111任意角的概念
任意角
Y
| 90
2k 180 , k Z
O
X
S2 | 270 k 360 , k Z
| 90 180 k 360 , k Z
| 90 180 2k 180 , k Z
B
-300
C
900 600
AOC = AOB + BOC
= 900 + (-300)
=
A 600
O
各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
为进一步研究角的需要，常在直角坐标系内讨论角： 我们使角α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合， 2.象限角：
角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负 (1)概念: 半轴重合，角的终边在第几象限，则这个角 就是第几象限的角
0
注：终边相同的角不一定相等，终边相等的角有无数 多个，它们相差3600的整数倍.
1．角的分类 （一起口答） • (1)正角：按 逆时针 方向旋转形成的角； • (2)负角：按 顺时针 方向旋转形成的角； • (3) 零角：射线没有作任何旋转，称为形 成一个零角． 2．终边相同的角：所有与角α终边相同的 角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝ ． {β|β＝k·360°＋α， k ∈Z}
③第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
☆象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
思考4:在直角坐标系中，与135°角的终边相同的角有多 少个呢？这些角之间存在什么内在联系？
， 585， 225， 135， 495， 855，
这些角与135°在数量上相差多少度？
→终边相同的角，度数相差360°的整数倍
任意角完整公开课PPT课件
任意角的度量
度量单位
角度的度量单位是度（°），弧度（rad）和密位（mil）。
度量工具
量角器、圆规、直尺等。
度量方法
通过量角器或使用三角函数值进行计算。
象限角与轴线角
象限角
在平面直角坐标系中，按逆时针方向，第一象限角为0°~90° ，第二象限角为90°~180°，第三象限角为180°~270°，第四 象限角为270°~360°。
、航向和航速。
04
THANKS
感谢观看
和差公式的应用
在解决涉及两角和与差的三角函数问题时，和差公式是必不可少的工 具。
04
三角函数的图像与性质
正弦函数的图像与性质
其图像是周期函数，呈现波浪
形。
正弦函数的性质包括：在每个 周期内，函数值从0增加到最 大值，然后又减小到0，如此
往复。
正弦函数的图像在y轴两侧对 称，其周期为360度。
01 02
任意角三角函数的定义
三角函数是描述三角形边与角之间关系的数学工具。对于任意角α，其 正弦函数sinα定义为“对边长度除以斜边长度”，余弦函数cosα定义 为“邻边长度除以斜边长度”，正切函数tanα定义为“对边长度除以 邻边长度”。
单位圆定义法
通过单位圆上点的坐标来表示三角函数值，其中正弦值等于y坐标，余 弦值等于x坐标，正切值等于y坐标除以x坐标。
正弦函数在每个周期内的变化 率是不同的，变化率最大的点
是函数的极值点。
余弦函数的图像与性质
余弦函数是三角函数的另一种形式， 其图像也是周期函数，呈现波浪形。
余弦函数的图像在y轴两侧对称，其 周期也为360度。
余弦函数的性质包括：在每个周期内 ，函数值从最大值减小到0，然后再 增加到最小值，如此往复。
111任意角
45。
x
x
o
{ | 30 k 120 k 360 360, k Z} { |135 k 405 k 360 360, k Z}
。
例题讲解
例1
与 5170 的终边相同的角可表示为（ C ）
3600 5170 z A
新课引入
1.角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的. 在平面几何中，角的取值范围如何？ 2.体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11月22日， 在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏 跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”， 震惊四座，这里的转体180度、 转体900度就是一个角的概念.
20当为奇数时令 2n 1 (n ),得 ,
这表明 是第一象限的角 ; 2
n 360 180
0 0
这表明 是第三象限的角 ; 2
0
2
n 360 0 180 0 45 0
(n )
综合1 ,2 可知
0
2
是第一或第三象限的角 .
例11
（1） 若角 与角 的终边关于X轴对称，则 3600
0
A A
(3)
AD
| 360 360 90
0 0
(4)
C D
0
, 0
练习
如图已知角的终边区域 , , 求出角的范围 .
y
0 (1) y
| 360
x
45
0
0
450 3600 900
任意角的概念课件
02
CATALOGUE
任意角的分类
正角
定义
正角是指角度大小在$0^{circ}$和 $360^{circ}$之间的角。在平面内， 正角通常表示为逆时针旋转形成的角 。
几何表示
应用
正角在几何、三角函数等领域有广泛 应用，如时钟指针的转动、物体的旋 转等。
正角可以用实线表示，起点在坐标轴 上，逆时针旋转到终点的角度即为正 角的大小。
角的大小由其终边位置决定，与旋转 方向无关。
终边相同的角
终边相同的角表示为 $alpha = beta + 2kpi$，其中 $alpha$ 和 $beta$ 是终边相同的角， $k$ 是整数。
当 $k=0$ 时，$alpha = beta$，即两个角相等；当 $k neq 0$ 时，$alpha$ 和 $beta$ 是互补角。
象限角的集合表示为 ${alpha | npi + (-1)^n cdot frac{pi}{2} < alpha < npi + (-1)^n cdot frac{3pi}{2}, n in Z}$。
04
CATALOGU义
正弦函数是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，记作sin(α)，其中α为锐角 。
负角
定义
负角是指角度大小在$360^{circ}$到$0^{circ}$之间的 角。在平面内，负角通常表示为
顺时针旋转形成的角。
几何表示
负角可以用虚线表示，起点在坐标 轴上，顺时针旋转到终点的角度即 为负角的大小。
应用
负角在物理学、工程学等领域有广 泛应用，如机械转动、电路分析等 。
零角
定义
零角是指角度大小为 $0^{circ}$的角。在平面 内，零角表示起点和终点 重合，没有旋转。
1.1.1任意角的概念
角的概念推广以后，它包括任意大小的正
角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好
象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋
转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点. （2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根 据以往的经验，我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示，那么许多问题就可以解 决了；
C x轴的非正半轴上
D y轴的非正半轴上
4、终边与坐标轴重合的角的集合是（ C ） A {β|β=k· 360º (k∈Z) } B {β|β=k· 180º (k∈Z) } C {β|β=k· 90º (k∈Z) } D {β|β=k· 180º +90º (k∈Z) }
5 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是 ( C ) A 第一象限角 C 第一、三象限角 B 第一、二象限角 D 第一、四象限角
看成k· 360º +(－30º )；
④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终
边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们
相差360º 的整数倍.
例1. 在0º 到360º 范围内，找出与下列各角终边
相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º ；(2) 640º ；(3) －950º 12′.
2100
6600
-1500
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，
我们也认为这时形成了一个角，并把这个角
叫做零度角（0º ）．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
⑶角的概念扩展的意义： 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了 ① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660. ② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080） ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
《高一数学任意角》课件
周期性概念在解决三角函数问题中具有重要应用，例如通过周期性质 判断函数的奇偶性、单调性等。
象限角的性质
第一象限角
第二象限角
第一象限角是指终边落在第一象限的角， 这些角的范围是$0° < 角 < 90°$，其正弦 值、余弦值和正切值均为正。
第二象限角是指终边落在第二象限的角， 这些角的范围是$90° < 角 < 180°$，其正 弦值为正，余弦值为负，正切值为负。
过的平面角。
角的度量单位是度（°），在国 际单位制中，角的度量单位是弧
度（rad）。
任意角的形成
任意角是由射线围绕其顶点旋转 形成的，旋转的角度可以是任意
的。
根据旋转的方向，角可以分为正 角和负角，正角是指逆时针旋转 形成的角，负角是指顺时针旋转
形成的角。
当射线绕顶点旋转一周后，与原 来的位置重合，此时形成的角称 为周角，周角的度数是360°或2π
正切函数的图像
正切函数的图像也是一个周期函 数，其图像在直角坐标系中呈现
直线形状。
三角函数值表的使用
01
三角函数值表的查询
三角函数值表是一种常用的工具，用于查询三角函数在不同角度下的值
。通过查询三角函数值表，可以方便地得到所需的角度和对应的三角函
数值。
02
三角函数值表的使用方法
在使用三角函数值表时，需要先确定所需查询的角度范围，然后查找相
正弦函数具有周期性、对 称性、单调性等性质，这 些性质在解决三角函数问 题中具有重要作用。
正弦函数的图像
正弦函数的图像是一个周 期函数，其图像在直角坐 标系中呈现波浪形状。
余弦函数
余弦函数的定义
余弦函数是三角函数的另一种形 式，定义为直角三角形中锐角的
高中任意角知识点总结
《高中任意角知识点总结》在高中数学的学习中，任意角是一个重要的概念，它为我们进一步研究三角函数等知识奠定了基础。
下面我们就来对高中任意角的知识点进行全面总结。
一、角的定义角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。
旋转开始时的射线叫做始边，旋转终止时的射线叫做终边，端点叫做角的顶点。
二、任意角的概念1. 正角、负角和零角- 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；- 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；- 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
2. 象限角- 使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合。
那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
- 例如，角的终边在第一象限，我们就称这个角为第一象限角。
3. 终边相同的角- 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S = {β|β = α + k·360°，k∈Z}。
- 即终边相同的角相差360°的整数倍。
三、任意角的度量1. 角度制- 把圆周分成 360 等份，每一份所对的圆心角叫做 1 度的角，记作1°。
- 角度制下的角的度量单位是度、分、秒。
1° = 60′，1′ = 60″。
2. 弧度制- 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，记作 1rad。
- 在弧度制下，角的大小与半径的大小无关。
- 弧度与角度的换算：180° = π rad，即1° = π/180 rad，1 rad = (180/π)°。
四、弧长公式与扇形面积公式1. 弧长公式- 在半径为 r 的圆中，圆心角α（α 为弧度制）所对的弧长l = αr。
2. 扇形面积公式- S = 1/2αr²（α 为弧度制），也可以表示为 S = 1/2lr （其中 l 为弧长）。
五、任意角的三角函数1. 定义- 设角α的终边上任意一点 P 的坐标为（x，y），它与原点的距离为 r（r = √(x² + y²)＞0）。
高一数学必修一任意角知识点
高一数学必修一任意角知识点数学是一门抽象而又实用的学科，对于高中生来说，数学的学习也是必不可少的一部分。
高一数学必修一中，一个重要的知识点就是任意角。
1. 任意角的定义任意角是指角的度数可以是任意实数的角。
在数轴上，我们可以将角的初始边和终边表示出来，并且角的顶点可以位于坐标系的任意位置。
这种角被称为任意角。
2. 任意角的度数我们知道，角度的度数是以度（°）为单位来衡量的。
对于任意角而言，它的度数可以是正数、负数或者是大于360°的数。
例如，一个角度为-45°，它的终边在数轴上逆时针旋转45°。
又例如，一个角度为420°，它的终边在数轴上顺时针旋转360°再继续旋转60°。
3. 任意角的弧度在数学中，角度的另一种衡量单位是弧度（rad）。
任意角的弧度可以是正数、负数或者是大于2π的数。
我们知道，一个完整的圆的周长是2π，而弧度就是以圆的半径为单位来衡量角度的单位。
一个角度为60°的任意角转换成弧度表示就是π/3，一个角度为-π/4的任意角即为逆时针旋转π/4。
4. 任意角的初标准位置对于任意角，我们可以将它们的终边旋转到一个特定的位置，这个位置称为初标准位置。
在初标准位置下，任意角的终边与坐标轴正向的夹角范围是0到360°或者0到2π弧度。
我们可以利用初标准位置来计算任意角的三角函数值，从而解决一些实际问题。
5. 任意角的三角函数在数学中，三角函数是任意角的重要属性之一。
任意角的三角函数包括正弦、余弦、正切、余切等。
我们可以通过观察任意角在坐标轴上的投影来计算这些三角函数值。
例如，对于角度为30°的任意角，它的正弦值是1/2，余弦值是√3/2，正切值是√3/3。
6. 任意角的三角函数的周期性三角函数在数轴上是周期性的。
对于正弦函数和余弦函数而言，它们的周期是2π。
对于正切函数和余切函数而言，它们的周期是π。
任意角的概念
1. 任意角的概念（1）角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.（2）正角：按逆时针方向旋转形成的角.（3）负角：按顺时针方向旋转形成的角.（4）零角：一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角（5）注意：①角度的范围再不限于.360~0︒︒②角的概念是通过角的终边的运动来推广的，根据角的终边的旋转“方向”，得到正角、负角和零角，由此我们应当意识到角的终边位置的重要性.③当角的始边相同时，角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等.2. 象限角与轴线角使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角；终边落在坐标轴上的角α被称为轴线角.3. 终边相同的角（1）与角α终边相同的角为),(360Z k k ∈+︒⋅=αβ连同角α，可构成一个集合}.,360{z k k S ∈+︒⋅==αββ（2）注意：①α为任意角.②︒⋅360k 与α之间是“+”号，α-︒⋅360k 可理解为).(360α-+︒⋅k③相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差︒360的整数倍.④Z k ∈这一条件必不可少.4. 弧度制（1）定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1rad .（2）度量：①一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.②角α的弧度数的绝对值r l =α（其中l 是以角α作为圆心角时所对的弧的长，r 是圆的半径）.5. 扇形的弧长与面积公式若扇形的圆心角为α（α为弧度制），半径为R ，弧长为l ，面积为S ，则有αR l =，22121R lR S α==.。
任意角的概念 省优获奖课件 公开课一等奖课件
作业 P66—68
习题2.7
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
3
=k· 120º +20º ， k∈Z.
当k=0时，得角为20º ，
当k=1时，得角为140º ，
当k=2时，得角为260º .
作业
• 课本P9 A组第1、2、3题 P10A组第5题
第二章 有理数及其运算
问题：
下图是一条河流在枯水期的水位图.
此时小康桥面 距水面的高度 为多少米?
减法可以转化为加 法
2100
6600
-1500
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，
我们也认为这时形成了一个角，并把这个角
叫做零度角（0º ）．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
⑶角的概念扩展的意义： 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了 ① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660. ② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080） ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
看成k· 360º +(－30º )；
④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终
边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们
任意角的概念与弧度制资料
任意角的概念与弧度制任意角的概念与弧度制1、角的概念的推广：角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.3、终边相同的角与象限角：与角终边相同的角构成一个集合，；顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．知识点二：弧度制弧度制(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).(2)弧度与角度互换公式：1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)(3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.3、弧度制的概念及换算：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“rad”可以略去不写.在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为，则所以，rad，(rad)，1(rad).4、弧度制下弧长公式：；弧度制下扇形面积公式.类型一：象限角1．已知角；(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；(2)集合，,那么两集合的关系是什么？解析：(1)所有与角有相同终边的角可表示为：，则令，得解得，从而或代回或.(2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：.总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论.2．已知“是第三象限角，则是第几象限角?思路点拨：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n 等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为 (n∈N*)的终边所在的区域.解法一：因为是第三象限角，所以，∴，∴当k=3m(m∈Z)时，为第一象限角；当k=3m＋1(m∈Z)时，为第三象限角，当k=3m＋2(m∈Z)时，为第四象限角，故为第一、三、四象限角.解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域.由图可知，是第一、三、四象限角.总结升华：(1)要分清弧度制与角度制象限角和终边在坐标轴上的角；(2)讨论角的终边所在象限，一定要注意分类讨论，做到不重不落，尤其对象限界角应引起注意.举一反三：【变式1】集合，，则( )A、B、C、D、【答案】C思路点拨：( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4(法二)在平面直角坐标系中，数形结合(法三)集合M变形，集合N变形，是的奇数倍，是的整数倍，因此.【变式2】设为第三象限角，试判断的符号.解析：为第三象限角，当时，此时在第二象限.当时，此时在第四象限.综上可知：类型二：扇形的弧长、面积与圆心角问题3．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是依题意，得≈≈总结升华：弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式和圆面积公式，当用圆心角的弧度数代替时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：举一反三：【变式1】一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.思路点拨：运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题.解：设扇形的半径为，则弧长为，于是扇形的面积当时，(弧度)，取到最大值，此时最大值为.故当扇形的圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是.总结升华：求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径(或圆心角)的函数表达式，进而求解.1、角度制与弧度制的互化：(1)；(2).解：为第三象限；为轴上角为第二象限；为第三象限角小结：[1]用弧度表示角时，“弧度”两字不写，可写“”；[2]角度制化弧度时，分数形式，且“”不取近似值.2、用角度和弧度分别写出分别满足下列条件的角的集合：(1)第一象限角；(2)锐角； (3)小于的角；(4)终边与角的终边关于轴对称的角； (5)终边在直线上的角.解：(1)或；(2)或；(3)或；(4)分析：因为所求角的终边与角的终边关于轴对称，可以选择代表角，因此问题转化为写出与角的终边相同的角的集合即；(5)或.注意：角度制与弧度制不能混用！3、若是第二象限角，则是第几象限角？反之，是第二象限角，是第几象限角？解：若是第二象限角，则，两边同除以2，得当为奇数时，是第三象限角；当为偶数时，是第一象限角反之，若是第二象限角，则两边同乘以2，得所以是第一或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴上角.注意：数形结合.。
任意角知识点详解指南
任意角知识点详解指南任意角知识点指南涵盖了任意角的定义、分类、性质以及其在三角函数中的应用等多个方面。
以下是对任意角知识点的详细指南：一、定义任意角是指平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
这条射线的端点称为角的顶点，射线旋转的初始位置称为角的始边，终止位置称为角的终边。
二、分类根据角的大小和方向，任意角可以分为以下几类：1.正角：按逆时针方向旋转形成的角称为正角。
2.负角：按顺时针方向旋转形成的角称为负角。
3.零角：没有旋转形成的角称为零角。
三、性质1.周期性：任意角的周期性是三角函数的基本性质之一。
正弦函数和余弦函数的周期为360°，而正切函数的周期为180°。
这意味着在周期内，函数的取值会重复出现。
2.奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sinx；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cosx。
这一性质反映了正弦和余弦函数在图形上的对称性。
3.增减性：在特定的区间内，正弦函数和余弦函数具有单调性。
例如，在[0,π/2]区间内，正弦函数单调递增，余弦函数单调递减。
4.最大值和最小值：正弦函数和余弦函数的取值范围均为[-1, 1]，因此它们的最大值为1，最小值为-1。
而正切函数的取值范围为全体实数，没有最大值和最小值。
四、与三角函数的关系任意角的三角比包括正弦、余弦和正切。
对于任意角α，其正弦值sinα定义为对边与斜边的比值，余弦值cosα定义为邻边与斜边的比值，正切值tanα定义为对边与邻边的比值。
这些三角比反映了任意角在直角三角形中的性质。
五、应用1.诱导公式：诱导公式是三角函数中的重要内容，它揭示了不同象限内三角函数值之间的关系。
通过诱导公式，我们可以将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值进行计算。
2.同角三角函数的基本关系：同角三角函数的基本关系包括平方关系和商数关系。
平方关系指sin^2α+cos^2α=1，商数关系指tanα=sinα/cosα。
任意角的概念与弧度制
任意角的概念与弧度制1、角的概念的推广：角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.3、终边相同的角与象限角：与角终边相同的角构成一个集合，；顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．知识点二：弧度制弧度制(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).(2)弧度与角度互换公式：1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)(3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.3、弧度制的概念及换算：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“rad”可以略去不写.在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为，则所以，rad，(rad)，1(rad).4、弧度制下弧长公式：；弧度制下扇形面积公式.类型一：象限角1．已知角；(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；(2)集合，,那么两集合的关系是什么？解析：(1)所有与角有相同终边的角可表示为：，则令，得解得，从而或代回或.(2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：.总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论.2．已知“是第三象限角，则是第几象限角?思路点拨：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为(n∈N*)的终边所在的区域.解法一：因为是第三象限角，所以，∴，∴当k=3m(m∈Z)时，为第一象限角；当k=3m＋1(m∈Z)时，为第三象限角，当k=3m＋2(m∈Z)时，为第四象限角，故为第一、三、四象限角.解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域.由图可知，是第一、三、四象限角.总结升华：(1)要分清弧度制与角度制象限角和终边在坐标轴上的角；(2)讨论角的终边所在象限，一定要注意分类讨论，做到不重不落，尤其对象限界角应引起注意.举一反三：【变式1】集合，，则( )A、B、C、D、【答案】C思路点拨：( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4(法二)在平面直角坐标系中，数形结合(法三)集合M变形，集合N变形，是的奇数倍，是的整数倍，因此.【变式2】设为第三象限角，试判断的符号.解析：为第三象限角，当时，此时在第二象限.当时，此时在第四象限.综上可知：类型二：扇形的弧长、面积与圆心角问题3．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是依题意，得≈≈总结升华：弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式和圆面积公式，当用圆心角的弧度数代替时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：举一反三：【变式1】一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.思路点拨：运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题.解：设扇形的半径为，则弧长为，于是扇形的面积当时，(弧度)，取到最大值，此时最大值为.故当扇形的圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是.总结升华：求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径(或圆心角)的函数表达式，进而求解.1、角度制与弧度制的互化：(1)；(2).解：为第三象限；为轴上角为第二象限；为第三象限角小结：[1]用弧度表示角时，“弧度”两字不写，可写“”；[2]角度制化弧度时，分数形式，且“”不取近似值.2、用角度和弧度分别写出分别满足下列条件的角的集合：(1)第一象限角；(2)锐角；(3)小于的角；(4)终边与角的终边关于轴对称的角；(5)终边在直线上的角.解：(1)或；(2)或；(3)或；(4)分析：因为所求角的终边与角的终边关于轴对称，可以选择代表角，因此问题转化为写出与角的终边相同的角的集合即；(5)或.注意：角度制与弧度制不能混用！3、若是第二象限角，则是第几象限角？反之，是第二象限角，是第几象限角？解：若是第二象限角，则，两边同除以2，得当为奇数时，是第三象限角；当为偶数时，是第一象限角反之，若是第二象限角，则两边同乘以2，得所以是第一或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴上角.注意：数形结合.。
任意角完整公开课PPT课件
表示为arctan(x)，其定义域为 全体实数，值域为全体实数。
反三角函数的性质
反三角函数的性质
反三角函数具有一些重要的性质，如单调性、奇偶性、周 期性等。这些性质对于理解和应用反三角函数非常重要。
奇偶性
反三角函数具有奇偶性，即对于任意x，有arcsin(-x)=arcsin(x)（对于arcsin(x)）或arccos(-x)=π-arccos(x)（ 对于arccos(x)）。
反三角函数的应用
• 反三角函数的应用：反三角函数在数学、物理和工程等领域有 广泛的应用。例如，在解决几何问题时，可以使用反三角函数 来找到角度；在信号处理中，可以使用反三角函数来处理周期 信号；在物理学中，可以使用反三角函数来描述振动和波动等 现象。
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解决三角形问题
通过三角恒等式可以求出三角 形各边的长度、各角的大小等
。
求三角函数值
利用三角恒等式可以求出任意 角的正弦、余弦、正切值。
证明恒等式
通过三角恒等式可以证明一些 重要的恒等式，如：sin^2(x) + cos^2(x) = 1等。
解决实际问题
在物理、工程等领域中，可以 利用三角恒等式解决一些实际 问题，如：测量、振动分析等
积化和差与和差化积公式的扩展
推广到多角公式
将积化和差与和差化积公式推广到多 角公式，可以进一步研究多角之间的 三角函数关系。
与其他公式结合应用
结合其他三角函数公式，如倍角公式 、半角公式等，可以更深入地研究三 角函数的性质和变换。
06
任意角的反三角函数
反三角函数的定义
反三角函数的定义
反正弦函数
和差化积公式的推导
利用三角函数的差角公式，通过代数 运算推导出和差化积公式。
1.1.1任意角的概念
（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360º ， 角度的绝对值可大于360º .于是就会出现 720º ， － 540º 等角度.
3．象限角
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合 于x轴的非负半轴，这样一来，角的终边落在第 几象限，我们就说这个角是第几象限的角。 （角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何 一个象限此时这种角称为：轴线角） 例如：30、390、330是第一象限角， 300、 60是第四象限角， 585、1300是第三象限角， 135 、2000是第二象限角等
【合作探究】
• 探究一：终边相同的角
例1： 120 240 360 (1)
• ；
660 300 360
435 75 360
变式1： -15 360 K
- 1080 -360 -375 或 - 735
【当堂检测】
• • • • • • • • • • • • • 1. 下列命题中正确的是( D ) A．终边在y轴非负半轴上的角是直角 B．第二象限角一定是钝角 C．第四象限角一定是负角 D.若β＝α＋ｋ· 360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同 2．下列角中终边与330°相同的角是（ B ） Α.30° B.-30° C.630° D.-630° 3．与120°角终边相同的角是( A ) A．－600°＋k· 360°，ｋ∈Ｚ B．－120°＋k· 360°，ｋ∈Ｚ C．120°＋(2k＋1）· 180°，ｋ∈Ｚ D．660°＋k· 360°，ｋ∈Ｚ 4．角α＝45°＋ｋ· 180°，ｋ∈Ｚ的终边落在 (A ) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
任意角的概念
4. (2k 1) 1800 , k Z 5. (2k 1) 180 , k Z
0
例3.写出终边落在第一象限的角的集合.
S={ | k· 360º < <90º+ k· 360º , k∈ Z }
在日常生活中，我们经常要遇到大于3600的角以及按不同 方向旋转而成的角，这些都说明了我们研究推广角概念的 必要性。
一、任意角的概念
高中
O B
终 边
始 边
角:一条射线OA绕一个端点O从起 A 始位置OA旋转到终止位置OB所 （运动地） 形成的图形，叫做角α ，记为α.
规定：
按逆时针转动形成的角——正角 按顺时针转动形成的角——负角 一条射线没有转动 ——零角
课堂练习：
30º
1写出如图终边落在阴影部分的角的集合.
y A 30º
45º
y
O
x
O
45º
x
2.已知角α的终边在下图中阴影所表示的范围内（不包括边界）， 那么α∈
B
y
30ºOxFra bibliotek研究性学习
如果角是第一象限角，那么 2 是哪个象限角？2呢？
图示记忆法 y 3 2 4
45º
1 x
1
2
O
45º
4
3
-950012’ +3600 +3600 +3600 -590012’ -230012’ 129048’ 所以：-950012’ =129048’+ 3×3600
角-950012’终边与129048’相 同 角-950012’是第二象限角
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5、若α是第四象限角，则180º－α是（ C）
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
6、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，
那么α与β之间的关系是（ ） D
A. β=α+90o
B β=α±90o
C β=k·360o+90o+α,k∈Z
D β=k·360o±90o+α, k∈Z
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根
据以往的经验，我们可以把一对意义相反的
量用正负数来表示，那么许多问题就可以解
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例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并 把S中在－360º~720º间的角写出来：
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
解：(123) Sβ|=β{=β|kβ·3=6k0·º3+603º6+－36º2011º4º’(k(k∈∈ZZ) )},} S中S中在在－－36306º0～º～72702º0间º间的的角角是是 0－－×213××6033º6－600º2+º+13º6=03－ºº=142－’1=º2；－803º；56º46’； 1－0××13×366030º6－º0+º2+6103º6=336º31094º；º’；=3º14’； 201×××333666000ºº－+º+3266103ºº=1464’92=903º．63º14’．
绕着它的端点O按逆时针方向 旋转到另一位置OB，就形成角 B α．
O
A
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⑵．“正角”与“负角”、“0º角” 我们把按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，
把按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，
如图特，别以O地A为，始当边一的角条α射=2线10°没，有β=作－任150何°旋，γ转=6，60°， 我们把这个角叫做零度角（0º）．
1.1.1 任意角的概念
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1、角的概念
初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几
何图形. 这种概念形象、直观、但它是从图形形
状来定义角，因此角的范围是[0º, 360º)， 这种定义称为静态定义，其弊端在于
“狭隘”。生活中很多实例不在该范围。
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2．角的概念的推广
“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，
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课堂小结：
1、角的概念的推广：正角、负角、0º角 2、“象限角” 、“轴线角” 3、终边相同的角：所有与终边相同的角连同
在内可以构成一个集合： {β| β=α+k·360º}(k∈Z)
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高中数学·必修4
人民教育出版社
一线名师·名校学案·联校开发
（1）旋转中心：作为角的顶点.
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例3、写出终边在y轴上的角的集合 例4、写出终边在y=x上的角的集合S，并
把S中在－360º~720º间的角写出来：
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课堂练习
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是 否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间 (0º,90º)内的角是锐角吗？
答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定 是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故 它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐 角．
④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终
边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们
相差360º的整数倍.
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例1. 在0º到360º范围内，找出与下列各角终边 相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′.
解：⑴⑶∵∵－－192500º=º1－2’3=6－0º+3×24306º，0º+129º48’， ∴1∴292º4480’º的的角角与与－－915200ºº1的2’角的终角边终相边同相，同， 它是它第是二第象三限象角限．角． ⑵ ∵640º=360º+280º， ∴280º的角与640º的角终边相同， 它是第四象限角．
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2、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边
在（ A） A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上
3、终边与坐标轴重合的角的集合是（ C ）
A {β|β=k·360º(k∈Z) }
B {β|β=k·180º(k∈Z) }
C {β|β=k·90º(k∈Z) }
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4．终边相同的角
⑴ 观察：390，330角，它们的终边都与
30角的终边相同.
390=30+360(k=1), 0 (k=0), 1470=30+4×360(k=4) （2）所有与终边相同的角连同在内可以构成
一个集合：{β| β=α+k·360º}(k∈Z)
角的记法：角α或可以简记成∠α.
2100
6600
-1500
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⑶角的概念扩展： 角的概念推广以后，它包括任意大小的正
角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素
D {β|β=k·180º+90º(k∈Z) }
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4．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边 落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指 出它们是哪个象限的角？ (1)420º，(2) －75º，(3)855º，(4) －510º．
答：(1)第一象限角； (2)第四象限角， (3)第二象限角， (4)第三象限角.
即：任何一个与角终边相同的角，都可以
表示成角与整数个周角的和
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（3） 终边相同的角都可以表示成一个0到 360的角与k(k∈Z)个周角的和：
（4）注意以下四点： {β| β=α+k·360º}(k∈Z)
① k∈Z；
② 是任意角；
③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应
看成k·360º+(－30º)；
（旋转中心、旋转方向和旋转量）
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3．“象限角” y
轴线角
o
象限角 x
例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，
300、 60是第Ⅳ象限角，
585、1300是第Ⅲ象限角，
135 、2000是第Ⅱ象限角等
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探究
❖将角按照上述方法放在直角坐标系中 后，给定一个角，就有唯一的一条终 边与之对应。反之，对于直角坐标系 内任意一条射线OB，以它为终边的角 是否唯一？