培优专题(四)与坐标系有关的面积问题资料

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图4
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解：图略， ∵A(－2，－1)，B(－5，0)，C(－2，4)， ∴AC＝4－(－1)＝5，点 B 到 AC 的距离为－2－(－5)＝3，
∴△ABC 的面积＝12×5×3＝125.
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5．在如图5所示的直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点 上，其中C点坐标为(1，2)． (1)写出点A，B的坐标； (2)求出三角形ABC的面积．
图3 解： (1)A(－2，1)，B(－3，－2)，C(3，－2)，D(1，2)；
(2)S 四边形 ABCD＝3×3＋2×12×1×3＋12×2×4＝16.
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4．已知：在如图4的平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分 别为A(－2，－1)，B(－5，0)，C(－2，4)，画出△ABC并求出 △ABC的面积．
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第6题答图
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二、利用面积求点的坐标
7. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(0，－2)，(0，
2)，点C在x轴上，如果△ABC的面积为6，求点C的坐标． 解：设 C 点的坐标是(x，0)， 由12×[2－(－2)]×|x|＝6， 得|x|＝3，x＝±3， 所以 C 点的坐标为(3，0)或(－3，0)．
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第10题答图
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∴S ABC＝12×[4－(－2)]×4＝12； (2)设 P 点坐标为(t，0)，
∵S APC＝12S PBC，
∴12×4×|t＋2|＝12×12×4×|t－4|， ∴t－4＝±2(t＋2)， ∴t＝－8 或 t＝0， ∴P 点坐标为(－8，0)或(0，0)．
解：设P点坐标为(a，0)，a＜0，
如答图，作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
∵S APC＋S 梯形 ACDB＝S PAB＋S PBD，
∴
1 2
×(1
－
a)×2
＋
1 2
×(1
＋
2)×2
＝
3
＋
1 2
×(3
－
a)×1，
解得 a＝－1，
∴P 点坐标为(－1，0)．
第12题答图
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8．在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(5，0)，点C在y轴上，且三
角形ABC的面积为4，求C点的坐标． 解：已知 A(1，0)，B(5，0)，点 C 在 y 轴上，且 S△ABC＝4， 则 AB＝5－1＝4，所以 S△ABC＝4＝12×4×h，所以 h＝2， 所以 C 点坐标为(0，2)或(0，－2)．
∴12×8h＝12，解得 h＝3， ∴点 C 在平行于 x 轴且到 x 轴的距离为 3 的两条直线上．
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10．已知A(－2，0)，B(4，0)，C(2，4)．
(1)求三角形ABC的面积； (2)设 P 为 x 轴上一点，若 S△APC＝12S△PBC，试求点 P 的坐标． 解：(1)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，
∴12×|y|×1＝4，解得 y＝±8， ∴P(0，－8)或(0，8)． 综上所述，P 点坐标为(－2，0)或(2，0)或(0，－8)或(0，8)．
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12．在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，1)，点P在x轴的负半
轴，三角形PAB的面积等于3，求P点的坐标．
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11．在平面直角坐标系中，A(1，4)，点P在坐标轴上，三角形
PAO的面积等于4，求点P的坐标． 解：当点 P 在 x 轴上时，设 P(x，0)， ∵ S△ PAO＝4， A(1， 4)，
∴12×|x|×4＝4，解得 x＝±2， ∴P(－2，0)或(2，0)； 当点 P 在 y 轴上时，设 P(0，y)， ∵ S△ PAO＝4， A(1， 4)，
培优专题(四) 与坐标系有关的面积问题
一、利用点的坐标求面积 1．如图1，三角形ABC的顶点坐标分
别是A(－1，2)，B(－3，0)， C(2，0)，求三角形ABC的面积． 解：△ABC 的面积＝12×(2＋3)×2＝5.
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图1
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2．在平面直角坐标系中，A(－6，5)，B(－4，0)，C(0，3)，画出 三角形ABC，并计算其面积．
图2
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解：如答图所示，
第2题答图
∵A(－6，5)，B(－4，0)，C(0，3)，
∴S△ABC＝S 矩形 ADOE－S△ADB－S△BOC－S△ACE
＝5×6－12×5×2－12×4×3－12×6×2
＝30－5－6－6
Байду номын сангаас
＝13.
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3．如图3，已知四边形ABCD. (1)写出点A，B，C，D的坐标； (2)试求四边形ABCD的面积．(网格中每个小正方形的边长均 为1)
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图6
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解：如答图，过 D 点，C 点分别作 DE，CF 垂直 x 轴于 E，F 两点， 则四边形 ABCD 的面积可以看作是△ADE，△CBF 和梯形 EFCD
的面积之和，即 S 四边形 ABCD＝12×2×7＋12×(9－7)×5＋12×(5＋7)×(7 －2)＝7＋5＋30＝42.
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图5
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解：(1)A(2，－1)，B(4，3)；
(2)△ABC 的面积＝3×4－12×1×3－12×2×4－12×1×3 ＝12－1.5－4－1.5 ＝5.
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6. 如图6，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点坐标分别 为A(0，0)，B(9，0)，C(7，5)，D(2，7)，试确定这个四边形 的面积．
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13．[2014春·富顺县校级期末]已知：A(0，1)，B(2，0)，C(4， 3)． (1)求△ABC的面积； (2)设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P 的坐标．
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9．如图7，在平面直角坐标系中，已知点A(－5，0)，B(3，0)， △ABC的面积为12，试确定点C的坐标特征．
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图7
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解：设△ABC 在 AB 边上的高为 h， ∵点 A(－5，0)，B(3，0)，△ABC 的面积为 12，