连续函数及其性质
数学中的连续函数概念及其性质
数学中的连续函数概念及其性质连续函数是数学分析中非常重要的概念之一。
在数学中，连续函数是指在定义域上没有突变或断裂的函数。
具体来说，连续函数可以用以下方式定义：对于任意给定的x值，如果在x上的函数值与x靠近的函数值非常接近，那么该函数就是连续的。
连续函数在不同的数学领域中都有广泛的应用。
首先，连续函数具有局部性质。
这意味着在一个连续函数中，任意小的定义域范围内的变化都会引起相应的函数值的变化。
换句话说，如果一个连续函数在一个点上发生了微小的变化，那么在该点附近的函数值也会有相应的微小变化。
这个性质使得连续函数在物理学、经济学和工程学等实际问题中具有广泛的应用。
其次，连续函数具有介值性质。
也就是说，如果一个连续函数在定义域的两个端点上取不同的函数值，那么它在这两个端点之间的某个位置上的函数值一定会等于这两个端点的中间值。
这个性质使得连续函数在求解方程和不等式的问题中有很多应用。
此外，连续函数还具有零点性质。
如果一个连续函数在定义域的两个端点上取正负两个不同的函数值，那么它在这两个端点之间一定存在一个零点。
这个性质在数值方法中求解方程和优化问题时经常被用到。
进一步探讨连续函数的性质，我们可以观察到在一个闭区间上连续函数一定是有界的。
也就是说，如果一个函数在闭区间上连续，那么它在该区间上的函数值一定存在上界和下界。
这个结论可以通过连续函数的介值性质和闭区间的紧致性（即有界闭区间的性质）来证明。
此外，连续函数的和、差、积和商仍然是连续函数。
也就是说，如果两个函数在定义域上连续，那么它们的和、差、积和商在这个定义域上仍然是连续的。
这个性质在数学分析中非常重要，因为它使得我们能够将已知的连续函数进行组合，从而构造出更复杂的连续函数。
最后，连续函数可以通过微分和积分进行进一步的分析。
如果一个函数在某一点的导数存在，那么该函数在该点处是连续的。
反之，如果一个函数在某一点处不连续，那么它在该点处的导数也不存在。
类似地，如果一个函数在定义域上可积，那么该函数在该定义域上是连续的。
第十一章第三节连续函数的性质
４、连通集的定义
设Ｓ为Ｒn中点集，如果连续函数r:[0,1] →Rn的值域全部 落在Ｓ中，称r为Ｓ中的一条道路，r(0)和r(1)称为道路的起 点和终点。
如果Ｓ中任意两点x,y都存在Ｓ中满足r(0)=x,r(1)=y的道路， 称S是道路连通的或者称为连通集。
连通的开集称为开区域，开区域和它的边界一起构成闭区 域。
n
若函数f 在紧集
合 K R 上 连 续 ， 则 f 在 K上 一 致 连 续. 即 （ 对 任 何 0， 总 存 在 只 依 赖 于 的 正 数 ， 使 得 对 一 切 点 P、 Q， 只 要 P， Q） ， 就 有 （ |f(P )-f(Q )| .)
证明：
５、连通集上的连续函数的性质
定理4 设 K为 连 通 的 紧 集 ,函 数 f 在 K R 上 连
n
续 ， 那 么 f(K)是 连 通 集 .
推论：连续函数将连通的紧集映成闭区间。
定 理 5(中 间 值 定 理 ）
n
设 K为 连 通 的 紧 集 ,
函 数 f 在 K R 上 连 续 ， 那 么 f(x)可 取 到 它 在 K 上 的 最 小 值 与 最 大 值 之 间 的 一 切 值 ,换 言 之 f(x)的 值 域 是 [m,M].
第十一章: Euclid空间的极限和连续
第三节：连续函数的性质
１、连续函数概念推广：
定义：
设 K R , f : K R 为 定 义 在 点 集 K上 的 向 量
m n
值 函 数 ,x 0 K , 对 于 任 给 的 正 数 ， 总 存 在 相 应 的 正 数 ， 只 要 x U x 0； ） K ， 就 有 （ | f ( x ) f ( x 0 ) | 则 称 f 点 x 0 连 续 .若 f 在 K上 任 何 点 都 连 续 ， 则 称 f 为 K上 的 连 续 函 数 .如 K是 紧 集 ,称 f是 紧 集 上的连续函数.
连续函数的定义和性质
连续函数的定义和性质连续函数是数学中一个重要的概念，它在实际问题的建模和解决中起着关键的作用。
本文将讨论连续函数的定义和性质，以帮助读者更加深入地理解和应用连续函数。
一、连续函数的定义连续函数的定义是基于极限的概念的。
设函数$f(x)$在点$x=a$的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的数$\varepsilon>0$，都存在一个正数$\delta>0$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-f(a)|<\varepsilon$成立，那么称函数$f(x)$在点$x=a$连续。
二、连续函数的性质1. 连续函数的四则运算性质如果函数$y=f(x)$和$y=g(x)$在点$x=a$连续，则它们的和、差、积、商函数也在点$x=a$连续。
2. 连续函数的复合性质设函数$y=f(x)$在点$x=a$连续，函数$y=g(u)$在点$u=f(a)$连续，则复合函数$y=g[f(x)]$在点$x=a$连续。
3. 连续函数的介值性质设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$和$f(b)$异号，则方程$f(x)=0$在区间$(a,b)$内至少有一个根。
4. 连续函数的最大值和最小值定理设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，那么$f(x)$在该闭区间上必有最大值和最小值。
5. 连续函数在有界闭区间上的均匀连续性质设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则对于任意给定的正数$\varepsilon>0$，都存在一个正数$\delta>0$，当$|x-y|<\delta$时，有$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$成立。
三、连续函数与间断点函数可分为连续函数和间断函数两类。
连续函数在定义域内无间断点，而间断函数则存在间断点。
1. 第一类间断点函数$f(x)$在$x=a$处有第一类间断点，当且仅当存在左右极限$\lim_{x \to a^-} f(x)$和$\lim_{x \to a^+} f(x)$，且两者不相等。
函数的连续性极其性质
了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.无穷大量和无穷小量无穷大量我们先来看一个例子：已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。
为此我们可定义如下：设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当时，成立，则称函数当时为无穷大量。
记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）同样我们可以给出当x→∞时，无限趋大的定义：设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函数当x→∞时是无穷大量，记为：。
无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量。
定义：设有函数，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式(或)的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函数当(或x→∞)时为无穷小量.记作：(或)注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。
无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.。
关于无穷小量的两个定理定理一：如果函数在(或x→∞)时有极限A，则差是当(或x→∞)时的无穷小量，反之亦成立。
定理二：无穷小量的有利运算定理a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量.无穷小量的比较通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。
定义：设α，β都是时的无穷小量，且β在x0的去心领域内不为零，a)：如果，则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小；b)：如果，则称α和β是同阶无穷小；c)：如果，则称α和β是等价无穷小，记作：α∽β(α与β等价)例：因为，所以当x→0时，x与3x是同阶无穷小；因为，所以当x→0时，x2是3x的高阶无穷小；因为，所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小。
函数的连续性连续函数的定义与性质
函数的连续性连续函数的定义与性质函数在数学中起着重要的作用，而函数的连续性是函数理论中的一个基本概念。
本文将探讨函数的连续性以及连续函数的定义和性质。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在某个区间上的“连续程度”，也就是函数在区间上是否存在间断点。
如果函数在某个点上连续，则说明函数在该点上没有间断，可以通过一个流畅的曲线来表示。
而如果函数在某个点上不连续，则说明函数在该点上存在间断，无法用一个曲线来表示。
在数学中，有三种类型的间断点：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
可去间断点指的是当函数在某个点上无定义时，如果通过修改函数在该点的定义，可以使函数在该点上连续，则该点是可去间断点。
跳跃间断点指的是当函数在某个点上左右两侧的极限存在，但两个极限不相等时，该点是跳跃间断点。
无穷间断点指的是当函数在某个点上的极限为无穷大或无穷小时，该点是无穷间断点。
二、连续函数的定义与性质连续函数是指在定义域上的每个点上都连续的函数。
如果一个函数在其定义域内处处连续，则称为全局连续函数；如果一个函数只在某个区间内连续，则称为局部连续函数。
连续函数具有以下重要性质：1. 若函数f(x)和g(x)都是连续函数，则它们的和f(x)+g(x)、差f(x)-g(x)以及积f(x)g(x)也是连续函数。
2. 若函数f(x)和g(x)都是连续函数，且g(x)不为0，则它们的商f(x)/g(x)也是连续函数。
3. 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
换言之，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且函数g(t)在区间[c,d]上连续，且f(b)位于g(t)的定义域内，则复合函数f(g(t))在区间[c,d]上连续。
4. 连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值。
形式化地表达就是，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在该区间上存在最大值和最小值。
5. 连续函数的中间值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且f(a)≠f(b)，那么对于任意介于f(a)和f(b)之间的值c（f(a)<c<f(b)或者f(b)<c<f(a)），在开区间(a,b)内至少存在一个点x0，使得f(x0)=c。
函数的连续性
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m 之间的任何值 >>>
作业：
P43 习题1—6 2、（2） 3、（4） 4、 5、
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❖最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
应注意的问题:
并非任何函数都有最大值和 最小值
例 如 ， 函 数 f(x)=x在 开 区 间 (a b)内既无最大值又无最小值
•间断点的定义
设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提 下 如果函数 f(x)有下列三种情形之一
(1)在x0没有定义
(2)虽然在x0有定义 但 lim f(x) 不存在
x x0
(3)虽然在x0有定义且lim f(x)存在 但 lim f(x)f(x0)
x x0
x x0
则函数 f(x)在点x0不连续 而点x0称为函数 f(x)的不连续点
lim
x x0
P(
x)
=
P(x0
)
注: 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续
在左端点连续是指右连续
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❖连续函数
在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的 连续函数 或者说函数在该区间上连续
•连续函数举例 2 函数 y=sin x 在区间(- +)内是连续的
这是因为 函数y=sin x在(- +)内任意一点x处有 定义 并且
lim Dy =0
Dx0
lim [
x x0
f
(x)-
f
(x0)]= 0
连续函数性质及其在实际问题中的应用分析
连续函数性质及其在实际问题中的应用分析连续函数是数学分析中的重要概念，它在许多实际问题的建模和解决中发挥着关键作用。
本文将介绍连续函数的性质，并探讨其在实际问题中的应用。
连续函数是一种在数学上严格定义的函数，其定义是基于极限的概念。
简而言之，一个函数在某一点处连续，意味着当自变量的取值趋近于该点时，函数值也趋近于该点。
连续性具有以下重要性质：1. 接近性：连续函数的一个关键特征是当自变量接近某一值时，函数值也趋近于相应的值。
这使得我们可以在自变量的一个附近进行近似计算，从而简化问题的求解过程。
2. 切比雪夫性质：连续函数具有切比雪夫性质，即在定义域上任意取定两个数值a和b（a<b），函数在[a，b]区间上连续。
这意味着函数的图像在[a，b]区间上没有突变或跳跃，而是平滑而连贯的。
在实际问题中，连续函数广泛应用于许多领域，例如物理学、经济学和工程学等。
以下是一些实际问题中连续函数的应用示例：1. 压力传感器：在工程领域，压力传感器用于测量气体或液体的压力。
通过使用一个连续函数来表示压力-电压转换关系，可以将传感器输出的电压值转换为相应的压力值。
连续函数的应用使得我们可以在离散取样的压力值之间进行插值，从而获得更精确的测量结果。
2. 股票价格预测：在经济学中，连续函数可用于预测股票价格的变化趋势。
通过分析历史数据，建立一个连续函数模型来描述价格的变化，并通过这个模型来预测未来的价格。
连续函数可以提供比离散数据更准确的预测结果，并帮助投资者做出更明智的投资决策。
3. 光滑曲线拟合：在科学研究中，连续函数常用于光滑曲线的拟合。
通过选择最佳的连续函数模型，可以将离散的实验或观测数据用曲线来近似表示，从而更好地理解数据背后的规律。
这种拟合可以用于预测未来的趋势或优化实验设计。
4. 数值积分：连续函数在数值积分中起着重要的作用。
数值积分是一种用离散数值逼近连续函数积分值的方法。
通过将连续函数划分为一系列小的区间，并通过在区间上的离散点上计算函数值的数值平均，可以得到积分的近似值。
函数的连续性
函数的连续性函数的连续性是数学中重要的一个概念，它描述了函数在某个点附近的表现。
连续性可以用来刻画函数的光滑程度和连贯性，对于分析和解决实际问题具有重要的意义。
本文将详细介绍函数的连续性以及相关的性质和定理。
1. 连续函数的定义与性质连续函数是指在定义域上的每一个点都具有连续性的函数。
具体而言，若函数f(x)在某一点x=a处的极限存在且与f(a)的函数值相等，那么函数f(x)在点x=a处连续。
连续函数具有以下重要性质：- 连续函数的和、差、积仍为连续函数；- 连续函数的复合函数仍为连续函数；- 有界闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值。
2. 初等函数的连续性初等函数是由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等通过有限次的代数运算与函数复合得到的函数。
初等函数在其定义域上都是连续函数。
初等函数的连续性可以通过初等函数的定义和性质来证明。
以指数函数为例，指数函数f(x) = exp(x)在整个实数域上都是连续函数，因为它是由幂函数与以基数e为底的指数函数复合得到的。
3. 间断点与连续点函数可以在某些点上具有间断现象，这些点称为间断点。
间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
相应地，函数在某些点上具有连续性，这些点称为连续点。
可去间断点是指在该点处存在左极限和右极限，但极限值不相等。
通过修正函数在该点处的定义可以使其连续。
跳跃间断点是指在该点处左右极限存在且不相等，函数在该点处无法修正。
4. 连续函数的中值定理中值定理是连续函数的重要定理之一，它刻画了连续函数在某个区间上的平均增长率等于其两个端点处斜率之间某个值的关系。
根据中值定理，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且可导于开区间(a,b)内，则存在一个点c∈(a,b)，满足f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)。
这个定理在微积分和实际问题的分析中有广泛的应用。
5. 连续函数的一致连续性一致连续性是连续函数的另一个重要性质，它描述了函数在整个定义域上的连续性。
连续函数的性质
x
n
在[ 0
, )
上亦为连续且
y x 在 R内 续 取 连 ，
2
x x 0 1, x x 0 1
x0
( 2 x 0 1), 0 , 取 min(
2
2 x0 1
,1)，
得 当
x x0 , 有 x
x0
2
.
指 函 的 续 数 数 连 性
且严格增. 关于其它的反三角函数
sin( x tanx
2
) cos x 复 函 连 性 合 数 续 , cot x . cos x sin x , sec x
R上 续 . 连 1 cosx , csc x 1 sin x
sinx cosx
在 义 内 续 定 域 连
由 函 的 续 知 反 数 连 性 所 域 连 内 续 .
到, 具体过程请读者自行给出.
我们知道,常函数 y = c 与线性函数 y = x 都是 R 上 的连续函数, 故由四则运算性质, 易知多项式函数
P ( x ) a 0 a1 x a n x
n
也是连续函数.
同理,有理函数
P(x) Q(x) a 0 a1 x a n x b 0 b1 x b m x
x 0的 离 于 距小
.
y 1 f ( x1 ) , y 2 f ( x 2 ) ,
令
min{ y 2 y 0 , y 0 y 1 } 0 ,
x f
1
1
当 y U ( y0 ; ) 时 对 ， 应
( y )的 都 在 值 落
x1与 x 2 之 ， 间
高等数学 第6节 函数的连续性
因为
，所以此函数不连续.
定义4 设在x0的任何邻域内总有异于x0而属于函数
f (x)的定义域的点，而 f (x) 在x0处不连续，
则称x0是函数
f (x)
的一个间断点.
• 若 lim f ( x) 存在，且 lim f ( x) A ，而函数 y f (x) 在点 x 0 x x x x 处无定义，或者虽然有定义，但 f ( x0 ) A，则点x 0 是函数 y f (x)的一个间断点，称此类间断点为函数
一切初等函数 在定义区间内 连续
例如,
y 1 x 的连续区间为
2
(端点为单侧连续)
y ln sin x 的连续区间为
而 y
cos x 1 的定义域为
因此它无连续点
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例7. 设
x 1 x, ( x) x 4 , x 1
讨论复合函数 解:
例1. 证明函数
在
内连续 .
证: x ( , )
y sin( x x) sin x
y 2 sin
x 2
cos( x
x 2
)
x
x 0
0
即 这说明 在 在
机动
内连续 .
同样可证: 函数
内连续 .
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例2. 设函数
y
又如,
1
o
1
x
y
也无最大值和最小值
2
1
o
1
2
x
机动
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有界性: 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
连续函数的基本性质
第八节 连续函数的基本性质一．初等函数的连续性（一）连续函数的运算性质定理１：如果函数)(x f 、)(x g 均在点0x 处连续，则（1）)()(x g x f βα+在点0x 处连续（βα,为常数）；（2）)()(x g x f 在点0x 处连续；（3）)()(x g x f 在点0x 处连续（0)(0≠x g ）； x y sin =、x y cos =在区间),(+∞-∞内连续，x x y cos sin +=、x x y cos sin ⋅=在区间),(+∞-∞内连续，x x x y cos sin tan ==在2ππ+≠k x 处连续 （二） 反函数和复合函数的连续性 1．定理2：如果函数y ＝)(x f 在区间x I 上单值、单调增加（或单调减少）且连续，那末它的反函数)(y x ϕ=也在对应的区间{}x y I x x f y y I ∈==),(|上单值、单调增加（或单调减少）且连续。
2．定理3：设函数)(x u ϕ=当0x x →时的极限存在且等于a ，即a x x x =→)(lim 0ϕ，而函数)(u f y =在点a u =连续，那末复合函数()[]x f y ϕ=当0x x →时的极限存在且等于)(a f ，即()[]()a f x f x x =→ϕ0lim 。
注：（1）将定理５中的条件：0x x →换为∞→x 时相应的结论也成立。
（2）如果函数)(x u ϕ=、)(u f y =满足定理５的条件，则有下式成立： ()[]()())lim (lim 00x f a f x f x x x x ϕϕ→→==。
即在满足定理５的条件下，求复合函数()[]x f y ϕ=的极限时，函数符号和极限符号可以交换次序。
例1：求下列极限（1）)arcsin(lim 2x x x x -++∞→ （2）xx x )1ln(lim 0+→ （3）xx x μμ1)1(lim 0-+→ 定理4：设函数)(x u ϕ=在点0x x =连续，且()00u x =ϕ，而函数)(u f y =在点0u u =连续，那末复合函数()[]x f y ϕ=在点0x x =也是连续。
函数 连续
函数连续性一、函数连续性的定义函数连续性是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数在某一点或某一范围内的极限行为。
如果函数在某点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。
更具体地说，对于函数f(x)，如果lim(x→x0)f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续。
如果函数在定义域内的每一点都连续，则称函数为连续函数。
二、连续函数的性质连续函数具有许多重要的性质，这些性质在数学分析和实际问题中都有广泛的应用。
1.连续函数的和、差、积、商（分母不为零）也是连续函数。
2.连续函数的复合函数也是连续函数。
3.连续函数在闭区间上具有最大值和最小值。
4.如果函数在区间(a, b)的两端点处取值，则该函数在此区间内为常数。
5.连续函数的原函数存在且连续。
三、连续函数的判断要判断一个函数是否连续，需要求出函数的极限，并将其与函数值进行比较。
如果极限值等于函数值，则函数在该点连续；否则，函数在该点不连续。
对于一些特殊形式的函数，可以根据其性质来判断其连续性。
例如，多项式函数、三角函数等在其定义域内都是连续的。
四、连续函数的应用连续函数在数学和实际问题中都有广泛的应用。
例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，许多问题可以通过连续函数来描述其变化规律。
在解决实际问题时，我们需要选择适当的数学模型来描述问题，而连续函数作为一种常见的数学工具，被广泛应用于各种模型的建立和求解中。
此外，连续函数还在数值分析、微分方程、积分方程等领域中有广泛的应用。
五、不连续函数和分段函数的特性不连续函数是指在其定义域内某些点上不满足连续性的函数。
不连续点也称为间断点，其特点是函数的左右极限不相等或者不存在。
分段函数则是指在其定义域内由若干个不相交的区间组成的函数。
分段函数的每一段都可以是连续的或不连续的。
不连续函数和分段函数具有一些特殊的性质，例如在间断点处的取值、跳跃度等。
这些性质使得它们在某些特定的问题中有特殊的应用价值。
连续函数及其性质ppt课件
48-8
例 2.6.6 设 f (x) sin x ，由于 f (0) 不存在，故
x
lim f (x) lim sin x 1 f (0) ，
x0
x0 x
所以 f (x) 在点 x 0 处不连续。
再如：设
f
(x)
sin x
x
,
x 0, 由于
1, x 0,
例4
讨论函数
f
(x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
由已有结论知： 对于任意的 x0 (, ) ，
⑴
lim
xx0
sin
x
sin
x0
;
⑵
lim
xx0
cos
x
cos
x0
;
⑶
对任意多项式函数 f (x), lim x x0
f (x)
f (x0 ) ；
由 x0 的任意性，将以上 x0 换成任意点 x ，则得
sin x, cos x ，多项式函数 f (x)
(x0) ，就称函数
f
(x)
在点
x0
处连续.
直观理解：连续即指 极限值=函数值。.
48-2
例
2.6.1 由于
lim (ax
xx0
b)
ax0
b
，所以
y
ax
b
在
点 x x0 处连续。
例 2.6.2 由于lim x 0 0 ，所以 y x 在点 x 0 x0
函数的连续性(课件
函数在区间上的连续性
函数在区间上的连续性是指，对于该区间内的任意一点，函数在该点都连续。如 果一个函数在某个闭区间$[a, b]$内的每一点都连续，则称该函数在区间$[a, b]$ 上连续。
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闭区间上的连续函数满足中值定理， 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值相等，则该函数在这个区间内 至少有一个不动点。
闭区间上的连续函数具有介值性质， 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值异号，则该函数在这个区间内 至少有一个零点。
连续函数在无穷区间上的性质
连续函数在无穷区间上可以取到无穷大或无穷小 的值。
一致连续性
总结词
如果一个函数在其定义域内的任意两点x1 和x2，当x1趋近于x2时，函数值也趋近于 相同值，则称该函数一致连续。
VS
详细描述
一致连续性是连续函数的一个重要性质， 它表明函数在定义域内的任意两点之间的 变化都是均匀的。一致连续的函数在定义 域内不会出现剧烈的波动或间断，因此其 性质比较稳定。这个性质在解决一些数学 问题时也非常有用，例如求解函数的极限 等。
连续函数与不等式的关系
连续函数在定义域内的单调性可以用来证明不等 式。
3
利用连续函数证明不等式的方法
通过构造函数、利用函数的单调性、求导数等手 段，将不等式问题转化为连续函数的性质问题。
利用连续函数解决实际问题
实际问题的数学模型
实际问题通常需要建立数学模型进行描述和求解。
连续函数与实际问题的关系
高等数学第4章第2节连续函数的性质
§２ 连续函数的性质引言函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质，都可以移到连续函数中来．一、连续函数的局部性质性质１（局部有界性）若f 在0x 连续．则f 在某0()U x 有界．性质２（局部保号性）若f 在0x 连续，且0()0(0)f x or ><则对任何正数0(0,())r f x ∈0(((),0))r f x ∈，存在某0()U x 有()0(()0)f x r f x r >><<．注 ①在具体应用局部保号性时，r 取一些特殊值，如当0()0f x >时，可取0()2f x r =，则存在0()U x ，使得当0()x U x ∈有0()()2f x f x >；②与极限相应的性质做比较可见，这里只是把“极限存在”，改为“连续”，把0()U x 改为00()U x 其余一致．性质３．（四则运算）若f 和g 在0x 点连续，则0,,(()0)ff g f g g x g±⋅≠也都在点0x 连续．问题 两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？性质４（复合函数的连续性）若f 在点0x 连续，记00()f x u =，函数g 在0u 连续，则复合函数g f 在点0x 连续．注 1) 据连续性定义，上述定理可表为：00lim [()][()][lim ()]x x x x g f x g f x g f x →→==.（即函数运算与极限可以交换次序，条件是函数连续利用它可来求一些函数的极限．）例１． 求21limsin(1)x x →-.2) 若复合函数g f 的内函数f 当0x x →时极限为a ，又外函数g 在u a =连续，上面的等式仍成立．（因此时若00lim ()()x x f x a f x →==的话是显然的；若00lim ()()x x f x a f x →=≠，或()f x 在0x x =无定义，即0x 是f的可去间断点时，只需对性质４的证明做修改：“0||x x δ-<”为“00||x x δ<-<”即可）．故可用来求一些函数的极限．例２ 求极限（１）0x →（２）x 性质５（反函数的连续性）若函数f 在[,]a b 上严格单调并连续，则反函数1f -在其定义域[(),()]f a f b 或[(),()]f b f a 上连续．二、初等函数的连续性１．复习（关于初等函数）（１）初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数． （２）基本初等函数： 常量函数y C =； 幂函数y x α=；指数函数(0,1)x y a a a =>≠； 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠； 三角函数sin ,cos ,,y x x tgx ctgx =；反三角函数arcsin ,arccos ,,y x x arctgx arcctgx =．２．初等函数的连续定理１ 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数．定理２ 一切基本初等函数都是其定义域上连续函数． ３．利用初等函数的连续性可计算极限例３．设0lim ()0x x u x a →=>，0lim ()x x v x b →=，证明：0()lim ()v x b x x u x a →=．例４．求0ln(1)limx x x→+．例５ 求20ln(1)lim cos x x x→+．三 区间上连续函数的基本性质引 言闭区间上的连续函数具有一些重要的性质．现将将基本的列举如下．从几何上看，这些性质都是十分明显的．但要严格证明它们，还需其它知识，将在第七章§２给出．先给出下面的关于“最大大值”的定义：定义１ 设f 为定义在数集Ｄ上的函数，若存在0x D ∈，使得对一切x D ∈都有0()()f x f x ≥（0()()f x f x ≤），则称f 在Ｄ上有最大（小）值，并称0()f x 为f 在Ｄ上的最大（小）值．例如，sin ,[0,]y x π=．max 1y =、min 0y =．一般而言， f 在其定义域上不一定有最大（小）值，即使()f x 在Ｄ上有界． 例如：(),(0,1)f x x x =∈无最大（小）值；1,(0,1)()2,0,1x f x xx ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩在［０，１］上也无最大（小）值． １．性质性质１（最大、最小值定理）若f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有最大值与最小值． 性质２（有界性定理）若f 在[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有界．思考 ①考虑函数(),(0,1)f x x x =∈，1,(0,1)()2,0,1x g x x x ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩上述结论成立否？说明理由；②f 要存在最大（小）值或有界是否一定要f 连续？是否一定要闭区间呢？ 结论 上述性质成立的条件是充分的，而非必要的．性质３（介值定理）设f 在[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠．若μ是介于()f a 和()f b 之间的任何实数，则至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()f x μ=．注 表明若f 在[,]a b 上连续，又()()f a f b <的话，则f 在[,]a b 上可以取得()f a 和()f b 之间的一切值．（如左图）．性质４（根存在定理） 若f 在[,]a b 上连续，且()f a 和()f b 异号（()()0f a f b ⋅<），则至少存在一点0[,]x a b ∈，使得0()0f x =．几何意义 若点(,())A a f a 和(,())B b f b 分别在x 轴两侧，则连接Ａ、Ｂ的曲线()y f x =与x 轴至少有一个交点．２．闭区间上连续函数性质应用举例关健 构造适当的f ；构造适当的闭区间．例６．证明：若0r >，n 为正整数，则存在唯一正数0x ，使得0n x r =．例７．设f 在[,]a b 上连续，满足([,])[,]f a b a b ⊂．证明：存在0[,]x a b ∈，使得00()f x x =．四 一致连续性引言在连续函数的讨论和应用中，有一个极为重要的概念，叫做一致连续．我们先叙述何谓一致连续．设()f x 在某一区间Ｉ连续，按照定义，也就是()f x 在区间Ｉ内每一点都连续．即对00,0,(;)x I x U x εδ∀∈∀>∀∈时，就有0|()()|f x f x ε-<．一般说来，对同一个ε，当0x 不同时，δ一般是不同的．例如图左．中1y x=的曲线，对接近于原点的0x ，δ就应取小一些．而当0x 离原点较远时，δ取大一些．（对后者的δ值就不一定可用于前者．但在以后的讨论中，有时要求能取到一个时区间Ｉ内所有的点都适用的η，这就需要引进一个新概念——一致连续．１．一致连续的定义定义（一致连续） 设f 为定义在区间Ｉ上的函数．若对任给的0ε>，存在一个()0δδε=>，使得对任何,x x I '''∈，只要||x x δ'''-<，就有()()||f x f x ε'''-<，则称函数f 在区间Ｉ上一致连续． ２． 函数在区间上连续与一致连续的比较若f 在Ｉ上一致连续，则f 在Ｉ上连续；反之不成立（即若f 在Ｉ上连续，f 不一定在Ｉ上一致连续． ３． 问题：如何判断一个函数是否一致连续呢？有下面的定理：定理（康托Cantor 定理） 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上一致连续． ４．一致连续的例子例１． 证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续． 例２． （１）证明函数1y x=在(0,1)内不一致连续． （２）0c ∀>，证明 1y x=在(,1)c 内是一致连续的．例３． 证明 1sinx在(,1)c (0)c >内是一致连续的，而在(0,1)内连续但非一致连续． 例４． 设区间1I 的右端点为1c I ∈，区间2I 的左端点也为2c I ∈（12,I I 可分别为有限或无限区间）．试按一致连续性定义证明：若f 分别在1I 和2I 上的一致连续，则f 在12I I I =⋃上也一致连续． 作业：P81,1， 2， 3， 8， 9, 14。
连续函数的性质
f ( b ) b，证明 ( a, b ), 使得 f ( )
证： 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续，
而 F (a ) f (a ) a 0
F (b) f (b) b 0
由零点定理, ( a, b) 使
ymax 2
ymin 0
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上的连 续函数一定有最大值和最小值。
若 f ( x ) C[a, b], 则 1 , 2 [a, b], 使得 x [a, b], 有 f ( 1 ) f ( x ),
Байду номын сангаас
y
y f ( x)
f ( 2 ) f ( x )
(均在其定义域内连续 ) 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的。 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是
连续的。
定义区间是指包含在定义域内的区间。
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续。
例如,
y cos x 1,
D : x 0,2,4,
这些孤立点的邻域内没有定义。
又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理,
(0,1), 使 f ( ) 0, 即 3 4 2 1 0,
方程x 3 4 x 2 1 0在( 0,1)内至少有一根
例7 设函数 f ( x )在区间[a, b]上连续 , 且f ( a ) a,
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) f ( ) n
分界点为 x 1
lim f ( x ) lim x 1
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若f (0) f (a) 则F (0) F (a) 0
由零点定理知 (0,a)使F ( ) 0
即f ( ) f ( a) 总之 [0,a)使f ( ) f ( a)
注
①方程f(x)=0的根
内必有方程的根 ;
二分法
取
的中点
x
3 4
,
f (43) 0,
O
1 3 1x
2 4
则
(
1 2
,
3 4
)
内必有方程的根
;
可用此法求近似根.
例2 设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续, 且f (a) a,
f (b) b. 证明 (a, b), 使得 f ( ) .
则有 f ( x) K . 函数f ( x)在[a, b]上有界.
二、介值定理
函数 f ( x)的零点.
定理 3(零点定理) 设函数f ( x) 在闭区间 a, b
上连续，且 f (a)与 f (b) 异号(即 f (a) f (b) 0 ),
证明 [0,a)使f ( ) f ( a)
证 记F ( x) f ( x) f ( x a)则 F ( x)在[0,a]上连续([0,a]即F ( x)的定义域) 且F (0) f (0) f (a) F(a) f (a) f (2a) f (a) f (0)
证 令 F( x) f ( x) x, 则F( x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F (b) f (b) b 0, 由零点定理,
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
例3 设f ( x)在[0,2a]上连续，且f (0) f (2a)
余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较
一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值
介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。
思考与练习
1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它
函数f(x)的零点
②有关闭区间上连续函数命题的证明方法
10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理
20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数， 再利用零点定理
辅助函数的作法 （1）将结论中的ξ(或x0或c)改写成x
（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x) 则F(x)即为所求
区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，
几何解释: 连续曲线弧 y f ( x)与水平 直线 y C至少有一个交点.
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
值 M 与最小值 m之间的任何值. 例1 证明方程 x3 4x2 1 0在区间(0,1)内
至少有一根.
证 令 f ( x) x3 4x2 1, 则f ( x)在[0,1]上连续,
证 设 ( x) f ( x) C, y
M
则( x)在[a, b]上连续, B y f ( x)
且 (a) f (a) C
C a
A C,
o
A
x1 1 2 3 x2 b x
(b) f (b) C B C, m
(a) (b) 0, 由零点定理, (a, b),使 ( ) 0, 即 ( ) f ( ) C 0, f ( ) C.
又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理,
(a, b), 使 f ( ) 0, 即 3 4 2 1 0,
方程x3 4x2 1 0在(0,1)内至少有一根 .
说明:
x
1 2
,
f
(12)
1 8
0
,
则
(
1 2
,1)
oa
2
1 b x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y
y f (x)
y
y f (x)
1
o
x
o
12
x
2
定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定
在该区间上有界.
证 设函数f ( x)在[a, b]上连续, x [a, b],
有 m f ( x) M , 取 K max{ m , M },
在(0,)上, ymax ymin 1.
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
若 f ( x) C[a, b], y
则 1 ,2 [a, b],
y f (x)
使得 x [a, b],
有 f (1 ) f ( x),
f (2 ) f ( x).
一、最大值和最小值定理
定义: 对于在区间 I上有定义的函数 f ( x), 如果有 x0 I , 使得对于任一 x I 都有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x)在区间 I上的最大(小)值.
例如, y 1 sin x, 在[0,2]上, ymax 2, ymin 0; y sgn x, 在(,)上, ymax 1, ymin 1;
y f (x) 1 2 3 b x
定理 4(介值定理) 设函数 f ( x)在闭区间 a, b
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 f (a) A 及 f (b) B,
那末，对于 A与 B之间的任意一个数C ，在开区间
a, b内至少有一点，使得 f ( ) C (a b).
那末在开区间a, b内至少有函数f ( x) 的一个零
点,即至少有一点 (a b)，使 f () 0 .
即方程 f ( x) 0在(a, b)内至少存在一个实根 .
几何解释:
y
连续曲线弧 y f ( x)的两个 端点位于x轴的不同侧,则曲 a o
线弧与 x轴至少有一个交点.