2014-2015学年度高二第二学期期中考试(理科)数学试题(带答案)

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2014-2015学年第二学期期中考试高二理科数学试题_1

2014-2015学年第二学期期中考试高二数学试题（理科）本试卷分选择题、填空题、解答题，满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、复数()32i i +等于（）.23.23.23.23A iB iC iD i ---+-+2、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒 3、已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=( ) A. 34i -B.34i +C.43i -D.43i +4.若复数z 满足z(1+i)=2i,则|z|= ( ) A.1 B.2C.5、设复数z 1,z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z 1=2+i,则z 1z 2=( )A.-5B.5C.-4+iD.-4-i6、用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（） A.方程20x ax b ++=没有实根. B .方程20x ax b ++=至多有一个实根. C .方程20x ax b ++=至多有两个实根.D .方程20x ax b ++=恰好有两个实根.7、直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A.B. C.2 D.48、已知ax x x f -=3)(在[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是( ) A. ),3(+∞ B. ),3[+∞ C. )3,(-∞ D. ]3,(-∞二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9、复数i m m z )1(12-+-=为纯虚数，实数=m ___________．10、已知函数)('x f y =的图象如图(1)所示(其中)('x f y =是函数)(x f y =的导函数)，则函数)(x f y =的增区间为_______．11、曲线x x y cos =在2π=x 处的切线的斜率是_______． 12、曲线y=e -5x +2在点(0,3)处的切线方程为_______．13、若曲线y=xlnx 在点P 处的切线垂直于直线x+2y+1=0,则点P 的坐标是_______． 14、设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r＝2S a ＋b ＋c；类比这个结论可知，四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，四面体ABCD 的体积为V ，内切球半径为R ，则R ＝___________．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答必须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本小题满分12分）求下列函数的定积分（1）(2x+e x )dx ；（2）设⎰∈∈=],1(,1]1,0[,)(2e x xx x x f (e 为自然对数的底数)，求⎰e 0f(x)d x 的值．16、（本小题满分12分）如图所示四棱锥ABCD P -，ABCD PA 平面⊥，为正方形，底面ABCD 的中点为PD E ，（1）证明： PB ∥平面AEC ．（2）证明：PAC BD 平面⊥。

2014-2015学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科)

高二年级期中考试数学试卷（理科）卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1. 设i 为虚数单位，则31t ＝（） A. iB. －iC. 1D. －12. 函数x xe y =的导函数y '＝（） A. xxeB. xeC. xe +1D. x e x )1(+3.⎰+1)2(dx x e x 等于（）A. 1B. 1-eC. eD. 1+e4. 在复平面内，复数iiz -=1（i 是虚数单位）对应的点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 函数x x x f ln 3)(+=的单调递增区间为（） A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0B. ),(+∞eC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1eD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e e ,16. 由直线0,3,3==-=y x x ππ与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为（）A.21B. 1C.23 D.37. 函数)(x f 是定义在),(+∞-∞内的可导函数，且满足：0)()(>>'x f x f x ，对于任意的正实数b a ,，若b a >，则必有（）A. )()(a bf b af >B. )()(b af a bf >C. )()(b bf a af <D. )()(b bf a af >8. 函数n m x ax x f )1()(-=在区间]1,0[上的图象如图所示，则n m ,的可能值是（）A. 1,1==n mB. 2,1==n mC. 1,2==n mD. 1,3==n m二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 设i 是虚数单位，复数iai-+21为纯虚数，则实数a 的值为____________。

10. 已知R b a ∈,，i 是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2)(bi a ____________。

2014—2015学年度南昌市第二学期期中测试卷高二数学(理科乙卷)参考答案及评分意见

— 高二数学(理科乙卷)答案第1页 —2014—2015学年度第二学期期中测试卷高二数学(理科乙卷)参考答案及评分意见一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.16π； 14.(042)--，，； 15 . 8 ； 16.3 . 三、解答题(共70分,要求写出主要的证明、解答过程） 17.解：假设4123a a a a λμν=++成立．1234(211)(132)(213)(325)a a a a =-=-=--=，，，，，，，，，，，∵，(22323)(325)λμνλμνλμν+--++--=，，，，∴．……………………..4分 22332235λμνλμνλμν+-=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，，，∴解得213λμν=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．………………………………………..8 分所以存在213v λμ=-==-，，使得412323a a a a =-+-．…………………10分 18.证明：//,EH FG EH ⊄面BCD ，FG ⊂面BCD∴EH ∥面BCD ……………….6分又EH ⊂面BCD ，面BCD面ABD BD =，∴EH ∥BD ……………….12分 19. (1)证明：连接BD 交AC 于O 点，连接OP因为O 矩形对角线的交点，O 为BD 的中点，P 为1DD 的中点，则1//BD OP ,又因为APC BD APC OP 面面⊄⊂1, 所以直线1BD //平面PAC ...........................4分(2) 因为1==AD AB 所以四边形为正方形，所以BD AC ⊥由长方体可知，AC DD ⊥1,而D DD BD =1 ，所以11B BDD AC 面⊥，且PAC AC 面⊂，则平面PAC ⊥平面11B BDD ……………….8分（3）由线面角定义及（2）可知，CPO ∠为PC 与平面11B BDD所成的角，由已知得即PC 与平面11B BDD 所成的角的大小为︒30……………….12分 20．解：（1）证明：方法一：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形. 则N ABB C B 111面⊥,且在面N ABB 1内，易证1BNB ∠为直角。

北京市重点中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试卷Word版含答案

．
x
15．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个
直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有 c 2 a 2 b 2．设想正方形
换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两
两垂直的三棱锥 O LMN ，如果用 S1 , S2 , S3 表示三个侧面面积， S4 表示
截面面积，那么类比得到的结论是
件
C. 在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条
件
D. 在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条
件
6．设函数 f (x) xln x ，则 f (x) 的极小值点为（）
A. x e
B.
x ln 2
C.
x e2
D.
x1
e
7．已知 21 1 2 ， 22 1 3 3 4 ， 23 1 3 5 4 5 6 , ．．．，以此类推，
北京市 2014～ 2015 学年度第二学期期中考试
高二数学（理）试卷
( 考试时间： 100 分钟总分： 100 分)
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合要求的 . ）
1．已知复数 z 满足： zi 2 i （ i 是虚数单位），则 z 的虚部为（）
A． 2 2i
B
． 2 2i
C
．1 i
D ．1 i
9．已知函数 f x 1 x2 cos x, f x 是函数 f x 的导函数，则 f x 的图
4
象大致是（）
10．设函数 y f x 在区间 a,b 上的导函数为 f x ，f x 在区间 a,b 上的导函数为 f x ，若区间 a,b 上 f x 0 ，则称函数 f x 在区间 a,b 上

高二数学-2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试卷

2014-2015学年高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，计70分）1．命题“∃x∈（0，2），x2+2x+2≤0”的否定是．2．“a＞1”是“＜1”成立的条件．3．复数z=，则=．4．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重复，则p=．5．观察下列不等式：1＞，1++＞1，1+++…+＞，1+++…+＞2，1+++…+＞，…，由此猜测第n个不等式为（n∈N*）．6．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有种．7．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=1，AB=2，N为AB上一点，AB=4AN，点M、S分别为PB、BC的中点，则SN与平面CMN所成角的大小为．8．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为．9．若A，B，C，D，E，F六个不同元素排成一列，要求A不排在两端，且B、C相邻，则不同的排法共有种（用数字作答）10．设α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β，其中所有正确命题的序号是．11．姜堰市政有五个不同的工程被三个公司中标，则共有种中标情况（用数字作答）．12．若定义在区间D上的函数f（x）对于D上的n个值x1，x2，…x n，总满足：[f（x1）+f（x2）+…+f（x n）]≤f（），称函数f（x）为D上的凸函数．现已知f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是．13．已知三点A（0，a），B（b，0），C（c，0），b+c≠0，a≠0，矩形EFGH的顶点E、H分别在△ABC的边AB、AC上，F、G都在边BC上，不管矩形EFGH如何变化，它的对角线EG、HF的交点P恒在一条定直线l上，那么直线l的方程是．14．已知函数f（x）=sin2x+2ax（a∈R），若对任意实数m，直线l：x+y+m=0与曲线y=f（x）均不相切，则a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．（14分）（2015春•江苏校级期中）已知复数z1=m（m﹣1）+（m﹣1）i，z2=（m+1）+（m2﹣1）i，（m∈R），在复平面内对应的点分别为Z1，Z2．（1）若z1是纯虚数，求m的值；（2）若z2在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围．16．（14分）（2015春•江苏校级期中）是否存在常数a，b 使得2+4+6+…+（2n）=an2+bn对一切n∈N*恒成立？若存在，求出a，b的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由．17．（15分）（2013秋•海陵区校级期末）在平面直角坐标系中，设△ABC的顶点分别为A （0，2），B（﹣1，0），C（2，0），圆M是△ABC的外接圆，直线l的方程是（2+m）x+（2m﹣1）y﹣3m﹣1=0（m∈R）（1）求圆M的方程；（2）证明：直线l与圆M相交；（3）若直线l被圆M截得的弦长为3，求l的方程．18．（15分）（2013•江苏）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．19．（16分）（2014春•姜堰市期中）现有0，1，2，3，4，5六个数字．（1）用所给数字能够组成多少个四位数？（2）用所给数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？（3）用所给数字可以组成多少个没有重复数字且比3142大的数？（最后结果均用数字作答）20．（16分）（2014•广州模拟）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c 的最小值；（3）若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．2014-2015学年高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，计70分）1．命题“∃x∈（0，2），x2+2x+2≤0”的否定是∀x∈（0，2），x2+2x+2＞0．考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：根据命题“∃x∈（0，2），x2+2x+2≤0”是特称命题，其否定为全称命题，即∀x∈（0，2），x2+2x+2＞0．从而得到答案．解答：解：∵命题“∃x∈（0，2），x2+2x+2≤0”是特称命题∴否定命题为：∀x∈（0，2），x2+2x+2＞0故答案为：∀x∈（0，2），x2+2x+2＞0．点评：本题主要考查全称命题与特称命题的转化．属基础题．2．“a＞1”是“＜1”成立的充分不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若a＞1，则＜1，即充分性成立，若a=﹣1，满足＜1，但a＞1不成立，即必要性不成立，则“a＞1”是“＜1”成立的充分不必要条件，故答案为：充分不必要点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．3．复数z=，则=1+2i．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的除法，求出复数z的代数形式，即可得到．解答：解：∵复数z====1﹣2i，∴=1+2i，故答案为：1+2i．点评：本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．4．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重复，则p=8．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定双曲线的右焦点坐标，再根据抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重复，即可求p的值．解答：解：双曲线中a2=12，b2=4，∴c2=a2+b2=16，∴c=4∴双曲线的右焦点为（4，0）∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重复，∴∴p=8故答案为：8点评：本题考查双曲线与抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5．观察下列不等式：1＞，1++＞1，1+++…+＞，1+++…+＞2，1+++…+＞，…，由此猜测第n个不等式为1+++…+＞（n∈N*）．考点：归纳推理．专题：规律型；探究型．分析：根据所给的五个式子，看出不等式的左边是一系列数字的倒数的和，观察最后一项的特点，3=22﹣1，7=23﹣1，15=24﹣1，和右边数字的特点，得到第n格不等式的形式．解答：解：∵3=22﹣1，7=23﹣1，15=24﹣1，∴可猜测：1+++…+＞（n∈N*）．故答案为：1+++…+＞点评：本题考查归纳推理，是由某类事物的部分对象所具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，它的特点是有个别到一般的推理，本题是一个不完全归纳．6．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有12种．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：根据题意，使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面的情况数目，再分析求出其中其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面的情况数目，进而可得答案．解答：解：使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面，共C63种不同的取法，而其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面，选法有8种，则选法共有C63﹣8=12种，故答案为：12．点评：本题考查组合的运用，但涉及立体几何的知识，要求学生有较强的空间想象能力，属于基础题．7．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=1，AB=2，N为AB上一点，AB=4AN，点M、S分别为PB、BC的中点，则SN与平面CMN所成角的大小为45°．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：建立空间直角坐标系，利用向量法求直线和平面所成的角．解答：解：以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．则C（0，1，0），M（1，0，），N（，0，0），S（1，，0），=（﹣，﹣，0）设=（x，y，z）为平面CMN的法向量，∵=（1，﹣1，），=（，﹣1，0），∴∴可得平面CMN的一个法向量=（2，1，﹣2），设直线SN与平面CMN所成角为θ，∵sinθ=|cos＜，＞|=，∴SN与平面CMN所成角为45°．故答案为：45°．点评：本题主要考查直线所成角的大小求法，建立空间直角坐标系，利用向量坐标法是解决此类问题比较简洁的方法．8．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为x+y﹣2=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．解答：解：y=的导数y'=，y'|x=1=﹣1，而切点的坐标为（1，1），∴曲线y=在在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．9．若A，B，C，D，E，F六个不同元素排成一列，要求A不排在两端，且B、C相邻，则不同的排法共有144种（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：把B，C看做一个整体，有2种方法；6个元素变成了5个，先在中间的3个位中选一个排上A，有A31=3种方法，其余的4个元素任意排，有A44种不同方法．根据分步计数原理求出所有不同的排法种数．解答：解：由于B，C相邻，把B，C看做一个整体，有2种方法．这样，6个元素变成了5个．先排A，由于A不排在两端，则A在中间的3个位子中，有A31=3种方法．其余的4个元素任意排，有A44种不同方法，故不同的排法有2×3×A44=144种，故答案为：144．点评：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，注意把特殊元素与位置优先排列，属于中档题．10．设α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β，其中所有正确命题的序号是①③．考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面垂直的定义，可判断①；根据面面平行的判定定理，可判断②；根据面面垂直的性质定理，可判断③；根据空间线面垂直及线面平行的几何特征，可判断④．解答：解：①根据线面垂直的定义：若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故正确；②根据面面平行的判定定理：若m⊂α，n⊂α，m∩n=A，m∥β，n∥β，则α∥β，但m∥n 时，不一定有α∥β，故错误；③根据面面垂直的性质定理：若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β，故正确；④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β或n⊂β，故错误；故正确的命题的序号是：①③，故答案为：①③点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．11．姜堰市政有五个不同的工程被三个公司中标，则共有150种中标情况（用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：五项不同的工程，由三个工程队全部承包下来，则每队至少承包一项工程，此类问题的求解，第一步要将五项工程分为三组，第二步再计算承包的方法，由于五项工程分为三组的分法可能是3，1，1或2，2，1故要分为两类计数．解答：解：若五项工程分为三组，每组的工程数分别为3，1，1，则不同的分法有C53=10种，故不同的承包方案有10A33=60种，若五项工程分为三组，每组的工程数分别为2，2，1，则不同的分法有C52C32=15种，故不同的承包方案15A33=90种，故总的不同承包方案为60+90=150种．故答案为：150．点评：本题考查排列组合及简单计数问题，解题的关键是理解“五项不同的工程，由三个工程队全部承包下来”，将问题分为两类计数，在第二类2，2，1分组中由于计数重复了一倍，故应除以2，此是本题中的易错点，疑点，解题时要注意避免重复，这是计数问题中常犯的错误．12．若定义在区间D上的函数f（x）对于D上的n个值x1，x2，…x n，总满足：[f（x1）+f（x2）+…+f（x n）]≤f（），称函数f（x）为D上的凸函数．现已知f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：根据f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数以及凸函数的定义可得≤f（）=f（），即sinA+sinB+sinC≤3sin ，由此求得sinA+sinB+sinC的最大值．解答：解：：∵f（x）=sinx在区间（0，π）上是凸函数，且A、B、C∈（0，π），∴≤f（）=f（），即sinA+sinB+sinC≤3sin =，所以sinA+sinB+sinC的最大值为．故答案为：．点评：本题主要考查三角函数的最值问题．考查了考生运用所给条件分析问题的能力和创造性解决问题的能力，属于中档题．13．已知三点A（0，a），B（b，0），C（c，0），b+c≠0，a≠0，矩形EFGH的顶点E、H分别在△ABC的边AB、AC上，F、G都在边BC上，不管矩形EFGH如何变化，它的对角线EG、HF的交点P恒在一条定直线l上，那么直线l的方程是．考点：直线的一般式方程．专题：综合题．分析：因为不管矩形EFGH如何变化，它的对角线EG、HF的交点P恒在一条定直线l上，故取两种特殊情况分别求出相应的P点坐标即可求出直线l的方程，方法是：E和H分别为|AB|和|AC|的中点或三等份点，分别求出E、F、G、H四点的坐标，然后利用相似得到相应的P点、P′点坐标，根据P和P′的坐标写出直线方程即为定直线l的方程．解答：解：①当E、H分别为|AB|和|AC|的中点时，得到E（，），F（，0），H（，），G（，0）则|PQ|=，|FQ|=|EH|=|BC|=（c﹣b），而|FO|=﹣，所以|OQ|=|FQ|﹣|OF|=（c﹣b）+=，所以P（，）；②当E、H分别为|AB|和|AC|的三等份点时，得到E（，），F（，0），H（，），G（，0）则|PQ|=，|FQ|=|EH|=|BC|=（c﹣b），而|FO|=﹣，所以|OQ|=|FQ|﹣|OF|=（c﹣b）+=，所以P′（，）．则直线PP′的方程为：y﹣=（x﹣），化简得y=﹣x故答案为：y=﹣x点评：此题考查学生灵活运用三角形相似得比例解决数学问题，会根据两点坐标写出直线的一般式方程，是一道中档题．14．已知函数f（x）=sin2x+2ax（a∈R），若对任意实数m，直线l：x+y+m=0与曲线y=f（x）均不相切，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：先将条件“对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”转化成f'（x）=﹣1无解，然后求出2sinxcosx+2a=﹣1有解时a的范围，最后求出补集即可求出所求．解答：解：∵对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线∴曲线y=f（x）的切线的斜率不可能为﹣1即f'（x）=2sinxcosx+2a=﹣1无解∵0≤sin2x+1=﹣2a≤2∴﹣1≤a≤0时2sinxcosx+2a=﹣1有解∴对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．点评：本题解题的关键是对“对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”的理解，同时考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及转化的数学思想，属于基础题．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．（14分）（2015春•江苏校级期中）已知复数z1=m（m﹣1）+（m﹣1）i，z2=（m+1）+（m2﹣1）i，（m∈R），在复平面内对应的点分别为Z1，Z2．（1）若z1是纯虚数，求m的值；（2）若z2在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：（1）如果复数a+bi（a，b是实数）那么a=0不b≠0．由此解答；（2）根据点的位置确定，复数的实部和虚部的符号，得到不等式组求之．解答：（1）因为复数z1=m（m﹣1）+（m﹣1）i（m∈R）是纯虚数，所以m（m﹣1）=0，且m﹣1≠0，解得m=0；…（7分）（2）因为复数（m∈R）在复平面内对应的点位于第四象限，所以，解之得﹣1＜m＜1；…（14分）点评：本题考查了复数的基本概念；如果复数a+bi（a，b是实数）那么a=0不b≠0．16．（14分）（2015春•江苏校级期中）是否存在常数a，b 使得2+4+6+…+（2n）=an2+bn对一切n∈N*恒成立？若存在，求出a，b的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由．考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：先假设存在符合题意的常数a，b，再令n=1，n=2构造两个方程求出a，b，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，递推到n=k+1时，成立即可．解答：解：取n=1和2，得解得，…（4分）即2+4+6+…+（2n）=n2+n．以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证．…（6分）（2）假设当n=k，k∈N*时等式成立即2+4+6+…+（2k）=k2+k …（8分）那么，当n=k+1 时有2+4+6+…+（2k）+（2k+2）=k2+k+（2k+2）…（10分）=（k2+2k+1）+（k+1）=（k+1）2+（k+1）…（12分）就是说，当n=k+1 时等式成立…（13分）根据（1）（2）知，存在，使得任意n∈N*等式都成立…（15分）点评：本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．17．（15分）（2013秋•海陵区校级期末）在平面直角坐标系中，设△ABC的顶点分别为A （0，2），B（﹣1，0），C（2，0），圆M是△ABC的外接圆，直线l的方程是（2+m）x+（2m﹣1）y﹣3m﹣1=0（m∈R）（1）求圆M的方程；（2）证明：直线l与圆M相交；（3）若直线l被圆M截得的弦长为3，求l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）求出边AC、BC的垂直平分线方程，根据圆心M在这2条边的垂直平分线上，可得M（，），再求出半径MC的值，即可得到圆的标准方程．（2）根据直线l经过定点N，而点N在圆的内部，即可得到直线和圆相交．（3）由条件利用弦长公式求得圆心M（，）到直线l的距离为d=．再根据据点到直线的距离公式求得m的值，可得直线l的方程．解答：解：（1）∵△ABC的顶点分别为A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0），故线段BC 的垂直平分线方程为x=，线段AC的垂直平分线为y=x，再由圆心M在这2条边的垂直平分线上，可得M（，），故圆的半径为|MC|==，故圆的方程为+=．（2）根据直线l的方程是（2+m）x+（2m﹣1）y﹣3m﹣1=0（m∈R），即m（x+2y﹣3）+2x ﹣y﹣1=0，由可得，故直线经过定点N（1，1）．由于MN==＜r=，故点N在圆的内部，故圆和直线相交．（3）∵直线l被圆M截得的弦长为3，故圆心M（，）到直线l的距离为d==．再根据点到直线的距离公式可得=，求得m=﹣2，或m=，故直线l的方程为y=1，或x=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，直线过定点问题，直线和圆的位置关系，属于中档题．18．（15分）（2013•江苏）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．解答：解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．点评：本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．19．（16分）（2014春•姜堰市期中）现有0，1，2，3，4，5六个数字．（1）用所给数字能够组成多少个四位数？（2）用所给数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？（3）用所给数字可以组成多少个没有重复数字且比3142大的数？（最后结果均用数字作答）考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：（1）利用分步计数原理，第一步先排首位（因为零不能再首位），再排其它三个位值，注意数字可以重复，（2）利用分步计数原理，第一步先排首位（因为零不能再首位），再排其它四个位值，注意数字不可以重复，（3）利用分类计数原理，比3142大的数包含四位数、五位数和六位数，然后再分类求出即可．解答：解：（1）能够组成四位数的个数为：5×6×6×6=1080（2）能组成没有重复数字的五位数的个数为：=600；（3）比3142大的数包含四位数、五位数和六位数，其中：六位数有：；五位数有：=600；四位数有千位是4或5的，千位是3的，而千位是4或5的有；千位是3的分为百位是2、4、5的与百位是1的，百位是2、4、5的有，百位是1的分为十位是4和5两种情况，十位是5的有3种，十位是4的有1种，所以共有600+600+120+36+3+1=1360．答：能组成四位数1080个；没有重复数字的五位数600个；比3142大的数1360个．点评：本题主要考查了分类计数原理，关键如何分类，遵循不重不漏的原则，属于中档题．20．（16分）（2014•广州模拟）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c 的最小值；（3）若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：（1）由题意，利用导函数的几何含义及切点的实质建立a，b的方程，然后求解即可；（2）由题意，对于定义域内任意自变量都使得|f（x1）﹣f（x2）|≤c，可以转化为求函数在定义域下的最值即可得解；（3）由题意，若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，等价与函数在切点处导函数值等于切线的斜率这一方程有3解．解答：解：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣3．（2分）根据题意，得即解得所以f（x）=x3﹣3x．（2）令f'（x）=0，即3x2﹣3=0．得x=±1．当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间单调递增；当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间单调递减因为f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，所以当x∈[﹣2，2]时，f（x）max=2，f（x）min=﹣2．则对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=4，所以c≥4．所以c的最小值为4．（3）因为点M（2，m）（m≠2）不在曲线y=f（x）上，所以可设切点为（x0，y0）．则y0=x03﹣3x0．因为f'（x0）=3x02﹣3，所以切线的斜率为3x02﹣3．则3x02﹣3=，即2x03﹣6x02+6+m=0．因为过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，所以方程2x03﹣6x02+6+m=0有三个不同的实数解．所以函数g（x）=2x3﹣6x2+6+m有三个不同的零点．则g'（x）=6x2﹣12x．令g'（x）=0，则x=0或x=2．当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＞0，函数g（x）在此区间单调递增；当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，函数g（x）在此区间单调递减；所以，函数g（x）在x=0处取极大值，在x=2处取极小值，有方程与函数的关系知要满足题意必须满足：，即，解得﹣6＜m＜2．点评：（1）此题重点考查了导数的几何含义及函数切点的定义，还考查了数学中重要的方程的思想；（2）此题重点考查了数学中等价转化的思想把题意最总转化为求函数在定义域下的最值；（3）此题重点考查了数学中导数的几何含义，还考查了函数解的个数与相应方程的解的个数的关系．。

2014—2015学年高二下学期期中考试数学理 Word版含答案

2014—2015学年高二年级下期期中试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在机读卡上。

） 1、i 是虚数单位，计算23i i i ++=（）A.i -B.i C ．－1 D.12、若32A 12n n C =，则n =（）A.8B.7C.6D.4 3、6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有( ) A ．30种 B ．144种 C ．5种D ．4种4、化简()()()()43244464441x x x x -+-+-+-+得( )A.4xB.()44x -C.()41x + D.5x5、从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有（） A.120 B.60 C.240 D.1806、设()f x '是函数f(x)的导函数，将y ＝f(x)和)(x f y '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )7、在以下命题中，不正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若22OP OA OB OC →→→→=--，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一组基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |.()00,0x R f x ∃∈=使A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个8、已知函数()32f x x ax bx c =+++,那么下列结论中错误的是（） A. B.函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =9、已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB →→⋅取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.131243⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B. 448333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，C.133224⎛⎫⎪⎝⎭，， D.447333⎛⎫⎪⎝⎭，， 10、若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是（）211124x x <-+ B. 21ln(1)8x x x +-… C. 21x e x x ++… D. 21cos 12x x -…第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡上。

2014—2015学年度下学期期中考试高二数学理试题附答案

2014—2015学年度下学期期中考试高二数学理试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分) 1. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中（） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确2. 设函数()ln(23)f x x =-，则'1()3f = （）A ．13B ．12C ．2-D ． 3- 3．复数ii z -+=1)2(2（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若关于x 的方程330x x m -+=在[0, 2]上有根，则实数m 的取值范围是（）A ．[20]-，B ．[02]，C ．[22]-，D ．(2)(2)-∞-+∞，，5. 若当n →+∞时，1123(0)p p p pP n p n +++++>无限趋近于一个常数A ，则A 可用定积分表示为（）A ．101dx x ⎰B ．10p x dx ⎰C ．101()p dx x ⎰D ．10()p xdx n⎰6. 已知函数1ln ()x f x x +=，在区间2(,)3a a +（0a >）上存在极值，则实数a 的取值范围是（）A .( 0,1)B .(23，1) C .( 12，1) D .( 13, 1) 7. 已知z ∈C ，且|z |=1，则|z -2-2i |（i 为虚数单位）的最小值是（）A ．BC .D .8. 平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值2a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）Ａ．3a Ｂ．4a Ｃ．3a Ｄ．4a 9. 函数y =x +cosx 的大致图象是(图中虚线是直线y =x ) （）10．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒. 当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（） A ．12 B . 10 C . 8 D . 611．曲线y =x 2-ln x 上任意一点P 到直线y =x -2的距离的最小值是（）A ．１B .C . ２ D.12．定义在R 上的函数f (x )满足f (4)=1, f '(x )为f (x )的导函数，已知y =f '(x )的图象如右图所示，若两正数a ,b 满足f (2a +b )<1,则22b a ++ 的取值范围是（） A . (- ∞, -3) B . (- ∞, 12)∪(3,+∞) C .(12，3) D . ( 13,12) 第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = ． 14．仔细观察下面4个数字所表示的图形：请问：数字100所代表的图形中小方格的个数为． 15. 设()f x 是连续函数，且10()3()f x x f t dt =+⎰，则f (x )= ．16．函数g (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax (a <0) 在区间（-∞，3a）内单调递减，则a 的取值范围是．三、解答题(本大题共4小题，共36分)17．(本小题满分8分) 已知抛物线C ：y =-x 2+4x-3 .（1）求抛物线C在点A（0，－3）和点B(3，0)处的切线的交点坐标；（2）求抛物线C与它在点A和点B处的切线所围成的图形的面积.18. (本小题满分8分) 已知函数ln ()x f xx.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）已知a、b∈R,a>b>e, (其中e是自然对数的底数), 求证:b a>a b.19．（本小题8分）已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ．（1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．20．（本小题满分12分）已知f (x )=ax 2(a ∈R), g (x )=2ln x . （1）讨论函数F (x )=f (x )-g (x )的单调性；（2）是否存在实数a ，使得f (x )≥g (x )+2 (x>0)恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，求出a 的取值范围;（3）若方程f (x )=g (x )在区间]e 上有两个不相等的实数根，求a 的取值范围.2014-2015-2学期期中考试参考答案高二数学（理）一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．-2i ． 14．20201． 15. 34x -． 16．(－∞，－1]．三、解答题(本大题共4小题，共36分) 17．(本小题满分8分)解：(1)24y x '=-+，1(0)4,(3)2k y y y '''====-，所以过点A （0，－3）和点B (3，0)的切线方程分别是43y 26y x x =-=-+和，两条切线的交点是（3,32），………………4分 (2)围成的区域如图所示：区域被直线32x =分成了两部分，分别计算再相加，得： 3333222233022[(43)(43)][(26)(43)]S x dx x x dx x dx x x dx =---+-+-+--+-⎰⎰⎰⎰33232233232200332211(23)(23)(6)(23)33x x x x x x x x x x =---+-+-+--+-94=即所求区域的面积是94. ………………8分 18. (本小题满分8分) 解：（1）ln ()x f x x =, ∴21ln ()xf x x-'= ∴当x e >时,()0f x '<,∴函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减. 当0<x <e 时,()0f x '>,∴函数()f x 在(0,e )上是单调递增.∴f (x )的增区间是(0,e ),减区间是(,)e +∞. ………………4分 (2)证明:∵0,0a b b a >> ∴要证: abb a > 只要证:ln ln a b b a > 只要证ln ln b ab a>.(∵a b e >>) 由（1）得函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减. ∴当a b e >>时,有()()f b f a >即ln ln b ab a>. ∴ abb a >………………8分 19．（本小题8分）解：（1）依题设可得111212a ==⨯，211623a ==⨯， 3111234a ==⨯，4112045a ==⨯； ………………………3分（2）猜想：1(1)n a n n =+．………………………4分证明：①当1n =时，猜想显然成立．………………………5分 ②假设*()n k k =∈N 时，猜想成立，即1(1)k a k k =+．…………………6分那么，当1n k =+时，111(1)k k S k a ++=-+，即111(1)k k k S a k a +++=-+．又11k k kS ka k =-=+，所以111(1)1k k ka k a k +++=-++，从而111(1)(2)(1)[(1)1]k a k k k k +==+++++．即1n k =+时，猜想也成立． ………………………7分故由①和②，可知猜想成立． ………………………8分20.（本小题满分12分）解：（1）2()2ln ,(0,)F x ax x =-+∞其定义域为222(1)()2(0)ax F x ax x x x-'∴=-=>（i ）当a >0时，由ax 2-1>0得 x>,由ax 2-1<0得 0x<<.故当a >0时，F (x )的递增区间为)+∞，递减区间为.（ii ）当0,()0(0)a F x x '≤<>时恒成立故当0,()(0,)a F x ≤+∞时在上单调递减. ………………………4分（2）即使()20F x x ≥>在时恒成立.（i ）当a≤0时，由（1）知当,().x F x →+∞→-∞则∴()20F x x ≥>在时不可能恒成立.，（ii ）当a>0时，由（1）可知min 1()11ln F x F a ==-=-11ln2a∴-≥只须即可 , ln 1a a e ∴≥∴≥ 故存在这样的a 的值，使得()()2()f x g x x R +≥+∈恒成立 a 的取值范围是[e ,+∞] ………………………8分（3）等价于方程22ln ()xa x x ϕ==在区间]e 上有两个不等解， ∵242ln 2(12ln )()x x x x x x ϕ-'==()x ϕ在区间上为增函数，在)e 上为减函数，∴max 1()x eϕϕ==，222ln 2ln 2()(2)42e e ϕϕϕ=<===，min ln 2()2x ϕϕ== a 的取值范围是ln 21[,)2e………………………12分。

康杰中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题含答案

康杰中学2014—2015学年度第二学期期中考试高二数学试题（理）2015。

4 一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1。

复数12z i =+，那么1z等于（）A.55+ B 。

55i - C 。

1255i + D.1255i - 2。

下面说法正确的有（）①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。

A 。

1个B 。

2个C 。

3个D 。

4个3。

已知函数()y f x =的图像如图所示，设函数()y f x =从—1到1的平均变化率为1v ，从1到2( ）A.12v v > B 。

12v v =C 。

12v v <D 。

不确定4. 已知*111()()122f n n N n n n=++⋅⋅⋅+∈++,则(1)f n +=（ )A 。

1111221n n n ++⋅⋅⋅++++B. 1111222n n n ++⋅⋅⋅++++C. 1112321n n n ++⋅⋅⋅++++D 。

1112322n n n ++⋅⋅⋅++++5. 已知函数()()cos sin 4f x f x x π'=+,则()4f π的值为（）A 。

1B 。

1C 。

D 。

26. 函数2()2(,)f x xx m x m R =++∈的最小值为-1，则21()f x dx ⎰等于（）A.2 B 。

163C 。

6 D. 77。

满足等式220z i z i --+=的复数z 对应的点所表示的图形是（）A 。

圆 B. 椭圆 C 。

直线 D.线段 8。

已知0,0a b >>且2a b +>, 则11,b a ab++（）A 。

两个都大于2B 。

两个都小于2C 。

至少有一个小于2 D. 至多有一个小于2 9。

2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题word版含答案

2014/2015学年度第二学期期中考高二年级数学试题（理科）一．填空题（5分×14）1．由1、2、3、4、5组成没有重复数字正整数，共有▲▲▲个三位数；2．数列1，4，7，10，…，的第8项等于▲▲▲；3．复数2,z i i =-+是虚数单位，则z 在复平面内对应的点在第▲▲▲象限；4．从甲、乙、丙三人中任选2名代表，甲被选中的概率为▲▲▲；5．在空间，若长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则长方体的对角线长为将此结论类比到平面内，可得：矩形的长、宽分别为a 、b ，则矩形的对角线长为▲▲▲；6．已知()2a i i b i -=+，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则a ＋b ＝▲▲▲；7．已知222211132135313574,,,,=+=++=+++=…，将此等式推广到一般情形，可得 ▲▲▲2n =；8．计算：234i i i i +++=▲▲▲；9．掷一枚骰子，观察掷出的点数，则事件“掷出奇数点或3的倍数”的概率为▲▲▲；10．用数学归纳法证明不等式“24111312111≥++++++++n n n n n 24111312111≥++++++++n n n n n 24111312111≥++++++++n n n n n ”时，由n ＝k 到n＝k ＋1时，不等式左边应添加的项是▲▲▲；11．二项式252(x展开式中的常数项是▲▲▲；12．有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率为▲▲▲；13．在2008年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有▲▲▲种；14．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图所示），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有▲▲▲种.二．解答题（共6小题）15．（14分）已知复数z 满足125()z i i +=.(1)求复数z ，并判断z 是否为方程2450x x -+=的一个根；(2)求复数5z z+的模.16．（14分）已知复数z＝362+--m mm＋imm)152(2--.(1) m取何实数值时，z是实数？(2) m取何实数值时，z是纯虚数？17．（14分）已知关于x的一元二次方程2220x ax b++=，满足a≥0且b≥0. （1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若1a=，b是从区间［0，3］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.18．（16分）已知数列{}n a 满足条件111n n a a +=-. (1)若112a =，求234,,a a a 的值. (2)已知对任意的n N +∈，都有1n a ≠，求证：3n n a a +=对任意的正整数n 都成立；(3)在(1)的条件下，求2015a .19．（16分）4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有2个盒不放球，共有几种放法？20．（16分）已知2*,n nN ≥∈，试用数学归纳法证明：1221)1211()711)(511)(311(+>-++++n n .高二数学试题（理科）参考答案1. 602. 223. 二4.236.37. ()13521...n ++++-8.09. 2310. 121+k ＋221+k －11+k (121+k －221+k 也正确) 11.10 12.25 13. 2 880 14. 120 15. (1)5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，方程2450x x -+=的根为2i ±，所以复数z 是该方程的一个根； (2)552422z i i z i+=-+=-+，∴5z z +. 16.(1)22150m m --=，解得3m =-或5,而3m =-时，实部没有意义，所以3m =-舍去，可得m=5； (2)226032150m m m m m ⎧--=⎪+⎨⎪--≠⎩，解得2m =-或3.17.设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实根”.当a ≥0且b ≥0时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a ≥b.（1）基本事件共有6个：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值.事件A 中包含5个基本事件，事件A 发生的概率为P （A ）=56；（2）因为103,[,]a b =∈，所以当01b ≤≤时，满足a ≥b ，∴P （A ）=13.18.(1)2341212,,a a a ==-=； (2)∵111n na a +=-， ∴211111111111n n n n n n n a a a a a a a ++--====------， ∴()32111111n n n n n n n na a a a a a a a ++-====-------. 即3n n a a +=对任意的正整数n 都成立；(3)由前面的结论，可得201531a a ==-.19.（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22=144种.（2）确定2个空盒有C 24种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有222224A C C ·A 22种方法. 故共有C 24( C 34C 11A 22+222224A C C ·A 22）=84种.20.证明：⑴ 当n ＝2时，左边＝1＋31＝34，右边＝25 ∵ (34)2＝916＝4964⨯＞(25)2＝45＝4945⨯ ∴ 不等式成立．⑵ 假设当n ＝k 时，不等式成立．即(1＋31)(1＋51)(1＋71) (1)121-k )＞2112+k 当n ＝k ＋1时，(1＋31)(1＋51)(1＋71)…(1＋121-k )(1＋121+k )＞ 2112+k ·(1＋121+k )＝21(12+k ＋121+k ) 要证21(12+k ＋121+k )＞211)1(2++k需证12+k ＋121+k ＞32+k 即证121+k ＞0 ， ∵ k ∈N *，∴ 121+k ＞0成立 ∴ 当n ＝k ＋1时，不等式成立．由⑴、⑵知，对任意n ∈N *，不等式成立．。

2014-2015年甘肃省兰州市高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2014-2015学年甘肃省兰州市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）若复数z＝1+i，i为虚数单位，则（1+z）•z＝（）A．1+3i B．3+3i C．3﹣i D．33．（5分）已知奇函数f（x）满足f′（﹣1）＝1，则＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣24．（5分）已知f（x）＝x3﹣x2+6x﹣a，若对任意的x，f′（x）≥m恒成立，则m的最大值为（）A．3B．2C．1D．﹣5．（5分）函数f（x）＝x3+x在点处（1，）的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．3B．C．2D．x是增函数（大前提），而y＝是对数函6．（5分）“因为对数函数y＝log数（小前提），所以y＝是增函数（结论）．”上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错7．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度8．（5分）给定数列，1，2+3+4，5+6+7+8+9，10+11+12+13+14+15+16，…则这个数列的通项公式是（）A．a n＝2n2+3n﹣1B．a n＝n2+5n﹣5C．a n＝2n3﹣3n2+3n﹣1D．a n＝2n3﹣n2+n﹣29．（5分）已知函数y＝（x﹣1）f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）为函数f（x）的导函数，则y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．10．（5分）若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）＞2f（1）C．f（0）+f（2）≤2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）11．（5分）下面给出了关于复数的四种类比推理，①复数的加减法运算，可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量的性质||2＝2，可以类比得到复数z的性质：|z|2＝z2；③方程ax2+bx+c＝0（a，b，c∈R）有两个不同的实数根的条件是b2﹣4ac＞0，类比可得方程ax2+bx+c＝0（a，b，c∈C）有两个不同的复数根的条件是b2﹣4ac＞0；④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义．其中类比得到（）A．①③B．②④C．②③D．①④12．（5分）若f（x）＝ax2+2x﹣lnx（a≠0）在区间[1，2]上是增函数，则实数a的最小值为（）A．1B．﹣1C．﹣D．﹣2二、解答题（共4小题，满分20分）13．（5分）函数f（x）＝x﹣2lnx的单调递减区间是．14．（5分）dx＝，（x+sin x）dx＝．15．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极值10，则a•b＝．16．（5分）观察下列式子：，则可以猜想的结论为：当n∈N且n≥2时，恒有．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（1）在数列{a n}中a1＝1，a n+1＝（n∈N*），猜想这个数列的通项公式．（2）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足，S n++2＝a n（n≥2），计算S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表达式．18．（10分）设a，b，c∈R且a+b+c＝1，求证a2+b2+c2≥．19．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣3x及y＝f（x）上一点P（1，﹣2），过点P 作直线l．（1）求使直线l和y＝f（x）相切且以P为切点的直线方程；（2）求使直线l和y＝f（x）相切且切点异于P的直线方程．20．（12分）求由抛物线y2＝8x（y＞0）与直线x+y﹣6＝0及y＝0所围成图形的面积．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣f′（1）x+ln，g（x）＝﹣﹣f（x）．（1）求f（x）的单调区间．（2）设函数h（x）＝x2﹣x+m，若存在x1∈（0，1]，对任意的x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．22．（14分）已知函数f（x）＝x2e﹣x（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y＝f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．2014-2015学年甘肃省兰州市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：＝＝﹣（1+i）＝﹣1﹣i，故选：D．2．（5分）若复数z＝1+i，i为虚数单位，则（1+z）•z＝（）A．1+3i B．3+3i C．3﹣i D．3【解答】解：∵复数z＝1+i，i为虚数单位，则（1+z）•z＝（2+i）（1+i）＝1+3i 故选：A．3．（5分）已知奇函数f（x）满足f′（﹣1）＝1，则＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：∵奇函数f（x）满足f′（﹣1）＝1，∴＝＝f′（﹣1）＝1，故选：A．4．（5分）已知f（x）＝x3﹣x2+6x﹣a，若对任意的x，f′（x）≥m恒成立，则m的最大值为（）A．3B．2C．1D．﹣【解答】解：∵f（x）＝x3﹣x2+6x﹣a，∴f'（x）＝3x2﹣9x+6＝3（x﹣）2﹣≥﹣∴m≤﹣，∴m的最大值为﹣，故选：D．5．（5分）函数f（x）＝x3+x在点处（1，）的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．3B．C．2D．【解答】解：∵f（x）＝x3+x，∴f′（x）＝x2+1，∴曲线f（x）＝x3+x在点处（1，）处的切线斜率k＝f′（1）＝2，∴所求的切线方程为y﹣＝2（x﹣1）即2x﹣y﹣＝0令x＝0可得y＝﹣，令y＝0可得x＝，则与两坐标轴围成三角形的面积是S＝＝．故选：D．x是增函数（大前提），而y＝是对数函6．（5分）“因为对数函数y＝log数（小前提），所以y＝是增函数（结论）．”上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错【解答】解：当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，当0＜a＜1时，对数函数y＝log a x是减函数，故推理的大前提是错误的故选：A．7．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选：B．8．（5分）给定数列，1，2+3+4，5+6+7+8+9，10+11+12+13+14+15+16，…则这个数列的通项公式是（）A．a n＝2n2+3n﹣1B．a n＝n2+5n﹣5C．a n＝2n3﹣3n2+3n﹣1D．a n＝2n3﹣n2+n﹣2【解答】解：由数列知，第n项的共有2n﹣1项，且第n项的最后一个数为1+3+5+…+（2n﹣1）＝×n＝n2，∴数列的通项公式a n＝（1+2+3+…+n2）﹣[1+2+3+…+（n﹣1）2]＝（n﹣1）2+1+（n﹣1）2+2+…+（n﹣1）2+（2n﹣1）＝（n﹣1）2×（2n﹣1）+×（2n﹣1）＝2n3﹣3n2+3n﹣1．故选：C．9．（5分）已知函数y＝（x﹣1）f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）为函数f（x）的导函数，则y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：结合图象可知当x＞1时，（x﹣1）f'（x）＞0即f'（x）＞0∴y＝f（x）在（1，+∞）上单调递增故选：B．10．（5分）若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）＞2f（1）C．f（0）+f（2）≤2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）【解答】解：∵（x﹣1）f'（x）≥0∴x＞1时，f′（x）≥0；x＜1时，f′（x）≤0∴f（x）在（1，+∞）为增函数；在（﹣∞，1）上为减函数∴f（2）≥f（1）f（0）≥f（1）∴f（0）+f（2）≥2f（1）故选：D．11．（5分）下面给出了关于复数的四种类比推理，①复数的加减法运算，可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量的性质||2＝2，可以类比得到复数z的性质：|z|2＝z2；③方程ax2+bx+c＝0（a，b，c∈R）有两个不同的实数根的条件是b2﹣4ac＞0，类比可得方程ax2+bx+c＝0（a，b，c∈C）有两个不同的复数根的条件是b2﹣4ac＞0；④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义．其中类比得到（）A．①③B．②④C．②③D．①④【解答】解：①复数的加减运算可以类比多项式的加减运算，两者用的都是合并同类项的规则，可以类比；②由向量的性质||2＝2类比复数z的性质|z|2＝z2；两者属性不同一个是数，一个是即有大小又有方向的量，不具有类比性，故错误；③方程ax2+bx+c＝0（a，b，c∈R）有两个不同实数根的条件是b2﹣4ac＞0，可以类比得到方程ax2+bx+c＝0（a，b，c∈C）有两个不同复数根的条件是b2﹣4ac＞0，数的概念推广后，原有的概念在新的领域里是不是成立属于知识应用的推广，不是类比，故合理错误；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，由两者的几何意义知，此类比正确；综上，①④是正确的故选：D．12．（5分）若f（x）＝ax2+2x﹣lnx（a≠0）在区间[1，2]上是增函数，则实数a的最小值为（）A．1B．﹣1C．﹣D．﹣2【解答】解：由已知，得f（x）＝ax2+2x﹣lnx，且x＞0，则f′（x）＝ax+2﹣＝，若a＝0，由f'（x）＞0得x＞，显然符合题意，若a≠0，∵函数f（x）区间[1，2]是增函数，∴f'（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，即不等式ax2+2x﹣1≥0对x∈[1，2]恒成立，即a≥＝﹣＝（﹣1）2﹣1恒成立故a≥[（﹣1）2﹣1]max，而当x＝2时，函数（﹣1）2﹣1的最大值为﹣，∴实数a的最小值是﹣，故选：C．二、解答题（共4小题，满分20分）13．（5分）函数f（x）＝x﹣2lnx的单调递减区间是（0，2）．【解答】解：函数y＝x﹣lnx的导数为y＝1﹣，令y′＝1﹣＜0，得x＜2∴结合函数的定义域，得当x∈（0，2）时，函数为单调减函数．因此，函数y＝x﹣lnx的单调递减区间是（0，2）故答案为：（0，2）．14．（5分）dx＝，（x+sin x）dx＝．【解答】解：由于dx的几何意义表示为y＝对应上半圆的面积，则dx＝；（x+sin x）dx＝（x2﹣cos x）|＝π2﹣（﹣1）＝π2+1故答案为：，．15．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极值10，则a•b＝﹣44．【解答】解：f′（x）＝3x2+2ax+b，由题意得，f′（1）＝3+2a+b＝0①，f（1）＝1+a+b+a2＝10②，联立①②解得或，当a＝﹣3，b＝3时，f′（x）＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2，x＜1或x＞1时，f′（x）＞0，所以x＝1不为极值点，不合题意；经检验，a＝4，b＝﹣11符合题意，所以ab＝﹣44，故答案为：﹣44．16．（5分）观察下列式子：，则可以猜想的结论为：当n∈N且n≥2时，恒有．【解答】解：根据规律，右边是正整数（n）的平方的倒数和，左边是分子是正奇数，分母是正整数n，可以猜想的结论为：当n∈N且n≥2时，恒有故答案为三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（1）在数列{a n}中a1＝1，a n+1＝（n∈N*），猜想这个数列的通项公式．（2）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足，S n++2＝a n（n≥2），计算S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表达式．【解答】解（1）∵a1＝1，a n+1＝，∴a2═，a3＝，a4═，∵a1＝1＝，∴猜想这个数列的通项公式为a n＝．（2）∵S n++2＝a n（n≥2），∴．18．（10分）设a，b，c∈R且a+b+c＝1，求证a2+b2+c2≥．【解答】证明：∵a+b+c＝1，∴1＝（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥．19．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣3x及y＝f（x）上一点P（1，﹣2），过点P 作直线l．（1）求使直线l和y＝f（x）相切且以P为切点的直线方程；（2）求使直线l和y＝f（x）相切且切点异于P的直线方程．【解答】解：（1）由f（x）＝x3﹣3x得，f′（x）＝3x2﹣3，过点P且以P（1，﹣2）为切点的直线的斜率f′（1）＝0，∴所求直线方程为y＝﹣2．（2）设过P（1，﹣2）的直线l与y＝f（x）切于另一点（x0，y0），则f′（x0）＝3x02﹣3．又直线过（x0，y0），P（1，﹣2），故其斜率可表示为＝，又＝3x02﹣3，即x03﹣3x0+2＝3（x02﹣1）•（x0﹣1），解得x0＝1（舍）或x0＝﹣，故所求直线的斜率为k＝3×（﹣1）＝﹣，∴y﹣（﹣2）＝﹣（x﹣1），即9x+4y﹣1＝0．20．（12分）求由抛物线y2＝8x（y＞0）与直线x+y﹣6＝0及y＝0所围成图形的面积．【解答】解：设所求图形面积为S，（4分）＝（8分）＝＝（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣f′（1）x+ln，g（x）＝﹣﹣f（x）．（1）求f（x）的单调区间．（2）设函数h（x）＝x2﹣x+m，若存在x1∈（0，1]，对任意的x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝lnx﹣f′（1）x+ln，的定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣f′（1），令x＝1，则f′（1）＝1﹣f′（1），∴f′（1）＝，则f′（x）＝﹣＝由f′（x）＞0，解得0＜x＜2，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，解得x＞2，此时函数单调递减，故f（x）的单调增区间为（0，2），递减区间为（2，+∞）；（2）g（x）＝x﹣﹣f（x）＝2x﹣﹣lnx﹣ln，x＞0则g′（x）＝2+﹣＝而2x2﹣x+2＝2（x﹣）2+＞0，故在（0，1]上g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，1]上单调递增，∴g（x）max＝g（1）＝ln2﹣1，∵h（x）在[1，2]上单调递增，∴h（x）max＝2+m，由题意可知，g（x）max≥h（x）max，∴ln2﹣1≥2+m，∴m≤ln2﹣3故实数m的取值范围是（﹣∞，ln2﹣3]22．（14分）已知函数f（x）＝x2e﹣x（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y＝f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝x2e﹣x，∴f′（x）＝2xe﹣x﹣x2e﹣x＝e﹣x（2x﹣x2），令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝2，令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，故函数在区间（﹣∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数．∴x＝0是极小值点，x＝2极大值点，又f（0）＝0，f（2）＝．故f（x）的极小值和极大值分别为0，．（Ⅱ）设切点为（），则切线方程为y﹣＝（x﹣x0），令y＝0，解得x＝＝，∵曲线y＝f（x）的切线l的斜率为负数，∴（＜0，∴x0＜0或x0＞2，令，则＝．①当x 0＜0时，0，即f′（x0）＞0，∴f（x0）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x0）＜f（0）＝0；②当x 0＞2时，令f′（x0）＝0，解得．当时，f′（x 0）＞0，函数f（x0）单调递增；当时，f′（x0）＜0，函数f（x0）单调递减．故当时，函数f（x 0）取得极小值，也即最小值，且＝．综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪．。

2014-2015年度第二学期期中考试高二数学(理)试卷

2014-2015学年下学期期中考试高二数学（理）试卷一：选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．学校要选派4名爱好摄影的同学中的3名参加校外摄影小组的3期培训（每期只派1名），由于时间上的冲突，甲、乙两位同学都不能参加第1期培训，则不同的选派方式有（） A ．6 B ．8种 C ．10种 D ．12种2．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．(1－2x)8展开式中二项式系数最大的项数为（）A ．第4项B ．第5项C ．第7项D ．第8项 4．用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为（）Ａ．21k +Ｂ．2(21)k +Ｃ．211k k ++ Ｄ．231k k ++ 5．一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数 ( ) A ．12 B ． 13 C ．14 D ．156 若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是…… ( ) A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3-∞7．若函数y =f (x )的导函数在区间［a ,b ］是增函数，则函数()y f x =在区间［a ,b ］上的图象可能是（） 8. 将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于（） A9160 B 21 C 185 D 216919．已知)(x f y =是定义在R 上的函数，且1)1(=f ，)('x f >1,则x x f >)(的解集是( ) A (0 , 1) B )1,0()0,1( - C ),1(+∞ D ),1()1,(+∞--∞yyyA B C D10. 设函数nx x x x x f nn n )1(321)(32-+⋅⋅⋅+-+-=，其中n 为正整数，则集合{}4(())0,M x f f x x R ==∈1丨中元素个数是 ( )A ． 0个B ．1个C ．2个D ．4个二：填空题（本大题共7小题，每小题3分，满分21分）11. 若3838-=n C C , 则n 的值为．12. 设函数xxx f ln )(=，则)1('f ＝_______________ 13. 一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，设停止时,取球次数为随机变量,则==)12(X P _______________.（用式子表示）14. 当[]2,1-∈x 时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是 15．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4.a b b c c d d +++例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为______________.16. 若函数x x f x f sin cos )4(')(+=π,则=)4(πf ______________.17. 形如45263这样的数成为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由2，3，4，5，6（其中6可以当9用）可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为．三：填空题（本大题共4小题，满分39分）18．（本题9分）已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x .（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）求函数)(x f y =的单调区间.19．（本题10分）如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC平面⊥PA ABCD，3,2,6PA AD AB BC ====,（1）求证:;PAC BD 平面⊥ （2）求二面角A BD P --的大小.20．（本题10分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的一个顶点为(0，3)，1F ,2F 分别是椭圆的左、右焦点，离心率e ＝12,过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于N M ,两点.(1)求椭圆C 的方程；(2) 若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值21．（本题满分10分）已知函数x x ax x f ln 2)(2+-=.(1)若)(x f 无极值点，但其导函数)('x f 有零点，求实数a 的值； (2)若)(x f 有两个极值点，求实数a 的取值范围并证明)21(af <23-.19．(本小题10分)瓯海中学2010学年第二学期期中（模块）考试高二数学（理）参考答案一:选择题（10小题，每小题4分，共40分）二．填空题（7小题，每小题3分，共21分）11、6或8 12、 1 13、 210911)85()83(C 14、 m ＞2 15、6，4，1，7 16、 1 17、 32三：解答题18. 解：（Ⅰ）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++=' 由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f ………………………4分（2）.012,0363.363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令解得 .21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,(233)(23--∞+--=在x x x x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数.……………9分19．（本题10分）（Ⅰ）如图，建立坐标系，则(000)A ，，，0)B ，，0)C ，，(020)D ，，，(003)P ，，， (003)AP ∴=，，，0)AC =，，(0)BD =-，， 0BD AP ∴=，0BD AC =．BD AP ∴⊥，BD AC ⊥，又PA AC A =，BD ∴⊥面PAC ．…………………………………………5分（Ⅱ）设平面ABD 的法向量为(001)=，，m ，设平面PBD 的法向量为(1)x y =，，n ，则0BP =n ，0BD =n ，3020y ⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪⎩，，解得232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3122⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，，n ． c o s∴<m ，12>==m n n m n ． ∴二面角P BD A --的大小为60．……………………………………………………10分20．解：（1）椭圆的顶点为(0，3)，即b ＝3，e ＝c a ＝12，所以a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1 …………………………4分(2)斜率不存在，略若直线斜率存在，则设直线l 方程为y=k(x-1) 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)， |MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)[(8k 23＋4k 2)2－4(4k 2－123＋4k 2)]＝12(k 2＋1)3＋4k 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx消去y ，并整理得x 2＝123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝43(1＋k 2)3＋4k 2， ∴|AB |2|MN |＝48(1＋k 2)3＋4k 212(k 2＋1)3＋4k2＝4为定值. …………10分 21解;(1) )('x f =xx ax 1222+-,)('x f 有零点而无极值点,表明该零点左右导数同号,2100122,02=∴=∆=+-≠∴a x ax a ，的………………………………3分 (2) 若)(x f 有两个极值点，则)('x f=0有两个正根, 0≠∴a21000101222<<∴⎩⎨⎧>∆>∴+-=a a x ax y ，），经过点（ ………………………6分)21(a f =a a 4321ln -,令,21t a =则),1(+∞∈t ,设t t t g 23ln )(-= C2014-2015年度第二学期期中考试高二数学(理)试卷11 / 11 )('t g =tt t232231-=-,),1(+∞∈t 时)('t g <0, 所以t t t g 23ln )(-=在(1,∞+)上单调递减, 所以)(t g <)1(g =23-, 所以)21(a f <23-. ……………………………………………………10分。

2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题

2014-2015学年高二下学期期中考试数学试题（理科）总分：160分时间：120分钟一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上.）1. 命题“2,240x x x ∀∈-+>R ”的否定为 ▲ .2. 复数iz 251+=的虚部为____▲_____.3. 从4名男生、3名女生中任选3人参加一次公益活动，其中男生、女生均不少于1人的组合种数为▲ （用数字作答）． 4. 复数ii+2在复平面上的对应点位于第 ▲ 象限． 5. 将演绎推理：“x y 21log =在),0(+∞上是减函数”恢复成完全的三段论，其中大前提是▲ ．6. 设定义在R 上的函数)(x f 满足12)3()(=+x f x f ，4)1(=f ，则)100(f ＝ ▲ ．7. 用数学归纳法证明1＋ 12＋ 13＋…＋ 121n -＜n (n ＞1,*n N ∈)，在验证n ＝2成立时，左式是 __▲__．8. 用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成没有重复的5位奇数的个数为 ▲ ． 9. A 、B 、C 、D 、E 五人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，则B 不住2号房间，且B 、C 两人不住编号相邻房间的住法种数为 ▲ ． 10. 若多项式910109910102,)1()1()1(a x a x a x a a x x则+++++++=+ = ▲ ．11. 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2236=23⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 ▲ .12. 由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“156”）或严格递减（如“420”）顺序排列的数的个数是 ▲ ．13. 4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端，有 ▲ 种不同的站法．（用数字作答）14. 计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个记数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E ＋D ＝1B ，则B ×C ＝ ▲ ．二、解答题：(本大题共6小题，共90分.请在答题纸相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.（本题满分14分）已知复数i a z 41-=，i z 682+=，21z z 为纯虚数．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求复数1z 的平方根．16.（本小题满分14分）（Ⅰ）求证：当2a >（Ⅱ）证明：532，，不可能是同一个等差数列中的三项.17.（本题满分14分）已知函数()()R a ax x x f ∈-+-=423.（Ⅰ）若函数)(x f y =的图象在点()()1,1P f 处的切线的倾斜角为4π，求()f x 在[]1,1-上的最小值；（Ⅱ）若存在),0(0+∞∈x ，使0)(0>x f ，求a 的取值范围．18.（本题满分16分）某地有10个著名景点，其中8 个为日游景点，2个为夜游景点．某旅行团要从这10个景点中选5个作为二日游的旅游地．行程安排为第一天上午、下午、晚上各一个景点，第二天上午、下午各一个景点．（Ⅰ）甲、乙两个日游景点至少选1个的不同排法有多少种？（Ⅱ）甲、乙两日游景点在同一天游玩的不同排法有多少种？（Ⅲ）甲、乙两日游景点不同时被选，共有多少种不同排法？19. （本题满分16分）已知nx m x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式的二项式系数之和为256.（Ⅰ）求n ；（Ⅱ）若展开式中常数项为835，求m 的值；（Ⅲ）若n m x )(+展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况.20.（本题满分16分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且44431--=+n n na S )(*∈N n ，令nnn a b 4=. （Ⅰ）求证：数列}{n b 是等差数列，并求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若2)(-=n a n f )(*∈N n ，用数学归纳法证明)(n f 是18的倍数．高二数学（理科）答案一、填空题1. 0422≤+-∈∃x x R x ，使得 2. 92-3. 304. 一5. 若0＜a ＜1，则x ya log =在),0(+∞上是减函数 6. 3 7. 1＋12＋ 138. 36 9. 60 10. －10 11. 465 12. 204 13. 504 14. 84二、解答题15.解：（Ⅰ）100)326(248)68)(68()68)(4(21ia a i i i i a z z +--=-+--=.-----------------------------4分∵21z z 为纯虚数， ∴⎩⎨⎧≠+=-03260248a a 解得a ＝ 3.--------------------------7分（Ⅱ）由（Ⅰ）i z 431-=，设复数yi x +（x ∈R ，y ∈R ）满足i yi x 43)(2-=+，则⎩⎨⎧-==-42322xy y x 解得⎩⎨⎧-==12y x 或⎩⎨⎧=-=12y x∴所求的平方根为2-i或-2＋i .----------------------------------------14分16. 解：（Ⅰ）2(22a a ++=+又，，0202>+>-a a 且22-≠+a a ， ∴ ()()a a a a a a a 4222222=-+++<-+++，aa a 222<-++∴. （其他证法，如分析法，酌情给分）-----------------------7分（Ⅱ）假设是同一个等差数列中的三项，分别设为,,m n p a a a ，则m n a a dm n -==-253m p a a d m p m p m p---===---为有理数，矛盾.所以，假设不成立，即不可能是同一个等差数列中的三项.--------------------------14分 17.解（Ⅰ）.23)(2ax x x f +-='--------------------------1分根据题意，(1)tan1,321, 2.4f a a π'==∴-+==即 --------------------------3分此时，32()24f x x x =-+-，则2()34f x x x '=-+.令124'()00,.f x x x ===，得------------------------------------6分 ∴当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. ------------------------------------7分（Ⅱ）).32(3)(a x x x f --=' ①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减.又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使---------------------------10分 ②若220,0,()0;,()0.33a a a x f x x f x ''><<>><则当时当时从而)(x f 在（0，23a ）上单调递增，在（23a，+)∞上单调递减. .4274494278)32()(,),0(333max-=-+-==+∞∈∴a a a a f x f x 时当根据题意，33440,227a a a ->>∴>即 ----------------------------------------13分综上，a的取值范围是(3,)+∞.----------------------------------------14分 18.解：（Ⅰ）()2640443612442612=⨯⨯+⨯A C C A C C （种）---------------------------5分（Ⅱ）24026221212=⨯⨯⨯A A C C （种）-----------------------------------10分（Ⅲ）()264044264812=⨯-⨯A C A C （种）--------------------------------------15分答：分别不同排法总数是2640种，240种，2640种.--------------------------------------16分 19. 解（1）二项式系数之和为2n=256，可得n ＝8；-----------------------------------4分（2）设常数项为第r +1项，则r r r rr r r x m C x m x C T 288881--+=⎪⎭⎫⎝⎛=，----------------------------5分故8－2r＝，即r ＝4，------------------------------------------------------------------6分则835448=m C ，解得21±=m .------------------------------------------------------------9分（3）易知m＞，设第r+1项系数最大.---------------------------------------------------10分则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--.,11881188r r r r r r r r m C m C m C m C 化简可得19118+≤≤+-m mr m m .----------------------------------------13分由于只有第6项和第7项系数最大，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≤≤+-<.7196,51184m mm m ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤<.272,245m m --------------------------------------------------15分所以m只能等于2.-------------------------------------------------------------------16分 20.解：（Ⅰ）当n ＝1时，4443211--=a S ，∴201=a .----------------------------------1分当n ≥2时，444311--=--n n n a S ，∴nn n n n a a S S 43443311⨯--=---，即n n n a a 4341⨯+=-.--------------------------------3分∴344111=-=----n n n n n n a a b b . 即当n ≥2时31=--n n b b .----------------------------------------------------------------5分∵51=b ，∴数列}{n b 是首项为5，公差为3的等差数列.------------------------------------6分 ∴)1(35-+=n b n ，即23+=n b n .--------------------------------------------------------7分∴n n n a 4)23(+=.----------------------------------------------------------------------8分（Ⅱ）24)23()(-+=n n n f .①当n＝1时，18)1(=f ，显然能被18整除；----------------------------------------------9分 ②假设n ＝k 时，24)23()(-+=k k k f 能被18整除，--------------------------------------10分则当n ＝k ＋1时，24)233()1(1-++=++k k k f＝14324)23(4+⨯+-+⨯k kk＝k k kk k 4)23(341224)23(++⨯+-+＝k k k k 4)189(24)23(++-+＝kk k f 4)2(9)(++，-------------------------------------------------------------13分 ∵k ≥1， ∴kk 4)2(9+能被18整除.-------------------------------------------------------------14分又)(k f 能被18整除， ∴)1(+k f 能被18整除，即当n ＝k ＋1时结论成立.---------------------------------------15分由①②可知，当*∈N n 时，)(n f 是18的倍数．-------------------------------------------16分。

2014-2015年四川省雅安中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2014-2015学年四川省雅安中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项是符合题目要求的）1．（5分）i是虚数单位，计算i+i2+i3＝（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i2．（5分）若＝12，则n＝（）A．8B．7C．6D．43．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（）A．30种B．144种C．5种D．4种4．（5分）化简（x﹣4）4+4（x﹣4）3+6（x﹣4）2+4（x﹣4）+1得（）A．x4B．（x﹣3）4C．（x+1）4D．x55．（5分）从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有（）A．240种B．180种C．120种D．60种6．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．7．（5分）在以下命题中，不正确的个数为（）①||﹣||＝|+|是，共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2﹣2﹣，则P，A，B，C四点共面；④若{，，}为空间的一个基底，则{+，+，+}构成空间的另一个基底；⑤|（•）•|＝||•||•||．A．2B．3C．4D．58．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝09．（5分）已知＝（1，2，3），＝（2，1，2），＝（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A．B．C．D．10．（5分）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（）A．＜1﹣x+x2B．ln（1+x）≥x﹣x2C．e x≤1+x+x2D．cos x≥1﹣x2二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分）11．（5分）曲线y＝e x在点A（0，1）处的切线斜率为．12．（5分）复数z＝1+i（i为虚数单位），为z的共轭复数，则z•﹣z﹣1＝．13．（5分）平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得个不同的三角形？14．（5分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝ln+的图象分别与直线y＝m交于A，B两点，则|AB|的最小值为．三、解答题：（本题共6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．）15．（12分）在（2﹣）6的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数．（2）含x2的项．16．（12分）用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）可组成多少个无重复数字的自然数？（2）可组成多少个无重复数字的四位偶数？17．（12分）已知函数f（x）＝﹣x3+3x2+9x+a．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．18．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．19．（13分）已知矩形ABCD中，，将△ABD沿BD折起，使点A 在平面BCD内的射影落在DC上，E、F、G分别为棱BD、AD、AB的中点．（1）求证：DA⊥平面ABC；（2）求点C到平面ABD的距离；（3）求二面角G﹣FC﹣E的大小．20．（14分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2+x，g（x）＝x•e x﹣x2﹣1（x＞0），且f（x）点x＝1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝﹣x+b在区间[1，3]上有解，求b的取值范围；（Ⅲ）证明：g（x）≥f（x）．2014-2015学年四川省雅安中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项是符合题目要求的）1．（5分）i是虚数单位，计算i+i2+i3＝（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【解答】解：由复数性质知：i2＝﹣1故i+i2+i3＝i+（﹣1）+（﹣i）＝﹣1故选：A．2．（5分）若＝12，则n＝（）A．8B．7C．6D．4【解答】解：∵＝12，∴n（n﹣1）（n﹣2）＝12•，化简得n﹣2＝6；解得n＝8．故选：A．3．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（）A．30种B．144种C．5种D．4种【解答】解：这是不相邻问题，采用插空法，先排其余的3名同学，有A33种排法，出现4个空，将甲、乙、丙插空，所以共有A33A43＝144种排法，故选：B．4．（5分）化简（x﹣4）4+4（x﹣4）3+6（x﹣4）2+4（x﹣4）+1得（）A．x4B．（x﹣3）4C．（x+1）4D．x5【解答】解：（x﹣4）4+4（x﹣4）3+6（x﹣4）2+4（x﹣4）+1＝[（x﹣4）+1]4＝（x﹣3）4，故选：B．5．（5分）从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有（）A．240种B．180种C．120种D．60种【解答】解：根据分步计数原理知先从6双手套中任选一双有C61种取法，再从其余手套中任选2只有C102种，其中选到一双同色手套的选法为5种．故总的选法数为C61（C102﹣5）＝240种．故选：A．6．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y＝f（x）和y＝f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选：D．7．（5分）在以下命题中，不正确的个数为（）①||﹣||＝|+|是，共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2﹣2﹣，则P，A，B，C四点共面；④若{，，}为空间的一个基底，则{+，+，+}构成空间的另一个基底；⑤|（•）•|＝||•||•||．A．2B．3C．4D．5【解答】解：对①，∵向量、同向时，，∴只满足充分性，不满足必要性，∴①错误；对②，当为零向量时，λ不唯一，∴②错误；对③，∵2﹣2﹣1＝﹣1≠1，根据共面向量定理P、A、B、C四点不共面，故③错误；对④，用反证法，若{}不构成空间的一个基底；设⇒x＝（x﹣1）+⇒＝x+（1﹣x），即，，共面，∵{}为空间的一个基底，∴④正确；对⑤，∵|（）|＝||×||×|cos＜，＞|×||≤||||||，∴⑤错误．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0【解答】解：A、对于三次函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，A：由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故∃x0∈R，f（x0）＝0，故A正确；B、∵f（﹣﹣x）+f（x）＝（﹣﹣x）3+a（﹣﹣x）2+b（﹣﹣x）+c+x3+ax2+bx+c＝﹣+2c，f（﹣）＝（﹣）3+a（﹣）2+b（﹣）+c＝﹣+c，∵f（﹣﹣x）+f（x）＝2f（﹣），∴点P（﹣，f（﹣））为对称中心，故B正确．C、若取a＝﹣1，b＝﹣1，c＝0，则f（x）＝x3﹣x2﹣x，对于f（x）＝x3﹣x2﹣x，∵f′（x）＝3x2﹣2x﹣1∴由f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）由f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＜0得x∈（﹣，1）∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣），（1，+∞），减区间为：（﹣，1），故1是f（x）的极小值点，但f（x）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故C 错误；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0）＝0，故D正确．由于该题选择错误的，故选：C．9．（5分）已知＝（1，2，3），＝（2，1，2），＝（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：设Q（x，y，z）由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得，则有Q（λ，λ，2λ），当＝（1﹣λ）（2﹣λ）+（2﹣λ）（1﹣λ）+（3﹣2λ）（2﹣2λ）＝2（3λ2﹣8λ+5）根据二次函数的性质可得当时，取得最小值此时Q故选：C．10．（5分）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（）A．＜1﹣x+x2B．ln（1+x）≥x﹣x2C．e x≤1+x+x2D．cos x≥1﹣x2【解答】解：A．取x＝0时，左边＝1，右边＝1，此时左边＝右边，因此A不正确；B．令f（x）＝ln（1+x）﹣x+x2，f′（x）＝﹣1+x＝，当0＜x＜3时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．f（x）≤f（0）＝0，∴ln（1+x）≤x﹣，因此不成立．C．令f（x）＝e x﹣1﹣x﹣x2，则f′（x）＝e x﹣1﹣2x，f″（x）＝e x﹣2，当ln2≤x时，f″（x）≥0，函数f′（x）在[ln2，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥f′（4）＝e4﹣9＞0，∴当x＞4时，f（x）＞f（4）＝e4﹣21＞0，因此不成立；D．令f（x）＝cos x﹣1+，f′（x）＝﹣sin x+x，令h（x）＝x﹣sin x，h′（x）＝1﹣cos x≥0，∴函数h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥f′（0）＝0，∴函数f（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）＝0，∴cos x在x∈[0，+∞）上恒成立．故选：D．二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分）11．（5分）曲线y＝e x在点A（0，1）处的切线斜率为1．【解答】解：由题意得，y′＝e x，则在点A（0，1）处的切线斜率k＝e0＝1，故答案为：1．12．（5分）复数z＝1+i（i为虚数单位），为z的共轭复数，则z•﹣z﹣1＝﹣i．【解答】解：z＝1+i（i为虚数单位），为z的共轭复数，则z•﹣z﹣1＝（1+i）（1﹣i）﹣（1+i）﹣1＝2﹣1﹣i﹣1＝﹣i．故答案为：﹣i．13．（5分）平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得216个不同的三角形？【解答】解：平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，构成三角形需要3个点，因此需要分两类类，在共线的4个点中取一个或取两个．第一类，共线的4个点中取一个点，再剩下的8个点中取2个，则有＝112个不同的三角形．第二类，共线的4个点中取两个点，再剩下的8个点中取1个，则有＝48个不同的三角形．第三类，除共线的4个点中剩下的8个点中取3个，则有＝56个根据分类计数原理，可得112+48+56＝216个不同的三角形．故答案为：216．14．（5分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝ln+的图象分别与直线y＝m交于A，B两点，则|AB|的最小值为2+ln2．【解答】解：由题意，A（lnm，m），B（2，m），其中2＞lnm，且m ＞0，∴|AB|＝2﹣lnm，设y＝2﹣lnx（x＞0），则y′＝2﹣，令y′＝0，解得x＝，∴0＜x＜时，y′＜0；x＞时，y′＞0，∴y＝﹣lnx（x＞0）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴x＝时，|AB|min＝2+ln2．故答案为：2+2ln2．三、解答题：（本题共6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．）15．（12分）在（2﹣）6的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数．（2）含x2的项．【解答】解：（1）第3项的二项式系数为＝15，第三项的系数为T3＝•24•（﹣1）2＝240．（2）通项公式为T k+1＝•26﹣r•（﹣1）r•x3﹣r，令3﹣r＝2，可得r＝1，故含x2的项为第2项，且T2＝﹣192x2．16．（12分）用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）可组成多少个无重复数字的自然数？（2）可组成多少个无重复数字的四位偶数？【解答】解：（1）组成无重复数字的自然数共有个．（2）无重复数字的四位偶数中个位数是0共有个；个位数是2或4共有个，∴无重复数字的四位偶数共有60+96＝156个．17．（12分）已知函数f（x）＝﹣x3+3x2+9x+a．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【解答】解：（I）f′（x）＝﹣3x2+6x+9．令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（II）因为f（﹣2）＝8+12﹣18+a＝2+a，f（2）＝﹣8+12+18+a＝22+a，所以f（2）＞f（﹣2）．因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增，又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a＝20，解得a＝﹣2．故f（x）＝﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）＝1+3﹣9﹣2＝﹣7，即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．18．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）＝8，得k＝40，因此．而建造费用为C1（x）＝6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）＝0，即．解得x＝5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x＝5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．19．（13分）已知矩形ABCD中，，将△ABD沿BD折起，使点A 在平面BCD内的射影落在DC上，E、F、G分别为棱BD、AD、AB的中点．（1）求证：DA ⊥平面ABC ；（2）求点C 到平面ABD 的距离；（3）求二面角G ﹣FC ﹣E 的大小．【解答】解：（1）证明：依条件可知DA ⊥AB ①∵点A 在平面BCD 上的射影落在DC 上，即平面ACD 经过平面BCD 的垂线 ∴平面ACD ⊥平面BCD又依条件可知BC ⊥DC ，∴BC ⊥平面ACD∵DA ⊂平面ACD ∴BC ⊥DA ②∵AB ∩BC ＝B ，∴由①、②得DA ⊥平面ABC …4分（2）解：设求点C 到平面ABD 的距离为d ，于是V C ﹣ABD ＝V D ﹣ABC由（1）结论可知DA ⊥平面ABC ，∴DA 是三棱锥D ﹣ABC 的高∴由V C ﹣ABD ＝V D ﹣ABC ，得，解得即点C 到平面ABD 的距离为…8分（3）解：由（I ）结论可知DA ⊥平面ABC ，∵AC 、CG ⊂平面ABC∴DA ⊥AC ①DA ⊥CG ②由①得△ADC 为直角三角形，易求出AC ＝1于是△ABC 中AC ＝BC ＝1∵G 是等腰△ABC 底边AB 的中点，∴CG ⊥AB ③∵AB ∩DA ＝A ④∴由②、③、④得CG ⊥平面ABD∵CG ⊂平面FGC ∴平面ABD ⊥平面FGC在平面ABD 内作EH ⊥FG ，垂足为H ∴EH ⊥平面FGC作HK ⊥FC ，垂足为K ，连接EK ，故EK ⊥FC∴∠EKH 为二面角E ﹣FC ﹣G 的平面角 …10分设Rt △ABD 边BD 上的高为h ，容易求出，∴在△EFC中，容易求出三边长满足FC2＝FE2+EC2，∴∠FEC＝90°于是在Rt△FEC中容易求出，∴…12分于是二面角E﹣FC﹣G的大小为…13分20．（14分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2+x，g（x）＝x•e x﹣x2﹣1（x＞0），且f（x）点x＝1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝﹣x+b在区间[1，3]上有解，求b的取值范围；（Ⅲ）证明：g（x）≥f（x）．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝ln（x+a）﹣x2+x，∴∵函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2+x在点x＝1处取得极值，∴f'（1）＝0，即当x＝1时，∴，则得a＝0．经检验符合题意；（Ⅱ）∵，∴，∴．令，则．∴当x∈[1，3]时，h'（x），h（x）随x的变化情况表：计算得：，，h（2）＝ln2+3，∴所以b的取值范围为．（Ⅲ）证明：令F（x）＝g（x）﹣f（x）＝x•e x﹣lnx﹣x﹣1（x＞0），则＝，令G（x）＝x•e x﹣1，则∵G'（x）＝（x+1）•e x＞0（x＞0），∴函数G（x）在（0，+∞）递增，G（x）在（0，+∞）上的零点最多一个，又∵G（0）＝﹣1＜0，G（1）＝e﹣1＞0，∴存在唯一的c∈（0，1）使得G（c）＝0，且当x∈（0，c）时，G（x）＜0；当x∈（c，+∞）时，G（x）＞0．即当x∈（0，c）时，F'（x）＜0；当x∈（c，+∞）时，F'（x）＞0．∴F（x）在（0，c）递减，在（c，+∞）递增，从而F（x）≥F（c）＝c•e c﹣lnc﹣c﹣1．由G（c）＝0得c•e c﹣1＝0即c•e c＝1，两边取对数得：lnc+c＝0，∴F（c）＝0，∴F（x）≥F（c）＝0，从而证得g（x）≥f（x）．。

2014——2015学年下期期中试卷高二理科数学附答案

2014——2015学年下期期中试卷高二理科数学（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.关于x 的方程2250x x -+=的一个根是12i -，则另一根的虚部为( ) A. 2i B. 2i - C. 2 D. 2- 2.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A. 3y x =B. ()ln y x =-C. x y xe -=D. 2y x x=+ 3.已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111122341n -+-++=-11(24n n +++1)2n ++时，若已假设(2n k k =≥为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A.1n k =+时等式成立B. 2n k =+时等式成立C.22n k =+时等式成立D. ()22n k =+时等式成立 4．下列推理是归纳推理的是( )A.A,B 为定点,动点P 满足|PA |+|PB |=2a >|AB |,则P 点的轨迹为椭圆B.由a 1=1,a n =3n -1,求出S 1,S 2,S 3,猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C.由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2,猜想出椭圆22221x y a b +=的面积S =πabD.以上均不正确5．已知函数()()y f x x R =∈上任一点00(,())x f x 处的切线斜率200(2)(1)k x x =-+，则该函数()f x 的单调递减区间为( )A.[1,)-+∞ B .(,2]-∞ C.(,1),(1,2)-∞- D.[2,)+∞6.在用反证法证明命题“已知,2a b c ∈、、（0），求证(2)(2)(2)a b b c c a ---、、不可能都大于1”时，反证假设时正确的是( )A. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都小于1B. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都大于1C. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都不大于1D.以上都不对7.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛决出第1名到第5名的名次（无并列）.甲乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”.从这个人的回答中分析，5人的名次情况共有( ) A.54种 B.48种 C.36种 D.72种 8．设dx x x m ⎰-+=112)sin (3，则多项式6)1(xm x +的常数项( )A.45-B.45C.1615- D.16159．下面四个图象中，有一个是函数()()()3221113f x x ax a x a R =++-+∈的导函数()y f x '=的图象，则()1f -等于( )A ．13B ．－13C ．53D ．－13或5310.已知()ln xf x x=，且3b a >>，则下列各结论中正确的是( ) A.()2a b f a f ab f +⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B. )()2a b f ab f f b +⎛⎫<< ⎪⎝⎭C. ()2a b f ab f f a +⎛⎫<< ⎪⎝⎭D. ()2a b f b f f ab +⎛⎫<< ⎪⎝⎭11.函数()()()2242,20,02x x f x x x x ⎧--≤<⎪=-≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A ．1π+ B. 5π- C. 3π- D. 1π-12.函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈，都有()()2f x f x '>成立，若()ln 42f =，则不等式()2xf x e >的解是( )A. ln 4x >B. 0ln 4x <<C. 1x >D. 01x <<二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知()1cos f x x x =，则()2f f ππ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭．14.已知i 为虚数单位，则232015i i i i++++= ．15．已知函数()324()3f x x ax a a R =+-∈，若存在0x ，使()f x 在0x x =处取得极值，且()00f x =，则a 的值为．16．计算12323nn n n nC C C nC +++⋅⋅⋅+，可以采用以下方法：构造等式：0122n n n n n n C C x C x C x +++⋅⋅⋅+()1nx =+，两边对x 求导，得()112321231n n n n n n n C C x C x nC x n x --+++⋅⋅⋅+=+，在上式中令1x =，得1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋅⋅⋅+=⋅．类比上述计算方法，计算12223223n n n n n C C C n C +++⋅⋅⋅+= ．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）设,,,0.z a bi a b R b =+∈≠, 且1z zω=+是实数，且12ω-<<. (1)求z 的值及z 的实部的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数；18.（本小题满分12分）从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的雅典奥运冠军中选出6名作“夺冠之路”的励志报告．（1）若每个大项中至少选派一人，则名额分配有几种情况？（2）若将6名冠军分配到5个院校中的4个院校作报告，每个院校至少一名冠军，则有多少种不同的分配方法？19.（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274. （1）求()f x 的解析式；（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值.20.（本小题满分12分）已知函数()22ln f x x a x =+．（1）若函数()f x 的图象在()()2,2f 处的切线斜率为2，求函数()f x 的图象在()()1,1f 的切线方程；（2）若函数)(2)(x f xx g +=在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知()()()()20121111nnn x a a x a x a x +=+-+-++-，（其中*n N ∈）. （1）求0a 及12n n s a a a =+++；（2）试比较n s 与()2222n n n -⋅+的大小，并用数学归纳法给出证明过程.22.（本小题满分12分）已知函数()()ln 1af x x a R x =+∈+ （1）当92a =时，如果函数()()g x f x k =-仅有一个零点，求实数k 的取值范围；（2）当2a =时，试比较()f x 与1的大小；（3）求证：()()*1111ln 135721n n N n +>++++∈+.高二理科数学一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13. 3π-14.1- 15.3± 16. ()221-+n n n三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.【解析】（1）,,,0.z a bi a b R b =+∈≠22221()a b a bi a b i a bi a b a b ω⎛⎫∴=++=++- ⎪+++⎝⎭ω是实数，0b ≠，221a b ∴+=即||1z =,2,12a ωω=-<<z ∴的实部的取值范围是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭；………………………………5分（2）()()()()()2222111112111111a bi a bi z a bi a b bi bu i z a bi a bi a bi a a b --+-------=====-++++++-+++ 1,1,02a b ⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭u ∴为纯虚数. ……………………………………………………10分 18.【解析】（1）名额分配只与人数有关，与不同的人无关．每大项中选派一人，则还剩余两个名额，当剩余两人出自同一大项时，名额分配情况有144C =种，当剩余两人出自不同大项时，名额分配情况有246C =种． ∴有124410C C +=种． ……………………………………………………………………6分 (2)从5个院校中选4个，再从6个冠军中，先组合，再进行排列，有2243464564227800C C C C A A ⎛⎫⋅+⋅= ⎪⎝⎭种分配方法． ……………………………………………12分19.【解析】 (1)由(0)0f =得0c =， ………………………………………2分2()32f x x ax b '=++.由(0)0f '=得0b =， ………………………………………4分∴322()()f x x ax x x a =+=+，则易知图中所围成的区域(阴影)面积为27[()]4af x dx --=⎰从而得3a =-，∴32()3f x x x =-. ………………………8分（2）由（1）知2()363(2)f x x x x x '=-=-.,(),()x f x f x '的取值变化情况如下：又(3)0f =,①当03m <≤时, max ()(0)0f x f ==；②当3m >时, 32max ()()3.f x f m m m ==- …………………………………………11分综上可知：当03m <≤时, max ()(0)0f x f ==；当3m >时, 32max ()()3.f x f m m m ==- …………………………………12分20.【解析】（1）()22222a x a f x x x x +'=+=，由已知()22f '=，解得2a =-.……2分 ()24ln f x x x ∴=-,()42f x x x'=-()11f ∴=,()12f '=-……………………………4分∴函数()f x 的图象在()()1,1f 的切线方程为()121y x -=--即230x y +-=. ……6分（2）由g(x)＝2x ＋x 2＋2aln x ，得g ′(x)＝－22x ＋2x ＋2a x， ……………………7分由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g ′(x)≤0在[1,2]上恒成立，即－22x ＋2x ＋2a x ≤0在[1,2]上恒成立．即a ≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．…………8分令h(x)＝1x －x 2，在[1,2]上h ′(x)＝－21x －2x ＝－(21x＋2x)＜0，所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min ＝h(2)＝－72，所以a ≤－72．……………11分故实数a 的取值范围为{a|a ≤－72}. …………………………………………………12分21.【解析】（1）取1x =，则02n a =； ………………………………………………2分取2x =，013n n a a a +++=，1232n n n n s a a a ∴=+++=- ……………………4分（2）要比较n s 与()2222n n n -⋅+的大小，即比较3n 与()2122n n n -⋅+的大小. 当1n =时， ()23122n n n n >-⋅+；当2,3n =时， ()23122n n n n <-⋅+；当4,5n =时， ()23122n n n n >-⋅+； …………………………………………………6分猜想：当4n ≥时， ()23122n n n n >-⋅+，下面用数学归纳法证明：…………………7分由上述过程可知，4n =时结论成立；假设当()4n k k =≥时结论成立，即()23122k k k k >-⋅+两边同乘以3得：()()()212123312622132442k k k k k k k k k k k ++⎡⎤>-⋅+=⋅+++-+--⎣⎦4k ≥时，()320k k ->，22442444420k k --≥⨯-⨯->，()2324420k k k k ∴-+-->()2113221k k k k ++∴>⋅++，即1n k =+时结论也成立.∴当4n ≥时， ()23122n n n n >-⋅+成立. …………………………………………11分综上所述，当1n =或4n ≥时， ()23122n n n n >-⋅+；当2,3n =时， ()23122n n n n <-⋅+.………………………………………12分22.【解析】（1）当92a =时，()()9ln 21f x x x =++，定义域是()0,+∞.()()()()()22212192121x x f x x x x x --'=-=++ 令()0f x '=，得12x =或2x =.……………………………………………………………2分当102x <<或2x >时，()0f x '>，当122x <<时，()0f x '<，∴函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. …………………4分∴()f x 的极大值是132ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，极小值是()32ln 22f =+.当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，∴当()()g x f x k =-仅有一个零点时，实数k 的取值范围是()3,ln 23ln 2,2⎛⎫-∞+-+∞⎪⎝⎭.……………………………………………………………5分（2）当2a =时，()2ln 1f x x x =++，定义域是()0,+∞. 令()()21ln 11h x f x x x =-=+-+，则()()()222121011x h x x x x x +'=-=>++ ()h x ∴在()0,+∞上是增函数. …………………………………………………………7分当1x >时，()()10h x h >=，即()1f x >；当01x <<时，()()10h x h <=，即()1f x <；当1x =时，()()10h x h ==，即()1f x =；………………………………………………9分（3）根据（2）的结论，当1x >时，2ln 11x x +>+，即1ln 1x x x ->+. 令*1k x k N k +=∈，，则有2ln 11x x +>+，即1111ln1211k k k k k k k+-+>=+++ ()231111ln 1ln ln ln123521n n n n +∴+=+++>++++，即()()*1111ln 135721n n N n +>++++∈+.…………………………………………12分。

高二2014-2015学年第二学期期中考试数学试卷(理科)

淮南二十四中2014-2015学年第二学期期中考试数学试卷（理科）姓名____________得分____________一、选择题：每题4分，共40分1.复数212i i +-的共轭复数是3.5A i - 3.5B i .C i - .D i2.将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 .12A 种 .10B 种 .9C 种 .8D 种3.在 ()61x x + 的展开式中，含3x 项的系数为.30A .20B .15C .10D4.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1.8A 3.8B 5.8C 7.8D 5. 凸n 多边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2 6.曲线1x y xe -=在点()1,1处切线的斜率等于.2A e .B e .2C .1D7. 甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 A ．150种 B.180种 C.300种 D.345种 8.若()()201522015012201512x a a x a x a x x R -=+++⋅⋅⋅+∈，则20151222015222a a a ++⋅⋅⋅+的值为A ．2B 。

0C 。

1-D 。

2-9.设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为2y x =，则a = .0A .1B .2C .3D 10.函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x R ∈，()'2f x >，则()24f x x >+的解集为().1,1A - ().1,B -+∞ ().,1C -∞- ().,D -∞+∞二、填空题：每题4分，共16分11.若复数1111i iz i i-+⋅=+-，则复数z= ___ __ 12. 为如图所示的四块区域涂色，要求相邻区域不能同色，现有3种不同颜色可供选择，则共有_______种不同涂色方案（要求用具体数字作答）.13.设二项式6x ⎛⎝()0a >的展开式中的系数为A ，常数项为B ，若4B A =，则a 的值是14. 已知函数()()2x f x e ax a R =-∈，若函数()f x 为R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是三、解答题15.（本题满分11分）已知复数22(815)(918)z m m m m i =-++-+在复平面内表示的点为A ，实数m 取什么值时，（1）z 为实数？z 为纯虚数？（2）点A 位于第三象限？16.（本题满分11分）已知在二项式n的展开式中，前三项的系数成等差数列，（1）求展开式中的有理项；（即次数为整数的项）（2）求二项式系数最大的项。

—15学年下学期高二期中考试数学(理)(附答案)

2014～2015学年度第二学期期中考试高二数学（理）试题(考试时间： 120分钟)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上）1．命题“2,250x R x x ∀∈++>”的否定是 ▲ .2．已知复数i z -=2(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 ▲ .3．在数列2，25，3，27，4……中，第21项为 ▲ . 4．4名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有 ▲ 种．5．已知命题p ：12=x ，命题q ：1=x ，则p 是q 的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）6．若复数ii a 212+-（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a = ▲ ． 7．若命题“存在x R ∈，使得22390x ax -+<成立”为假命题，则实数a 的取值范围是▲ ．8．用数字1,2,3可以写出 ▲ 个无重复数字的三位正整数．9．已知ABC △的周长为l ，面积为S ，则ABC △的内切圆半径为2s r l= ．将此结论类比到空间，已知四面体ABCD 的表面积为S ，体积为V ，则四面体ABCD 的内切球的半径R = ▲ ．10．从{0，1，2，3，4，5} 中任取2个互不相等的数a ，b 组成a +bi ，其中虚数有 ▲ 个．11．已知p ：112x ≤≤，q ：()(1)0x a x a --->，若p 是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．已知复数()0,,≠∈+=x R y x yi x z 且32=-z ，则xy 的最大值为 ▲ ． 13．下列4个命题：①“如果0x y +=，则x 、y 互为相反数”的逆命题②“如果260x x +-≥，则2x >”的否命题③在△ABC 中，“30A > ”是“1sin 2A >”的充分不必要条件 ④“函数)tan()(ϕ+=x x f 为奇函数”的充要条件是“)(Z k k ∈=πϕ”其中真命题的序号是 ▲ ．14．设N =2n （n ∈N *，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N 个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换，将P 1分成两段，每段2N 个数，并对每段作C 变换，得到2p ；当2≤i≤n -2时，将P i 分成2i 段，每段2i N 个数，并对每段C 变换，得到P i+1，例如，当N=8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置，当N=32时，x 21位于P 3中的第 ▲ 个位置．二、解答题（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15．(1) 计算ii i i --+++2)1(21)1(22； (2) 若实数x ，y 满足ii y i x 3110211+=+++，求x ，y 的值．16．已知a R ∈，命题2:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=．(1)若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．17．（1）用分析法证明：当2a ><（2）设b a ,是两个不相等的正数，若111=+b a ，用综合法证明：4>+b a ．18．已知二次函数f （x ）=ax 2+bx +c ．(1) 设集合A ={x |f （x ）=x }．①若A ={1，2}，且f （0）=2，求f （x ）的解析式；②若A ={1}，且a ≥1，求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值M （a ）．(2) 设f （x ）的图像与x 轴有两个不同的交点，a >0， f （c ）=0，且当0<x <c 时，f （x ）>0．用反证法证明：c a>1．19．一个正方形花圃，被分为n(*,3N n n ∈≥)份，种植红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花。

2014-2015年辽宁省沈阳二中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2014-2015学年辽宁省沈阳二中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是（）A．完全归纳推理B．类比推理C．归纳推理D．演绎推理2．（5分）有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误3．（5分）命题“关于x的方程ax=b（a≠0）的解是唯一的”的结论的否定是（）A．无解B．两解C．至少两解D．无解或至少两解4．（5分）若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．以上都不对5．（5分）一个物体的运动方程为s=1﹣2t+2t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．9米/秒B．10米/秒C．12米/秒D．13米/秒6．（5分）曲线y=cosx（0≤x≤）与两坐标轴所围成图形的面积为（）A．4B．3C．D．27．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A．1项B．k项C．2k﹣1项D．2k项9．（5分）已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a10．（5分）已知实数a，b＞0，a，b的等差中项为，设，则m+n的最小值为（）A．3B．4C．5D．611．（5分）设复数，Z在复平面内的对应点（）A．一定不在一、二象限B．一定不在二、三象限C．一定不在三、四象限D．一定不在二、三、四象限12．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5分）函数f（x）=2ln3x+8x，则的值为．14．（5分）已知，则的值为．15．（5分）已知函数，当x=﹣1时函数f（x）的极值为，则f（2）=．16．（5分）设函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）（a、b、c是两两不等的常数），则++=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．18．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，侧面是正方形，∠DAB=60°，E是棱CB的延长线上一点，经过点A、C1、E的平面交棱BB1于点F，B1F=2BF．（1）求证：平面AC1E⊥平面BCC1B1；（2）求二面角E﹣AC1﹣C的平面角的余弦值．19．（12分）平面直角坐标系xOy中，椭圆∑：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点为F1、F2，直线l：x+y﹣2=0经过焦点F2，并与∑相交于A、B两点．（1）求的方程；（2）在上是否存在C、D两点，满足CD∥AB，F 1C=F1D？若存在，求直线CD的方程；若不存在，说明理由．20．（12分）已知数列{a n}、{b n}满足：a1=，a n+b n=1，b n+1=．（Ⅰ）求b1，b2，b3，b4；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的通项公式；（Ⅲ）设S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，不等式4aS n＜b n恒成立时，求实数a的取值范围．21．（12分）已知a＞0，函数．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，1]的极值；（Ⅲ）若在区间上至少存在一个实数x0，使f（x0）＞g（x0）成立，求正实数a的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号，每小题满分10分.【选修4-4；坐标系与参数方程】22．（10分）已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l的参数方程．（2）设l与圆x2+y2=4相交于点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．【选修4-5；不等式选讲】23．若不等式5﹣x＞7|x+1|与不等式ax2+bx﹣2＞0同解，而|x﹣a|+|x﹣b|≤k的解集为空集，求实数k的取值范围．2014-2015学年辽宁省沈阳二中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是（）A．完全归纳推理B．类比推理C．归纳推理D．演绎推理【解答】解：由金导电、银导电、铜导电、铁导电，而金、银、铜、铁都属于金属，由此归纳得到一切金属都导电，属归纳推理．故选：C．2．（5分）有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解答】解：该演绎推理的大前提是：若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；小前提是：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；结论是：直线b∥直线a；该结论是错误的，因为大前提是错误的，正确叙述是“若直线平行于平面，过该直线作平面与已知平面相交，则交线与该直线平行”．故选：A．3．（5分）命题“关于x的方程ax=b（a≠0）的解是唯一的”的结论的否定是（）A．无解B．两解C．至少两解D．无解或至少两解【解答】解：关于x的方程ax=b（a≠0）的解是唯一的，命题的结论是：解唯一，∴其否定是：关于x的方程ax=b（a≠0）无解或至少两解．故选：D．4．（5分）若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．以上都不对【解答】解：因为（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，所以x2﹣1=0并且x2+3x+2≠0，解得x=1；故选：A．5．（5分）一个物体的运动方程为s=1﹣2t+2t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．9米/秒B．10米/秒C．12米/秒D．13米/秒【解答】解：∵s=1﹣2t+2t2，∴s′=﹣2+4t，把t=3代入上式可得s′=﹣2+4×3=10由导数的意义可知物体在3秒末的瞬时速度是10米/秒，故选：B．6．（5分）曲线y=cosx（0≤x≤）与两坐标轴所围成图形的面积为（）A．4B．3C．D．2【解答】解：当0≤x≤时，cosx≥0，当π≤x≤时，cosx≤0，∴所求面积S==sinx|﹣sinx|=sin=1+1+1=3，故选：B．7．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解析：由f（x）的图象及f'（x）的意义知，在x＞0时，f'（x）为单调递增函数，且f'（x）＜0；在x＜0时，f'（x）为单调递减函数且f'（x）＜0．故选：D．8．（5分）利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A．1项B．k项C．2k﹣1项D．2k项【解答】解：用数学归纳法证明等式1+++…+＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+++…+，则当n=k+1时，左边=1+++…++++…+，∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：++…+，共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k项，故选：D．9．（5分）已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【解答】解：，∵∴∴∴a2＜b2＜c2∴a＜b＜c．故选：C．10．（5分）已知实数a，b＞0，a，b的等差中项为，设，则m+n的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵a＞0，b＞0，a，b的等差中项是，∴a+b=1又∵m+n=a+b+=1++=当且仅当a=b时，等号成立，∴m+n取得最小值5故选：C．11．（5分）设复数，Z在复平面内的对应点（）A．一定不在一、二象限B．一定不在二、三象限C．一定不在三、四象限D．一定不在二、三、四象限【解答】解：复数，可得m＜﹣1，复数的虚部为正，实部是实数．复数，Z在复平面内的对应点，一定不在三、四象限．故选：C．12．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（log π3）•f （log π3），c=（log 3）•f （log 3），则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b【解答】解：令F （x ）=xf （x ），则F ′（x ）=f （x ）+xf ′（x ）．因为f （x ）+xf ′（x ）＜0，所以函数F （x ）在x ∈（﹣∞，0）上为减函数．因为函数y=x 与y=f （x ）都是定义在R 上的奇函数，所以函数F （x ）为定义在实数上的偶函数．所以函数F （x ）在x ∈（0，+∞）上为增函数．又30.3＞30=1，0=log π1＜log π3＜log ππ=1，．则F （||）＞F （30.3）＞F （log π3）．所以（log 3）•f （log 3）＞（30.3）•f （30.3）＞（log π3）•f （log π3），即c ＞a ＞b ．故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5分）函数f （x ）=2ln3x+8x ，则的值为 ﹣20 ．【解答】解：∵，∴==﹣2f ′（1） =﹣2×=﹣20．故答案为﹣20． 14．（5分）已知，则的值为 ﹣1 ．【解答】解：由，得到x 2+x+1=0，设方程的一个根为a+bi （a ，b是实数）则另一个根为a ﹣bi ，所以，解得，所以x=i，若x=+i，则x2=﹣i，x3=1，则x2015=x671×3+2=x2=﹣i，则=﹣i+=﹣i+（+i）=﹣1，若x=﹣i，则x2=+i，x3=1，则x2015=x2=+i，则=+i+=+i+（﹣i）=﹣1，综上恒有则=﹣1，故答案为：﹣115．（5分）已知函数，当x=﹣1时函数f（x）的极值为，则f（2）=．【解答】解：由题意f'（x）=x2+2a2x+a，则f（﹣1）=，f′（﹣1）=0，△≠0，解得，∴f（2）=．故答案为16．（5分）设函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）（a、b、c是两两不等的常数），则++=0．【解答】解：∵f（x）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x﹣abc，∴f′（x）=3x2﹣2（a+b+c）x+ab+bc+ca．又f′（a）=（a﹣b）（a﹣c），同理f′（b）=（b﹣a）（b﹣c），f′（c）=（c﹣a）（c﹣b）．∴++=0．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【解答】解：（1）∵当x=π时，f（x）取得最小值∴sin（π+θ）=﹣1即sinθ=1又∵0＜θ＜π，∴（2）由（1）知f（x）=cosx∵，且A为△ABC的内角∴由正弦定理得知或当时，，当时，综上所述，或18．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，侧面是正方形，∠DAB=60°，E是棱CB的延长线上一点，经过点A、C1、E的平面交棱BB1于点F，B1F=2BF．（1）求证：平面AC1E⊥平面BCC1B1；（2）求二面角E﹣AC1﹣C的平面角的余弦值．【解答】（1）证明：设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，∵B1F=2BF，△B1C1F∽△BEF，∴…（1分）由∠DAB=60°=∠ABE，∠ABC=120°，得，…（2分）∵，∴AE2+CE2=AC2，AE⊥CE…（3分）∵ABCD﹣A1B1C1D1是直四棱柱，C1C⊥ABCD，又AE⊂ABCD，∴C1C⊥AE，∵CE∩CC1=C，∴AE⊥平面BCC1B1…（4分）∵AE⊂平面AC1E，∴平面AC1E⊥平面BCC1B1…（5分）（2）解：过C作CG⊥AC1于G，CH⊥C1F于H，连接GH…（6分）由平面AC1E⊥平面BCC1B1，平面AC1E∩平面BCC1B1=C1E，CH⊥平面AC1E…（7分）∴CH⊥AC1，又CG⊥AC1，CG∩CH=C，∴AC1⊥平面CGH，AC1⊥GH，∴∠CGH是二面角E﹣AC1﹣C的平面角…（9分）在Rt△ACC1中，，CC1=a，AC1=2a，，在Rt△ECC1中，，CC1=a，，，、，求得任何一个给（2分），两个全对给（3分）…（12分）GH==，cos∠CGH==．∴二面角E﹣AC1﹣C的平面角的余弦值是．…（13分）19．（12分）平面直角坐标系xOy中，椭圆∑：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点为F1、F2，直线l：x+y﹣2=0经过焦点F2，并与∑相交于A、B两点．（1）求的方程；（2）在上是否存在C、D两点，满足CD∥AB，F 1C=F1D？若存在，求直线CD的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵直线l：x+y﹣2=0经过焦点F2，∴F2（2，0），即c=2；又e==，∴a=；∴b==，∴椭圆∑的方程为+=1；（2）（方法一）若存在满足条件的直线CD，∵CD∥AB，∴k CD=k AB=﹣1，设直线CD的方程为y=﹣x+m，由，得x2+3（﹣x+m）2﹣6=0；即4x2﹣6mx+（3m2﹣6）=0，∴△=（﹣6m）2﹣4×4（3m2﹣6）=96﹣12m2＞0；（*）设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=；由已知F1C=F1D，若线段CD的中点为E，则F1E⊥CD，∴=﹣=1；F1（﹣2，0），E（，），即E（，）；由==1，解得m=﹣4；当m=﹣4时，96﹣12m2=﹣96＜0，这与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线CD．（方法二）假设存在C（x1，y1），D（x2，y2），且线段CD的中点为E（x0，y0），则x0=，y0=，=﹣1；由，两式相减得：（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2）=0，代入、化简得：x0﹣y0=0，①由已知F1C=F1D，则F1E⊥CD，∴=﹣=1；由==1，得y 0=x0+2，②由①②解得x0=﹣3，y0=﹣1，即E（﹣3，﹣1）直线CD的方程为：y=﹣（x+4），联立方程组，消去y得4x2+24x+42=0，∵△=242﹣4×4×42=﹣96＜0，∴方程（组）无解，即不存在满足条件的直线CD．20．（12分）已知数列{a n}、{b n}满足：a1=，a n+b n=1，b n+1=．（Ⅰ）求b1，b2，b3，b4；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的通项公式；（Ⅲ）设S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，不等式4aS n＜b n恒成立时，求实数a的取值范围．【解答】（本题14分）解：（Ⅰ），∵[lg（S n﹣m）+lg（S n+2﹣m）]=2lg（S n+1﹣m），∴．…（4分）（Ⅱ）∵，∴，…（5分）∴数列{c n}是以﹣4为首项，﹣1为公差的等差数列．∴c n=﹣4+（n﹣1）•（﹣1）=﹣n﹣3．…（7分）（Ⅲ）由于，所以，从而..…（8分）∴∴…（10分）由条件知（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0恒成立即可满足条件，设f（n）=（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8，当a=1时，f（n）=﹣3n﹣8＜0恒成立当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立，当a＜1时，对称轴，f（n）在（1，+∞）为单调递减函数．f（1）=（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8=（a﹣1）+（3a﹣6）﹣8=4a﹣15＜0，∴，∴a＜1时4aS n＜b n恒成立综上知：a≤1时，4aS n＜b n恒成立…（14分）21．（12分）已知a＞0，函数．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，1]的极值；（Ⅲ）若在区间上至少存在一个实数x0，使f（x0）＞g（x0）成立，求正实数a的取值范围．【解答】解：∵f′（x）=a2x2﹣2ax（I）当a=1时，f′（1）=﹣1，f（1）=0所以f（x）在点（1，f（1））的切线方程为y=﹣x+1（II）令f′（x）=0得（1）当，x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增所以当x=0时，有极大值；当有极小值（2）当，f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）递减所以f（x）极大值为f（0）=，无极小值（III）设F（x）=f（x）﹣g（x）=，F′（x）=a2x2﹣2ax+a=a2x2+a（1﹣2x）∵∴F′（x）=a2x2+a（1﹣2x）＞0∴则依题意，只需F（x）max＞0即解得所以实数a的取值范围是（请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号，每小题满分10分.【选修4-4；坐标系与参数方程】22．（10分）已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l的参数方程．（2）设l与圆x2+y2=4相交于点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．（1）因为过点（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数方程，【解答】解：由题意，将x0=1，y0=1，α=代入上式得直线l的参数方程为（t为参数）．（2）因为A，B都在直线l上，故可设它们对应的参数分别为t1，t2，则点A，B的坐标分别为A，B，将直线l的参数方程代入圆的方程x2+y2=4中，整理得，则t1，t2是此方程的两根，由韦达定理得t1t2=﹣2，所以|PA|•|PB|=|t1t2|=2．即点P到A、B两点的距离之积为2．【选修4-5；不等式选讲】23．若不等式5﹣x＞7|x+1|与不等式ax2+bx﹣2＞0同解，而|x﹣a|+|x﹣b|≤k的解集为空集，求实数k的取值范围．【解答】解：得或得﹣2＜x＜﹣1 （3分）综上不等式的解集为，又由已知与不等式ax2+bx﹣2＞0同解，所以解得（7分）则|x﹣a|+|x﹣b|≥|x﹣a﹣x+b|=|b﹣a|=5，所以当|x﹣a|+|x﹣b|≤k的解为空集时，k＜5．（10分）。

2014-2015学年高二下数学(理科)试题(含答案)

2014-2015学年度高二第二学期期中考试数学（理科）试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）第卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 实数，满足，则的值是（）A．1 B．2 C．D．2. 观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是（）A． B．C． D．3. 类比“两角和与差的正、余弦公式”的形式，对于给定的两个函数：，，其中，且，下面正确的运算公式是（）①；②；③；④.A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④4. 设函数处可导，则（）A． B． C． D．5. 的展开式中，的系数是（）A．B．C．297 D．2076. 某校有六间不同的电脑室，每天晚上至少开放两间，欲求不同安排方案的种数，现有3位同学分别给出了下列三个结果：①；②；③，其中正确的结论是（）A．①B．①与②C．②与③D．①②③7. 曲线与直线以及轴所围图形的面积为（） A ．2 B ．C ．D ．8. 若，，，则以下结论正确的是（）A ．B ．C ．D ．，大小不定 9. 已知复数，，若，则（） A ．或B ．C ．D ．10．若函数在定义域R 内可导，，且，，，，则的大小关系是( ) A ．B ．C ．D ．第卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 定义运算，则符合条件的复数__________．12. 若，且，则__________．13. 已知，若，则_____________（填）.14. 如下图所示的数阵中，第10行第2个数字是________．1 21 21 31 41 31 41 71 71 41 51 111 111 111 51 …………………………15._________.三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知复数，当实数为何值时:（1）为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；（4）复数对应的点在第四象限．17.（本小题满分12分）(1)若的展开式中，的系数是的系数的倍，求；(2)已知的展开式中, 的系数是的系数与的系数的等差中项,求；(3)已知的展开式中,二项式系数最大的项的值等于,求.18.（本小题满分12分）已知函数，数列满足，．（1）求；（2）猜想数列的通项，并用数学归纳法予以证明．19.（本小题满分12分）对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明：该企业的生产成本（单位：万元）和生产收入（单位：万元）都是产量（单位：）的函数，它们分别为和.（1）试求出该企业获得的生产利润（单位：万元）与产量之间的函数关系式；（2）当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大利润为多少？20.（本小题满分13分）已知为实数，.（1）求导数；（2）若是函数的极值点，求在区间上的最大值和最小值；（3）若在区间和上都是单调递增的，求实数的取值范围．21.（本小题满分14分）已知函数（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：．数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：ABDCD CAABD二、填空题:11. 12. 11; 13. ; 14. ; 15. -99！三、解答题:16.解：（1）由，得或.所以，当或时，为实数；………………………………………………………………3分（2）由，得且.所以，当且时，为虚数；………………………………………………………6分（3）由得．所以，当时，为纯虚数；………………………………………………………………………9分（4）由得所以，当时，复数对应的点在第四象限．…………………………………………12分17.解：（1）的二项式系数是，的二项式系数是.依题意有………………………1分……………………………………………………………………………4分（2）依题意，得…………………………………………………………………5分即……………………………………………………………………8分（3）依题意得………………………………………………………………9分…………………………………………………………………………………………10分即解得，或所以.………………………………………………………………………………12分18.解：（1）由题意，得，，，．………………………………………………3分（2）猜想：.………………………………………………………………5分证明：①当时，，结论成立. ……6分（注：不写出的表达式扣1分）②假设当时，结论成立，即，…………………………………………7分那么，当时，………………………………………………………10分这就是说，当时，结论成立.………………………………………………………………11分由①，②可知，对于一切自然数都成立．……………………………12分19.解：（1）……………………………………………………………2分即……………………………4分（注：不写定义域“”扣1分）（2） (5)分令，得或……………………………………………………………………………………6分当变化时，的变化情况如下表：极小值极大值由上表可知：是函数的唯一极大值点，也是最大值点.所以，当时，取得取最大值.…………………………………………………………………………………………………………11分答：当产量为15时，该企业可获得最大利润，最大利润为万元. ……………………12分 20. 解：（1），．………………………………………………………………………………3分（2）由，得.，．……………………………………………………6分由，得或．…………………………………………………………………………………7分又，，，，在区间上的最大值为，最小值为．……………………………………………9分（3）的图象是开口向上且过点的抛物线.由已知，得……………………………………………………………………………11分，的取值范围为．……………………………………………………………………………13分21. 解：（1）当时，，．令，得…………………………………………………………………………………………1分当时，；当时，.…………………………………………………2分因此，的单调递减区间是，单调递增区间是.………………………………3分（2）由可知：是偶函数．于是，对任意恒成立等价于对任意恒成立．……………………………………………………………………………4分由，得．…………………………………………………………………………………………5分①当时，，此时,在区间上单调递增．故，符合题意．…………………………………………………………………6分②当时，．当变化时，的变化情况如下表：极小值由上表可知：在区间上，．……………………………………8分依题意，得.又．综上：实数的取值范围是．……………………………………………………………………9分（3），当，且时，，即，………………………………………………………………………12分，，…，，故11 ．………………………………………………………14分。

2014-2015学年高二下期中考试数学试题及答案(理)(A)

山东省菏泽市2014-2015学年高二下期中考试（理）（A ）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（每题5分） 1．复数21ii=+（） A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i --2．设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（） A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln23．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间［－3，0］上的最大值、最小值分别是（） A ．1，－1B ．1，－17C ．3，－17D ．9，－194．有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点；因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以x =0是函数3()f x x =的极值点．”以上推理中（）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确5．设曲线11x y x +=-在点（3,2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（） A ．2B ．12C ．12-D ．2-6．用反证法证明命题a ,b ,N ∈a ,b 可被5整除，那么a ,b 中至少有一个能被5整除 ”时，假设的内容应为（） A ．a ,b 都能被5整除 B ．a 不能被5整除 C ．a ,b 不都能被5整除D ．a ,b 都不能被5整除7．下列推理正确的是（）A ．把()a b c + 与 log ()a x y + 类比，则有：log ()log log a a a x y x y +=+ ．B ．把()a b c + 与 sin()x y + 类比，则有：sin()sin sin x y x y +=+．C ．把()n ab 与 ()n a b + 类比，则有：n n n ()x y x y +=+．D ．把()a b c ++ 与 ()xy z 类比，则有：()()xy z x yz =．8．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如右图所示，则导函数y =f '(x )可能为（）9．观察式子：474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，…，则可归纳出式子为（） A ．121131211222-<+++n n B ．121131211222+<+++n n C ．n n n 12131211222-<+++D ．122131211222+<+++n n n10．设111,,(0,),,,x y z a x b y c z yzx∈+∞=+=+=+，则a ,b ,c 三个数（） A ．至少有一个不小于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．都大于2第II 卷（共100分）二、填空题（每题5分，共25分）11．211(2)x dx x-⎰= .12．一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是___________.13．在平面几何里，有：“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体A －BCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________” 14．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式2'()3(1)ln f x x xf x =++，则(1)f '的值等于．15．设函数2()ln f x x x ax =++．若()f x 在其定义域内为增函数，则a 的取值范围为；三、解答题:(共6小题，75分）16．（12分）已知复数Z 1满足1(2)(1)1Z i i -+=-（i 为虚数单位），复数Z 2的虚部为1，Z 1·Z 2是实数，求Z 2．17．（12分）设函数32()91(0)f x x ax x a =+--<，且曲线()y f x =斜率最小的切线与直线126x y +=平行．求：（1）a 的值；（2）函数()f x 的单调区间．18．（12分）若x ，y >0,且x +y >2,求证: 11,x yy x++至少有一个小于2。