + 2 Bo t Bo Po Bo Po Bo Po t φRsw S w S w Rsw φ φS w Rsw φRsw S w Bw Po + + + 2 Bw t Bw Po Bw Po Bw Po t
(12)
水组分
kk rw ( p w ρ w g D ) + q wv = φ S w + S w φ φ S2w B w P o Bw w B w t B w P o B w P o t
(13)
气组分 k krg kk kk Pg ρg gD + Rso ro (Po ρo gD) + Rsw rw (Pw ρw gD) + qgv Bg g Bo o Bw w
n 1 n n n n 1 n n n n ABk = Bo + Bg (Rsok Rsok +1 ) A 1 + Bw + Bg (Rswk Rswk +1 ) A n 1 + Bgn A n 1 gk + 2 2 ok + 2 wk + 2 2 1 n 1 n n n n AN j = Bon + Bgn ( Rsoj Rsoj+1 ) A n 1 + Bw + Bgn ( Rswj Rswj +1 ) A n 1 + Bgn A n 1 gj + 2 2 oj + 2 wj + 2 2 n 1 n n n n 1 n n n n AEi = Bo + Bg ( Rsoi Rsoi+1 ) A 1 + Bw + Bg ( Rswi Rswi+1 ) A n 1 + Bgn A n 1 gi + 2 2 oi+ 2 wi+ 2 2 n (φVB Ct ) E = [ ATk + AS J + AE I + AWI + AN J + ABk + ] t (φVB Ct ) n n B = [QOWG + P] t
根据方程（16），对第i，j，k个网格写差分方程， 由于其邻节点有六个，可形成七对角系数矩阵方程。 若排列方式不同，则系数矩阵形式不同。 如标准排列，若有二层网格，先按k方向，后J方向， 最后为I方向，顺序排列。 k=2 k=1 5 11 17 3 9 15 1 7 13 其系数矩阵如下： 23 21 19 6 12 18 24 4 10 16 22 2 8 14 20
i-1,j,k i,j,k i,j-1,k i+1,j,k
z
i,j,k+1
AP = x Ax Px + y Ay Py + z Az Pz
k k rl 面积 式中 A— 传导系数， Bl 距离 ， P —压力 l x Ax Px = Ai 1 , j ,k ( Pi1, j ,k Pi , j ,k ) + A 1 ( Pi+1, j ,k Pi , j ,k )
(
)
φRso φ So = B B t g o B
2 o
φRsw φ Sw Sg φ φSg Bg So Rso φ φSo Rso + + + + B B t B P B2 P Bo P Bo P g o o o g g o w + Bw P o B
2 w
n 1 n n n + Bw + Bg ( Rswj 1 Rswj ) A 1 + B gn A n 1 gj 2 wj 2 2
1 n n AWI = Bon + Bgn ( Rsoi1 Rsoi ) A n 1 2 oi 2 n 1 n n + Bw + Bgn ( Rswi1 Rswi ) A n 1 + B gn A n 1 gi 2 wi 2 2
S w (x, y,0 ) = S wc
P n = 0
Γ
t>0
y 0 x
B.C 1) 外边界封闭
t > 0
Lx
2)内边界 定产 Qv = Qv δ (x ζ , y η ) 式中 δ点源函数 定流压 Piwf Pwf t>0
t>0
第二节 差分方程组的建立
一、方程（1）、（2）、（3）的右端项
(16)
式中
GOWT = Aon ( ρ o gD ) n
n GWWT = Aw ( ρ w gD + Pcow ) n n n n n GGWT = Agn ( Pcgo ρ g gD) n Rso AO ( ρ g gD ) n Rsw Aw ( Pcow + ρ w gD ) n
[
]
[(
)]
（3）
2. 辅助方程 (4) s g + so + s w = 1 (5) pcow = po pw (6) pcgo = p g po 3. 初始条件和边界条件 假设边界不规则的油藏中有若干口井生产或注入，求 油藏中的压力和饱和度分布。 Ly I.C P (x, y,0 ) = Pi
i , j ,k
i , j ,k +
对压力方程（15）进行隐式差分后，两端乘以 VB = xi y j z k 后，令 Ql = VB qlv l = o, w, g 可得到以下隐 式压力差分方程组。
( Bo Rso B g ) in, j ,k (Aon P n+1 + GOWT + Qo ) i , j ,k
P
Pon+1 代入方程（1），求得 S on+1 。 5) 将 n Pwn+1 代入方程（2），求得 S w+1 。 n +1 n +1 n +1 然后 S g = 1 S o S w
n +1 gij
=P
n +1 oij
+P
n cgo
2. 具体算法 1) 压力方程
(12)×(Bo-RsoBg)+(13)×(Bw-RswBg)+(14)×Bg 得
二、数学模型
1. 组分质量守恒方程 油组分
kk ro ( p o ρ o g D ) + q ov = φ s o t B o Bo o
（1）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
水组分
kk rw ( p w ρ w g D ) + q wv = t Bww φ sw Bw
n + ( Bw Rsw Bg ) in, j ,k (Aw P n+1 + GWWT + Qw ) i , j ,k n n + ( B g ) in, j ,k (Agn P n+1 + Rn Aon P n+1 + Rsw Aw P n+1 + GGWT + Qg ) ijk so
(φVB Ct ) n =( ) i , j ,k ( P n+1 P n ) t
第五章 黑油模型（IMPES方法）
数学模型 差分方程组的建立 井、初始场分布和过泡点处理 资料输入
第一节 数学模型
一 、假设条件 1. 符合达西渗流定律 2. 等温渗流 3. 油气水三相和油气水三组分，水组分存在于水相中， 油组分存在于油相中，气组分不仅存在于气相中，而 且存在于油相和水相中 4. 三维(x,y,z)方向流动 5) 岩石和流体均可压缩 6) 油藏非均质和各向异性 7) 考虑毛管力和重力
φSo Rso Bo RswSw φ φSw Rsw φRswSw Bw Po
P o + Bw P o P t o
(14)
三、IMPES方法压力方程和饱和度方程
1. 思路 1) 乘以适当的系数，合并（12）（13）（14）以消除SW， SO得到只含变量PO，PW，Pg的压力方程。 2) 由毛管压力公式PCow=PO-PW， PCgo=Pg-Po，得到只含变 n +1 量 Po 的压力方程。 3) 达西系数项及毛管压力采用上一时间值，因此可得只 含变量PO的线性 代数 方程组。 n +1 n +1 n n Poij+1，再求Pwij = Poij Pcow 4) 解线性代数方程组后，求得
S g φ φS g Bg S o Rso φ φS o Rso φRso S o Bo + 2 + + B P Bg Po Bo Po Bo Po Bo2 Po g o S w Rsw φ φS w Rsw φRsw S w Bw Po + + 2 Bw Po Bw Po Bw Po t
2 i + , j ,k 2
y Ay Py = A z Az Pz = A
1 i , j ,k 2 1 2
( Pi , j 1,k Pi , j ,k ) + A ( Pi , j ,k 1 Pi , j ,k ) + A
1 i , j + ,k 2 1 2
( Pi , j +1,k Pi , j ,k ) ( Pi , j ,k +1 Pi , j ,k )
kkro kkrw (Bo RsoBg ) (P ρo gD) + qov+(Bw RswBg ) (P ρwgD) + qwv o w Boo Bww kkrg kkro (15) + Bg (P ρg gD + Rso (P ρo gD) g o Bg g Boo kkrw P + Bg Rsw (P ρW gD) + qgv =φCt o w t Bww
φRso S o
(9)
根据（4）式，得
S g t = S o S w t t
(10)
t
将（10）式代入（9）式得到只含So、Sw、Po的方程 φRso φ S o φRsw φ S w Sg So Sw [φ ( + Rso + Rsw )] = +
Bg Bo Bw Bo Bg t Bw Bg t