高考数学_极点、极线与圆锥曲线的位置关系
2025新高考数学一轮复习极点与极线教案课件
知识拓展
定理 2：若点 P(x0，y0)是曲线外的一点，过 P(x0，y0)作曲线的两条切线， 切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程分别是 y0y＝p(x＋x0)，xa02x＋yb02y＝1， xa02x－yb02y＝1.
知识拓展
4.极点和极线的作图(几何意义) 如图所示(以椭圆图形为例)，若点P是不在圆 锥曲线上的点，且不为原点O，过点P作割线 PAB、PCD依次交圆锥曲线于A，B，C，D 四点，连接直线AD，BC交于点M，连接直 线AC，BD交于点N，则直线lMN为极点P对应 的极线.
板块五 平面解析几何
知识拓展
1.极点和极线的代数定义 已知圆锥曲线 Γ：Ax2＋2Bxy＋Cy2＋2Dx＋2Ey＋F＝0，P(x0，y0)(非中心)和直 线 l：Ax0x＋B(x0y＋y0x)＋Cy0y＋D(x0＋x)＋E(y0＋y)＋F＝0，则称点 P(x0，y0) 是直线 l 关于圆锥曲线 Γ 的极点，直线 l 称为 P 点关于曲线 Γ 的极线. 以上代数定义表明，在圆锥曲线方程中，以x0y＋2 y0x替换 xy，以 x0x 替换 x2， 以x0＋2 x替换 x(另一变量 y 也是如此)，即可得到点 P(x0，y0)关于曲线 Γ 的极线 方程.
易错提醒
解题的关键是发现点A(a，b)与直线l：ax＋by－r2＝0互为关于圆C的 极点、极线.
训练2
已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)，点 P(x0，y0)，x0＝acos α，y0＝bsin α，则直线
l：xa02x＋yb02y＝1 与椭圆的位置关系是
A.相交
√B.相切
C.相离
D.以上皆有可能
12345678
3.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的 方程为
圆锥曲线极点极线定理
圆锥曲线极点极线定理圆锥曲线极点极线定理1. 引言圆锥曲线是平面解析几何中的重要概念之一，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在研究圆锥曲线的性质时，极点和极线是不可避免的概念。
本文将介绍圆锥曲线的极点极线定理，该定理是描述圆锥曲线中极点和极线之间关系的重要结论。
2. 极点和极线的定义在平面直角坐标系中，设有一条直线L和一个点P(x0,y0)。
若从P到L上每一点所引的直线与L垂直，则称P为L的极点，L为P的极线。
3. 圆锥曲线的定义设有一个平面内固定点F（称为焦点）和一条固定直线d（称为准线）。
对于任意一点P，分别以PF和PD（D为d上任意一点）为半径作两个圆，并将这两个圆相切于P处。
则所有这样的P所构成的集合称为圆锥曲线。
4. 圆锥曲线中极点与极轴间关系对于任意一条圆锥曲线，设其焦点为F，准线为d，P为任意一点，则有以下结论：（1）若P在焦点F上，则其极线为准线d；（2）若P在准线d上，则其极线为过该点且垂直于准线的直线；（3）若P不在焦点F和准线d上，则其极轴为PF的中垂线。
5. 圆锥曲线中极轴与极径间关系对于任意一条圆锥曲线，设其焦点为F，准线为d，O为坐标系原点，则有以下结论：（1）若O在焦点F上，则其极径是任意一条过O的直线；（2）若O在准线d上，则其极径是与准线垂直且经过O的直线；（3）若O不在焦点F和准线d上，则其极径是从O出发经过圆锥曲线上任意一点P的直线。
6. 圆锥曲线中两个互异的定理对于任意一条圆锥曲线，设其焦点为F，准线为d，P(x,y)为任意一点。
则有以下两个互异的定理：（1）以FP和PD分别为半径的两个圆相交于点P，则P在圆锥曲线上；（2）以FP和PD分别为半径的两个圆相切于点P，则P在圆锥曲线上。
7. 结论综上所述，圆锥曲线极点极线定理是描述圆锥曲线中极点和极线之间关系的重要结论。
在研究圆锥曲线的性质时，该定理具有重要意义。
2024全国高考真题数学汇编：直线与圆锥曲线的位置关系
2024全国高考真题数学汇编直线与圆锥曲线的位置关系一、多选题1．（2024全国高考真题）抛物线C ：24y x 的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y ⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQC ．当||2PB 时，PA ABD ．满足||||PA PB 的点P 有且仅有2个二、填空题2．（2024北京高考真题）若直线 3y k x 与双曲线2214xy 只有一个公共点，则k 的一个取值为．三、解答题3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024上海高考真题）已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b左右顶点分别为12,A A ，过点 2,0M 的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e 时，求b 的值．(2)若2b MA P△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P，求b 的取值范围．参考答案1．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x ，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB 先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k 是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF ，于是问题转化成PA PF 的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x 的准线为=1x ，A 的圆心(0,4)到直线=1x 的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ，则P 的纵坐标4P y ，由24PP y x ，得到4P x ，故(4,4)P ，此时切线长PQ ，B 选项正确；C 选项，当2PB 时，1P x ，此时244P P y x ，故(1,2)P 或(1,2)P ，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B ，42201PA k ，4220(1)AB k，不满足1PA AB k k ；当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B ，4(2)601PA k ，4(2)60(1)AB k，不满足1PA AB k k ；于是PA AB 不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF ，这里(1,0)F ，于是PA PB 时P 点的存在性问题转化成PA PF 时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22，AF 中垂线的斜率为114AF k，于是AF 的中垂线方程为：2158x y，与抛物线24y x 联立可得216300y y ，2164301360 ，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF ，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t，由PB l 可得 1,B t ，又(0,4)A ，又PA PB ，214t ，整理得216300t t ，2164301360 ，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD2．12（或12，答案不唯一）【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立 22143x y y k x，化简并整理得： 222214243640k x k x k ，由题意得2140k 或 2222Δ244364140k k k ，解得12k 或无解，即12k ，经检验，符合题意.故答案为：12（或12，答案不唯一）.3．(1)2221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为2e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)b(2) 2,P(3)【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线:2l x my ，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【详解】（1）由题意得21c ce a，则2c，b （2）当b 时，双曲线22Γ:183y x ，其中 2,0M ， 21,0A ，因为2MA P △为等腰三角形，则①当以2MA 为底时，显然点P 在直线12x 上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；②当以2A P 为底时，23MP MA 设 ,P x y ，则2222318(2)9y x x y ,联立解得2311x y或2311x y10x y ，因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知2MP MA ，矛盾，舍去）；③当以MP 为底时，223A P MA ，设 00,P x y ，其中000,0x y ，则有 2200220019183x y y x，解得002x y，即 2,P ．综上所述： 2,P .（3）由题知 121,0,1,0A A ，当直线l 的斜率为0时，此时120A R A P，不合题意，则0l k ，则设直线:2l x my ，设点 1122,,,P x y Q x y ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ，根据双曲线对称性知 22,R x y ，联立有22221x my y x b222221430b m y b my b ，显然二次项系数2210b m ，其中 22222422Δ44134120mb b m b b m b ，2122241b my y b m ①，2122231b y y b m ②，1222111,,1,A R x y A P x y，则 122112111A R A P x x y y，因为 1122,,,P x y Q x y 在直线l 上，则112x my ，222x my ，即 2112331my my y y ，即 2121213100y y m y y m ，将①②代入有 2222222341310011b b mm m b m b m ，即 2222231341010b m m b m b m 化简得2223100b m b ，所以22103m b,代入到2210b m ,得221031b b ,所以23b ,且221030m b，解得2103b ，又因为0b ，则21003b ，综上知， 2100,33,3b，b．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设:2l x my ，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.。
高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线
高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线在高中数学的学习中，圆锥曲线是一个比较复杂但又非常重要的内容。
其中，极点与极线是圆锥曲线中一个较为抽象但又极具深度的概念。
在本文中，我们将深入探讨高中数学中关于极点与极线的技巧，并通过具体的例子来帮助大家更好地理解和运用这一知识。
极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。
在接下来的内容中，我们将从简单到复杂，由浅入深地介绍极点与极线的相关知识，让大家能够更直观地理解这一概念。
让我们从极点的定义和性质入手。
极点是在圆锥曲线上的一个特殊点，它具有一定的性质和特点。
在直角坐标系中，对于椭圆、双曲线和抛物线而言，这些曲线上都存在极点。
具体来说，在椭圆和双曲线上，极点是无限远处的点，而在抛物线上，极点是定点。
通过对极点的性质进行深入了解，我们可以更好地应用这一知识解决问题。
让我们了解极线的概念及其性质。
极线是与极点对应的直线，它们之间存在着一定的几何关系。
在椭圆和双曲线的情况下，极线是通过极点并且与曲线相切的直线，而在抛物线的情况下，极线是通过极点并且与对称轴垂直的直线。
通过对极线的性质进行深入研究，我们可以更好地掌握圆锥曲线相关问题的解题技巧。
接下来，让我们通过实例来详细讨论极点与极线的应用技巧。
以椭圆曲线为例，假设我们需要确定椭圆上关于极点和极线的一些特定问题。
在解题过程中，我们可以先确定椭圆的极点，然后求出与极点相关的极线方程，进而利用极线的性质来解决具体的问题。
通过实例的具体讲解，我们可以更好地理解并掌握极点与极线的运用技巧。
总结回顾一下，极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。
通过对极点与极线的深入讨论和实例分析，我们能够更全面、深刻和灵活地理解这一知识，并运用于实际问题中。
对于我个人来说，极点与极线的学习过程不仅仅是对圆锥曲线知识的掌握，更是对数学思维和解题能力的提升。
线与圆锥曲线的位置关系(八大题型)(课件)-2025年高考数学一轮复习(新教材新高考)
−
，两式相减得
+ −
+
−
+
=
+
−
=
− ，故
=
−
=
知识梳理·基础回归
知识点3：点差法
（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线
, ，则 =
= 1，①
= 1②
①-②得
1 +2 1 −2
16
+
1 +2 1 −2
12
= 0，
−
3
1
2
∵ 1 + 2 = 4，1 + 2 = 2，∴ = − = − 2，
1
∴此弦所在的直线方程为 − 1 =
【方法技巧】
点差法
3
− (
2
2
− 2)，即3 + 2 − 8 = 0．
2
2
2
【解析】当 ≥ 0时，曲线 −
= 1，即 − =
9
4
9
4
3
一条渐近线方程为： = 2 ，直线与渐近线平行；
当 <
2
0时，曲线
9
−
4
=
2
1，即
9
2
+
4
画出曲线和直线的图像，如图所示：
根据图像知有2个公共点．
故选：B
1，双曲线右半部分；
= 1，椭圆的左半部分；
）．
题型突破·考法探究
16
弦所在的直线方程为
2
+
12
圆锥曲线中的极点极线
圆锥曲线中的极点极线一、引言圆锥曲线是平面上的一类重要的几何图形，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在这些曲线中，极点和极线是非常重要的概念。
本文将介绍圆锥曲线中的极点和极线，包括定义、性质和应用。
二、定义1. 极点：在平面直角坐标系中，对于一个圆锥曲线C，如果存在一个定点F（称为焦点），则C上的任意一条直线L与F之间都有一个交点P。
当L不经过F时，P称为L在C上的截距点；当L经过F时，P 称为C的极点。
2. 极线：对于一个圆锥曲线C和它上面的一个极点P，在平面直角坐标系中，连接P与C上所有截距点的直线称为C关于P的极线。
三、性质1. 极点性质：（1）每个圆锥曲线都有两个焦点和两条相互垂直的对称轴；（2）如果L经过焦点，则其截距为a/e或ae，其中a是离心率e所确定的参数；（3）如果L不经过焦点，则其截距为b²/a，其中b是圆锥曲线的另一个参数。
2. 极线性质：（1）对于每个圆锥曲线C和它上面的任意一个点P，P关于C的极线与P到C的距离相等；（2）对于每个圆锥曲线C和它上面的任意一条直线L，L关于C的极点与L到C的距离相等；（3）对于每个圆锥曲线C和它上面的任意两个点P、Q，它们关于C 的极线交于一点。
四、应用1. 极点和极线可以用来求解圆锥曲线上的各种几何问题，例如求解切线、法线、渐近线等；2. 极点和极线也可以用来描述圆锥曲线之间的关系，例如共轭圆锥曲线、互为反形图形等。
五、总结本文介绍了圆锥曲线中的极点和极线，包括定义、性质和应用。
在几何学中，圆锥曲线是非常重要的几何图形之一，在许多领域都有广泛应用。
掌握了极点和极线这一重要概念，可以更好地理解和应用圆锥曲线。
新高考数学 第8章 第8讲 第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系
相交于 A，B 两点，则直线 l 倾斜角 α 的取值范围是
( B)
A．[0，π)
B．π4，π2∪π2，34π
C．0，π2
D．π4，π2∪π2，34π
第八章 解析几何
高考一轮总复习 • 数学
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[解析] (1)直线 y＝kx＋2 恒过定点(0，2)，若直线 y＝kx＋2 与椭圆x72 ＋ym2＝1 总有公共点，则点(0，2)在椭圆x72＋ym2＝1 内部或在椭圆上，所以 m4 ≤1，由方程x72＋ym2＝1 表示椭圆，则 m>0 且 m≠7，综上知 m 的取值范 围是 m≥4 且 m≠7.
注：(1)研究直线与圆的位置关系，只需抓住圆心到直线的距离与半 径的关系；(2)当直线过定点时，注意定点与圆锥曲线的位置关系；(3)注 意“直线与抛物线只有一个交点”与“直线与抛物线相切”的区别．
第八章 解析几何
高考一轮总复习 • 数学
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考点二
直线与圆锥曲线相交的弦的问题——多维探究
角度 1 弦长问题
＋x2)＋p＝8.又 AB 的中点到 y 轴的距离为 2，∴－x1＋2 x2＝2，∴x1＋x2＝
－4，∴p＝4，∴所求抛物线的方程为 y2＝－8x.故选 B．
第八章 解析几何
高考一轮总复习 • 数学
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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3．(2021·安徽宣城调研)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的右
焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 45°的直线与双曲线的右支有且只有一个
第八章 解析几何
高考一轮总复习 • 数学
[解析] (1)设动点 P(x，y)(x≠± 2)，
则 kPM＝x＋y 2，kPN＝x－y 2.
圆锥曲线的极点与极线问题
圆锥曲线的极点与极线问题圆锥曲线的极点与极线问题导言圆锥曲线是数学中的一个重要分支，其所涵盖的概念和性质有着深远的研究价值。
其中，圆锥曲线的极点与极线问题是一个具有特殊意义的主题。
在本文中，我将以深度和广度的方式来探讨圆锥曲线的极点与极线，希望能够使读者对这一问题有全面、深刻和灵活的理解。
一、圆锥曲线的基本定义与性质1.1 什么是圆锥曲线圆锥曲线是由一个平面与一个平行于它的不相交的直线切割圆锥所得到的曲线。
根据切割的方式和角度不同，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
1.2 圆锥曲线的焦点与离心率圆锥曲线的焦点是指在其上的特殊点，其具有特殊的几何性质。
离心率是一个衡量圆锥曲线形状的参数，也是圆锥曲线性质的重要指标。
二、极点与极线的基本概念2.1 极点的定义与性质在平面上给定一个圆锥曲线，其直角坐标系中的原点O被称为该圆锥曲线的极点。
极点在圆锥曲线的研究中具有重要的地位，它与曲线的各种性质密切相关。
2.2 极线的定义与性质对于圆锥曲线上的任意一点P，以极点为中心，作直线OP，称为圆锥曲线的极线。
极线是一个与极点相关的直线，它与曲线的位置和特性有着密切的联系。
三、不同类型曲线的极点与极线问题3.1 椭圆的极点与极线对于椭圆，其极点为原点O，极线为过原点O的直线。
椭圆的极点处于其主轴的中点位置，其极线是关于两个焦点的对称直线。
3.2 双曲线的极点与极线对于双曲线，其极点为原点O，极线为过原点O的渐近线。
双曲线的极点处于离心率之间的位置，其极线是关于两个焦点的渐近线。
3.3 抛物线的极点与极线对于抛物线，其极点为其焦点，极线为过焦点的直线。
抛物线的极点位于抛物线的顶点位置，其极线是关于焦点的直线。
四、个人观点与理解圆锥曲线的极点与极线问题是一个十分有趣且具有挑战性的数学问题。
通过研究圆锥曲线的极点与极线，我们能够更深入地理解曲线的性质和特性。
极点是曲线的重要几何特征，它能够从不同的角度揭示出曲线的各种性质。
极点极线在高考圆锥曲线试题中的应用
极点极线在高考圆锥曲线试题中的应用宋雅静㊀冯福存(宁夏师范学院数学与计算机科学学院ꎬ宁夏回族自治区固原７５６０００)摘㊀要:圆锥曲线是解析几何和高等几何的主要研究内容ꎬ近些年以高等几何知识为背景的几何试题频频出现在高考中.本文从高等几何中极点极线的角度ꎬ对近三年高考中的一些圆锥曲线问题的解法进行探究ꎬ为教师和学生提供参考.关键词:极点ꎻ极线ꎻ调和点列ꎻ调和线束ꎻ圆锥曲线中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００３９－０３收稿日期:２０２３－０１－０５作者简介:宋雅静(１９９７－)ꎬ女ꎬ河南省新乡人ꎬ硕士研究生ꎬ从事中学数学教学研究ꎻ冯福存(１９７７－)ꎬ女ꎬ宁夏中卫人ꎬ副教授ꎬ从事几何学㊁矩阵理论及其应用研究.基金项目:宁夏自然科学基金项目资助(项目编号:２０２２ＡＡＣ０３３３４)ꎬ宁夏高等学校一流学科建设(教育学学科)研究项目资助(项目编号:ＮＸＹＬＸＫ２０２１Ｂ１０).㊀㊀许多高考数学试题都有高等数学的背景ꎬ其中ꎬ高等几何中的极点㊁极线与调和点列就是高考数学圆锥曲线试题命制的一个主要来源.因此ꎬ很多学者将高等几何的方法与初等几何联系起来解决问题.文献[１]中阐述了极点与极线的基本性质ꎬ指出极点㊁极线是圆锥曲线的基本特征ꎬ是圆锥曲线试题命制的背景ꎻ文献[２]中对极点与极线的概念进行了解读并且对衍生性质给予证明ꎬ最后将其运用到具体的高考真题中ꎻ文献[３]中对２０２０年北京高考真题的高等解法进行了探究.本文在前人研究的基础上ꎬ阐述极点与极线的基本理论ꎬ并且从极点㊁极线视角对２０２０年高考数学全国Ⅰ卷理科第２０题㊁２０２１年高考数学全国乙卷理科第２１题㊁２０２２年高考数学全国乙卷理科第２１题进行解决.１预备知识在平面上ꎬ由二元二次方程Ｆ(ｘꎬｙ)＝ａ１１ｘ２＋２ａ１２ｘｙ＋ａ２２ｙ２＋２ａ１３ｘ＋２ａ２３ｙ＋ａ３３＝０所表示的曲线叫做二次曲线ꎬ对应的矩阵为Ａ＝ａ１１ａ１２ａ１３ａ１２ａ２２ａ２３ａ１３ａ２３ａ３３æèçççöø÷÷÷.若Ａʂ０ꎬ则方程所表示的曲线为非退化的二次曲线ꎬ即圆锥曲线(椭圆㊁双曲线㊁抛物线).齐次坐标㊀笛卡儿坐标为(ｘꎬｙ)的点的二维齐次坐标(ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３)是指由任意适合ｘ１ｘ３＝ｘꎬｘ２ｘ３＝ｙ的三个数ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３组成的有序三数组(ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３)ꎬ其中ｘ３ʂ０.一点的齐次坐标有无数组.极点与极线的代数定义㊀已知圆锥曲线ａ１１ｘ２＋２ａ１２ｘｙ＋ａ２２ｙ２＋２ａ１３ｘ＋２ａ２３ｙ＋ａ３３＝０ꎬ则称平面内任意一点Ｐ０(ｘ０１ꎬｘ０２ꎬｘ０３)和直线ｌ:(ｘ０１ꎬｘ０２ꎬｘ０３)ａ１１ａ１２ａ１３ａ１２ａ２２ａ２３ａ１３ａ２３ａ３３æèçççöø÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０是圆锥曲线的一对极点与极线.极点与极线的几何定义㊀点Ｐ不是圆锥曲线９３上的点ꎬ过点Ｐ引两条割线依次交圆锥曲线于点ＥꎬＦꎬＧꎬＨꎬ连接ＥＨꎬＦＧ交于点Ｎꎬ连接ＥＧꎬＦＨ交于点Ｍꎬ则直线ＭＮ为点Ｐ对应的极线ꎬ同理直线ＭＰ为点Ｎ对应的极线ꎬ直线ＮＰ为点Ｍ的极线.为方便理解ꎬ本文以椭圆为例作图ꎬ如图１.图１特别地ꎬ若Ｐ是圆锥曲线上的点ꎬ则过点Ｐ的切线即为极线ꎻ圆锥曲线的焦点和准线恰巧是一组极点与极线.调和点列的定义㊀若同一直线上四点ＡꎬＢꎬＣꎬＤ的交比满足(ＡＣꎬＢＤ)＝ＡＢ ＣＤＣＢ ＡＤ＝－１ꎬ即ＡＣＣＢ＝ＡＤＤＢ时ꎬ称点ＣꎬＤ调和分割线段ＡＢꎬＡꎬＢꎬＣꎬＤ为调和点列.定理㊀点Ｐ不在圆锥曲线上ꎬ过点Ｐ的任一直线与该圆锥曲线交于ＡꎬＢ两点ꎬ与点Ｐ关于该圆锥曲线的极线交于点Ｑꎬ则ＡꎬＢꎬＰꎬＱ是调和点列.调和线束的定义㊀若ＡꎬＢꎬＣꎬＤ是调和点列ꎬ直线外一点Ｍ与它们的连线统称为调和线束ꎬ即直线ＭＡꎬＭＢꎬＭＣꎬＭＤ为一簇调和线束.调和线束的性质１㊀平面内若一条直线与调和线束中的一条平行而与其余三条相交ꎬ则相交线段被平分.调和线束的性质２㊀平面内若一条直线与调和线束都相交ꎬ且交于不同的四个点ꎬ则相应的交点也成调和点列.２在高考试题中的应用例１㊀(２０２０年高考数学全国Ⅰ卷理科第２０题)已知ＡꎬＢ分别为椭圆Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)的左㊁右顶点ꎬＧ为Ｅ上的顶点ꎬ其中ＡＧң ＧＢң＝８.Ｐ为直线ｘ＝６上的动点ꎬＰＡ与Ｅ上的另一交点为ＣꎬＰＢ与Ｅ的另一交点为Ｄ.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)证明:直线ＣＤ过定点.解析㊀(１)Ｅ的方程为ｘ２９＋ｙ２＝１.图２(２)如图２ꎬ设ＡＢ与ＣＤ交于点Ｍꎬ延长ＣＢꎬＡＤ交于点Ｑꎬ由极点㊁极线的几何定义可得点Ｍ和ＰＱ所在的直线是一对极点极线.由题意可知Ａ＝１９０００１０００－１æèççççöø÷÷÷÷.设极点Ｍ的坐标为(ｍꎬ０)ꎬ点Ｍ齐次坐标为(ｍꎬ０ꎬ１)ꎬ则ＰＱ所在的直线方程为(ｍꎬ０ꎬ１)１９０００１０００－１æèççççöø÷÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｘ＝９ｍ.因为Ｐ为直线ｘ＝６上的动点ꎬ则ｍ＝３２ꎬ即直线ＣＤ恒过定点(３２ꎬ０).例２㊀(２０２１年高考数学全国乙卷理科第２１题)已知抛物线Ｃ:ｘ２＝２ｐｙ(ｐ>０)的焦点为Ｆꎬ且Ｆ与圆Ｍ:ｘ２＋(ｙ＋４)２＝１上的点的距离的最小值为４.(１)求ｐꎻ(２)若点Ｐ在Ｍ上ꎬＰＡꎬＰＢ是Ｃ的两条切线ꎬＡꎬＢ是切点ꎬ求әＰＡＢ面积的最大值.解析㊀(１)由题意可得ｐ＝２.(２)如图３ꎬ由(１)可得抛物线Ｃ为ｘ２＝４ｙꎬ若点Ｐ为极点ꎬ则ＡＢ所在的直线为点Ｐ关于抛物线的极线ꎬ若动点Ｐ沿ｙ轴运动ꎬ则ＡＢʅｙ轴运动.设点Ｐ的齐次坐标为(０ꎬｍꎬ１)ꎬ由题意得０４Ａ＝１００００－２０－２０æèçççöø÷÷÷.则Ｐ所对应的极线方程为(０ꎬｍꎬ１)１００００－２０－２０æèçççöø÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｙ＝－ｍꎬ可得极点与极线在ｘ轴的两侧且到ｘ轴的距离相等.由此极点和极线之间的距离越大ꎬ所求三角形的面积越大ꎬ得ｍ＝－５时ꎬΔＰＡＢ的面积最大ꎬ此时ｘ２＝２０ꎬ解得ｘ＝ʃ５ꎬ即ＡＢ＝４５.所以ＳәＰＡＢ＝１２ˑ１０ˑ４５＝２０５.图３例３㊀(２０２２年高考数学全国乙卷理科第２１题)已知椭圆Ｅ的中心为坐标原点ꎬ对称轴为ｘ轴ꎬｙ轴ꎬ且过Ａ(０ꎬ－２)ꎬＢ(３２ꎬ－１)两点.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)设过点Ｐ(１ꎬ－２)的直线交Ｅ于ＭꎬＮ两点ꎬ过Ｍ且平行于ｘ轴的直线与线段ＡＢ交于点Ｔꎬ点Ｈ满足ＭＴң＝ＴＨңꎬ证明:直线ＨＮ过定点.解析㊀(１)椭圆方程为ｘ２３＋ｙ２４＝１.图４(２)如图４ꎬ若点Ｐ(１ꎬ－２)为极点ꎬ齐次坐标为Ｐ(１ꎬ－２ꎬ１)ꎬ由题意可知Ａ＝１３０００１４０００－１æèçççççöø÷÷÷÷÷.则极点Ｐ对应的极线方程为(１ꎬ－２ꎬ１)１３０００１４０００－１æèçççççöø÷÷÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｙ＝２３ｘ－２ꎬ经验证点ＡꎬＢ在此极线上ꎬ即ＡＢ所在的直线即为点Ｐ的极线.连接ＡＭꎬ设ＭＰ与ＡＢ相交于点Ｑꎬ则ＰꎬＮꎬＱꎬＭ为调和点列ꎬ所以ＡＰꎬＡＢꎬＡＭꎬＡＮ为调和线束ꎬＭＴ为截线ꎬ因为ＭＴң＝ＴＨңꎬ所以Ｔ为ＭＨ的中点ꎬ由调和线束的性质可得ＭＨʊＡＰꎬ在射影平面内ꎬＭＨ与ＡＰ相交于无穷远点ꎬ连接ＡＮꎬＡＮ的延长线必然交于点Ｈꎬ此时ꎬＡꎬＮꎬＨ三点共线ꎬ即直线ＨＮ过定点Ａ.高考圆锥曲线压轴题普遍是学生思维的难点和计算的痛点ꎬ在解题时容易出错.如果能从更高的角度去认识和分析它ꎬ有助于学生形成对问题的深刻理解并掌握问题的本质ꎬ在解决问题时直入主题ꎬ减少运算ꎬ从而轻松解题ꎬ还为之后的高等几何的学习甚至工作奠定相应的理论和思维基础ꎬ实现真正意义上的素质教育ꎻ有助于教师把握题目的设计意图和本质ꎬ增强学科知识储备ꎬ提高学科专业素质ꎬ更好地服务教学.参考文献:[１]王文彬.极点㊁极线与圆锥曲线试题的命制[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１５(０８):６２－６６.[２]于涛.极点与极线视角下的高考圆锥曲线试题[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０１９(０１):１３－１６.[３]柏任俊ꎬ贾春花ꎬ毛井.高等几何背景下的解析几何试题探究[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(０９):２０－２２.[责任编辑:李㊀璟]１４。
新教材高中数学精品第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系
第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系[考情分析] 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等． 考点一 弦长、面积问题 核心提炼已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率为k (k ≠0)， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 考向1 弦长问题例1 (2022·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (2，0)，且离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2＋y 2＝b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |＝ 3.(1)解 由题意得，椭圆半焦距c ＝2且e ＝c a ＝63，所以a ＝3， 又b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2)证明 由(1)得，曲线为x 2＋y 2＝1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x ＝1，不符合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN ：y ＝k (x －2)， 即kx －y －2k ＝0，由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1(x >0)相切可得|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝±(x －2)，x 23＋y 2＝1，可得4x 2－62x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝322，x 1·x 2＝34，所以|MN |＝1＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝3， 所以必要性成立；充分性：设直线MN ：y ＝kx ＋b (kb <0)，即kx －y ＋b ＝0， 由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1(x >0)相切可得|b |k 2＋1＝1，所以b 2＝k 2＋1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 23＋y 2＝1，可得(1＋3k 2)x 2＋6kbx ＋3b 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝－6kb1＋3k 2，x 1·x 2＝3b 2－31＋3k 2，所以|MN |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫－6kb 1＋3k 22－4·3b 2－31＋3k 2＝1＋k 2·24k 21＋3k 2＝3， 化简得3(k 2－1)2＝0，所以k ＝±1，所以⎩⎨⎧ k ＝1，b ＝－2或⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝2，所以直线MN ：y ＝x －2或y ＝－x ＋2，所以直线MN 过点F (2，0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立， 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |＝ 3. 考向2 面积问题例2 (2022·大庆模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，短轴长为23，椭圆左顶点A 到左焦点F 1的距离为1. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆的右顶点为B ，过F 1的直线l 与椭圆C 交于点M ，N ，且S △BMN ＝1827，求直线l 的方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝23，a －c ＝1，a 2－c 2＝b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＝2，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)方法一 由题意知，直线的斜率不为0，F 1(－1,0)， 设直线l 的方程为x ＝my －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， 即y 1＋y 2＝6m3m 2＋4，y 1·y 2＝－93m 2＋4.又S △BMN ＝12·|BF 1|·|y 1|＋12·|BF 1|·|y 2|＝12·|BF 1|·|y 1－y 2| ＝12·|BF 1|·(y 1＋y 2)2－4y 1·y 2 ＝18m 2＋13m 2＋4＝1827，解得m ＝±1，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0. 方法二 由(1)知F 1(－1,0)，B (2,0)，当直线l 的斜率不存在时，|MN |＝3，点B (2,0)到直线l ：x ＝－1的距离为3，所以S △BMN ＝92≠1827，所以直线l 的斜率存在． 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x ＋1)得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 所以x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.所以|MN |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 22－4(4k 2－12)3＋4k 2 ＝1＋k 2·144(k 2＋1)(3＋4k 2)2＝12(k 2＋1)3＋4k 2.因为点B (2,0)到直线l 的距离为d ＝|3k |k 2＋1，所以S △BMN ＝12·|MN |·d ＝12·12(k 2＋1)3＋4k 2·|3k |k 2＋1＝1827，即k 2＝1，得k ＝±1， 所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.易错提醒 (1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等． (2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉．(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p 是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立．跟踪演练1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2，3)，点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12. (1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值． 解 (1)由题意可知直线AM 的方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＝－4.当y ＝0时，解得x ＝－4， 所以a ＝4.由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2,3)，可得416＋9b 2＝1，解得b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设与直线AM 平行的直线方程为x －2y ＝m .如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝m ，x 216＋y 212＝1，可得3(m ＋2y )2＋4y 2＝48，化简可得16y 2＋12my ＋3m 2－48＝0， 所以Δ＝144m 2－4×16(3m 2－48)＝0， 即m 2＝64，解得m ＝±8，与AM 距离比较远的直线方程为x －2y ＝8，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离， 即d ＝8＋41＋4＝1255，由两点之间距离公式可得 |AM |＝(2＋4)2＋32＝3 5.所以△AMN 的面积的最大值为12×35×1255＝18.考点二 中点弦问题 核心提炼已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为圆锥曲线E 上两点，AB 的中点C (x 0，y 0)，直线AB 的斜率为k . 若E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则k ＝－b 2a 2·x 0y 0；若E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则k ＝b 2a 2·x 0y 0；若E 的方程为y 2＝2px (p >0)，则k ＝py 0.例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63.(1)证明：a ＝3b ；(2)若点M ⎝⎛⎭⎫910，－310在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP ⊥OQ . ①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程． (1)证明 ∵e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝63，∴b a ＝33，∴a ＝3b . (2)解 ①由(1)知，椭圆C 的方程为x 23b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2， 当⎝⎛⎭⎫910，－310在椭圆C 的内部时，⎝⎛⎭⎫9102＋3·⎝⎛⎭⎫－3102<3b 2，可得b >3010. 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 22＝910，y 1＋y 22＝－310，所以y 1＋y 2x 1＋x 2＝－39，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2，两式作差得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 23(y 1＋y 2)＝－13×⎝⎛⎭⎫－93＝3，所以直线l 的方程为y －⎝⎛⎭⎫－310＝3⎝⎛⎭⎫x －910， 即y ＝3x － 3.所以直线l 的方程为3x －y －3＝0.②联立⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝3b 2，y ＝3(x －1)，消去y 可得10x 2－18x ＋9－3b 2＝0. Δ＝182－40(9－3b 2)＝120b 2－36>0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝95，x 1x 2＝9－3b 210，又∵OP ⊥OQ ，而OP →＝(x 1，y 1)，OQ →＝(x 2，y 2)，∴OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋3(x 1－1)·3(x 2－1)＝4x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3 ＝2(9－3b 2)－27＋155＝6－6b 25＝0，解得b 2＝1，合乎题意，故a 2＝3b 2＝3， 因此椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.规律方法 (1)处理中点弦问题常用的求解方法(2)中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．跟踪演练2 (1)(2022·太原模拟)若过椭圆x 29＋y 24＝1内一点P (2,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为( ) A ．8x ＋9y －25＝0 B ．3x －4y －5＝0 C ．4x ＋3y －15＝0 D ．4x －3y －9＝0答案 A解析 设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P 为AB 的中点，因为A ，B 在椭圆上，所以x 219＋y 214＝1，x 229＋y 224＝1，两式相减得x 21－x 229＋y 21－y 224＝0，因为x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2， 可得y 1－y 2x 1－x 2＝－89，则k ＝－89，且过点P (2,1)，所以y －1＝－89(x －2)，整理得8x ＋9y －25＝0.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，点P ，Q 在双曲线上，且点M (－2,1)为线段PQ 的中点，PQ ∥BF ，双曲线的离心率为e ，则e 2等于( ) A.2＋12 B.3＋12 C.2＋22 D.5＋12答案 A解析 方法一 由题意知F (c ,0)，B (0，b )，则k PQ ＝k BF ＝－b c .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2).因为线段PQ 的中点为M (－2,1)， 所以x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，又k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b c ，所以－b c ＝－4b 22a 2，整理得a 2＝2bc ，所以a 4＝4b 2c 2＝4c 2(c 2－a 2)，即4e 4－4e 2－1＝0，得e 2＝2＋12. 方法二 由题意知F (c ,0)，B (0，b )，则k BF ＝－bc .设直线PQ 的方程为y －1＝k (x ＋2)， 即y ＝kx ＋2k ＋1， 代入双曲线方程，得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2k (2k ＋1)x －a 2(2k ＋1)2－a 2b 2＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4，所以2a 2k (2k ＋1)b 2－a 2k 2＝－4，又k ＝k BF ＝－b c ，所以2a 2·⎝⎛⎭⎫－b c ⎣⎡⎦⎤2·⎝⎛⎭⎫－b c ＋1＝－4b 2＋4a 2⎝⎛⎭⎫－b c 2， 整理得a 2＝2bc ，所以c 2－b 2－2bc ＝0， 即⎝⎛⎭⎫c b 2－2c b －1＝0，得cb＝2＋1， 则e 2＝c 2a 2＝c2c 2－b 2＝⎝⎛⎭⎫c b 2⎝⎛⎭⎫c b 2－1＝()2＋12()2＋12－1＝2＋12. 考点三 直线与圆锥曲线位置关系的应用 核心提炼直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 (1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程． (2)消元得到关于x 或y 的一元二次方程．(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系．例4 (1)已知直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，与直线x ＝－a ，x ＝a 分别交于点M ，N ，F 为椭圆的左焦点，若以MN 为直径的圆为E ，则F ( ) A ．在圆E 上 B ．在圆E 内C ．在圆E 外D ．以上三种情况都有可能答案 A解析 显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得(a 2k 2＋b 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0， 因为直线l 与椭圆相切，所以Δ＝(2a 2km )2－4(a 2k 2＋b 2)(a 2m 2－a 2b 2)＝0， 故m 2＝a 2k 2＋b 2.易知F (－c ,0)，M (－a ，－ak ＋m )， N (a ，ak ＋m )，则FM →＝(c －a ，m －ak )，FN →＝(c ＋a ，m ＋ak )，则FM →·FN →＝c 2－a 2＋m 2－a 2k 2＝－b 2＋a 2k 2＋b 2－a 2k 2＝0，故∠MFN ＝90°， 即点F 在圆E 上．(2)(多选)(2022·漳州龙海二中模拟)已知直线y ＝x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)无公共点，则双曲线的离心率可能为( )A ．1 B. 2 C.62D. 3 答案 BC解析 双曲线的一条渐近线为y ＝b a x ，因为直线y ＝x 与双曲线无公共点，故有ba ≤1.即b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1≤1，所以e 2≤2， 所以1<e ≤ 2.易错提醒 (1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)． 跟踪演练3 (2022·沈阳模拟)已知A ，B 分别是椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右顶点和上顶点，P 为椭圆C 上一点，若△P AB 的面积是2－1，则P 点的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 由C ：x 24＋y 2＝1可得a ＝2，b ＝1 ，所以A (2,0)，B (0,1)，|AB |＝ 5 ，所以直线AB 的方程为y －1＝－12x ，即y ＝－12x ＋1，设过点P 与直线AB 平行的直线l ：y ＝－12x ＋t ，则直线l 与直线AB 的距离d ＝|t －1|1＋14＝25|t －1|， 因为点P 为直线l 与椭圆的交点， 所以点P 到直线AB 的距离为d ， 因为△P AB 的面积是2－1,可得S △P AB ＝12×|AB |×d ＝12×5×25|t －1|＝2－1，解得t ＝2或t ＝2－2，当t ＝2时，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ＋2，可得(x －2)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝22，此时P ⎝⎛⎭⎫2，22，当t ＝2－2时，⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ＋2－2，可得x 2＋(22－4)x ＋10－82＝0，因为Δ＝(22－4)2－4(10－82)＝16(2－1)>0，此时直线l 与椭圆有2个交点，此时有2个点P ，所以共有3个点P .专题强化练一、单项选择题1．直线l 经过P (4,2)且与双曲线x 22－y 2＝1交于M ，N 两点，如果点P 是线段MN 的中点，那么直线l 的方程为( ) A ．x －y －2＝0 B ．x ＋y －6＝0 C ．2x －3y －2＝0 D ．不存在答案 A解析 当斜率不存在时，显然不符合题意； 当斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 因为点P 是线段MN 的中点， 所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，代入双曲线方程得⎩⎨⎧x 212－y 21＝1，x222－y 22＝1，两式相减得x 21－x 22＝2(y 21－y 22)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝1，又直线过点P ，所以直线方程为y ＝x －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22－y 2＝1，y ＝x －2，得到x 2－8x ＋10＝0，经检验Δ>0，方程有解，所以直线y ＝x －2满足题意．2．已知F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为－2且经过焦点F 的直线l 交该抛物线于M ，N 两点，若|MN |＝52，则该抛物线的方程是( )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝6x答案 B解析 设直线l ：y ＝－2x ＋p ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋p ，y 2＝2px ， 得4x 2－6px ＋p 2＝0，设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则x M ＋x N ＝6p 4＝3p 2. 又|MN |＝52， 所以x M ＋p 2＋x N ＋p 2＝5p 2＝52， 所以p ＝1，所以所求抛物线的方程是y 2＝2x .3．(2022·成都模拟)设O 为坐标原点，直线l 过定点(1,0)，与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则抛物线C 的准线方程为( )A ．x ＝－14B ．x ＝－12C ．x ＝－1D ．x ＝－2 答案 A解析 由题意可知直线l 的斜率不为0.设直线l ：x ＝my ＋1，与y 2＝2px (p >0)联立得y 2－2pmy －2p ＝0，Δ>0恒成立．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－2p .由OA ⊥OB ，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0， 即4p 24p 2－2p ＝0，得p ＝12， 所以其准线方程为x ＝－14. 4．过椭圆内定点M 且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M 的“好弦”．在椭圆x 264＋y 216＝1中，过点M (43，0)的所有“好弦”的长度之和为( )A ．120B ．130C ．240D ．260答案 C解析 由已知可得a ＝8，b ＝4，所以c ＝43，故M 为椭圆的右焦点，由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直于x 轴时弦长最短，所以当x ＝43时，最短的弦长为2b 2a ＝2×168＝4， 当弦与x 轴重合时，弦长最长为2a ＝16，则弦长的取值范围为[4,16]，故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，则“好弦”的长度之和为4＋16＋(5＋6＋7＋…＋15)×2＝240.5．已知过椭圆x 25＋y 2＝1的右焦点的直线l ，斜率存在且与椭圆交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线与x 轴交于点M ，则点M 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，85 B.⎝⎛⎦⎤－85，0 C.⎣⎡⎭⎫0，85 D.⎣⎡⎭⎫－85，0 答案 C解析 当直线AB 的斜率k ＝0时，即AB 为x 轴，则垂直平分线为y 轴，所以x M ＝0； 当直线AB 的斜率k ≠0 时，又斜率存在，则设直线方程为y ＝k (x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋5y 2＝5，y ＝k (x －2)，得(5k 2＋1)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝20k 25k 2＋1，x 1x 2＝20k 2－55k 2＋1， 设N 为线段AB 的中点，所以x N ＝10k 25k 2＋1，代入直线方程可得y N ＝－2k 5k 2＋1， 则AB 的垂直平分线MN 的方程为y ＋2k 5k 2＋1＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －10k 25k 2＋1， 当y ＝0时，x ＝8k 25k 2＋1＝85＋1k 2， 因为k 2>0，所以x ∈⎝⎛⎭⎫0，85， 综上所述，x ∈⎣⎡⎭⎫0，85， 即点M 横坐标的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，85. 6．(2022·大连模拟)第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”(先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会)的国家．根据规划，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD (如图)，且两切线斜率之积等于－916，则椭圆的离心率为( )A.34B.74C.916D.32答案 B解析 若内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由离心率相同，可设外层椭圆方程为x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(m >1)，∴A (－ma ,0)，B (0，mb )，设切线AC 为y ＝k 1(x ＋ma )，切线BD 为y ＝k 2x ＋mb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋ma )，x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得(a 2k 21＋b 2)x 2＋2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0，由Δ＝0知， (2ma 3k 21)2－4(a 2k 21＋b 2)(m 2a 4k 21－a 2b 2)＝0， 整理得k 21＝b 2a 2·1m 2－1， 同理，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2x ＋mb ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)， ∴(k 1k 2)2＝b 4a 4＝⎝⎛⎭⎫－9162，即b 2a 2＝916，故e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝74. 二、多项选择题7．(2022·兰州模拟)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为M ，N ，若线段MN 的中点为P ，且线段FP 的长为4，则直线l 的方程为( )A ．x ＋3y －1＝0B ．x －3y －1＝0 C.3x －y －3＝0 D.3x ＋y －3＝0 答案 AB解析 由y 2＝4x 得p ＝2，所以F (1,0)，准线为x ＝－1，设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ，消去x 并整理得y 2－4ty －4＝0，Δ＝16t 2＋16>0恒成立， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，所以y 1＋y 22＝2t ， 依题意得M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则线段MN 的中点P (－1,2t )，因为|PF |＝4，所以22＋4t 2＝4，解得t ＝±3，所以直线l 的方程为x ＋3y －1＝0或x －3y －1＝0.8．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)，两条渐近线的夹角正切值为22，直线l ：kx －y －3k ＝0与双曲线E 的右支交于A ，B 两点，设△F 1AB 的内心为I ，则( )A ．双曲线E 的标准方程为x 26－y 23＝1 B ．满足|AB |＝6的直线l 有2条C ．IF 2⊥ABD ．△F 1AB 与△IAB 的面积的比值的取值范围是(2,6]答案 ACD解析 A 选项，设双曲线E 的一条渐近线的倾斜角为θ，0<θ<π2，因为a >b ，所以0<2θ<π2，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝22，解得tan θ＝22或tan θ＝－2(舍去)，所以b a ＝22，又a 2＋b 2＝9，所以a 2＝6，b 2＝3，所以双曲线E 的标准方程为x 26－y 23＝1，故A 正确；B 选项，直线l 的方程kx －y －3k ＝0，即k (x －3)－y ＝0，则直线l 恒过右焦点F 2，又过焦点F 2的弦最短为2b 2a ＝66＝6，所以满足|AB |＝6的直线l 只有1条，B 错误； C 选项，由双曲线的定义可知，|AF 1|－|AF 2|＝26＝|BF 1|－|BF 2|，即|AF 1|－|BF 1|＝|AF 2|－|BF 2|，因此F 2是△F 1AB 的内切圆在AB 边上的切点，因此IF 2⊥AB ，C 正确；D 选项，由题意知1F ABIAB S S △△＝12|IF 2|·(|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |)12|IF 2|·|AB | ＝26＋|AF 2|＋26＋|BF 2|＋|AB ||AB |＝46|AB |＋2， 因为|AB |≥6，所以1F AB IAB S S △△∈(2,6]，D 正确．三、填空题9．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 24＋y 2m＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是________． 答案 [1,4)∪(4，＋∞)解析 直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，故点(0,1)在椭圆x 24＋y 2m＝1上或内部， ∴1m≤1，且m >0，m ≠4， ∴m ≥1，且m ≠4.10．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．答案 53解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为(0，－2)，⎝⎛⎭⎫53，43， 不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐标y B ＝43， ∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪－2－43＝53. 11．(2022·绵阳模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)有共同的一焦点，过E 的左焦点且与曲线C 相切的直线恰与E 的一条渐近线平行，则E 的离心率为________．答案 2 解析 因为抛物线与双曲线共焦点，所以c ＝p 2，p ＝2c ，抛物线方程为y 2＝4cx ， 双曲线的左焦点为F 1(－c ,0)，过F 1与一条渐近线y ＝b a x 平行的直线方程为y ＝b a(x ＋c )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4cx ，y ＝b a (x ＋c )，得by 2－4acy ＋4bc 2＝0， 所以Δ＝16a 2c 2－16b 2c 2＝0，所以a ＝b ，从而c ＝a 2＋b 2＝2a ，离心率为e ＝c a ＝ 2.12．已知直线y ＝kx ＋2(k >0)与抛物线C ：x 2＝8y 相交于A ，B 两点，点F 为C 的焦点，|F A |＝4|FB |，则k ＝________.答案 34解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知抛物线的焦点坐标为F (0,2)，直线y ＝kx ＋2(k >0)与抛物线C ：x 2＝8y 联立方程得x 2－8kx －16＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4＝8k 2＋4，y 1y 2＝(kx 1＋2)·(kx 2＋2)＝4，又因为|F A |＝4|FB |，所以y 1＋2＝4(y 2＋2)，即y 1＝4y 2＋6，所以由y 1＝4y 2＋6和y 1y 2＝4，解得y 1＝8，y 2＝12(负值舍去)， 所以y 1＋y 2＝8k 2＋4＝8＋12，解得k 2＝916，所以k ＝34. 四、解答题13．已知点A (0,2)，B 为抛物线x 2＝2y －2上任意一点，且B 为AC 的中点，设动点C 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)A 关于直线y ＝x 的对称点为D ，斜率为12的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，且△MDN 是以MN 为底边的等腰三角形，求△MDN 的面积．解 (1)设C (x ，y )，B (m ，n )，∵B 是AC 的中点，∴⎩⎨⎧m ＝x 2，n ＝y ＋22，∵B 在抛物线x 2＝2y －2上，∴m 2＝2n －2，∴x 24＝2×2＋y 2－2， ∴曲线E 的方程为x 2＝4y .(2)由题意得D (2,0)， 设l ：y ＝12x ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋t ，x 2＝4y ，得x 2－2x －4t ＝0， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4t ，Δ＝4＋16t >0，∴y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)＋2t ＝1＋2t . 设MN 的中点为P ，则P ⎝⎛⎭⎫1，12＋t ， ∵△MDN 是以MN 为底边的等腰三角形，则k DP ·k MN ＝－1，∴12＋t 1－2·12＝－1，解得t ＝32，符合Δ>0. ∴x 2－2x －6＝0，∴|MN |＝1＋⎝⎛⎭⎫122·|x 1－x 2|＝1＋14·4－4×(－6)＝35，|DP |＝5， ∴S △MDN ＝12×35×5＝572. 14．设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点⎝⎛⎭⎫1，32，且离心率为32，F 为E 的右焦点，P 为E 上一点，PF ⊥x 轴，圆F 的半径为PF .(1)求椭圆E 和圆F 的方程；(2)若直线l ：y ＝k (x －3)(k >0)与圆F 交于A ，B 两点，与椭圆E 交于C ，D 两点，其中A ，C 在第一象限，是否存在k 使|AC |＝|BD |？若存在，求l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 如图，由e ＝32，即c a ＝32， 再由a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝2b ，①将点⎝⎛⎭⎫1，32代入椭圆方程，可得1a 2＋34b 2＝1，② 由①②可解得a ＝2，b ＝1，故椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1， ∴F (3，0)，∵PF ⊥x 轴，∴P ⎝⎛⎭⎫3，±12，∴圆F 的方程为(x －3)2＋y 2＝14. (2)由A ，B 在圆上得|AF |＝|BF |＝|PF |＝r ＝12， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则|CF |＝(x 1－3)2＋y 21＝2－32x 1， 同理|DF |＝2－32x 2， 若|AC |＝|BD |，则|AC |＋|BC |＝|BD |＋|BC |， 即|AB |＝|CD |＝1，∴4－32(x 1＋x 2)＝1，∴x 1＋x 2＝2 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －3)，得(4k 2＋1)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，∴x 1＋x 2＝83k 24k 2＋1， ∴83k 24k 2＋1＝23， 得4k 2＝4k 2＋1，无解，故不存在．。
高中数学极点极线及高中圆锥曲线必备公式
极点极线定义已知圆锥曲线С: Ax +By +Cx+Dy+E=0与一点P(x0,y 0) [ 其中 A +B x0+x≠0,点．P．不．在．曲．线．中．心．和．渐．近．线．上．]. 则称点P 和直线L:A?x0x+B?y0y+C? 2 +D?y2+y+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线x0+x y0+y 即在圆锥曲线方程中, 以x0x 替换x ，以2替换x，以y0y 替换y , 以2替换y 则可得到极点P(x0,y 0) 的极线方程L.特别地：(1) 对于圆(x-a) +(y-b) =r , 与点P(x 0 ,y 0) 对应的极线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r ；x y x0x y0y(2) 对于椭圆+ =1，与点P(x0,y 0)对应的极线方程为0 + 0 =1 ；a b a bx y x 0x y 0y(3) 对于双曲线 a -b =1，与点 P(x 0,y 0)对应的极线方程为 a 0 -b 0 =1 ；(4) 对于抛物线 y =2px ，与点 P(x 0,y 0) 对应的极线方程为 y 0y=p(x 0+x) ； 性质 一般地,有如下性质 [焦．点．所．在．区．域．为．曲．线．内．部． ]: ① 若极点 P 在曲线С上,则极线 L 是曲线С在P 点的切线；② 若极点 P 在曲线С外,则极线 L 是过极点 P 作曲线С的两条切线的切点连线；③ 若极点 P 在曲线С内,则极线 L 在曲线С外且与以极点 P 为中点的弦平行 [仅是 斜率相 等 ]( 若是 圆 , 则此时中 点 弦的 方程 为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=x 0x y 0y x 0 y 0；若是椭圆,则此时中点弦的方程为 a x x +b y y =x a +y bx 0x y 0y x 0 y 0双曲线,则此时中点弦的方程为 a x0x -b y0y =x a 0 -y b 0 ；若是抛物线 ,则此时中点弦的 方程为 y 0y-p(x 0+x)=y 0 -2px 0) ；(x 0-a) +(y 0-b) 若是④当P(x0,y 0)为圆锥曲线的焦点F(c,0) 时，极线恰为该圆锥曲线的准线．．；⑤极点极线的对偶性:Ⅰ.已知点P和直线L是关于曲线С的一对极点和极线,则L上任一点Pn对应的极线Ln必过点P,反之亦然,任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上[图．Ⅱ.过点P作曲线C的两条割线L1、L2，L1交曲线C于AB，L2交曲线C于MN，则直线AM、BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P 关于曲线C的极线L 上[ 图．中．点．P．与．直．线．S．．T是．一．对．极．点．极．线．；．点．T．与．直．线．S．．P是．一．对．极．点．极．线．] ；即OP = OR OROQⅢ. 点 P 是曲线 C 的极点，它对应的极线为 L ，则有 :1）若C 为椭圆或双曲线，O 是C 的中心，直线 OP 交C 与R ，交L 于Q ，则OP?OQ=OR如图中学数学中极点与极线知识的现状与应用虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破而已.教材内改名换姓,“视”而不“见” .由④可知椭圆x a +y b =1的焦点的极a线方程为: x= . 焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容, 它揭示了圆锥曲线c的统一定义, 更是高考的必考知识点. 正是因为它太常见了, 反而往往使我们“视”而不“见” .圆锥曲线基础必备1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理长轴=2“，短轴= 2b,焦距= 2c.则：a2 =b2 -^c2 1、准线方程准焦距.〃方、"方涂以r..& 0・ 刁2sm —cos — sm 0_ 2 2 1 +cos0 2 cos 2—2 & 所以：椭圆的焦点三角形的面积为S 胚恶=b tail-.4.焦三角形计面积"半角正切進乘焦三角形：以椭圆的两个焦点巧・耳为顶点，另一个顶点」 在椭圆上的三角形称为焦三角形•半角是指—Z 与P 巧的一半. 则焦三角形的面积为： 证明：设阿| =小|昭| = S 由余弦定理:m 2 +n 2 - 2mn cos^= 4c 2=4a即：-2mn - = 2mn - 4b 2,故: Sgf =-m n sin0 =-』+ cos& l + cos0又:0 =tan —三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角, 切点连线求方程, 弦与中线斜率积, 细看中点弦方程,称为弦切角定理① 极线屯理须牢记② 准线去除准焦距③ 恰似弦中点轨迹④艮卩：2D = (1+ cos0)mn .1、 切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双 曲线的焦周角.焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它 们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切 线是两个焦点弦的角平 分线.第6页2. 切点连线求方程，圾线定理须牢记若旳（X05）在椭圆卡+$ = 1外，则过昨作椭圆的两 条切线，切点、为P 』,巧，则点耳和切点弦马•勺分别称 为椭圆的极点和极线.切点弦耳乃的直线方程即极线方程是笫？页3、弦与中线斜■率积.准线去涂准焦距|弦指椭圆内的一弦•中线指弦AB 的中点M 与 原点O 的连线，即2AB 得中线•这两条直线的斜率的VY - Q 2於乘积，等于准线距离去除准焦^p= — .其k k_ p 结杲是：0M = T =~V第8页（称为极线定理）4、细看中点弦方程，恰似弦中点、轨迹|中点、弦AB 的方程:在椭圆中，若弦的中点、为弦仙称为中点弦，则中点弦的方程就是弦中点M 的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点 p 皿、m 的弦AB , 其中点、M 的方程就是 S . y o y … /( y 2. 一7*+矿二正+歹，仍为椭圆.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞 混了.第9页是直线方程.圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-双曲线一、双曲线定义双曲线有四定义.差比交线反比何1、定义1:（差）平面内，到两个定点唇码的距离之差的绝对值为定值2“（小于这两个定点间的距离冈砂）的点的轨迹称为双曲线。
数学复习：极点极线
通俗来讲:对于圆锥曲线Γ外或内一点K 来说,其对应的极线即为:过点K 作Γ的两条割线所交的四个点两两相连再延长后,形成的除K 以外的两个交点所在的直线. 注1：若点K 在圆锥曲线Γ上,则在点K 处的切线即为极线注2：若FH//EG ,即交不到点M ,则点K 对应的极线过点N 且与FH 或EG 平行. 第二几何定义：(i)P (x 0,y 0)在圆锥曲线上,极线即为点P 处的切线；(ii)P (x 0,y 0)在圆锥曲线外,极线即为过点P 处的两条切线的切点弦；(iii)点P (x 0,y 0)在圆锥曲线Γ内,其极线l 是曲线Γ过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹 代数定义：已知圆锥曲线C:Ax 2+Cy 2+Dx +Ey +F =0，一点P (x 0,y 0)， 直线l:Ax 0x +Cy 0y +Dx 0+x 2+Ey 0+y 2+F =0，则l 为P 关于C 的极线，P 为l 关于C 的极点．P (x 0,y 0)是平面上任一点,点P (x 0,y 0)对应的极线为数学复习：极点极线第一几何定义：如图过圆锥曲线Γ外一点上P 作两条割线依次交圆锥曲线Γ于E,F,G,H 四点,且EH ∩FG =N ,延长FH,EG 交于M ,则直线MN 即为点P 对应的极线,同理,极点M 对应的极线为NP ,极点N 对应的极线为PM,ΔMNP 称为自极三点形.l(1)椭圆x2a 2+y 2b2=1,极线l:x 0x a 2+y 0y b 2=1(2)双曲线:x 2a 2−y 2b2=1,极线l:x 0x a 2−y 0y b 2=1(3)抛物线:y 2=2px ,极线l:y 0y =p (x 0+x )特殊的极点与极线(1)椭圆:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b),点M(m,0)在椭圆中对应的极线方程为x =a 2m(2)双曲线:x 2a 2−y 2b 2=1,点M(m,0)对应的极线方程为x =a 2m(3)抛物线:y 2=2px ,点M(m,0)对应的极线方程为x =−m更特别地,圆锥曲线的焦点与其相应的准线是该圆锥曲线的一对极点与极线 (1)对于椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b),焦点F(±c,0)对应的极线方程为x =±a 2c (2)对于双曲线x 2a 2−y 2b 2=1,焦点F(±c,0)对应的极线方程为x =±a 2c(3)对于抛物线y 2=2px ,焦点F (p 2,0)对应的极线方程为x =−p 2核心性质1：配极原理给定平面内一圆锥曲线 C ，若点 P 关于 C 的极线过点 Q ，则点 Q 关于 C 的极线也过点 P ，如所示 .配极原则的一个等价命题：已知一圆锥曲线C，如果平面内有一直线d，直线d上有一动点P，P点关于C的极线为l，如图所示 .核心性质2：调和点列给定圆锥曲线T,点P(不在T上)对应的极线为lp ,过点P任意作一条直线1交lp于点Q,交r于A,B,则点P,A,Q,B为调和点列.调和点列定义已知点P,A,Q,B为直线上依次四点,且满足|AP||PB|=|AQ||QB|(等价于2|PQ|=1 |PA|+1|PB|或者2|QP|=1|QA|−1|QB|), 则称P,A,Q,B为调和点列。
直线与圆锥曲线的位置关系课件-2024届高考数学一轮复习
2
2
2. 椭圆 E ： 2 ＋ 2 ＝1（ a ＞ b ＞0）的左焦点为 F ， P 为椭圆上一点，
直线 PF 的倾斜角为θ.当点 P 在 x 轴上方时，｜ PF ｜＝
；当
−
点 P 在 x 轴下方时，｜ PF ｜＝
＋
得 y 2－8 ty ＋16＝0.由Δ＝（－8 t ）2－64＜0，得 t 2＜1.联立
＝ − ，
消去 x 、整理，得（ t 2＋2） y 2－4 ty －4＝0.设 A （ x 1， yຫໍສະໝຸດ ＋ = ，
1），B'（ x 2， y 2），则 y 1＋ y 2＝ + ， y 1 y 2＝－ + .所以｜AB'｜＝
＋
= ，
消去 y 、整理，
得（3＋4 k 2） x 2－8 k 2 x ＋4 k 2－12＝0.所以 x 1＋ x 2＝
， x 1 x 2＝
+
+）
−
（
+ ｜ x － x ｜＝
.所以｜
AB
｜＝
.同理，可得｜
1
2
+
+
+
（ +）
的离心率为（ C ）
A. 3
B.
6
2
C.
21
3
D. 7
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4. （多选）（RA选一P136练习第4题改编）已知抛物线 C ： y 2＝2 px
（ p ＞0）与圆 O ： x 2＋ y 2＝5交于 A ， B 两点，且｜ AB ｜＝4，直线 l 过
极点与极线视角下的高考圆锥曲线试题
在极点与极线视角下，高考圆锥曲线试题的考察可以通过
以下方式进行：
1. 考察点的极坐标与直角坐标之间的转化：在极坐标系中，点是一个极点，而一条直线则可以表示为一个极线。
通
过将点转化为极坐标形式，并与题目所给的极线方程相结合，可以考察点的位置和形状。
2. 考察圆锥曲线的极坐标方程：圆锥曲线的极坐标方程
是描述曲线形状和大小的重要工具。
通过考察圆锥曲线的极
坐标方程，可以了解曲线的性质和特点，例如曲线的半径、
形状、对称性等。
3. 考察圆锥曲线与极线的位置关系：圆锥曲线与极线之
间存在一定的位置关系。
例如，对于椭圆而言，其极线是与
长轴和短轴相对应的两条直线；对于双曲线而言，其极线是
与实轴和虚轴相对应的两条直线。
通过考察圆锥曲线与极线
的位置关系，可以了解圆锥曲线的形状和大小。
4. 考察圆锥曲线与直线的位置关系：在极坐标系中，直
线可以用一个极点和一个极线来表示。
通过将圆锥曲线与直
线相对应的极点和极线进行比较，可以了解它们之间的位置
关系，例如相交、相切、相离等。
总之，在极点与极线视角下，高考圆锥曲线试题的考察注
重点的极坐标与直角坐标之间的转化、圆锥曲线的极坐标方程、圆锥曲线与极线的位置关系以及圆锥曲线与直线的位置
关系等方面。
通过深入理解和掌握这些知识，可以更好地应
对高考圆锥曲线试题的考察。
专题7圆锥曲线之极点与极线微点1圆锥曲线之极点与极线
专题7 圆锥曲线之极点与极线 微点1 圆锥曲线之极点与极线专题7 圆锥曲线之极点与极线微点1 圆锥曲线之极点与极线【微点综述】“极点极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点极线是圆锥曲线的一种基本特征，蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的说“极点极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向．学生掌握了极点极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，虽然高考解答题不能用相关结论，但是我们可以将它作为辅助手段，快速的找到正确答案，然后再用初等方法写过程解题．一、极点极线发展简史极点与极线 ，是法国数学家吉拉德·笛沙格(Girard Desargues ，1591-1661)于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述．吉拉德·笛沙格，1591年2月21日生于法国里昂，1661年10月卒于里昂，法国数学家和工程师，别名S ．G ．D ．L ．（是他署名Sieur Girard Desargues Lyonnois 的缩写），射影几何的创始人之一，他奠定了射影几何的基础．以他命名的事物有笛沙格定理、笛沙格图、笛沙格平面，1964年，国际天文学联合会以他的名字命名一个月球环形山．他建立了统一的二次曲线理论，是从笛沙格定理三角形的角度，也是笛沙格定理的退化（参见南师大周兴和著《高等几何》第四章P 98，科学出版社，2003）．二、引例先看一个引例：引例．对于一已知点()00,M x y 和一已知圆C ：222x y r +=，直线l 的方程200x x y y r+=（*）的几何意义有如下3种情形：（1）当点()00,M x y 在圆C 上时，方程(*)表示为经过点M 的圆的切线，切点为()00,M x y ；（2）当点()00,M x y 在圆C 的外部时，方程(*)表示为过点M 的两条切线的切点弦所在的直线．点()00,M x y 在切点弦的中垂线上．（3）当点()00,M x y 在圆C 的内部，且M 不为圆心时，方程(*)表示为过点M 的对应点N （即以点M 为中点的弦端点的两条切线的交点N ），且与以M 为中点的弦平行的直线．202200r y x y ⎫⎪+⎭若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线．由图4同理可知，PM为点N对应的极线，称为自极三点形．设直线MN交圆锥曲线于点A，B两点，则【定理1】（1）当P在圆锥曲线Γ上时，则点1PB证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则PR PR RQ R '=可得2OR OP OQ =⋅．反之由此式可推出PR PR RQ R Q =''，即点【推论4】如图7，A ，B 圆锥曲线Γ的一条对称轴关于Γ调和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于P 【推论6】如图9①～③，已知点Q 、直线l 和圆锥曲线,M N ，在直线l 上任取一点P ，连结PQ ，分别过点Q 与直线l 是Γ的一对极点与极线，则2MPN S ∆=【定理3】（配极原则）点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点证明：点P 的坐标用0标记，点Q 的坐标用1标记，点P 的极线为，图17注意其中的,B D 两点，我们固定,,,A C E F 点，先让B 与C 重合，D 与F 重合，这样，,BC DF 直线就成了椭圆的切线．我们得到一个圆锥曲线的内接四边形，这相当于帕斯卡定理的极限情形，我们对这个边形”用帕斯卡定理，就可以知道对边交点,X Z 与,C F 对应切线的交点在L 上．值得注意的是CF 是切点弦，说明L 是切点弦CF 上某个点的极线．边形”使用帕斯卡定理，由于前后2次使用帕斯卡定理的对象其实本质上是一个六边形，因此L不会变化，那么A，E处的切线交点也在L上，同理AE是切点弦，说明L是切点弦AE上某个点的极线．两个点的极线都是L，说明这两个点必须是同一个点，也就是AE，CF的交点，也就是四边形对角线的交点．由此我们得到一个重要的结论：对于圆锥曲线内部任意一个定点P，对于任何内接四边形，只要这个四边形的对角线交点是这个定点，那么其对边所在直线的交点，对顶点处的切线的交点，都在这个定点的极线上．这是后面论述几何作图的重要基础．图18四、极点与极线的几何作图1．几何作图：求圆锥曲线内一点的极线图19利用前面的分析就非常简单了，过A任意作两条直线交圆锥曲线于四点，这就构成了一个以A为对角线交点的四边形，两组对边所在直线的交点所构成的直线就是准线．这里还有一些结论，我们让其中一组对边所在直线的交点在极线上运动起来，那么这个四边形就是变化的，但是对角线的交点始终是A．如果过A点作极线的平行线，那么就是中点弦了，这里还有一个蝴蝶定理，可以参考“微专题：蝴蝶定理”．2．几何作图：求圆锥曲线外一点的极线，进而求出切线设圆锥曲线外一定点是A，过任意作三条直线交圆锥曲线于六个点，将相邻的四个点交叉相连，得到B，C两点．对于B，B相当于是一个四边形的对角线交点，而A是对边所在直线的交点，根据之前的结论，B极线过A．再根据性质三，A的极线也过B．同理，A极线也过C，那么根据两点确定一条直线，直线BC就是A的极线．直线BC与圆锥曲线交于D和另外一个点（图中没有标出），连接AD，就是切线．对于另外一个点也是如此．这不失为一种画切线的好方法．3．几何作图：求圆锥曲线外一点的极线，也就是切线曲线上有一定点A，为了求出切线，可以想办法构造图形，方便利用前面的结论．任意做一个以A为顶点的四边形，对角线交点为C，利用前面的结论先作出C的极线．在AC上任取一点B，作出B的极线与C的极线交于Q．由于B的极线，C的极线过Q，那么Q的极线过BC，事实上BC就是Q的极线．那么A就是切点弦的一个端点了，连AQ，即为切线．B在AC上运动时，极线会绕Q点转动，这是很明显的结论，不仅仅对极线是这样．证明略．C D重合．那么这两条我们现在想象，如果让这两条直线旋转起来，使得,A B重合，,F（1）当32CD=时，求直线l的方程；（1）若点P 的坐标为()2,2，求椭圆的方程；两点，且BP mBC = ，直线,OA OB （2019高考全国Ⅲ卷21）12．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线（1）设动点P满足224PF PB-=，求点（2）设12x=，21 3x=，求点T的坐标；（1）求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由参考答案：2）()11,A x y ，()22,B x y ，00(,)P x y ，由于点P 在圆M 上，,PA PB 是C 的两条切线，是切点，所以P 与切点弦所在直线AB ：00220x x y y --=互为极点与极线，联立02220,,4y y x --=可得200240x x x y -+=，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，()()()222222001212000001414164422x x x x x x x y xx y ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-=+⋅-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点AB 的距离为200244x y d x -=+，∴()()()2300222200002041114442224x y AB d xx y x y x -=⋅=+-⋅=-+，()()22200000041441215621y y y y y y -=-+-=---=-++，由已知可得053y -≤≤-[方法四]【结合弦长公式和向量的运算求面积】由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=，于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+2222||1||1()42(1)AB t x x t x x x x t =+-=++-=+.由224PF PB -=，得()(222x y x ⎡-+-⎣化简得92x =，故所求点P 的轨迹为直线92x =．1又121121,QA QB y y k k k x x x '--==-=-所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线所以12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='.故存在与P 不同的定点(0,2)Q ，使得【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、。
极点与极线法解高中圆锥曲线
极点与极线法解高中圆锥曲线极点与极线在高等几何中是重要的概念，虽然不是《高中数学课程标准》规定的研究内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所涉及，自然也会成为高考试题的命题背景。
从几何角度来看，极点与极线的定义如下：设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E、F、G、H，连接EH、FG交于N，连接EG、FH交于M，则直线MN为点P对应的极线。
若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线。
由图1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线。
因此，将MNP称为自极三点形。
设直线MN交圆锥曲线于点A、B两点，则PA、PB 恰为圆锥曲线的两条切线。
定理1如图1，当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线在P点处的切线；当P在圆锥曲线外时，过点P作圆锥曲线的两条切线，设其切点分别为A、B，则点P的极线是直线AB（即切点弦所在的直线）；当P在圆锥曲线内时，过点P任作一割线交圆锥曲线于A、B，设圆锥曲线在A、B处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q的轨迹。
定理2如图2，设点P关于圆锥曲线的极线为l，过点P任作一割线交圆锥曲线于A、B，交l于Q，则①成立；反之，若有①成立，则称点P、Q调和分割线段AB，或称点P与Q关于圆锥曲线的调和共轭，或称点P（或点Q）关于圆锥曲线的调和共轭点为点Q（或点P）。
点P关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线。
推论1如图2，设点P关于圆锥曲线的调和共轭点为点Q，则有②成立；反之，若有②成立，则点P与Q关于圆锥曲线调和共轭。
可以证明，①与②是等价的。
事实上，由①可得到②，由②可得到①。
特别地，我们还有推论2如图3，设点P关于有心圆锥曲线（其中心为O）的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线的中心，则有OR²=OP×OQ，反之若有此式成立，则点P与Q关于圆锥曲线调和共轭。
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一道高考解析几何题的背景溯源
──极点、极线与圆锥曲线的位置关系
湖北省阳新县高级中学邹生书
题目已知椭圆的两个焦点，点满足，则
的取值范围是，直线与椭圆的公共点的个数是.
这是2010年高考湖北卷文科第15题，本题是一道涉及到点、直线与圆锥曲线的位置关系的判定的考题．从高等几何的观点知，这里的点和直线就是椭圆
的一对极点与极线，本题第二问实际上是：已知椭圆的极点在椭圆内，判断极线与椭圆的位置关系．据笔者之前发表的文章中圆锥曲线极点和极线的几何性质可得如下结论：
定理已知点和直线是圆锥曲线的一对极点与极线．（1）若极点在曲线上，则极线与曲线的相切于点；（2）若极点在曲线内，则极线与曲线的相离；（2）若极点在曲线外，则极线与曲线的相交．
由该定理不难知道，考题中的直线与椭圆相离，故公共点个数为0．若运用几何画板进行实验操作动态演示，不仅可以验证确认该结论，而且还可获得直观感知从而加深印象强化理解．本文将借用判别式法给出该定理的另一种证明．
为了表达方便我们给出圆锥曲线内部和外部的定义．圆、椭圆是封闭图形其内部和外部不言而喻，抛物线、双曲线不是封闭的是开的，我们参考一些杂志专著，对双曲线和抛物线的内部和外部给出如下定义：焦点所在的平面区域称为该曲线的内部，不含焦点的平面区域称为曲线的外部，曲线上的点既不在内部也不在外部．关于点与圆锥曲线位置关系我们有如下结论（这里证明从略）．
引理1已知点和抛物线．则（1）点在上
；（2）点在内；（3）点在外．
引理2已知点和椭圆（或圆）．则（1）点在
上；（2）点在内；（3）点在外．
引理3已知点和双曲线．则（1）点在上
；（2）点在内；（3）点在外．圆锥曲线把平面上的点分成三个部分：曲线上的点、曲线内的点和曲线外的点，每一部分的点的坐标对于曲线方程的左右两边的值具有相同的大小关系，真是“物以类集，人以群分”．下面将圆锥曲线分为抛物线、椭圆（圆）和双曲线三种情形，借用判别式法对定理给出如下证明．
定理1已知点和直线是抛物线的一对极点与极线．则（1）点在上直线与相切于点；（2）点在
内直线与相离；（3）点在外直线与相交．
证明由得，，将其代入抛物线方程得，
，所以．所以，（1）点在上
直线与相切于点；（2）点在内
直线与相离；（3）点在外直线与相交．
定理2已知点和直线是椭圆（圆）
的一对极点与极线．则（1）点在上直
线与相切于点；（2）点在内直线与相离；（3）点在
外直线与相交．
证明当时，．则（1）点在
直线与相切于点；（2）点在内
直线与相离；（3）点在外
直线与相交．
当时，，将其代入曲线方程整理得，
．所以．所以，
（1）点在上直线与相切于点；（2）点
在内直线与相离；（3）点在外
直线与相交．
综上所述，命题结论正确．同理可证如下如下结论：
定理3已知点和直线是双曲线
的一对极点与极线．则（1）点在上直线与相切于点；（2）点在内直线与相离；（3）点在
外直线与相交．
下面举例说明极点、极线与圆锥曲线位置关系在解题中的应用．
1.判断点与圆锥曲线的位置关系
例1若直线和没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点（）
至少有一个有两个只有一个不存在
解显然点和直线恰好是的一对极点和极线，又极线与圆没有公共点，所以极点在圆内，所以，所以，所以，
所以点在椭圆内（实际上，由图形可知圆上除两个点在椭圆上外，其余点均在椭圆内，
因点在圆内，则点必在椭圆内），故过点的直线与椭圆相交有两个公共点，故应选．
例2已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是．
解因为极线与双曲线没有公共点，所以对应极点
在双曲线内部，所以有，故的取值范围是．
2.判断直线与圆锥曲线的位置关系
例3若点是内一点，直线是以点
为中点的弦所在的直线，直线的方程为，则（）
，且与相离，且与相交
，且与相离，且与相交
解显然点和直线恰好是的一对极点和极线，因极点在圆内，所以极与圆相离．又是直线的一个法向量，所以，而直线是以点为中点的弦所在的直线，所以，所以．故应选．
例4已知曲线，过点能否作一条直线，与双曲线相交于两点，且点是线段的中点？
解假设存在这样的直线．设，则，两式相减得，．因点是线段的中点，所以
，代入上式可得．若则有，于是
两点重合不合题意，所以，所以，即直线的斜率为，故直线的点斜式方程为，即．将直线方程化为双曲线的极线方程形式
得，因直线对应的极点为，而，所以极点在双曲线内，从而直线与双曲线相离没有公共点，这与假设矛盾，故不存在这样的直线．。