双曲线部分性质知识点总结

一、双曲线的定义

1、第一定义：21212F F a PF PF <=-（a >0））。注意：（1）距离之差的绝对值。（2）2a ＜|F 1F 2|当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；

当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；

当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。 当a=0时，轨迹为两定点连线中垂线。

2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)

二、双曲线的标准方程（2

22a b c +=，其中|1F 2F |=2c ，焦点位置看谁的系数为正数）

焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）；焦点在y 轴上：122

22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）

焦点不确定时：)0(,12

2<=+mn ny mx ；与椭圆共焦点的双曲线系方程为：

与双曲线122

22=-b

y a x 共焦点的双曲线系方程是1222

2=--+k b y k a x （)22b k a <<-） 与双曲线12222=-b y a x 共渐进线（x a b

y ±=）的双曲线系方程是)(,2222o b

y a x ≠=-λλ

三、特殊双曲线： 等轴双曲线：（实虚轴相等，即a=b ）

1、形式：λ=-2

2

y x （0λ≠）； 2、离心率2=e ； 3、两渐近线互相垂直，为y=x ±；； 4、等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。

共轭双曲线：（以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线） 1、有共同的渐近线；2、共轭双曲线的四个焦点共圆； 3、离心率倒数的平方和等于1。 四、几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、渐近线 五、相关性质：

1、点与双曲线的位置关系：

2、中点弦的存在性

3、以PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）

4\若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的切线方程是00221x x y y a b -=.

若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切

点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y

a b

-=.

5、双曲线22

221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦点角形的面积为2

tan

212PF F b S ∠=

6、以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.

7、点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.

8、设双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一

点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有

sin (sin sin )c

e a αγβ==±- 9、已知双曲线22

221x y a b

-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.

（1）2222

1111||||OP OQ a b

+=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -

1，F 1、F 2是162

x －202y =1的焦点，其上一点P 到F 1的距离等于9则P 到焦点F 2的距离. 17

2．双曲线x 2-y 2

=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则 △PF 2Q 的周长是 .

3．过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是22y －4

2x

=1

4．已知21,F F 是双曲线的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,若2

ABF ∆是正三角形,那么双曲线的离心率为3

5．过点A （0，2）可以作_4__条直线与双曲线x 2－

4

2

y ＝1有且只有一个公共点

6．过点P (4,4)且与双曲线x 216－y 2

9

＝1只有一个交点的直线有3条

7．若116922=-y x 上点P 满足64||||21=•PF PF （3

21π=∠PF F 或），求31621=∆PF F S 8．动点与两定点连线斜率之积为正常数时，动点的轨迹为？

9．若)0,5(),0,5(C B -是三角形ABC 的顶点，且A C B sin 5

3

sin sin =

-，求顶点A 的轨迹 10．圆M 与圆2)4(:221=++y x C 外切，与圆2)4(:22

2=+-y x C 内切，求M 轨迹

11．已知双曲线的渐近线方程是2

x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 12．求与822

2

=+y x 有公共焦点的双曲线，使它们交点为顶点的四边形面积最大为 28

13求与6442

2

=+y x 有公共焦点，且渐近线为03=-y x 的双曲线为

112

362

2=-y x 14．122

22=-b y a x 左支一点P 到左准线l 距离为d ，若d, |||,|21PF PF 成等比，求e 范围

15．C ：122

22=-b

y a x 右顶点为A ，x 轴上一点Q （2a,0），若C 上一点P 使0=•PQ AP ，求e 范围

16. 渐近线方程为43y x =，则该双曲线的离心率e 为53或

5

4

16. 已知双曲线的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，

则该双曲线的离心率e=2

17. 设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足

021=⋅PF PF ，则2

212

2

21)(e e e e +的值为2

18．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；

(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．

解析： (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．双曲线C 的方程为x 23

－y 2

＝1.

(2)联立⎩⎪⎨⎪

⎧

y ＝kx ＋m x 23－y 2＝1

整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0.