高数(下册)复习资料完整

高等数学(向量代数—>无穷级数)知识点

向量与空间几何

向量：向量表示((a^b));向量运算(向量积)；向量的方向和投影

空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；直线方程(参数方程和投影方程)

平面方程：点法式(法向量)、一般式、截距式；平面夹角和距离

直线方程：一般式、对称式(方向向量)、参数式；直线夹角；平面交线(法向量积)

切平面和切线：切线与法平面；切平面与法线

多元函数微分学

多元函数极限：趋近方式，等阶代换

偏微分和全微分：高阶微分(连续则可等)；复合函数求导(Jacobi行列式)；

《

多元函数极值：偏导数判定；拉格朗日乘数法(条件极值)

重积分

二重积分：直角坐标和极坐标；对称性；换元法

三重积分：直角坐标、柱坐标和球坐标；对称性

重积分的应用：曲面面积；质心；转动惯量；引力

曲线与曲面积分

曲线积分：弧长积分；坐标曲线积分(参数方程)；格林公式

面积积分：对面积积分；坐标面积积分；高斯公式

无穷级数

级数收敛：通项极限

！

正项级数：调和级数；比较法和比较极限法；根值法；极限法；绝对收敛和条件收敛

幂级数：收敛半径和收敛域；和函数；麦克劳林级数(二次展开)

Fourier级数：傅里叶系数(高次三角函数积分)；奇偶延拓；正弦和余弦级数；一般周期的傅里叶级数

矢量分析与场论(空间场基础)

方向导数与梯度

方向导数：向量参数式；偏导数；方向余弦

梯度(grad)：方向导数的最值；梯度方向；物理意义(热导方向与电场方向)

格林公式：曲线积分—>二重积分；曲线方向与曲面方向

全微分原函数：场的还原；折线积分

通量与散度

·

高斯公式：闭合曲面—>三重积分；曲面外侧定向；曲面补齐；向量表达(通量) 散度(div)：通量的体积元微分；物理意义(有源场(电场)) 环流量与旋度

斯托克斯公式：闭合曲线—>曲面积分；向量积定向；行列式表达；向量表达；物理意义(环通量)

旋度(rot)：行列式斯托克斯公式；物理意义(有旋场(磁场))

向量代数

定义 定义与运算的几何表达

在直角坐标系下的表示

？

向量

有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=

,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===

模

向量a 的模记作a

a 222x y z a a a =++

和差

c a b =+ c a b =－

=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b

>

单位向量

0a ≠，则a a e a

=

a e 2

2

2

(,,)=

++x y z x y z

a a a a a a

方向余弦

设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos

cos y x z a a a a

a

a

αβγ=

=

=

，cos ，cos

cos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos

点乘（数量积）

θcos b a b a =⋅， θ为向量a 与b 的夹

角

—

z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a

叉乘（向量积） b a c ⨯=

θsin b a c =

θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直

z

y x

z y x

b b b a a a k j i

b a =⨯ 定理与公式

垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 》

0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=

平行

//0a b a b ⇔⨯=

//y z

x x y z

a a a a

b b b b ⇔==

交角余弦

两向量夹角余弦b

a b

a ⋅=θcos

2

2

2

2

2

2

cos x x y y z z

x y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++=

++⋅++

投影

向量a 在非零向量b 上的投影

cos()b a b

prj a a a b b

∧

⋅== 2

2

2

x x y y z z

b x y z

a b a b a b prj a b b b ++=

++

空间曲面

∑

：

0),,(=z y x F 法向量

000000000((,,),

(,,),(,,))

x y z n F x y z F x y z F x y z = 切平“面”方程：

000000000000(,,)()(,,)()

(,,)()0

x x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=

！

法“线“方程：

)

,,(),,(),,(0000

00000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=

-=- ),(y x f z = 0000((,),

(,),1)

x y n f x y f x y =--

或

0000((,),

(,),1)

x y n f x y f x y =-

切平“面”方程：

0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x

法“线“方程：

1

),(),(0

000000--=

-=-z z y x f y y y x f x x y x 重积分 积分类型

计算方法

典型例题

|

二重积分

()σ

d ,⎰⎰=D

y x f I <

平面薄片的质量

质量=面密度

⨯面积

（1） 利用直角坐标系

X —型 ⎰⎰⎰⎰=D

b

a

x x dy y x f dx dxdy y x f )

()

(21),(),(φφ

Y —型

⎰

⎰

⎰⎰=d

c

y y D

dx y x f dy dxdy y x f )

()

(21),(),(ϕϕ

P141—例1、例3

（2）利用极坐标系

】

使用原则

(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；

(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()x y α

+, α为实数 )

21()()

(cos ,sin )(cos ,sin )D

f d d d f d β

ϕθα

ϕθρθρθρρθ

θρθρθρρ

=⎰⎰⎰⎰

02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤

P147—例5

（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性

当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论） ；

P141—例2

应用该性质更方便