中考数学复习：轴对称

中考数学复习：轴对称

成轴对称的两个图形全等；如果两个图形关于某条直线对称，那么对成轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．通常所说的翻折实质上就是轴对称变换．图形沿着某条直线翻折，这条直线即为对称轴，利用轴对称的性质，再借助方程的知识就能很快解决问题．

例题讲解

例1 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为点E，连接BE、DE，其中DE交直线AP于点F．

（1）如图1，若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；

（2）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示AE、FE、FD之间的数量关系，并证明；

解（1）如图3，连接AE，则∠PAE＝∠PAB＝20°，AE＝AB．

Θ四边形ABCD为正方形∴∠BAD＝90°，AB＝AD∴∠EDA＝130° ∴∠ADF＝25°（2）如图4，连接AE，BF，BD，由轴对称知EF＝BF，AE＝AB＝AD

∴∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，∴∠BFD＝∠BAD＝90° ∴BF2＋FD2＝BD2∴EF2＋FD2＝2AB22

例 2 菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？

小明发现：若∠ABC＝60°，

①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为_________；

②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长_________（填“改变”或“不变”）．

请帮助小明解决下面问题：

如果菱形纸片ABCD 边长仍为2，改变∠ABC 的大小，折痕EF 的长为m ．

（1）如图3，若∠ABC ＝120°，则六边形AEFCHG 的周长为_________；

（2）如图4，若∠ABC 的大小为α2，则六边形AEFCHG 的周长可表示为________．

答案：（1）①6；②不变；（2）324 ；4＋4sin ．

（1）如图1，因为EF ＝AB ＝FC ＝CH ＝AG ＝GH ＝1，所以周长为6．

如图2，因为△EBF 、△GHD 为等边三角形，所以EF ＝BE ，GH ＝GD

因为四边形FCDG 、AEHD 为平行四边形，所以FC ＝GD ＝DH ＝AE ，同理可得CH ＝BE ＝AG 所以周长不变

（2）当∠ABC ＝120°时，EP ＝BE 3，GH ＝GD 3．

因为AE ＝DH ＝DG ＝FC ，AG ＝BF ＝BE ＝CH

所以六边形AEFCHG 的周长为AB ＋AD ＋BE 3＋GD 3＝4＋23．

当∠ABC ＝2α时，EF ＝2BE sin α，，GH ＝2DGE sin α

所以六边形AEFCHG 的周长为4＋4sin α

例3 有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN （如图2）．请解答以下问题：

（1）如图2，若延长MN 交BC 于P ，△BMP 是什么三角形？请证明你的结论；

（2）在图2中，若AB ＝a ，BC ＝b ，a 、b 满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD 上剪出符合

（1）中结论的三角形纸片BMP ？

（3）设矩形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝4，并建立如图3所示的直角坐标系．设直线BM ′为y ＝kx ，当∠M ′BC ＝60°时，求k 的值，此时，将△ABM ′沿BM ′折叠，点A 是否落在EF 上（E 、F 分别为AB 、CD 中点），为什么？

解：（1）△BMP 是等边三角形

连接AN

∵EF 垂直平分AB ，

∴AN ＝BN

由折叠知AB ＝BN ，

∴AN ＝AB ＝BN ，

∴△ABN 为等边三角形，

∴∠ABN ＝60°

∴∠PBN ＝30°

又∵∠ABM ＝∠NBM ＝30°，∠BNM ＝∠A ＝90°，

∴∠BPN ＝60°，∠MBP ＝∠MBN ＋∠PBN ＝60°

∴∠BMP ＝60°，

∴∠MBP ＝∠BMP ＝∠BPM ＝60°

∴△BMP 为等边三角形．

（2）要在矩形纸片ABCD 上剪出等边△BMP ，则BC ≥BP

在Rt△BNP 中，BN ＝BA ＝a ，∠PBN ＝30° ∴

∴

∴b a 23≤ 所以当b a 23≤

时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP ．tan （3）∵∠M ′BC ＝60°，

∴∠ABM ′＝90°－60°＝30°

在Rt△ABM ′中，AB M A M AB '='∠tan ∴

∴

∴M ’（332，2），代入y ＝kx 中，得33

3

22==k 设△ABM ′沿BM ′折叠后，点A 落在矩形ABCD 内的点为A ′，过A ′作A ′H ⊥BC 交BC 于H ∵△A ′BM ′≌△ABM ′，

∴∠A 'BM '＝∠ABM '＝30°，A ′B ＝AB ＝2

∴∠A 'BH ＝∠M 'BH －∠A 'BM '＝30°

在Rt△A ′BH 中，A ′H ＝21AB ＝1，BH ＝3 ∴

∴A ′落在EF 上．

进阶训练

1．已知：在菱形ABCD 中，∠ADC ＝120°，E 是对角线AC 上一点，连结DE ，∠DEC ＝50°，将线段BC 绕点B 逆时针旋转50°并延长得到射线BF ，交ED 的廷长线于点G ．求证：EG ＝B C ．

2．如图，有一矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝17，将此矩形纸片折叠，使顶点A 落在BC 上的A '处，折痕所在直线同时经过边AB ，AD （包括端点），设BA '＝x ，则x 的取值范围是______．

3．如图，将正方形ABCD 翻折，使点B 落在CD 边上点E 处（不与C ，D 重合），压平 后得到折痕MN ．设n CD CE 1=，则___________=BN

AM （用含n 的式子表示）．