数学分析选讲

《数学分析选讲》课程教学大纲

课程编号:02200070

课程名称：数学分析选讲

英文名称： Topics on Mathematical Analysis

课程类型: 专业任选课

总学时： 108 讲课学时： 108 习题课学时： 0

学分： 4

适用对象: 数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本科四年级

先修课程：数学分析

一、课程简介

本课程是为四年级准备考研的学生开设的《数学分析》复习课。在教学过程中着重按解题方法、解题技巧和题目的类型，将学生已学过的数学分析知识进行归纳、总结，并根据考研的需要作适当的拓宽和补充。通过该课程的学习，使学生对数学分析的内容、方法和技巧有一个整体的提高。同时使学生分析问题、解决问题的能力得到加强。

二、课程性质、目的和任务

本课程属于数学学院各专业的专业任选课，是为四年级准备考研的学生开设的《数学分析》复习课。其目的是使学生通过该课程的学习，能将《数学分析》的基本知识系统化，将常用的方法和技巧熟练化；使学生分析问题、解决问题的能力有一个整体提升。

三、教学基本要求

由于《数学分析》的考研试卷是由各招生单位自己命题，而且没有统一的考试大纲要求。因此在复习时，所有知识点及一些常用的方法和技巧都很重要。另外，由于考研题多为综合题，因此加强各章节之间的联系和解题方法的综合使用就显得尤为重要。为此，我们在教学过程中打破了《数学分析》教材中原有的章节次序，着重按解题方法、解题技巧和题目类型组织教学。重点是复习《数学分析》的基本理论、基本方法，通过典型例题的讲解使学生分析问题、解决问题的能力得到提高。

四、教学内容及要求

第一讲极限

§1.用极限的定义验证极限；§2.用单调有界定理证明极限的存在性；

§3.用迫敛性定理求极限；§4.用柯西收敛准则证明极限的存在性；

§5.用施图兹定理求极限；§6.用泰勒展开式求极限；

§7.用中值定理求极限；§8.两个重要极限罗比塔法则；

§9.用定积分的定义求极限；§10.其它

教学要求：掌握证明数列极限和函数极限存在性常用的方法，并会求一些数列和函数的极限。

第二讲一元函数的连续性

§1.一元函数的连续性；§2.一致连续；§3.闭区间上连续函数的性质及其应用

教学要求：掌握证明函数连续和一致连续的各种方法；熟悉一致连续的几种等价命题；了解与闭区间上连续性函数性质有关的证题方法.

第三讲一元函数的微分学

§1.导数与微分；§2.高阶导数；§3.微分中值定理及其应用；§4.泰勒公式；§5.函数零点个数的讨论

教学要求：熟练掌握各种函数的求导法；掌握与微分中值定理及泰勒公式有关的解题方法和技巧；了解讨论函数零点个数的方法.

第四讲一元函数的积分学

§1.不定积分的计算；§2.定积分的计算；§3.函数的可积性理论；§4.定积分的性质及其应用；§5.广义积分

教学要求：熟练掌握不定积分、定积分的计算方法和技巧；掌握可积函数的充要条件，并会用它证明函数的可积性；掌握与积分中值定理有关的证题方法和技巧；了解广义积分敛散性的判别，并掌握广义积分的计算方法和技巧.

第五讲级数

§1.数项级数；§2.函数项级数；§3.幂级数；§4.傅里叶级数

教学要求：掌握数项级数的收敛判别法，会求简单级数的和；掌握函数项级数收敛和一致收敛的判别法，以及和函数的分析性质；掌握幂级数收敛域的求法和初等函数的幂级数展开，以及幂级数展开式的简单应用；掌握傅里叶级数的收敛定理及傅里叶级数的性质.

第六讲多元函数的微分学

§1.多元函数的极限与连续；§2.多元函数的偏导数与全微分；§3.隐函数（组）存在定理及隐函数求偏导；§4.偏导数的应用

教学要求：熟悉多元函数极限的求法和连续性的证法；掌握多元函数的偏导数、方向导数、梯度、全微分等的求法，以及证明多元函数可微的方法；掌握隐函数（组）存在定理及求隐函数偏导的方法；掌握多元函数极值与最值的求法以及在几何上的应用.

第七讲多元函数的积分学

§1.含参变量积分；§2.重积分；§3.曲线积分；§4.曲面积分

教学要求：掌握含参变量非正常积分一致收敛的判别法，熟悉利用积分号下积分法和积分号下微分法求含参变量非正常积分的方法和技巧；熟练掌握二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的计算技巧；熟悉格林公式、高斯公式和斯托克斯公式的内容及应用方法.

第八讲不等式

§1.几个著名的不等式；§2.利用凸函数的性质证明不等式；§3.利用函数的单调性与极值证明不等式；§4.积分不等式

教学要求：熟记常用的不等式；掌握证明不等式的方法与技巧；熟悉与积分有关的不等式的证明技巧.

五、实践环节

（无）

六、课外习题及课程讨论

把一些高校的考研题目让学生作为课外练习。

七、教学方法与手段

课堂讲授。

八、各教学环节学时分配

九、考试方式

闭卷考试.

十、推荐教材和教学参考书

教材：自编讲义《数学分析选讲》

参考书：

1、裴礼文：《数学分析中的典型问题与方法》.北京：高等教育出版社，1993年；

2、方企勤，林源渠：《数学分析习题课教材》.北京：北京大学出版社，1990年. 十一、说明

（无）

大纲制订人：陈守信

大纲审定人：冯淑霞

制订日期：2007年3月15日