矩阵微分法
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矩 阵 微 分 法
在现代控制理论中，经常会遇到矩阵的微分（导数），如对表达式
d d A
B
来说，由于A 和B 都可能是数量、向量或矩阵，可代表九种不同的导数。除数量函数对数量变量的导数外，还剩下八种。下面分别介绍八种导数的定义和运算公式。
一、 相对于数量变量的微分（自变量是数量变量，如时间t ）
定义1 对于n 维向量函数
[]12()()()......()T
n t a t a t a t = a
定义它对t 的导数为
12()()
()()T
n d a t d a t d a t d t dt dt
dt dt ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
a ……… （1－1）
定义2 对于n × m 维矩阵函数
1112112()()()()()()()()n i j nm n n nn a t a t a t t a t a t a t a t ⎡⎤
⎢⎥⎡⎤= =⎢⎥⎣⎦⎢⎥ ⎣⎦
A
定义它对t 的导数为
1111212()()()()()()()()T
n i j n m n n
n n da t da t da t dt dt dt da t d t dt dt da t da t da t dt dt dt ⎡⎤ ⎢⎥⎢
⎥⎡⎤ =⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣
⎦ A ………（1－2）
我们不难看出，上述两个定义是一致的。当矩阵A (t) 退化为向量a (t)时，定义2就变为定义1。再退一步讲，当向量a (t) 退化为数量函数a (t)时，定义1就变为一般的导数定义。这说明这样定义是合理的，是统一的。
根据上述的两个定义，我们还可以推出下列的运算公式
{}()()
()()d d t d t t t dt dt dt ±=
±A B A B ………（1－3） {}()()
()()()()d d t d t t t t t dt dt dt
⋅=
⋅+⋅A A A λλλ ………（1－4） (t )λ——为变量t 的数量函数
{}()()
()()()()d d t d t t t t t dt dt dt
⋅=
⋅+⋅A B A B B A ………（1－5） 这些公式都很容易证明，现证明最后一式（1－5），设矩阵A (t) 和B (t) 分别为n ×m 和m ×l 矩阵
证：
11121112()()()()()()()()()T n T n n nm n a t a t a t t t a t a t a t t ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥
= = ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
a A a
[]111211212()()()()()()()()()()m m m b t b t b t t t t t b t b t b t ⎡⎤ ⎢⎥= = ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦
B b b b
1111()()()()()()()()()()()()T T
T
i j n T T n n t t t t t t t t t t t t ⎡⎤ ⎢⎥⎡⎤⋅= =⋅⎢⎥⎣⎦⎢⎥
⎣⎦
a b a b A B a b a b a b
从而根据矩阵导数定义2，有
[]()()()()()()()()()()()()T
i j n T j T
i j i n d d t t t t dt dt
d t d t d t d t t t t t dt
dt dt dt ⎡⎤⋅=⋅⎣⎦⎡⎤ =⋅+⋅=
⋅+⋅⎢⎥⎣⎦
A B a b b a A B b a B A
证毕
例1：求T X A X 对t 的导数，其中
1()()n x t x t ⎡⎤
⎢⎥= ⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ X 1111n n n n a a a a ⎡⎤⎢⎥= ⎢⎥⎢⎥⎣⎦
A —— 对称常系数矩阵 解
()[]()2d d d dt dt dt
d d d dt dt dt ⋅⋅⋅=⋅+⋅ =⋅+⋅⋅ =⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅ =+ = T X A X X A X A X X X A X
A X X X A X
A X X A X X A X X A X X AX
X AX X AX T T
T T T T T T T T T T +=()
即
2T T d ()dt
=X A X X A X ………（1－6） 注：T X
A X 和T X A X 都是数量函数且A 为对称阵，它们等于自己的转置。
习题
1．若 12 ⎡⎤
=⎢⎥2 1⎣⎦A 12()()x t x t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦X 证明上式。 2．若 1 1⎡⎤
=⎢⎥
2 1⎣⎦A 12()()x t x t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦X 证明上式。 3．若 1 0⎡⎤=⎢⎥0 1⎣⎦
A 12()()x t x t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦X 求 []T d X A X dt
二、 相对于向量的微分（自变量是向量X ）
1、数量函数的导数
设函数 12 ()(,,,)n f f x x x =X 是以向量X 为自变量的数量函数，即以n 个变量 x i 为自变量的数量函数。
定义3
我们将列向量 1n f x f x ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥
⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦
叫做数量函数f 对列向量X 的导数，
记作
1n f x df
f f d f x ∂⎡⎤
⎢⎥∂⎢⎥= ∇⎢⎥⎢⎥
∂⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦
grad X
1
2T n df f f f d x x x ⎡⎤∂∂∂=⎢⎥∂∂∂⎣⎦X
例2．求函数222
12 ()T n
f x x x =+++ X X X = 对X 的导数 解：根据定义