二、波动方程和波的能量
高二物理竞赛课件：波动方程和波的能量
平面波波面
障碍物
平面波
12
惠更斯原理不仅适用于机械波，也适用于其它波， 如电磁波等。
例：在波线上有相距2.5 cm的A、B两点，已知点B
的振动相位比点A落后30，振动周期为2.0 s ，求波 速和波长。
解：因在波线上相距l两点的相位差为2
所以 波速为
l 2π 2.5 102m 0.30m
π
6
P wuS 1 A2 2uS
2 能流密度 单位时间内通过垂直于波线的单位面积的
平均能流称为能流密度，也称波强度。
I P wu 1 A2 2u
S
2
w 1 A22
28
能量密度 介质中单位体积的波动能量
w E E A2 2 sin 2 (t x )
ΔV SΔx
u
1. 能量密度随时间做周期变化，变化周期为波动周期的1/2
w 1 T wdt 1 A22
T0
2
w
o
t
波的平均能量密度与振幅的平方、 频率的平方和 介质密度的乘积成正比。
7
二、波的能流和能流密度 (energy flux density)
能流：单位时间内通过介质中某 面积的能量
如图，单位时间内通过S 面的 能量，等于体积 uS 中的能量
S u
平均能流 在一个周期内通过S面的能流的平均值
波动方程和波的能量
1
一、波的能量
波源 振动
介质 介质质元运动 波动 介质弹性形变
动能 势能
能量来自波源。 波源的能量随着波传播到波所到达的各处。
现以平面简谐纵波在均匀直棒中的传播为例， 讨论介质中的能量传播
2
纵波 u
a
b
动能
大学物理 波的能量 惠更斯原理
由于： 由于： 势能
1 dEP = ( ρdV ) A 2ω 2 sin 2 ω (t − x / u ) 2
ρ
1 2 2 2 与动能相同 dEk = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2 k=0、±1、±2、…最大， 最大， 当：ω(t-x/u)=(2k+1) ̟/2 最大
ω(t-x/u)=k̟ k=0、±1、±2……最小。 最小。
Ek、EP
同时达到最大 平衡位置处 同时达到最小 最大位移处
6
3.波动的能量
dE = dEk + dEP
= ( ρdV ) A ω sin ω (t别 • 振动能量中 k、EP相互转换，系统机械 振动能量中E 相互转换， 能守恒。 能守恒。 •波动能量中 k、EP同时达到最大，同时 波动能量中E 同时达到最大， 波动能量中 为零，总能量随时间周期变化。 为零，总能量随时间周期变化。
7.3 7.4
波的能量 惠更斯原理
1
一、波的动能、势能和能量 波的动能、
在波传播的过程中， 在波传播的过程中，振源的能量通过弹性介质传 播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动， 播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动，介质中 各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。 各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。 波动传播的过程也是能量传递的过程。 波动传播的过程也是能量传递的过程。
1.波动的动能
纵波为例： 以均匀细棒中传播的 纵波为例： 取一体积元 dV， ， 质量为ρdV, 质量为 质元振动速度为v。 质元振动速度为
2
ρdV
dm = ρdV
波函数
y = A cos ω (t − x / u) 质元振动速度 v = ∂y = − Aω sin ω (t − x / u ) ∂t 动能 1 2 dEk = dm v 2 1 2 2 2 = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2
波动方程与波速 波的能量 惠更斯原理 波的反射与折射
波速小的媒质（光密媒质） 波速大的媒质（光疏媒质）
光密媒质→光疏媒质时， 折射角r >入射角 i ，会发生全反射现象。
光密u1(小)
i
光疏u2(大)
r
动能
v = ∂y = − Aω sinω(t − x )
∂t
u
d
Ek
=
1 2
∆ mv 2
=
1 2
ρ dV
⎜⎛ ∂y ⎟⎞2 ⎝ ∂t ⎠
= 1 ρ dVA 2ω 2 sin 2 ω ⎜⎛ t − x ⎟⎞
2
⎝ u⎠
势 能： 质元长度变化：Δy
质元线应变为
∆y ∆x
由胡克定律，应力为 f = Y ∆y ∆x
F = Y ∂y
S
∂x
Y杨氏模量
F1
=
SY
∂y ( ∂x )x
F2
=
∂y SY ( ∂x )x+∆x
F2
−
F1
=
SY[( ∂y ∂x
)x+∆x
−
∂y ( ∂x )x ]
=
SY
∂ ∂x
( ∂y )∆x ∂x
=
SY
∂2 y ∂x2
∆x
质元的质量 ∆m = ρ S∆x
质元的加速度
a
=
∂2y ∂t 2
（Δx很小）
u1 sin γ = u2 sin i
u2 > u1 ⇒ γ > i
i u1(小) u2(大) r
γ > 900 时，入射波全部反射
回原来介质，称为全反射
i = iC u1(小) u2(大) r = 90°
sin iC
=
u1 u2
第七章 振动和波动(2)
y
u
x
x = u t
O
t
t + t
x
y
O
u t + t
x y A cos[ ( t ) ] u
x
★ 波函数的物理意义
t
— 波函数既描述了波线上各质点振动状态及相位差异， 又描述了随着时间的推移，波形以波速 u 沿传播方向传播的
情况，具有完整的波动意义。
★ 简谐波具有空间和时间周期性：
2
①
t x y 1.0 cos[ 2 ( ) ] 2.0 4.0 2
(2) 将 t = 1.0 s 代入 ①式得出此时刻波形方程:
1.0 x y 1.0 cos[2 ( ) ] 1.0 cos( x ) 2.0 4.0 2 2 2 y /m u ② y 1.0 sin x 1.0 2 由②式可画出 t = 1.0 s 的波形图：
2、横波和纵波
1） 横波: 振动方向⊥传播方向的波。 2）纵波: 振动方向∥传播方向的波。
固体中的波源可以产生横波和纵波。 液体和气体中的波源只能产生纵波。 水面波既不是纵波，也不是横波。
任一波(如水波、地表波)都能分解为横波与纵波进行研究。
3、波的几何描述
1） 波面 — 振动相位相同的各点连成的面(同相面)。
空间上每隔λ的距离出现振动状态相同的点； 时间上每隔 T 的时间波形重复一次。
★ 平面简谐波的波函数既适用于横波，也适用于纵波。
3.波沿着x轴负方向传播
y A cos [ t 2
4.波函数的复数表示
波函数
x
]
]
y A cos [ t 2
波动基本概念-波函数-波的能量
波长周期波速
波传播方向
波速
波长 周期 频率 波速
振动状态完全相同的相邻两质点(相邻同相点)之间的距离。
波形移过一个波长所需的时间。
周期的倒数。
, 取决于波源振动频率。
单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度， 又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质。
或
机械波的传播速度完全取决于介质的弹 性性质和惯性性质。即介质的弹性模量和 介质的密度,亦即决定于这种波在媒质中传 播的机构。
波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继 传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。
波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点 仍在其各自平衡位置附近作振动。
这里波长远大于媒质分子间距离，即假设 弹性媒质是连续的，媒质中一个波长的距离内有 无数分子在陆续振动，宏观上看来媒质就象连续 的一样。如果波长小到等于或小于分子间距离时， 相距约为一波长的两个分子之间，不再存在其它 分子，我们就不能认为媒质是连续的了，这时媒 质就再也不能传播弹性波了。因此有一个频率上 限存在。高度真空中分子间距离极大，不能传播 声波，就是由于这原因。
* 能量密度随时间周期性变化，
其周期为波动周期的一半。T
* 能量密度与振幅平方 A2 、频率平方 2
和质量密度 均成正比。
*任意时刻，体元中动能与势能相等，
即动能与势能同时达到最大或极小。 即同相的随时间变化。这不同于孤 立振动系统。
因为波是能量传播的一种形式
波是能量传播的一种形式
波动的能量与振动能量是有区别的。 孤立振动系统的质元动能最大时， 势能最小，总机械能守恒，不向外传播能量;
质元的速度
y
u
A sin[(t
纵波与横波波的幅度与能量的关联分析
纵波与横波波的幅度与能量的关联分析波动现象在我们的日常生活中无处不在，不论是光、声、水波还是地震波，都具有波动特性。
其中，纵波和横波是最常见的两种波动，它们的波幅和波能在物理学研究中具有重要的意义。
本文将从纵波和横波的定义、波动方程以及能量传递等方面，分析纵波和横波波的幅度与能量的关联。
一、纵波和横波的定义1. 纵波：纵波是指介质颗粒振动方向与波传播方向垂直的波动。
在纵波传播过程中，介质颗粒沿波的传播方向做压缩与稀疏的运动。
声波和地震波中的纵波就是典型的例子。
2. 横波：横波是指介质颗粒振动方向与波传播方向平行的波动。
在横波传播过程中，介质颗粒垂直于波的传播方向做水平方向的振动。
光波和水波中的横波就是典型的例子。
二、波动方程的表示纵波和横波的波动方程描述了波动的传播过程。
对于一维纵波来说，它的波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = v² ∂²u/∂x²其中，u表示介质的位移，t表示时间，x表示位置，v表示波速。
类似地，对于二维横波来说，它的波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = v² (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)三、波幅与能量传递1. 波幅：波幅是指波动中介质颗粒的最大位移，它与波动的振幅密切相关。
对于纵波和横波来说，波幅越大，介质颗粒的位移幅度就越大。
2. 能量传递：纵波和横波在传播过程中能量也会随之传递。
纵波和横波的能量密度与波幅有着密切的关系。
根据波动方程，能量与波动振幅的平方成正比。
因此，波幅越大，相应的能量也越大。
四、纵波与横波的能量传递差异尽管纵波和横波的波幅越大，能量传递也越大，但是对于相同的波幅，纵波和横波的能量传递有所差异。
这是因为纵波和横波的传播速度不同。
在弹性介质中，纵波的传播速度通常大于横波的传播速度。
在相同的时间内，纵波能够传播更远的距离，因此能量传递更为迅速。
力学波与波动方程
力学波与波动方程波动是物体能量、信息以及粒子的传播方式之一，它在我们的日常生活中随处可见。
与波动相关的核心理论为力学波和波动方程。
本文将通过简要介绍力学波的基本概念和相关公式，以及解释波动方程的含义和应用，旨在帮助读者更好地理解和应用这一重要的物理学概念。
一、力学波力学波是通过物体或介质中的振动传播的波动现象。
物体或介质振动产生的能量被传递给相邻的分子或粒子，而这些分子或粒子也开始振动，并将能量传递给更远的分子或粒子。
这种能量的传递形成了波动的过程。
力学波可以分为机械波和电磁波两种类型。
机械波是需要介质作为传播媒介的波动，例如水波、声波等。
电磁波则是在真空中传播的波动，包括光波、无线电波等。
力学波的性质可以通过一些基本概念和公式来描述。
其中，波长（λ）表示波的一个完整周期所对应的空间距离；波速（v）表示波动的传播速度；频率（f）表示单位时间内波动的周期数量；振幅（A）表示波动的最大偏离距离。
这些概念之间的关系可以通过波动公式来归纳表达，即波速等于波长乘以频率，即v = λf。
二、波动方程波动方程是描述波动过程的数学公式。
它是基于力学波的性质和传播规律而推导得出的。
一维波动方程是最简单的波动方程形式，它可以用来描述振动在一维空间中的传播。
一维波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²，其中u表示波动的位移，t表示时间，x表示空间位置，v表示波速。
在这个方程中，∂²u/∂t²表示波动位移随时间的变化率，v²∂²u/∂x²表示波动位移在空间中的二阶导数。
这个方程反映了波动的传播规律，即波动位移随时间和空间的变化满足一定的关系。
三、波动方程的应用波动方程在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
其中最重要的应用领域之一是声学。
声波是一种机械波，它传播的媒介通常是空气或其他物质。
声波的传播规律可以由波动方程来描述。
简明大学物理第二版 复件 4-6 平面简谐波
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x t 3 2
4-6 平面简谐波
第四章 机械振动与机械波
此方程说明了每个质点振动的 周期性，即波动的时间周期性. 据此可以作出该质点的y-t振动 曲线 。
y
O
A
x x0
t
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4-6 平面简谐波
相位差和波程差
第四章 机械振动与机械波
x 波函数 y A cos t u
在同一时刻，距离原点O分别为x1和x2的两质点的相位分别为：
当Δt=T/4时，整个波形应沿传播方向平移λ/4的距离. 于是可容易地作出t=T/4时的波形曲线，如图中的虚线所示.
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4-6 平面简谐波
第四章 机械振动与机械波
由图中的两条曲线可得到坐标x=λ/4的质点在t=0、T/4时 的y值，按照这样的思路，只要平移波形曲线，就可以得到在 不同时刻质点更多的y值.于是就可以作出这个质点的振动曲线， 如图所示.
I P S wu 1 2
A u
2 2
I A 2 I
2
在SI中，能流密度的单位是瓦每平方米，符号为W·m-2
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4-6 平面简谐波
3 波的振幅
第四章 机械振动与机械波
在波动过程中，如果各处传波质点的振动状况不随时间改变， 并且振动能量也不为介质吸收，那么单位时间内通过不同波面的 总能量就相等，这是能量守恒定律要求的. 对平面波，可任取两个面积为S1、S2的波面，相应的强度 分别为I1,I2. 由于S1＝S2 ，且根据能量守恒，在单位时间有
4_2_2波动方程、波的能量、声波
§2.4 波动方程与波速
一、波动方程 简谐波的波函数为： 简谐波的波函数为： y(x,t)=Acosk(ut-x) 2 y y = k 2u2 A sin k(ut x) = kuAsin k(ut x) 2 t t y 2 y = kAsin k(ut x) = k 2 A sin k(ut x) x x 2 2 2 y 2 y =u --- 平面波的波动方程 平面波的波动方程 2 2 t x 其通解为 y = f1 ( x + ut ) + f 2 ( x ut ) --- 平面波函数 平面波函数 u 为波速
w = w
k
W V
p
1 y = E 2 x
2
2
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t x 2 2
2
3.能量密度 能量密度 w = w
k
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t 2 2 x
E ρ
2
2
棒中纵波速度 u =
E = ρu 2
1 2 y w p = ρu 2 x
1 y = ρ t 2
2
2.势能密度 势能密度
--- 与弹性（形变）有关 与弹性（形变）
考虑一棒的线变， 考虑一棒的线变， 棒长： 截面： 棒长：l ，截面：S 两端拉力： 两端拉力：由0 → F 相应形变：增至 ， 应变。 相应形变：增至l，应力 ∝ 应变。
F ES l =E F= l = kl S l l 1 2 k (l ) 势能： W p = 势能： 2
大学物理波动方程波动能量
• 不同波长、相同振幅 反向波的叠加 不同波长、
ch6
4.平均能流密度 平均能流密度 质元不断从前一质元接收能量， 质元不断从前一质元接收能量，又向后一质元传 递能量 ⇒ 波动是一种能量传递方式 ⇒ 能量流 平均能流密度：单位时间内通过垂直于波线方向的 平均能流密度： 单位面积的平均能量
1 I = w u = ρ ω 2 A2 u 2
单位： 单位：W/m2
ch6Βιβλιοθήκη §6-5 驻波一、驻波的形成和特点
1.驻波的形成 驻波的形成 • 相干波：频率相同、振动方向相同、有固定相 相干波：频率相同、振动方向相同、 位差的两个波源所发出的简谐波 • 干涉：在两相干波交叠处，有些地方波加强而 干涉：在两相干波交叠处， 有些地方波减弱的现象 •两列振幅相同、传播方向相反的相干波的叠加 两列振幅相同 传播方向相反的相干波的叠加 两列振幅相同、 y2 = Acos(ω t + kx) y1 = Acos(ω t − kx)
波腹与波节间距 λ/4 • 相位分布 同一段内各质元相位相同 每一波节两侧的质元相位相反
4
处不振动， 处不振动，相邻波节间 距
2
ch6
• 能量分布 Ep↓ Ek↑ Ep↓ 势能→动能 势能 动能 能量由波节向波腹流动 瞬时位移为0， 势能为 ， 瞬时位移为 ， 势能为0， 动能最大。 动能最大。 Ek↓ Ep↑ Ep↑ 动能→势能 动能 势能 能量由波腹向波节流动
ch6
的声波 • 次声波 10－4 < ν < 20Hz的声波 特点：衰减小， 特点：衰减小，可用于远距离传播 次声波的波源 大气湍流、火山爆发、地震、 大气湍流、火山爆发、地震、陨 石落地、雷暴、 石落地、雷暴、磁暴等大规模自 然活动中，都有次声波产生。 然活动中，都有次声波产生。 次声波的用途 科学研究： 科学研究： 研究地球、海洋、大气等大规模运动； ①研究地球、海洋、大气等大规模运动；② 对自然灾害性事件（如火山爆发、地震等） 对自然灾害性事件（如火山爆发、地震等） 进行预报，深入认识自然规律。 进行预报，深入认识自然规律。 军事应用： 军事应用： 军事侦察； 次声波有杀伤性。 ①军事侦察；②次声波有杀伤性。
波动方程和能量
x u
u
6
dEp
1Y 2
2 A2
u2
sin 2
t
x u
dV
又 u Y Y u2
dEp
1 2
2 A2
sin 2
t
x u
dV
比较动能
dEk
1 2
2 A2
sin 2
t
x u
dV
结论： 在波动过程中，任一质元的动能和势能 相等，且同相位变化。
7
波的能量
现象： 若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）
因棒元x很小，略去 上式中x的高次项，
得纵波的波动方程
2y Y 2y
t 2 x2
1
横波的情形
如图棒元的剪应变为 y ，无限缩小时为 y ，
在 x 处受弹性力为 x
x
f1
GS ( y x
)x
(G剪切模量)
在x+x处所受弹性力
f2
y GS ( x )xx
棒元所受合力
y
y
2 y
f2 f1 GS[( x )xx ( x )x ] GS x2 Δx
。后面我们将直接应用这一结论。8
质元的机械能：
dE
d Ek
d Ep
A2 2
sin 2 t
x dV u
能量密度：单位体积介质中的波动能量。
w d E A2 2 sin 2 t x
dV
u
可见，波动过程是媒质中各体积元不断地从与其相 邻的上一个体积元接收能量，并传递给与其相邻的 下一个体积元的能量传播过程过程。
在波动中，各体积元产生不同程度的 弹性形变，
上
下
形变最小
波的性质与波动方程
波的性质与波动方程波是一种在介质中以能量传递的方式传播的物理现象。
它在自然界和科学研究中都占据着重要的地位。
本文将介绍波的基本性质，并探讨波动方程的重要性和应用。
一、波的基本性质波的传播可以分为机械波和电磁波两种类型。
机械波是指需要介质参与传播的波动，例如声波和水波；而电磁波则是在真空中传播的，包括光波和无线电波等。
不同类型的波具有一些共同的性质，包括波长、频率、振幅和波速等。
波长是波动中的一个重要概念，它表示波的周期性重复出现的最短距离。
通常用λ表示，单位为米。
频率是指在单位时间内波动周期的次数，通常用ν表示，单位为赫兹。
波长和频率之间存在一个简单的关系：频率等于波速除以波长，即ν = v/λ。
振幅则代表波动的最大偏离程度，它决定了波的强度和能量传递的大小。
二、波动方程的意义与应用波动方程是描述波动现象的重要方程，它能够准确描述波的传播过程和本质。
波动方程一般可表示为∇²f = (1/v²)∂²f/∂t²，其中f表示波函数，∇²表示拉普拉斯算子，v表示波速，t表示时间。
波动方程可以用于解决各种波动现象的问题，包括声波的传播、光波的干涉和衍射等。
波动方程有广泛的应用。
在声学领域，通过波动方程可以描述音波在空气中的传播，进而研究声音的传递和音响系统的设计。
在光学领域，波动方程可以用于解释光的干涉和衍射现象，从而延伸到光学成像和光学器件的研究和应用。
此外，波动方程还能够应用于其他领域，例如地震学、天文学和无线通信等。
在地震学中，通过研究地震波的传播，可以预测地震的发生和影响；在天文学中，波动方程有助于理解星体间的引力传播和宇宙中的宏观结构；在无线通信中，波动方程可以用于分析和设计天线和信道传输系统，以提高通信质量和速度。
总结波的性质与波动方程是理解波动现象的重要基础。
通过对波长、频率、振幅和波速等基本概念的了解，可以深入探索不同类型波的特性。
而波动方程的推导和应用，为我们解决各种波动问题提供了数学上的工具和思路。
波动方程的能量方法
波动方程的能量方法波动方程是描述自然界中运动的物体所产生的波动现象的一种基本方程。
它在物理学、工程学和应用数学等领域中广泛应用。
为了解决波动方程的解法和性质，数学家们提出了多种方法，其中能量方法是一种重要的解法方法。
能量方法的主要思想是根据物理学原理，将波动系统的能量视为一个重要的物理量，利用能量和能流对波动方程进行分析和解决问题的方法。
能量方法主要包括两个方面：能量守恒和能量估计。
能量守恒考虑一维弦上的波动问题。
假设一个质点以$v(x,t)$速度沿着一条固定的弦运动，在时刻$t$时位于$x$处。
弦的振动会产生能量，因此我们可以用振动的能量来描述这个系统的状态。
设$u(x,t)$为弦在时刻$t$时在$x$处的位移，则该位置的能量密度为$$ dE=\frac{1}{2}\rho(x)u_x^2(x,t)+\frac{1}{2}T(x)u_t^2(x,t)dx $$其中，$\rho(x)$为材料的密度，$T(x)$为材料的张力。
整个弦的能量密度可以看作$dE$在所有长度上的积分。
设$L$为弦的总长度，则整个系统的总能量为$$ E=\int_0^LdE=\int_0^L\frac{1}{2}\rho(x)u_x^2(x,t)+\frac{1}{2}T(x)u_t^2(x,t)dx $$我们现在来考虑能量守恒。
设$t_0$时刻系统的总能量为$E_0$，在$t$时刻其总能量为$E$。
那么前后两时刻之间能量差可以写成$$ \begin{aligned} \frac{d}{dt}(E-E_0)&=\frac{d}{dt}\int_0^L\frac{1}{2}\left[\rho(x)u_x^2(x,t)+T(x)u_t^2(x,t)\right]dx\\&=\int_0^L\left[\rho(x)u_xu_{xt}+T(x)u_tu_{tt}\right]dx\\&=\int_0^L u(x,t)(\rho(x)u_{xt}+T(x)u_{tt})dx \end{aligned} $$根据波动方程$u_{tt}=c^2u_{xx}$，可以将式子化简为$$ \frac{d}{dt}(E-E_0)=\int_0^Lcu_{tt}^2(x,t)dx\ge0 $$在$t_0$时刻能量守恒，即$E_0=E$，因此有$$ E-E_0=\int_{t_0}^t\frac{d}{dt}(E-E_0)dt=\int_{t_0}^t\int_0^Lcu_{tt}^2(x,s)dxds\ge0 $$这说明系统的总能量在某一时刻不会增加。
大学物理-波动学2
x w wk w p A sin [ (t ) 0 ] u
2 2 2
定义：平均能量密度（对时间平均)
1 w T
T
0
x 1 2 2 A sin [ (t ) 0 ]dt A 2 u
2 2 2
能流，能流密度
能流 P —单位时间内通过某一截面的 能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。 设波速为 u，在 t 时间内通过垂 直于波速方向截面 S 的能量:
波方程——任意坐标x处的振动方程
x处 相 位 落 后 2
x
已知O点振动表达式： y
u
y A cos(t 0 )
p
x
波长为
0
x
y A cos( t 0
2
x)
如果已知的不是O点振动方程
2 x处 比 x 0处 相 位 落 后 （x x0 )
X0点的振动方程：
波的强度
1 2 2 I A u 2
能流密度是矢量，其方向与波速方向相同
例1 一等幅平面简谐波，在直径d= 0.14m的圆柱管的空 气中进行,波的强度I=0.009w/m2 频率为300Hz，波速为 300m/s。试求：波中平均能量密度和最大能量密度；在 管中两个相邻同相面间的波带中含有的波的平均能量 解：由公式
y A cos( t 0 2
x)
上式与标准形式的波函数相比 可得：
A 0.2m, 100Hz, u 40m.s1 , T 0.01s, 0.4m
2) 首先画出t=0时刻的波形曲线
y 0.2 cos[ (200t 5x) / 2] (SI 制)
第三章波动方程
▪ 式中：A为振幅，决定位移的大小，ψ为波的相位. ▪ 2πf/V = w/V为简谐波参数，f频率，w圆频率，V波速。 ▪ i为虚数符号，仅考虑实数时为简谐波。 ▪ k1xk2yk3z 为 传V播 tc 项。 ▪ 此式表达的波函数为沿k方向传播的平面简谐波。
精品课件
8
3.1 无限大、均匀各向同性介质中的平面波
)
4V
2 p
1(
t
Vp
)
再
将
C
带
1
到
特
解
式
中
，
则
得
（r ,t
)
1 r C1( t
r
Vp
)
1
4rV
2 p
1( t
r
Vp
)
精品课件
20
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
➢力位函数不为零的波动方程的达郎贝尔解为：
(r,t)4r1V p21(tr/Vp)
➢ 该式为用震源函数表示的波动方程的位移位解。 ➢ 在实际工作中，人们不可能接收到质点的位移位， 而只能接收到质点的位移。 ➢ 地震记录上地震波的振幅A值就是反映质点的位 移。所以必须把位移位转换成位移。
A3 V精品2A课3件 0
10
无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。
第一组解：当
VVp 时(，2)/
i
U
A1
exp( V
(
xVpt
))
vw0
沿x方向的位移分量不为零，其他方向的位移为零，即波的传播方向与位移 方向一致，所以称为平面纵波，也称为胀缩波，通常简称为P波。
第二组解：当 VVs 时，/
波动方程波的能量声波
声波的传播特性
声波在介质中传播时，会受到介 质的阻尼作用，导致能量逐渐衰
减。
声波的传播速度与介质的密度和 弹性有关，通常在固体介质中传
播速度较高。
声波在传播过程中会发生折射、 反射和干涉等现象，这些现象会 影响声波的传播路径和能量分布。
声波的能量分布与传播方向
01
声波的能量分布与声波的频率和波形有关，通常高频声波具有 较大的能量密度。
声音传播的预测
声音在介质中传播时，会受到介质的物理性质、温度、压力等因素的影响。为了 准确预测声音传播的轨迹和强度，需要建立声音传播的数学模型，并进行数值模 拟和实验验证。
声音传播的控制
在某些场合，我们需要控制声音的传播方向、强度和频率等参数，以达到特定的 效果。例如，在建筑声学中，通过对建筑结构的特殊设计，可以控制室内声音的 传播；在噪声控制工程中，采用消声器、隔音墙等手段降低噪声的传播。
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03
声波
声波的产生与传播
声波的产生
声波是由物体的振动产生的。当物体振动时，它周围的介质（如空气、水或固体）中的质点会受到挤压，形成密 部，并从周围吸收能量；同时，这些质点会远离中心，形成疏部，并向周围释放能量。这种周期性的挤压和疏散 过程形成了声波。
声波的传播
声波在介质中传播时，会使得介质中的质点按照声波的频率振动。声波的传播速度取决于介质的性质，如温度、 压强和密度等。在标准大气压和室温下，声波在空气中的传播速度约为343米/秒。
声波的性质
声波的频率
声波的频率是指单位时间内质点 振动的次数，单位为赫兹（Hz）。 人耳能听到的声波频率范围大约 在20Hz到20000Hz之间。不同 频率的声波有不同的音调，频率
电动力学波动方程分析
电动力学波动方程分析引言电动力学是研究电荷和电磁场相互作用的学科。
其中，波动方程是电动力学中的一个重要方程，描述了电磁波在空间中传播的特性。
在本文中，我们将对电动力学中的波动方程进行分析，探讨其基本原理及其在不同情况下的应用。
一、电动力学中的波动方程电动力学中的波动方程可以写作：∇^2E = με∂^2E/∂t^2其中，E表示电场强度，μ为磁导率，ε为介质中的电容率，∂^2E/∂t^2表示电场强度对时间的二阶导数。
这个方程是麦克斯韦方程组的一部分，描述了电磁波在介质中的传播特性。
二、波动方程的基本原理波动方程的基本原理是基于电磁场的传播速度是有限的。
根据麦克斯韦方程组，电磁波的传播速度等于真空中的光速c，即c = 1/(√(με))。
这意味着，当电磁波经过介质时，波的传播速度会减慢。
波动方程正是描述了电磁波在介质中传播时的波动特性。
三、电动力学波动方程的应用1. 声波在电磁介质中的传播电动力学波动方程不仅适用于电磁波的传播，也适用于其他类型的波动。
例如，声波在电磁介质中的传播也可以通过波动方程进行分析。
声波是由介质中的分子之间的振动产生的，其传播速度取决于介质的密度和弹性系数。
2. 电磁波在不同介质中的传播电动力学波动方程在电磁波在不同介质中传播的研究中扮演着重要角色。
不同的介质会对电磁波的传播速度和方向产生影响。
利用波动方程，可以计算出电磁波在不同介质中的传播特性，从而指导实际应用中的电磁波传输和通信系统设计。
3. 波面和能量传播电动力学波动方程还可以用来描述电磁波的波面和能量传播。
波面是指波的前沿，其形状决定了波的传播方向。
波动方程可以通过分析波面的变化来研究电磁波的传播路径和传输特性。
能量传播则是指波的能量在空间中的传递过程，波动方程可以用来计算电磁波在介质中的能量传播速率和能量输运方向。
结论电动力学波动方程是电磁波传播研究的重要工具，可以描述电磁波在介质中传播的特性。
通过分析波动方程，可以深入理解电磁波的传输路径、传播速度和能量传递规律，为电磁波的应用和设计提供指导。
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沿X轴负方向传播： y Acos(t x )
u
波动方程的推论
y Acos(t x )
u
(1)当x为某一定值时，设x=x0，方程可变为：
y Acos(t x0 ) Acos(t 2πx0 )
u
反映：x0点处质点的振动方程
y Acos(t x )
• 波动方程解题
简谐振动在弹性介质中的传播形成简谐 波。这种波在无吸收的均匀介质中传播时振 幅保持恒定，不随时间也不因距离波源的远 近而改变。
描述波线上质点在每一位置、每一时刻的 位移的函数称为波的波函数或波动方程。
y f (x,t)
设一平面简谐波以速度v 沿 x 轴正方向无衰减地 传播。
设 t 时刻 O 点振动表 o 达式为，
例1：已知波函数
y 2 10 3 cos(400t 20x ) m
ห้องสมุดไป่ตู้
求：A、f、、u。
解：
y
Acos
t
x u
0
y
2
10
3
cos
400
t
x 20
m
u 20m/s 400 A 2103m
机械波的产生和传播
复习简谐振动
机械振动
简谐振动
共振
动力学描述
振动方程
矢量描述
振动能量
振动合成
数学描述
微分方程
三角函数
F kx 动力学方程
d2x dt 2
2
x
0
运动学方程
x Acos(t 0 ) 简谐振动方程
E
1 2
m02 A2
1 2
k A2
简谐振动能 量
主要内容
一、机械波 二、波动方程 三、波的能量和强度
u f w
T
2
u 20m/s 400
f 400 200Hz 2 2
2c 40 0.1m 400
P 98习 题10： 波 源的 振动 方程y
0.06 cos(
t)
9
x 5m处, y 0.06 cos （t x )
总机械能为：
dE = ρdVω2 A2 sin2[ω(t - x )] u
波的能量密度
• 波的能量密度ε：单位体积内的机械能
E总
A2 2 sin2 (t
x )
V
u
• 波的平均能量密度：能量密度在一个周期内 的平均值
1 T A2 2 sin2 (t x )dt 1 A2 2
y Acost
平面简谐波表示式的推 导
研究任意点 P 点振动表达式
振动从 O 点传播到 P 点需时：t x u
t 时刻P 点的位移等于O处质点在 时刻 (t x )的位移，
u 则P 处质点运动方程：
y Acos t x
u 平面简谐波波动方程
波动方程推导
y A
三、波的能量
• 平面简谐波在弹性媒质中传播，任意坐标x处 的体积元V，在t时刻的动能和势能为：
Ek
Ep
1 2
VA2 2
sin2 (t
x) u
• 体积元V总机械能为：
E总
Ek
Ep
VA2 2
sin2
(t
x) u
说明： 波动中，动能和势能同时达到最大 和最小，步调一致。对任意体积元机械能都 不守恒。该体积元不断从后面的介质获得能 量传给前面的介质，这样能量随波动的传播 而向前传播，所以说波动是能量传播的一种 形式。
u
(2) 当t为某一定值时，设t=t0，方程变为：
y
A cos (t 0
x) u
A cos (t 0
2πx )
反映：t0时刻波线上各质点的位移， 即该时刻的波形。
(3) 当取x、t任意值时，波动方程表示波线 上任意位置x处的质点在任意时刻t的位移。
y Acos(t x )
一、机械波
• 机械波的产生 • 横波、纵波 • 波阵面、波线 • 波长、波速、频率、周期
机械波的产生
• 机械波：机械振动在弹性媒质中的传播。
在弹性媒质中，某一个质点因外界扰 动时，由于质点与质点之间存在着弹性联 系，周围的质点也会跟着振动起来，其振 动由近及远地传播出去，即产生机械波。
振动是波动的基础，波动是振动的传播
波阵面、波线
波线
波前
球面波 波阵面
在各向同性的均匀介质中，波线与波面垂直。
波阵面、波线
波线
波阵面 波前
平面波
在各向同性的均匀介质中，波线与波面垂直。
波长、波速、频率
u
fT
u f w
T
2
不同媒质中周期频率不变，波速波长不同
二、波动方程
• 波动方程推导
演示
• 波动方程推论
机械波产生条件： （1）机械振动：波源 （2）弹性媒质
机械波的特点： (1) 波动中各质点并不随波前进； (2) 各个质点的相位依次落后,波动是相 位的传播； (3) 波动曲线与振动曲线不同。
横波和纵波
• 如果质元的振动方向和波的传播方向相垂直， 则这种波称为横波。 例如在绳波；
• 如果质元的振动方向和波的传播方向相平 行，这种波称为纵波。 例如声波。
y
u
A
O x
波源振动的初相位
P
u
波动方程正负号
波动方程其它形式
y
A cos [ ( t
x c
)
0
]
u w
T
2
y
A cos（t
2πx
）
0
y
Acos[2π( t T
x
)
0
]
λ、ω
λ、T
波动方程应用
• 已知波动方程求特征量 • 已知特征量求波动方程 • 已知波动曲线求波动方程
9u
y
6.0
10-
2
cos
（t
5 )
(m)
92
t，
（t
5 )
-
5
19 29 2
18
波传播能量
• 对于波来说，伴随着波形和相位的传播， 能量也将随之从一个地方被传递到另一个 地方。
• 在弹性媒质中，介质质元不仅因为有振动 速度而具有动能，而且因为发生了形变而 具有弹性势能，所以振动的传播必然伴随 着能量的传递。
T0
u2
波的能量密度
E总 A2 2 sin2 (t x )
O
u x
P
相位落后ωx/u
yo Acos t
y
A cos ( t
x )
u
波动方程推导
y
A
u
O
x
x
P
yo Acos t 0
y
A cos [ ( t
x u
)
0
]
波动方程
y
u
A
O
x
相位落后ωx/u
x
P c
相位超前ωx/u
沿X轴正方向传播： y Acos(t x )