矩阵微分法

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数学物理方法偏微分方程分类矩阵

偏微分方程分类一判断根的符号,若根的表达式为22()4A BA a cB a c b λ±=±=+=-+要求判断两根(A+B),(A-B)是否同号.设A>0, B>0, 显然A+B>0, 下面考虑（A-B ）的符号。

由于A>0，B>0，取222222()()44()A B a c a c b ac b ∆=-=+---=-则Δ>0时，(A-B)>0,两个根符号相同，当Δ=0时，A=B,有零根，当Δ<0时，A<B,两个根符号相反. 当A<0时,结论也相同.二对称矩阵定义：若矩阵P 满足：PP T =E ，称P 为正交矩阵。

定理：对称矩阵H=P ΛP T , Λ为特征根阵，P 为特征向量阵。

例:求Λ和P,2222a b H b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭解，先求特根22220||2()4422a bH E a c b ac b c λλλλλ-=-==-+-+-22()4A BA a cB a c b λ±=±=+=-+再求特征向量,由112()0022a c B b A E p p b c λ+--⎛⎫-== ⎪⎝⎭得单位化的特向:1211()122p B c a B c a b b⎛⎫⎪=+- ⎪+- ⎪+⎝⎭类似得到根 (A-B)对应的特向:2211()122p B c a B c a b b⎛⎫⎪=-+- ⎪-+- ⎪+⎝⎭所以有 120(,)0P p p λλ+-⎛⎫Λ==⎪⎝⎭例:若:4224H ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有a=2,b=1,c=2, 求得A=4，B=2，根为2,6.有B+c-a=B=2, -B+c-a=-2, 所以有6011104112P ⎛⎫⎛⎫Λ== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭三二次型2222(,)242(,)22Ta b x F x y ax bxy y x y X HX b c y ⎛⎫⎛⎫=++== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭式中 2222a b x H X b c y ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由于H=P ΛP T ，则有 12(,)T T T TF x y X HX X P P X Y Y y y λλ+-==Λ=Λ=+上式称为标准二次型:22()4A BA a cB a c b λ±=±=+=-+222222()()44()A B a c a c b ac b ∆=-=+---=-则Δ>0时，两个根符号相同，称F 为椭园型，当Δ=0时，两个根一样，称F 为抛物型，为重根，当Δ<0时，两个根符号相反，称F 为双曲型，且 T Y P X =例:化为标准二次型221242(,)444'6224F x y x xy y X X y y ⎛⎫=++==+ ⎪⎝⎭11111122T x x y Y P X y x y +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭四二阶偏微分定理：若11[][]22x y ζηζη=+=- 则有11[][]22u u u u u ux y x yζη∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂ 证：由导数，有1[]2u x u y u u ux y x y ζζζ∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 1][]2u x u y u u u x y x yηηη∂∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂∂ 反之，有下面定理：定理：若11[][]22u u uu u ux yx yζη∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂ 存在关系式：11[][]22x y ζηζη=+=-若有22222222222242(,)22(,)T a b u u u x F a b c ub c x y x y x y y u u x P P u x y y λλζη+-∂⎛⎫⎪⎛⎫∂∂∂∂∂∂ ⎪=++= ⎪∂∂∂∂∂∂∂ ⎪⎝⎭ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪=Λ=+∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪∂⎝⎭式中T x P y ζη∂⎛⎫∂⎛⎫ ⎪ ⎪∂∂ ⎪ ⎪=∂∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭22()4A BA a cB a c b λ±=±=+=-+222222()()44()A B a c a c b ac b ∆=-=+---=-则Δ>0时，两个根符号相同，称F 为椭园型，例如:2222u uF x y∂∂=+∂∂当Δ=0时，有零根，称F 为抛物型，例如:22u u a x y ∂∂=∂∂ 当Δ<0时，两个根符号相反，称F 为双曲型:2222u uF x y ∂∂=-∂∂例:将24uF x y∂=∂∂化为标准型解由于a=0,b=1,c=0,有A=0,B=2,所以22222[]u uF ζη∂∂=-∂∂下面求变换关系,由于0220H ⎛⎫= ⎪⎝⎭有1211111122p p ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2011102112P ⎛⎫⎛⎫Λ==⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭所以有111112T x x P y y ζη∂⎛⎫∂∂⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪∂⎛⎫∂∂ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪∂∂∂- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 或1[]2x y ζ∂∂∂=+∂∂∂ 1[]2x yη∂∂∂=-∂∂∂ 得到关系式11[][]22x y ζηζη=+=- 11[][]22x y x y ζη=+=- 当20ux y∂=∂∂时,有解 ()()()()u f x g y f g ζηζη=+=++-式中f,g 由初值条件和边界条件确定.五.二阶偏微分方程--去掉u 项二阶偏微分方程一般式为111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f +++++=用上面求特根和特向的方法可以化为（去掉xy 交叉偏导）xx yy x y au bu pu qu cu f ++++=取u=vg(x), 有 2222222u v g u v g v gg vg v x x xx x x x x∂∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂ 则2222(2)()xx yy x y yy y v g v g v gau bu pu qu cu a g v bgv p g v qgv cgv x x x x x x∂∂∂∂∂∂++++=+++++++∂∂∂∂∂∂2222(2)[]yy y v g v g gag bgv a pg qgv cg a p v x x x x x ∂∂∂∂∂=+++++++∂∂∂∂∂22(2)yy y v g v ag bgv a pg qgv f x x x ∂∂∂=++++=∂∂∂式中函数g 满足: 220g gcg a px x∂∂++=∂∂ 例:去掉u 项: 0xx yy u u u +-=解,由于c=-1, a=1, p=0, 有 220gg x∂-=∂取x g e =, 方程化为22222020yy yy v v v vg gv g v x xx x∂∂∂∂++=++=∂∂∂∂ 上式不显含u 项.六.二阶偏微分方程--去掉一阶偏导项考虑偏微分方程 xx yy x y au bu pu qu f +++= 当a 非零时，取变换:()()xg x yF y ζη==有(')(')u u u u u ug xg F yF x x y y ζηζζηη∂∂∂∂∂∂∂∂==+==+∂∂∂∂∂∂∂∂ 22(')(')[(')]u u u ug xg g xg g xg x x x x ζζζ∂∂∂∂∂∂∂==+=++∂∂∂∂∂∂∂ 222(')(2''')(')u u g xg g xg g xg ζζ∂∂=++++∂∂ 22222(')(2''')(')u u u F yF F yF F yF y ηη∂∂∂=++++∂∂∂ 则222222(')(')[(2''')](')(')[(2''']xx yy x y u u au bu pu qu a g xg g xg a g xg p u u b F yF F yF b F yF q ζζηη∂∂+++=+++++∂∂∂∂++++++∂∂222222(')(')u u a g xg b F yF ζη∂∂=+++∂∂ 式中g,F 为下面方程的解(2''')0a g xg p ++= (2'''0b F yF q ++=有特解22pxqy g F ab =-=- 2222px qy abζη=-=-所以 2222222244xx yy x y p x u q y uau bu pu qu f a b ζη∂∂+++=+=∂∂ 上面方程只含二阶导数项例:将下面方程化为只含二阶导数项: 0xx yy x u u u ++=解取 22x ζ=-, 有 22204xx yy x yy x u u u u u ζ∂++=+=∂ 例:将下面方程化为只含二阶导数项 0xx yy u u u +-=解,取xu e v =, 有 2220yy v vv x x∂∂++=∂∂上式不显含u 项.再取 2x ζ=-, 有2222220yy yy v v v v x v x x ζ∂∂∂++=+=∂∂∂ 七.二阶偏微分方程特征线法考虑偏微分方程 11122220xx xy yy a u a u a u ++=当a 非零时，取变换:(,)(,)x y x y ζζηη==22211221222**2*0u u ua a a ζηζη∂∂∂++=∂∂∂∂ 式中：2211112212*()()2a a a a x y x y ζζζζ∂∂∂∂=++∂∂∂∂ 2222112212*()[()2]y ya a a a y x xη∂∂∂=++∂∂∂ 12112212*()a a a a x x y y x y x y ζηζηζηηζ∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂ 或2211112212*()[()2]y y a a a a y x xζ∂∂∂=++∂∂∂ 2222112212*()[()2]y y a a a a y x xη∂∂∂=++∂∂∂ 令1122*0*0a a ==则有221122120()20u y y a a a x xζη∂∂∂=++=∂∂∂∂ 例：把方程2220xx xy yy x u xyu y u ++= 化为标准形式。

用微分法计算行列式

精品好资料——————学习推荐目录摘要0关键词0Abstract0Keywords0引言01 基本知识11.1n阶行列式的定义11.2n阶行列式的性质11.3 一些特殊的行列式的值11.4 求行列式一般方法22 行列式微分法的理论2 2.1 行列式的求导法则22.2 一类行列式的积分法则43 用微分法求行列式43.1用常微分方程求解行列式43.1.1 对阶数比较低行列式求解43.1.2 对n阶行列式求解53.2 用偏微分方程求解行列式73.3 用积分法求解行列式124 结论13参考文献14致谢15用微分法计算行列式摘要将含参数行列式中一个或多个参数看作自变量，把行列式看作参数函数，利用行列式的求导法则或者积分法则，求出行列式的导数或者一个原函数或者一种递推关系，然后通过不定积分和参数取特殊值或者求导，最终求出行列式的值.利用微分法求解行列式，可以简化行列式的计算.关键词行列式求导法则积分法则Using Differential Method to Calculate the DeterminantStudent majoring in Mathematics and Applied Mathematics Ma GuangshengTutor Zhang QunliAbstract Based on derivation or integral rule, consider the parameter(s) of determinant as independent variable, the relations about the determinant, such as the original function, the recursive relations and so on, are obtained and the values of the determinant are found. Using differential method to solve the determinant, the determinant of computation can be simplified.Keywords DeterminantDerivation rule Integration rule引言行列式[15]-是高等代数的基石，它是求解线性方程组、求逆矩阵及求矩阵的特征值的基础，并且在许多数学分支及其它学科中有着广泛的应用.对于一个n行列式都可以由它的定义去计算它的值，但是根据行列式定义知，n行列式的展开式有!n项，计算量很大，因此行列式的计算灵活多变需要技巧的.通常行列式的计算都是用行列式的展开式、行列式的性质、一些特殊的行列式等方法，即用高等代数知识求解高等代数问题，跨专业、跨学科解法很少介绍，本文用分析手段来求解行列式[69]-为例，作了这方面的尝试.1 基本知识1.1 n 阶行列式的定义将2n 个数(,1,2,,)ij a i j n =排成n 行n 列的形式，按照下式1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑计算得到的一个数，称为n 阶行列式(n-order determinant ). 1.2 n 阶行列式的性质性质1行与列互换，行列式的值不变.性质2某行（列）的公因子可以提到行列式符号外.性质3如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之和之一，其余行（列）元素与原行列式相同.性质4两行（列）对应元素相同，行列式的值为零. 性质5两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零. 性质6某行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变. 性质7交换两行（列）的位置，行列式的值变号. 1.3 一些特殊的行列式的值（1）上（下）三角行列式等于其主对角线上元素的乘积.即11111212122222112212n n nn n n nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（2）次三角行列式的值等于添加适当正、负号的次对角线元素的乘积，即1111,11(1)2,12212,1212,111,11(1)n n n n n n n n n n n n n n nnn a a a a a a a a a a a a a a a ------==-（3）分块三角行列式可化为低级行列式的乘积，即111111*********100**00****00**00n n n nn n nn n n n nnn nn a a a a a a a a b b b b b b b b =11111111n nn nn n nna ab b a a b b =111111*********100**00****00**0n n n nn n nn n n n nn n nna a a a a a a ab b b b b b b b =11111111(1)n nnmn nn n nna ab b a a b b =-（4）奇数级反对称行列式的值为零. 1.4 求行列式一般方法常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法，数学归纳法和乘积法.2 行列式微分法的理论2.1 行列式的求导法则定理1设()(,1,2,,)ij a t i j n =为可微函数，则有行列式的求导法则[1011]-1111111212122221221121()()()()()()()()()()()()()()()j n n nn j n j n n nn n nj nn d a t a a t dt a t a t a t d a t a t a t a t a a t d dt dta t a t a t d a t a a t dt==∑.证明行列式11111121()212221212()()()()()()(1)()()()()()()j n j n jnn i i i n i i ni i i i n n nn a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t τ=-∑故11111121()212221212()()()()()()(1)()()()()()()j n j n j nn i i i n i i ni i i i n n nn a t a t a t a t a t a t d d a t a t a t dtdt a t a t a t τ=-∑111()12(1)()()()j n j n j ni i i i i ni i i i d a t a t a t dt τ-∑111()12(1)(()()())j n j n jni i i i i ni i i i da t a t a t dt τ=-∑111()121(1)()()())j n j n jnni i i i i ni i i i j dat a t a t dt τ==-∑∑111()121[(1)()()()]j n jn jnni i i i i ni j i i i da t a t a t dt τ==-∑∑又因为1111111()2122121()()()()(1)()()()()()j n jn jnj n i i i j n i i ni i i i n nj nn d a t a a t dt d a t a a t da t a t a t dt dt d a t a a t dtτ-=∑，结论的证.注（1）该定理也可以按行求导数.（2）该公式也可以用数学归纳法证明[9].（3）把导数换成积分类似地证明一些特殊行列式的积分法则.2.2 一类行列式的积分法则定理2 已知(1,2,,;2,,)ij a in jn 为与t 无关的量，1()(1,2,,)i a t in 为t的可积函数，对于矩阵111212122212()()()n n n n nn a t a a a t a a Aa t aa ，有111210212220120()()()x n xx nx n n nna t dt a a a t dta a A dta t dt a a .3 用微分法求行列式3.1用常微分方程求解行列式 3.1.1 对阶数比较低行列式求解例1 计算行列式1111111111111111xx y y+-+-.解令11111111()11111111xx f x y y+-=+-，则21111101101111111()02011110110111111xx df x xy y y dxy y+--=++=++--.对()df x dx求关于x 的不定积分得，22()f x x y c =+（其中c 为积分常数）. 当0x =时，行列式的前两列相同，由行列式的性质4得：(0)0f =，故22()f x x y =.例2 计算行列式cos 10012cos 10012cos 1012cos αααα.解用x 代替cos α，则行列式变为100121001210012xx x x，令1001210()0121012x xf x x x=，对()f x 求关于x 的导数得11000001001000210121012001210()01210021012101200012001200020012x x x x x x df x x x x dxx x x =+++33216x x =-对()df x dx求关于x 的不定积分得，42()88f x x x c =-+（其中c 为积分常数）. 当0x =时，01001010(0)101010010f ==，从而1c =，故42()881f x x x =-+. 把cos x α=代入()f x 中得，4222(cos )8cos 8cos 18(cos 1)cos 1f ααααα=-+=-+2212(2cos sin )12sin (2)cos 4αααα=-=-=.3.1.2 对n 阶行列式求解例3 计算n 阶行列式1231111111111111111na a a a ++++.解令1231111111111111111n na a D a a ++=++，先设1a 为自变量，122331111111011111110111111101111111n n na a a D a a a a ++=+++++12323111011101110111n na a a a a a a +=+++2311111111111n n na a dD D da a -++==+，所以11n n D a D c -=+（其中c 为积分常数）.当10a =时，23n n D a a a =，所以23n c a a a =.故1123n n n D a D a a a -=+.对于1n D -把2a 看作自变量，运用上面的方法可求出1223n n n D a D a a --=+.同理可求：2334n n n D a D a a --=+2111(1)n n n n n D a D a a a a --=+=++因此，123111123111(1)nnn n i i n n i i iD a a a a a a a a a a a a a -+===+=+∑∑. 例4 计算n 阶行列式a a a ab b D b bλαββββαββββαββββα=. 解把行列式D 看作关于λ的函数，令()D D λ=，对()D λ求关于λ的导数2100()[(2)]()00n aaaadD n d αβββαββββαβββαββλαβαβββαβββαβλβββαβββα-===+-- 对()dD d λλ求关于λ的不定积分得： 2()[(2)]()n D n c λλαβαβ-=+--+（其中c 为积分常数）当b λ=时,1000011()11b a a a a b a a a ab a a a aD b b b a a a a b a a aaαβββαββββαβββαββββαβββαββββαβββα--------==-------- (2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)n n a a a an n a a a a b n n a a a a n na aaaαββββαβαββαββαβαβββα+------+------=+------+------ 10100[(2)(1)]1001b n n a αβαβαβαβ-=+-----2[(2)(1)]()n b n n a αβαβ-=+----所以22()[(2)]()(1)()n n c D b b n n ab αβαβαβ--=-+--=--- 故22()[(2)]()(1)()n n D n n ab λλαβαβαβ--=+-----2()[(2)(1)]n a n n ab αβλλβ-=-+---.3.2 用偏微分方程求解行列式例5 用偏微分方程求范德蒙德（Vandermonde ）行列式.解设123222212311111231111n nn n n n nx x x x D x x x x x x x x ----=，把范德蒙德行列式D 看作关于1x ，2x ，…，n x 的函数，对D 求关于1x ，2x ，…，n x 的偏导数得1231232222222212311231111111112123123111111111111110000200(1)000nn n n n n n n n n n n n nnx x x x x x x x Dx x x x x x x x x x x x x x x x x x n x ---------∂=++++∂-123123222222221232123211111111212312321111111111110100002000(1)0nn n n n n n n n n n n n nnx x x x x x x x Dx x x x x x x x x x x x x x x x x x n x ---------∂=++++∂-……………………1231232222222212312311111111212312311111111111100010020(1)nn n n nnn n n n n n n n n nnnx x x x x x x x Dx x x x x x x x x x x x x x x x x x n x ---------∂=++++∂-然后，对1D x ∂∂，2D x ∂∂，…，nD x ∂∂求和得 1232222123123121111111112312311111111111102222nn n nn n n n n n n n nnx x x x D D D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --------∂∂∂+++=++∂∂∂1232222123222212311110(1)(1)(1)(1)n nn n n n nx x x x x x x x n x n x n x n x ----+=----从而有特征方程3121111ndx dx dx dx ====可以求得它的首次积分 (2,3,,)j i ij x x c j n -==当(;,1,2,,)i j x x i j i j n =≠=，根据行列式的性质4知，行列式0D =，故行列式D 应该含有因式(1)j i x x i j n -≤<≤.又因为0(1,2,,1;1,2,,)0iik k n n D x k n i n D x ⎧∂≠⎪∂⎪=-=⎨∂⎪=⎪∂⎩，这说明行列式D 对于每个参数来说都是最高1n -次的，而且行列式D 含有因式(1)j i x x i j n -≤<≤对于每个参数来说恰好是1n -个.所以行列式1()()j i i j nD cx x c ≤<≤=-∏其中为常数.再根据行列式的每一项的系数可以确定1c =,故行列式1()j i i j nD x x ≤<≤=-∏.例6 用偏微分方程求解行列式1231222221231222221231123111111n nn nn n n n n n n nn n n n n nx x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x ---------=.解把行列式D 看作关于1x ，2x ，…，n x 的函数，求1x ，2x ，…，n x 的偏导数得12312222212311122222222221231123112311231111111111110000200n nn nn n n n n n n n n n n n n n nn n n n nn n n n n nn nx x x x x x x x x x x Dx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------------∂=++++∂12311231222222222212311231322222112311123111111111111(2)00000n n n nn n n nn n n n n n n nnn n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x x x x x x x x x x x nx -------------+-123122222123122222222222212311231123112311111111111010000200n nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn nx x x x x x x x x x x Dx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------------∂=++++∂123112312222222222123112313222222123111231211111111110(2)0000n nn nn n n nn n n n n n n nnn n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x x x x x x x x x x x nx 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----1231222221231122222123111111123111111000()n nn nj i i j nn n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x nx x x x x x x nx nx nx nx nx --≤<≤------------=++++=-∏从而特征方程为121111()nj ii j ndx dx dx dDnx x ≤<≤====-∏可以求得首次积分 (2,3,,)j i ij x x c j n -==；121211()()n ij n i j niji j nd x x x dD D c x x x c nnc ≤<≤≤<≤+++=⇒-⋅+++=∏∏当(;,1,2,,)i j x x i j i j n =≠=，根据行列式的性质4知，行列式0D =，所以行列式D 应该含有因式(1)j i x x i j n -≤<≤，从而可以求得0c =. 因此，11()nij i i i j nD x x x =≤<≤=-∑∏.对于例5、例6如果我们对列进行求偏导我们很难的出偏微分方程[12]的式子，这也是说利用偏微分方程计算行列式也是有技巧的.以上六个例子是导数（偏导数）在有关行列式问题上的应用.可以看出,通过对含有参数的行列式的求（偏）导,使计算由繁变简,再根据导数性质对不同问题进行分析,达到了解决问题的目的.这说明,(偏)导数是计算含有参数的行列式问题的一种方法.3.3 用积分法求解行列式例7 求n 阶行列式2322212323331231123123n n nn n n n nx x x x x x x Dx x x x nx x x x 的值. 解把把1x 看作行列式D 的自变量，有1123123222222212312323333333112311231123123123n n n n x x n nnn n n nn n n nnx x x x x x x x x x x x x x x Ddx x x x x dx x x x x nx x x x x x x x 121()nj i i j nx x x x x再对110x Ddx 求关于变量1x 导数1112111[()]x nj i i j ndDdx dDx x x x x dx 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个参数看作自变量，把行列式看作参数的函数，利用行列式的求导法则或者积分法则，求出行列式的导数或原函数或一种递推关系，然后通过不定积分或求导和参数取特殊值求出行列式或者找到递推关系，最终求出行列式的值.微分法可以简化行列式的计算，为我们提供了一种计算行列式的方法.以上是我们给出了用分析法求解行列式的方法包括用常微分方程计算行列式、用偏微分方程计算行列式、用积分法计算行列式，可以看到这些解法独特、新颖，这实际上是用分析方法解决高代问题思想的一次尝试.高阶行列式的计算方法灵活多样，在化简时，必须根据行列式的特点，采用适当的次序和步骤来进行，才能快速、准确的计算行列式的值.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室小组.高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.955-74 98-103[2] 李尚志.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2006.5 111-140[3] 徐仲.高等代数考研教案[M].2版.西安：西北工业大学出版社，2009.7 44-86[4] 徐仲.高等代数(北大·第三版)导教·导学·导考[M].2版. 西安：西北工业大学出版社,2006.9 83-130[5] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].修订版.北京：中央民族大学出版社，2009.10 24-31[6] 张润玲.n阶行列式的微分法[J].雁北师范学院学报，2003.4 46-47[7] 齐成辉.求解行列式的方法和技巧[J].陕西师范大学学报(自然科学版)，2003年31卷 26-29[8] 刘秀丽、张长耀.导数在计算行列式中的应用[J].高等函授学报(自然科学版)，2009.12，第22卷第6期 20-22[9] 龚秀芳.高阶行列式求解方法的探讨[J].菏泽学院学报，2005.10，第27卷第5期 73-76[10] 华东师范大学数学系.数学分析(上、下册)[M].3版.北京：高等教育出版社，2001[11] 陈纪修.数学分析（上、下册）[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.5 119-163 241-269[12] 王高雄等.常微分方程[M].2版(修订).北京：高等教育出版社，2007重印 18-50 304-323致谢在学习高等代数过程中，行列式是不仅是高等代数的重要内容之一，而且在许多数学分支及其它学科中有着广泛的应用.求解行列式占有极其重要的地位，它是讨论线性方程组理论的有力工具，非常感谢老师在选题修改过程中给予的无私帮助，老师对于工作及科研方面的严谨求实的态度感染了我，使我终生受益，我在此表忠心的感谢，也感谢老师指导了三次数学建模比赛让我受益匪浅，让我知道了学无止境.同时我也感谢系领导与各位老师四年来对我的教育与培养没有你们的教导，就不可能有我的今天.感谢答辩委员会各位老师的精辟点评，让我在马上毕业之际顺利的完成毕业论文.感谢在论文书写过程中给予我支持的父母、老师、朋友，也非常感谢母校让我在大学四年过程中一步步走向独立，我相信这两年半大学生活将是我最宝贵的财富.。

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法常数矩阵微分方程基解矩阵是指对于一个m阶常系数矩阵微分方程组x′(x)=xx(x)，其中x(x)为x的函数，x为常数矩阵，基解矩阵是一组线性无关的解所构成的矩阵。

计算常数矩阵微分方程基解矩阵的方法主要有以下几种：常数变易法、指数矩阵法、特征值法。

一、常数变易法
使用常数变易法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.假设基解矩阵为x(x)，则存在常数矩阵x，使得
x(x)=xx^xx。

2.对基解矩阵进行求导，并代入微分方程，得到
xxx(x)(x)=xx(x)，其中x(x)(x)表示第n阶导数。

3.解出x(x)(x)，得到x的表达式。

4.代入x=0时的初始条件，求解得到x的具体值。

5.将x代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。

二、指数矩阵法
使用指数矩阵法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.求解常数矩阵x的特征值和特征向量。

2.将特征值分别代入指数函数的表达式中，得到特征向量的指数函数形式。

3.将特征向量的指数函数形式构成的矩阵x和其逆矩阵x^(-1)代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。

三、特征值法
使用特征值法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.求解常数矩阵x的特征值和特征向量。

2.将特征向量的形式代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。

在实际计算中，选择哪种方法取决于方程的形式、矩阵的性质和计算的复杂程度。

以上三种方法均可得到常数矩阵微分方程的基解矩阵，计算方法相对较为简单，但对于高阶矩阵微分方程，计算工作量可能较大，需要根据具体情况选择合适的方法。

常微分方程组的矩阵求解方法

２１年第２期０１０
科技嚣向导
◇ 高教论述◇
常微分方程组的矩阵求解方法
吕超
（大庆石油学院应用技术学院
河北
秦皇岛
０６０）６０４
【要】了微分方程组的一般理论，摘讨论定义了矩阵函数，用矩阵函数的相关性质，利给出了齐次线性常微分方程组的矩阵求解方法。【关键词】常微分方程组；阵函数；矩求解方法 ’
＝ｌｆ … ）（）。ｌ）（
则对Ｂ：
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（％（（设在某￣ｌａ］可￡））Ｎ［６上连续）其求解问题也是十分困，，难的，除非是当％（，＝，…ｎｉ１） √ ２都是常系数方程的情形。用矩阵记号．可将（）１写成
的ｎ个线性无关的特解
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２设Ａ为一对角分块矩阵Ａ ’ ．６＝ｉ・
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１常微分方程组的基本知识．
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２设ＢＡ＋，．７＝ＥＮＥ为单位阵，＝ Ⅳ

微分方程组的解法

微分方程组的解法一、微分方程组的概念微分方程组是由多个未知函数及其导数构成的方程组，通常用向量形式表示。

微分方程组在物理、工程、经济等领域中有广泛应用。

二、线性微分方程组线性微分方程组是指未知函数及其导数构成的各项系数都是常数的微分方程组。

它可以用矩阵和向量表示，具有良好的解法。

三、非线性微分方程组非线性微分方程组是指未知函数及其导数构成的各项系数不是常数的微分方程组。

它通常没有通解，只能通过近似或数值方法求解。

四、初值问题与边值问题初值问题是指给定一些初始条件，在某个点处求解微分方程组的解。

边值问题是指在一段区间内给定一些边界条件，在这段区间内求解微分方程组的解。

五、常系数齐次线性微分方程组的解法1. 特征根法：先求出特征多项式和特征根，然后根据特征根和初始条件求出通解。

2. 矩阵指数法：将齐次线性微分方程组转化为矩阵形式，然后求解矩阵的指数函数，再根据初始条件求出通解。

六、常系数非齐次线性微分方程组的解法1. 常数变易法：将非齐次线性微分方程组转化为对应的齐次线性微分方程组，然后利用常数变易法求出特解，再将通解和特解相加得到非齐次线性微分方程组的通解。

2. 矩阵指数法：将非齐次线性微分方程组转化为矩阵形式，然后求解矩阵的指数函数，再根据初始条件求出通解和特解。

七、变系数线性微分方程组的解法1. 常数变易法：将变系数线性微分方程组转化为对应的齐次线性微分方程组，然后利用常数变易法求出特解，再将通解和特解相加得到变系数线性微分方程组的通解。

2. 变量分离法：将变量分离后利用积分求出一般积分式，然后根据初始条件求出常量，并代入一般积分式中得到特解和通解。

八、非线性微分方程组的近似方法1. 线性化方法：将非线性微分方程组在某个点处进行线性化，然后求解线性微分方程组的解，再将解转化为非线性微分方程组的近似解。

2. 数值方法：利用数值方法如欧拉法、龙格-库塔法等求解微分方程组的近似解。

九、总结微分方程组是一类重要的数学问题，在实际应用中有广泛应用。

求常系数线性微分方程解的矩阵方法

求常系数线性微分方程解的矩阵方法赵晓苏;钱椿林【摘要】考虑求常系数线性微分方程解的矩阵方法。

首先，将常系数线性微分方程化为一阶线性微分方程组，且用矩阵表示；然后，求其矩阵的特征值和特征向量，把矩阵对角化或化简；最后，利用矩阵乘法求得常系数线性微分方程的通解或特解。

其计算方法简单、方便，在实际中很有用。

%The paper addresses matrix method for the linear differential equation with constant coefficients. First of all,the system of the first order linear differential is the linear differential equation with constant coefficients transformed into the first order linear differential group,and presented by matrix,and then eigenvalue and eigenvector of the matrix,is obtained while the matrix is transformed into simplified matrix. Finally,the solution of the linear differential equation is achieved using the matrix multiplication. It is found that this method provides an easier and more useful solution to the linear differential equation with constant coefficients.【期刊名称】《苏州市职业大学学报》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】6页(P44-49)【关键词】常系数线性微分方程;矩阵;特征值;特征向量;通解;特解【作者】赵晓苏;钱椿林【作者单位】苏州市职业大学数理部，江苏苏州 215104;苏州市职业大学数理部，江苏苏州 215104【正文语种】中文【中图分类】O151.26在科学研究和生产实践中往往会碰到某些量之间存在着某种微分关系，其数学表达式为微分方程，例如式中：f(x)为已知函数；pi(i=0，1，2，…，n-1)为已知常数；y=y(x)为未知函数.称式(1)为n阶常系数线性微分方程.如果f(x)≠0，称式(1)为n阶非齐次常系数线性微分方程；如果f(x)=0，称式(1) 为n阶齐次常系数线性微分方程，即对于n阶非齐次常系数线性微分方程(1)的求解，通常的做法是：讨论非齐次项f(x)的各种类型，利用待定系数法求得一个特解[2-5].对于非齐次项f(x)是一般的情形，用待定系数法显得无能为力.对于一般的非齐次项f(x)，利用矩阵方法[1]，可以求得其微分方程的一个特解或通解.其计算方法简单、方便，在实际中很有用.本文主要讨论二阶常系数线性微分方程求解的矩阵方法，其方法可以在求任意阶常系数线性微分方程的解中使用.1) 指数矩阵的定义.设A为n阶方阵，则，其中E为单位矩阵.2) 指数矩阵具有如下性质：(a)对于任意成立.(b)可逆，且(c) 设P为n阶可逆方阵，若求常系数线性微分方程解的矩阵方法的具体步骤如下：第1步，将常系数线性微分方程(1)化为一阶线性微分方程组，且用矩阵表示.式中y=y1.令，且矩阵则式(3)可记作第2步，求A的n个特征值和特征向量.作线性变换Y=PU，其中，P是由A的n 个线性无关特征向量组成的n阶可逆方阵，代入式(4)，且设D=P-1AP，得当n=2时，D可以是下列两种简单情形：当λ1≠λ2时第3步求得一阶线性微分方程组(5)的特解或通解为第4步利用矩阵乘法和式(6)求Y(=PU)，取Y的第1行第1列的元素，得到y=y1.通过具体例子说明用矩阵方法求解常系数线性微分方程的详细计算过程，主要讨论二阶常系数线性微分方程的解的情况.例1 求微分方程的一个通解.解第1步，将微分方程化为一阶线性微分方程组，即式中第2步，求式(7)中A的2个特征值和特征向量，，作线性变换Y=PU，其中，得第3步，求得一阶线性微分方程组(8)的通解为第4步，利用矩阵乘法和式(9)得到取Y的第1行第1列的元素，得到通解为例2 求微分方程y′ + y =sec3x的通解.解第1步，将微分方程化为一阶线性微分方程组，即式中第2步，求出式(10)中A的2个特征值和特征向量，，作线性变换Y=PU，其中，得第3步，求得一阶线性微分方程组(11)的通解为第4步，利用矩阵乘法和式(12)有取Y的第1行第1列的元素，得到通解为例3 求微分方程的一个特解.解将微分方程化为复数的形式，即只要考虑微分方程(13)的一个特解的虚部即可第1步，将微分方程化为一阶线性微分方程组，即式中第2步，求出式(14)中A的2个特征值和特征向量作线性变换Y=PU，其中，得第3步，求得一阶线性微分方程组(15)的特解为第4步，利用矩阵乘法和式(16)得取Y的第1行第1列的元素，得到特解为取其解的虚部，得到一个特解为例4 求微分方程的通解.解第1步，将微分方程化为一阶线性微分方程组，即式中第2步，求出式(17)中A的2个特征值和特征向量，作线性变换Y=PU，其中，得第3步，求得一阶线性微分方程组(18)的通解为第4步，利用矩阵乘法和式(19)有取Y的第1行第1列的元素，得到通解为例5 求微分方程的通解.解第1步，将微分方程化为一阶线性微分方程组，即式中第2步，求出式(20)中A的3个特征值和特征向量，作线性变换Y=PU，其中，得第3步，求得一阶线性微分方程组(21)的特解为第4步，利用矩阵乘法和式(22)，得取Y的第1行第1列的元素，得到一个特解为所以通解为从上面5个例子可以看到，例1、例3和例5是常见非齐次项的微分方程的两种类型，如果利用待定系数法求解，计算量比较大，例2和例4不是常见非齐次项的微分方程的类型，利用待定系数法无法求解，利用矩阵方法计算比较方便.矩阵方法对于一般的非齐次项的常系数线性微分方程都能得到求解，同时给出了一般的非齐次项的常系数线性微分方程求通解的一个公式，即公式(6)，因此在实际中很有用.【相关文献】[1] 钱椿林. 线性代数[M]. 3版.北京：高等教育出版社，2010.[2] 钱椿林. 高等数学[M]. 3版.北京：电子工业出版社，2010.[3] 同济大学应用数学系. 高等数学[M]. 5版.北京：高等教育出版社，2004.[4] 《现代应用数学手册》编委会. 现代应用分析卷[M]. 北京：清华大学出版社，1998.[5] 《数学手册》编写组. 数学手册[M]. 北京：高等教育出版社，1984.。

李金城 25 数学08-1 常系数线性微分方程组的矩阵解法

摘要在常微分方程中，介绍了解常系数线性微分方程组的消元法，它是解常系数线性微分方程组的最初等的方法，适用于知函数较少的小型微分方程组。

对于未知函数较多时，用消元法则会非常不便，为此应寻求更为有效的方法。

在掌握线性代数的知识后，用矩阵法解常系数线性齐次微分方程组较为方便。

关键词：基解矩阵特征方程特征值特征向量AbstractIn the ordinary differential equation, introduced that understood often the coefficient linear simultaneous differential equation's elimination, it is the solution often the coefficient linear simultaneous differential equation's most primary method, is suitable in knows the function few small simultaneous differential equation. Are many when regarding the unknown function, will be inconvenient with the elimination, for this reason should seek a more effective method. After grasping the linear algebra the knowledge, the coefficient linearity homogeneous simultaneous differential equation is often more convenient with the matrix technique solution.Keywords: basic solution of matrix characteristic equation eigenvalue Characteristic vector第一章：矩阵指数A引言已知常系数线性微分方程组：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn n n xa x a x a dtdx x a x a x a dtdx x a x a x a dt dx (22112222121212121111)（1）的求解方法，通常可以用消元法将方程组化为一元的高阶微分方程：0 (111)111=+++--x b dtx d b dt x d n n n nn 来求解。

涨知识丨OLS原理的矩阵方法很难？JustSoSo

涨知识⼁OLS原理的矩阵⽅法很难？JustSoSo对计量经济学初学者⽽⾔，OLS原理的矩阵表⽰通常令⼈“发怵”。

其原因主要在于，⾄少在财经类课程体系中，关于矩阵微分的先⾏课程是缺失的。

鉴于计量经济学的进阶课程⼤多采⽤矩阵语⾔，笔者认为有必要专⽂论述如何“搞掂”关于OLS原理的矩阵⽅法，以降低后续学习的门槛。

⼀、从OLS的基本原理谈起对于多元回归模型（1）：OLS原理就是，选择参数估计值以使得残差平⽅和最⼩，即：若定义⽬标函数为Q，则由上述最优化问题的⼀阶条件可形成⼀个包括k+1个正规⽅程的⽅程组。

求解上述正规⽅程组（3），即获得各个参数的OLS估计量。

现在若我们引⼊向量与矩阵定义：则多元回归模型（1）可表⽰为：最优化问题（2）可表⽰为：正规⽅程组（3）可表⽰为：⼆、矩阵微分规则的引出与应⽤我们考察式（6）。

在这⾥，与0是k+1维列向量。

⽤式（6）来描述正规⽅程组（3），看似⼗分平凡，但其实隐含了⼀个关于矩阵微分的⼀般规则：⼀个标量对⼀个m维列向量求导，等价于该标量对这个m维列向量中的每⼀个元素求导，其求导结果是⼀个m维列向量。

这是⼀个简单⽽重要的规则，接下来我们将反复利⽤此规则。

最优化问题（5）的⽬标函数Q可进⼀步展开成：由于标量Q只可能被分解成标量，式（7）中最后⼀个等号右边的四项均为标量，并且有：根据式（8），我们需依次解决四个问题：（⼀）标量，其不是中任何元素的函数。

因此，有：从形式上看，式（9）与我们在《微积分》课程中所熟悉的微分规则是⼀致的，其中为常数，为变量。

这⾥的0是标量，⽽式（9）中的0是k+1维列向量。

（⼆）由于为标量，⽽为k+1维列向量，我们可迅速判断为k+1维⾏向量。

若定义：，则。

显然有：从形式上看，式（10）与我们在《微积分》课程中所熟悉的微分规则是⼀致的。

关键的差别在于，在式（10）中，不能同那样，被直接置于等号右边——为了满⾜矩阵微分规则，我们还需对其进⾏转置处理，以使其变为⼀个列向量。

矩阵微分方程的解法

矩阵微分方程的解法引言矩阵微分方程是数学中的一个重要分支，它研究了矩阵的导数和微分方程之间的关系。

在许多领域，如物理学、工程学和经济学等，矩阵微分方程都扮演着重要的角色。

本文将探讨矩阵微分方程的解法，包括常微分方程和偏微分方程两种情况。

常微分方程的解法一阶常微分方程对于形如dydx=f(x,y)的一阶常微分方程，可以通过分离变量的方法求得解。

将方程变形为dy=f(x,y)dx，然后将变量分离得到dyf(x,y)=dx。

对两边同时积分，得到∫dyf(x,y)=∫dx+C，其中C为常数。

最后求解出y和x之间的关系。

二阶常微分方程对于形如d 2ydx2+p(x)dydx+q(x)y=g(x)的二阶常微分方程，可以通过特征根法或变化参数法求解。

特征根法假设方程的通解为y=y1(x)+y2(x)，其中y1(x)是对应于齐次方程d2ydx2+p(x)dydx+q(x)y=0的通解，y2(x)是一个特解。

通过特征根法可以求得齐次方程的通解y1(x)。

然后根据特解的形式，代入原方程得到特解y2(x)。

最后将齐次方程的通解和特解相加，即可得到原方程的通解。

变化参数法假设方程的一个特解为y=y1(x)，其中y1(x)是对应于齐次方程d2ydx2+p(x)dydx+q(x)y=0的通解。

通过变化参数法，可以求得齐次方程的通解y1(x)。

然后令y=u (x )y 1(x )，将u (x )看作是x 的函数，代入原方程并化简得到du dx =−g (x )y 1(x )W(y 1(x ))，其中W(y 1(x ))是y 1(x )的朗斯基行列式。

最后求解出u (x )，再将u (x )代入y =u (x )y 1(x )，即可得到原方程的特解。

偏微分方程的解法偏微分方程在数学的多个领域中都有广泛应用，包括物理、工程和经济学等。

下面介绍两种常见的偏微分方程的解法。

热传导方程的解法热传导方程是描述物体在热平衡状态下的热传导过程的方程。

一种新的多维随机振动试验控制算法——矩阵微分法

ＰＤ（ｏｅｐｃｕＤｎｉ）ＣＤ（ｒｓＳｅｔｍＤｎｉ）ｐａｅａｄｃｈｒｎｅａｅｏｔｌｄａＳＰｗｒｅｔｍｅｓｙ，ＳＣｏｓｐｃｒｅｓｙ，ｈｓ，ｎｏｅｅｃｌｂｎｏｌＳｒｔｕｔｃｌｃｒｅｔ
次实现了对自功率谱密度、互谱密度、互谱相位和相干系数的同时控制，用双台振动试验模型进行了数值仿真，证明了该方法的有效性。
关键词：多维随机振动试验；控制算法；矩阵微分法
中图分类号：Ｔ５４Ｂ３文献标识码：Ａ文章编号：１０ —９９２０）５０３ —５０６３１（０８０．０８０
（北京机电工程研究所，北京１０７）００４
摘要：介绍了多维随机振动试验的应用必要性和前景，就多维随机振动试验控制算法问题进行了讨
论，提出了一种新的多维振动控制算法— — 矩阵微分法，在国内现有的公开发表的文献中该方法首
（ｅｉｇＩｓｔｔｏｌｔｒｅｈｎｃｎｉｅｒｇｅｉｇ１０７，ＣｉａＢｉｎｔｕｅｆｅｒｎｃａｉｓｇｎｅｎ，Ｂｉｎ００４ｈｎ）ｊｎｉＥｃｏＥｉｊ
ＡｂｔａｔＴｅｉｏｔｎｅａｄｆｒｇｏｎｆＭＩｓｒｃ：ｈｍｐｒｃｏｅｒｕｄｏＭＯ（ｌｐｅＩｐｔｎｕｔｌｔｕ）ｒｎｏｔｓａｎＭｕｔｌｎｕｄＭｌｐｅＯｕｐｔａｄｍｅｔｉｉａｉｓ
２００８年１０月第３５卷第５期

常系数线性齐次微分方程组的矩阵解法

常系数线性齐次微分方程组的矩阵
解法
常系数线性齐次微分方程组（LCCDE）是一类与定常差分方程组（LDE）类似的微分方程组，区别在于其中的系数是常数。

例如，LCCDE可以被表述为：
dy/dx + p_1(x)y + p_2(x)y' + ... + p_n(x)y^(n-1)=0
其中p_1(x),p_2(x),...,p_n(x)是常数。

矩阵解法是根据LCCDE来计算特解的一种解法，它基于Cramer规则对LCCDE给出解析解。

更具体地说，矩阵解法将LCCDE转换为一组线性方程组，采用矩阵乘法来求解此方程组，并将答案代入原微分方程组中，从而求得特解。

例如，考虑以下LCCDE：
dy/dx + 4y + 5y' + 6y''=0
我们可以将其转换为一组线性方程组：
a_0y+a_1y'+a_2y''=0 a_3y+a_4y'+a_5y''=0
a_6y+a_7y'+a_8y''=0
其中a_i (i=0,1,...,8)是常数，可以根据上面的LCCDE逐步求得。

然后，我们可以将上面的方程组转换为形如Ax=b的矩阵相乘方程，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是右端项向量。

矩阵相乘方程可以用Cramer规则计算得到解析解，然后将解代入原LCCDE，就可以求得特解。

02-课件：4.4 雅克比矩阵的构建(微分变换法)

z
oz az
T T
d d
x y
nx
ox
ny oy
nz oz
( p n)x ( p o)x
( p n) y ( p o) y
(p (p
n o
)z )z
d d
x y
T
d
z
ax
T T
x y
0
0
ay 0 0
az 0 0
( p a)x nx ox
( p a)y ny oy
雅克比矩阵是相对于末端坐标系构建的
T J nJ T J1 T J 2 ... T Ji ... T J n
0J
0 n
R
0
0
0 n
R
nJ
雅可比矩阵构建（微分变换法）
vx vy
v
z x
J1
y
z
J2
... J i ...
雅克比矩阵
.
q1
.
J
n
.
.
.
qn
雅可比矩阵构建（微分变换法）
T T
d d
x y
nx
ox
ny oy
nz oz
( p n)x ( p o)x
( p n)y ( p o)y
( (
p p
n o
)z )z
d d
x y
T
dz
ax
Tx 0
ay 0
az 0
( p a)x nx
( p a)y ny
(
p
a nz
)z
d
z x
T
y
0
0
0
ox
oy
oz

矩阵微分法

矩阵微分法1向量的导数: 对于n 维向量函数12()()()()Tn t e t e t e t 轾=犏臌e L(1)其对t 的导数定义为:12()()()()Tn d e t d e t d e t d t d td t d td t轾犏=犏臌e L(2)矩阵导数: ()m nt ´ÎA ¡对t 的导数定义为:()()i j m nd a t d t d td t ´轾犏=犏犏臌A(3)因此易知: ()d d d d t d td t ?A B A B (4)()d d d d td td tl l l=+A A A(5)对于两向量相乘, 易知:11()()nnTTTi i i i i i i i d a d b d d d d a b b a d td td t d t d td t==骣÷ç÷==+=+ç÷ç÷ç桫邋a ba b b a(6)而对于矩阵相乘: Ti jn l´轾=犏臌A B a b (7)易知:()T j TTii jj in ln ld d dd d d d t d t d t d t d td t´´轾轾犏犏==+=+犏犏臌犏臌b a A B A B a b b a B A(8)应用: 关于函数T e M e 对t 的导数, 其中M 为对称阵:()()2TTTTTT T TT T d d dd td td td d d d t d t d t=+骣÷ç=++÷ç÷ç÷桫=++=+eeM eM e eM e e M e M e e e M eM e e M e e M e e M ee M e &&&&&(9)特别地, 当M 为常数阵时: ()2T Td d t=e M e e M e & (10)当=M I时:()22T T Td d t=e e e e =e e&& (11)(注意: 在其他定义的矩阵求导中, 求导后需对矩阵再作转置, 但实质还是一样的, 此处不考虑.)1胡寿松, 自动控制原理第四版, 科学出版社, 2001. pp.610-611。

二阶常微分方程的解

二阶常微分方程的解二阶常微分方程是数学中常见且重要的一类方程，可以描述许多自然现象和物理问题。

解二阶常微分方程需要一定的数学知识和技巧，但掌握了解的性质和求解方法，我们就能更好地理解和应用它们。

首先，我们来研究二阶常微分方程的解的性质。

对于形如f''(x) + p(x)f'(x) + q(x)f(x) = 0的二阶常微分方程，其中p(x)和q(x)是已知函数，f(x)是未知函数，我们可以得到以下结论：1. 零解：如果f(x) ≡ 0是方程的解，那么它被称为零解。

2. 常数解：如果f(x) ≡ C是方程的解，其中C是常数，那么它被称为常数解。

3. 特征根法：对于二阶齐次线性常微分方程，我们可以通过求解特征方程来得到通解。

特征方程是通过将方程中的f(x)替换为e^(rx)，然后解得的关于r的二次方程。

特征方程的根决定了通解的形式。

4. 叠加原理：对于二阶齐次线性常微分方程，如果f1(x)和f2(x)分别是该方程的解，那么它们的线性组合C1f1(x) + C2f2(x)也是该方程的解，其中C1和C2是任意常数。

其次，我们来探讨二阶常微分方程的求解方法。

除了特征根法外，还有几种常用的方法：1. 变量分离法：将二阶常微分方程转化为两个一阶常微分方程，通过变量分离和积分求解。

2. 微分算子法：使用微分算子D = d/dx，将二阶常微分方程转化为代数方程。

3. 幂级数法：假设解可以表示为幂级数的形式，然后通过求导和代入方程来确定系数。

4. 矩阵法：将二阶常微分方程转化为矩阵形式，然后求解矩阵的特征值和特征向量。

最后，我们来看一些二阶常微分方程在实际问题中的应用。

例如，振动系统、电路和传热问题等都可以建模为二阶常微分方程。

通过求解方程，我们可以获得系统的振动频率、电流变化和温度分布等重要信息，从而对实际问题进行分析和优化。

总结起来，二阶常微分方程的解具有多样性和丰富性，我们可以通过掌握解的性质和求解方法来更好地理解和应用它们。

矩阵法求解微分方程组

矩阵法求解微分方程组在数学的世界里，有一个神奇的地方，那就是微分方程组。

听上去就像个高深莫测的术语，对吧？其实这就像一场探险，特别是用矩阵法去解这些方程的时候，简直像打开了一个新世界。

想象一下，微分方程组就像一群小朋友在操场上追逐打闹，每个小朋友都有自己的个性和特点，他们有时候会一起玩，有时候又会分开。

但是一旦我们用矩阵这个大玩具把他们聚在一起，哇，事情就变得简单多了。

咱们得搞清楚什么是矩阵。

矩阵就像是一张表格，上面摆满了数字。

看上去有点复杂，其实它就像我们每天用的购物清单，只不过这里面装的不是苹果和香蕉，而是方程的系数。

对了，矩阵的每一行每一列都可以看作是微分方程组中的一个方程，简直是一目了然。

用矩阵把这些方程整理在一起，就像把那些小朋友们排成整齐的队伍，马上就显得有条理多了。

我们来聊聊如何用矩阵法求解这个微分方程组。

步骤其实不复杂。

把方程转化成矩阵的形式。

听上去好像是个数学魔法，其实就是把各个方程的系数和变量按照一定的规则摆在一起。

比如，假设你有两个方程，像“y' = 2x + 3”和“z' = 4y + 5”，那么就可以把它们整理成一个大矩阵。

这样，咱们就把问题浓缩成了一张图表，看着舒服多了。

矩阵法的“主角”就是特征值和特征向量。

说到特征值，那可是个大咖！它决定了整个系统的行为。

特征值就像是那些小朋友的性格，有的活泼好动，有的安静内敛。

不同的特征值会导致方程组的解有不同的表现，就像小朋友们的游戏风格，千奇百怪，各有特色。

通过计算特征值，我们可以了解到系统的长远趋势，是朝着繁荣昌盛的方向，还是走向凋零的边缘。

然后，咱们还得求解特征向量。

这个过程就像是在找合适的搭档，谁和谁在一起最默契。

特征向量能告诉我们，如何从特征值出发，找到具体的解。

也就是说，特征向量会为我们指明道路，让我们在解的海洋中找到方向。

通过这些特征值和特征向量的组合，我们就能把微分方程组的解找出来，真是令人惊喜！如果你觉得这些步骤听上去太复杂，不用担心，实际操作起来并没有想象中那么麻烦。

伪谱法配点、权重和微分矩阵

对课堂热身的看法
课堂热身是教学过程中非常重要的环节，对于提高课堂教学效果具有积极的作用。

通过热身活动，可以迅速吸引学生的注意力，激发他们的学习兴趣，帮助他们更好地投入到课堂学习中。

热身活动应该具备以下特点：
1.韵律感强，互动性高：热身活动应具备较强的韵律感，让学生在轻松愉快的氛围中参与其中。

同时，互动性高的活动有助于增强学生之间的合作与交流，提高课堂活力。

2.有一定的知识性：热身活动应与课堂学习内容有一定的关联，可以帮助学生复习旧知识，为新知识的学习做好铺垫。

3.易于准备和操作：热身活动应简单易行，不需要过多的教具和设备，教师可以轻松地组织和实施。

4.充分调动学生的感官：热身活动应通过多种形式，如唱歌、游戏、讲故事等，充分调动学生的视觉、听觉、触觉等多种感官，激发他们的学习兴趣。

5.适度控制时间：热身活动的时间应适中，不宜过长或过短。

过长的热身活动会占用过多的课堂时间，而过短的热身活动则无法达到预期的效果。

综上所述，课堂热身对于提高课堂教学效果具有重要意义。

教师应根据学生的年龄特点、兴趣爱好和课堂内容，合理设计和组织热身活动，使之成为课堂教学的精彩开场。

1。

用矩阵函数方法求微分方程

用矩阵函数方法求微分方程微分方程是自然科学和工程学科中经常遇到的问题，求解微分方程的方法有很多种，其中一种是使用矩阵函数的方法。

在这篇文章中，我们将介绍如何使用矩阵函数来求解微分方程，并通过一个具体的例子来说明此方法的应用。

矩阵函数的方法是一种求解常微分方程组的有效方法，它将微分方程组转化为矩阵的形式，然后通过对矩阵求解其特征值和特征向量来得到微分方程组的解。

首先，让我们考虑一个一阶线性微分方程组的例子：(1) dx/dt = Ax其中x是一个n维向量，A是一个n×n矩阵。

我们可以将该微分方程组表示为矩阵形式：(2) dX/dt = AX其中X是一个n×n矩阵，A是一个n×n矩阵。

为了求解这个微分方程组，我们首先将X和A分解为特征值和特征向量的形式：(3)A=PDP^-1其中D是一个对角矩阵，其对角线上的元素是矩阵A的特征值，P是一个矩阵，其列向量是矩阵A的特征向量。

将方程(3)代入方程(2)中，得到：(4) dX/dt = PDP^-1X我们令Y=P^-1X，那么方程(4)可以进一步转化为：(5) dY/dt = DY这是一个非常简单的微分方程组(6)Y(t)=e^(Dt)Y(0)其中e^(Dt)是一个对角矩阵，其对角线上的元素是特征值e^λt，Y(0)是初始条件。

最后，我们将Y(t)代入方程(5)得到X(t)：(7)X(t)=Pe^(Dt)Y(0)综上所述，我们使用矩阵函数的方法求解微分方程组的步骤如下：首先，将微分方程组表示为矩阵形式；然后，求解矩阵的特征值和特征向量；最后，将特征值和特征向量代入矩阵函数公式中求解微分方程组的解。

通过以上的介绍，我们可以看出矩阵函数的方法是一种求解微分方程组的非常有效的方法，它利用了矩阵的特征值和特征向量的性质来简化微分方程组的求解过程。

在实际应用中，我们可以通过计算机编程来实现矩阵函数的方法，以求解复杂的微分方程组。

总之，矩阵函数的方法是一种求解微分方程组的重要方法，它可以简化求解过程并得到准确的解。

矩阵微分方程的解法

矩阵微分方程的解法一般的矩阵微分方程可以写成如下形式：$$\frac{d\mathbf{Y}}{dt}=\mathbf{A}(t)\mathbf{Y}(t)+\mathbf {F}(t)$$其中$\mathbf{Y}(t)$是$n$维列向量，$\mathbf{A}(t)$是$n\times n$的矩阵，$\mathbf{F}(t)$是$n$维列向量。

解法如下：1. 求解齐次微分方程$$\frac{d\mathbf{Y}}{dt}=\mathbf{A}(t)\mathbf{Y}(t)$$先求得$\mathbf{A}(t)$的本征值和本征向量，设$\mathbf{X}(t)$是使得$\mathbf{A}(t)\mathbf{X}(t)=\lambda(t)\mathbf{X}(t)$成立的$n$维列向量，则通解为：$$\mathbf{Y}(t)=\sum_{i=1}^nc_i\mathbf{X}_i(t)e^{\int\lambda_i(t)dt}$$其中$c_i$是常数，$\mathbf{X}_i(t)$是满足$\mathbf{A}(t)\mathbf{X}_i(t)=\lambda_i(t)\mathbf{X}_i(t)$的归一化本征向量，$\lambda_i(t)$是本征值。

2. 求解非齐次微分方程将上一步的通解代入微分方程，得到：$$\sum_{i=1}^nc_i\left(\frac{d\mathbf{X}_i(t)}{dt}e^{\int\lambda_i(t)dt}+\mathbf{X}_i(t)e^{\int\lambda_i(t)dt}\lambda_i(t)\right)=\mathbf{F}(t)$$解得$c_i$，带入通解即可得到矩阵微分方程的解。

第四章_微分运动和雅可比矩阵

雅可比矩阵的求解（矢量积法）：
Jli的求法： (1) 第i关节为移动关节时
qi di
qi di
仅平移关节产生的线速度
设某时刻仅此关节运动、其余的关节静止不动，则：
ve JLiqi
设bi-1为zi-1轴上的单位矢量，利用它可将局部坐标下的平移速度di转换成基础坐标下的速度：
ve bi1d i
例：斯坦福六自由度机器人除第三关节为移动关节外，其余5个关节为转动关节。此处用微分法计算 TJ(q)
d2[c2(c4c5c6 s4s6)s2s5c6]s2d3(s4c5c6 c4s6) d2[c2(c4c5s6 s4c6)s2s5s6]s2d3(s4c5s6 c4c5)
T J1
d2(c2c4s5 s2c5)s2d3s4s5 s2(c2c4s6 s4s6)c2s5c6
s2(c2c4s6 s4c6)c2s5s6
s2c4s5 c2c5
d 3(c4c5c6 s4s6 )
d
3 (c4c5c6
s
4
c
6
)
T4c6
s4s5
s5c6
s5s6
T J3
c5 0
0
0
4.1 雅可比矩阵的定义
把机器人关节速度向量 q i 定义为：
q[q1 q2
qn]T
式中， qi(i=1,2,...,n) 为连杆i相对i-1的角
速度或线速度。
手抓在基坐标系中的广义速度向量为：
V[x y z x y z]T
式中， v为线速度，ω为角速度分量。
从关节空间速度向操作空间速度映射的线性关系称为雅可比矩阵，记为J，即：
三维空间运行的机器人，其J阵的行数恒为6(沿/绕

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矩阵微分法在现代控制理论中，经常会遇到矩阵的微分（导数），如对表达式d d AB来说，由于A 和B 都可能是数量、向量或矩阵，可代表九种不同的导数。

除数量函数对数量变量的导数外，还剩下八种。

下面分别介绍八种导数的定义和运算公式。

一、相对于数量变量的微分（自变量是数量变量，如时间t ）定义1 对于n 维向量函数[]12()()()......()Tn t a t a t a t = a定义它对t 的导数为12()()()()Tn d a t d a t d a t d t dt dtdt dt ⎡⎤⎢⎥⎣⎦a ……… （1－1）定义2 对于n × m 维矩阵函数1112112()()()()()()()()n i j nm n n nn a t a t a t t a t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎡⎤= =⎢⎥⎣⎦⎢⎥ ⎣⎦A定义它对t 的导数为1111212()()()()()()()()Tn i j n m n nn n da t da t da t dt dt dt da t d t dt dt da t da t da t dt dt dt ⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎡⎤ =⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ A ………（1－2）我们不难看出，上述两个定义是一致的。

当矩阵A (t) 退化为向量a (t)时，定义2就变为定义1。

再退一步讲，当向量a (t) 退化为数量函数a (t)时，定义1就变为一般的导数定义。

这说明这样定义是合理的，是统一的。

根据上述的两个定义，我们还可以推出下列的运算公式{}()()()()d d t d t t t dt dt dt ±=±A B A B ………（1－3） {}()()()()()()d d t d t t t t t dt dt dt⋅=⋅+⋅A A A λλλ ………（1－4） (t )λ——为变量t 的数量函数{}()()()()()()d d t d t t t t t dt dt dt⋅=⋅+⋅A B A B B A ………（1－5）这些公式都很容易证明，现证明最后一式（1－5），设矩阵A (t) 和B (t) 分别为n ×m 和m ×l 矩阵证：11121112()()()()()()()()()T n T n n nm n a t a t a t t t a t a t a t t ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥= = ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a A a[]111211212()()()()()()()()()()m m m b t b t b t t t t t b t b t b t ⎡⎤ ⎢⎥= = ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦B b b b1111()()()()()()()()()()()()T TTi j n T T n n t t t t t t t t t t t t ⎡⎤ ⎢⎥⎡⎤⋅= =⋅⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦a b a b A B a b a b a b从而根据矩阵导数定义2，有[]()()()()()()()()()()()()Ti j n T j Ti j i n d d t t t t dt dtd t d t d t d t t t t t dtdt dt dt ⎡⎤⋅=⋅⎣⎦⎡⎤ =⋅+⋅=⋅+⋅⎢⎥⎣⎦A B a b b a A B b a B A证毕例1：求T X A X 对t 的导数，其中1()()n x t x t ⎡⎤⎢⎥= ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ X 1111n n n n a a a a ⎡⎤⎢⎥= ⎢⎥⎢⎥⎣⎦A —— 对称常系数矩阵解()[]()2d d d dt dt dtd d d dt dt dt ⋅⋅⋅=⋅+⋅ =⋅+⋅⋅ =⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅ =+ = T X A X X A X A X X X A XA X X X A XA X X A X X A X X A X X AXX AX X AX T TT T T T T T T T T T +=()即2T T d ()dt=X A X X A X ………（1－6）注：T XA X 和T X A X 都是数量函数且A 为对称阵，它们等于自己的转置。

习题1．若 12 ⎡⎤=⎢⎥2 1⎣⎦A 12()()x t x t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦X 证明上式。

2．若 1 1⎡⎤=⎢⎥2 1⎣⎦A 12()()x t x t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦X 证明上式。

3．若 1 0⎡⎤=⎢⎥0 1⎣⎦A 12()()x t x t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦X 求 []T d X A X dt二、相对于向量的微分（自变量是向量X ）1、数量函数的导数设函数 12 ()(,,,)n f f x x x =X 是以向量X 为自变量的数量函数，即以n 个变量 x i 为自变量的数量函数。

定义3我们将列向量 1n f x f x ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦叫做数量函数f 对列向量X 的导数，记作1n f x dff f d f x ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥= ∇⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦grad X12T n df f f f d x x x ⎡⎤∂∂∂=⎢⎥∂∂∂⎣⎦X例2．求函数22212 ()T nf x x x =+++ X X X = 对X 的导数解：根据定义1112222n n n f x x x df d f x x x ∂⎡⎤⎢⎥∂⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥= = = =⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦X X 即 ()2T d d =X X X X ………（1－7）2、向量函数的导数设函数 1()()()m a a ⎡⎤⎢⎥= ⎢⎥⎢⎥⎣⎦X a X X ， 12()T n x ,x ,,x =X定义4 n ×m 阶矩阵函数1111()()()()()m T j i nmm n n a a x x a d x d a a x x ∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥∂⎡⎤ ==⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦X X a X X X X ………（1－8）称之为m 维向量函数T ()a X 对n 维列向量X 的导数。

m ×n 阶矩阵函数1111()()()()()m n i Tj m nm n a a x x a d x d a a x x ∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥⎡⎤∂⎢ ⎥==⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦X X a X X X X ………（1－9）称之为m 维向量函数()a X 对n 维横向量X T 的导数。

从定义可看出 ()()T T d d d d ≠a X a X X X ()()TT T d d d d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a X a X X X……（1－10）若()a X 和()b X 是m 维列向量函数，()λX 是数量函数，X 是m 维列向量，有以下3个运算公式[()()]()()T T T T d d d d d d ±=±a X b X a X b X X X X加法运算公式……（1－11）[()()]()()()()T T T d d d d d d λλλ=⋅+⋅X a X X a X a X X X X X 数乘运算公式……（1－12）[()()]()()()()T T T d d d d d d ⋅=⋅+⋅a X b X a X b X b X a X X X X乘法运算公式……（1－13）证明最后一个公式，前两个公式请同学们根据定义去证明。

证：为简明起见隐去X111()[()()]()()T T T T T T T i i i T T T n n n x x x d d x x x x x x ⎛⎫∂∂⎛⎫∂⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪∂∂∂ ⎪⋅==⋅+⋅⎪∂∂∂ ⎪⎪⎪∂∂∂ ⎪⋅+⋅ ⎪ ∂∂∂⎝⎭⎝⎭a b b a a b a b a X b X a b b a X a b a b b a11()()()()T T TT T T ii TT nn x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎫∂∂⋅+⋅⎪∂∂ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂ ⎪ =⋅+⋅=⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂ ⎪⎪ ⎪∂∂ ⎪⋅+⋅ ⎪∂∂⎝⎭a a b b aa a X a Xb b b X b X X Xa ab b 证毕例3：求 ??TTd d d d = =X X XX其中X 为n 维列向量解：根据定义411()()()n m x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥= = ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a X a X a X 11111111()()1()()()n n Tn nn n n n a a x x x x x x d d a a x x x x x x ∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤ 0 0⎡⎤⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥0 1 0⎢⎥= = ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥0 0 1⎣⎦⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦X X a X I X X X即Td d =XI X……（1－14）同理 Td d =X I X注意：移乘作除要加转置 ……（1－15）例4：求()T dd X A XX —— n 维列向量，A —— n ×m 维常数阵解：设[]12m = A a a a ，i a =T 12[]i i ni a ,a ,,a 为n ×1列向量因此 12T T T Tm ⎡⎤= ⎣⎦X A X a X a X a根据定义()()()()12T T T T m d d d d d d d d ⎡⎤= ⎢⎥⎣⎦X A X a X a X a X X X X 其中每一个列向量()T T Ti i i i d d d d d d =⋅+⋅a X X a a X =a XX X因此有()[]12T m dd = =X A a a a A X……（1－16）推论：若A 为n ×n 方阵，有 ()T dd =T T X A A X……（1－17）例5：求()Tdd BX X X —— n 维列向量， B —— m ×n 矩阵解：设 12m T T T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ b b B =b 则 12m T T T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦b X b X BX =b X类似可得：()Tdd BX =B X ……（1－18）例6：求二次型T X AX 对X 的导数，A 为对称方阵解：根据乘法运算公式（1－13）()()()()()2TT TT T T T d d d d d d d d =+⋅A X X X A X A X X X X XX A =A X +X =A X +A X X=A+A X =A X即()2T dd X A X =A XX……（1－19）根据（1－10）式 ()()TTT d d d d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a X a X X X →→ ()()TT T d d d d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a X a X X X （两边同取转置）有 ()()[2]TT TTTT d d d d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦X A X =X A X A X =2X AX X例7：求函数T AX λ对X 的导数，其中T λ—— 1×n 行向量，A —— n ×n 常数阵，X —— n 维列向量解：()()()TTTT T TT T T d d d d ==AX =AX X A AX =X A A X Xλλλλλλ 因为T AX λ是标量，所以它与它的转置相等例8：求方程AX =b 的最小范数的平方解，其中A 是m ×n 阶常数矩阵，其秩为m(m<n), b 为m ×1常数列向量。