111任意角的概念
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4．终边相同的角
⑴ 观察：390，330角，它们的终边都与
30角的终边相同.
390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－1)
30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4) （2）所有与终边相同的角连同在内可以构成
一个集合：{β| β=α+k·360º}(k∈Z)
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例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并 把S中在－360º~720º间的角写出来：
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
解：(123) Sβ|=β{=β|kβ·3=6k0·º3+603º6+－36º2011º4º’(k(k∈∈ZZ) )},} S中S中在在－－36306º0～º～72702º0间º间的的角角是是 0－－×213××6033º6－600º2+º+13º6=03－ºº=142－’1=º2；－803º；56º46’； 1－0××13×366030º6－º0+º2+6103º6=336º31094º；º’；=3º14’； 201×××333666000ºº－+º+3266103ºº=1464’92=903º．63º14’．
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2、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边
在（ A） A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上
3、终边与坐标轴重合的角的集合是（ C ）
A {β|β=k·360º(k∈Z) }
B {β|β=k·180º(k∈Z) }
C {β|β=k·90º(k∈Z) }
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例3、写出终边在y轴上的角的集合 例4、写出终边在y=x上的角的集合S，并
把S中在－360º~720º间的角写出来：
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课堂练习
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是 否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间 (0º,90º)内的角是锐角吗？
答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定 是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故 它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐 角．
（旋转中心、旋转方向和旋转量）
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3．“象限角” y
轴线角
o
象限角 x
例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，
300、 60是第Ⅳ象限角，
585、1300是第Ⅲ象限角，
135 、2000是第Ⅱ象限角等
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探究
❖将角按照上述方法放在直角坐标系中 后，给定一个角，就有唯一的一条终 边与之对应。反之，对于直角坐标系 内任意一条射线OB，以它为终边的角 是否唯一？
绕着它的端点O按逆时针方向 旋转到另一位置OB，就形成角 B α．
O
A
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⑵．“正角”与“负角”、“0º角” 我们把按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，
把按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，
如图特，别以O地A为，始当边一的角条α射=2线10°没，有β=作－任150何°旋，γ转=6，60°， 我们把这个角叫做零度角（0º）．
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5、若α是第四象限角，则180º－α是（ C）
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
6、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，
那么α与β之间的关系是（ ） D
A. β=α+90o
B β=α±90o
C β=k·360o+90o+α,k∈Z
D β=k·360o±90o+α, k∈Z
D {β|β=k·180º+90º(k∈Z) }
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4．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边 落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指 出它们是哪个象限的角？ (1)420º，(2) －75º，(3)855º，(4) －510º．
答：(1)第一象限角； (2)第四象限角， (3)第二象限角， (4)第三象限角.
角的记法：角α或可以简记成∠α.
2100
6600
-1500
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⑶角的概念扩展： 角的概念推广以后，它包括任意大小的正
角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素
即：任何一个与角终边相同的角，都可以
表示成角与整数个周角的和
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（3） 终边相同的角都可以表示成一个0到 360的角与k(k∈Z)个周角的和：
（4）注意以下四点： {β| β=α+k·360º}(k∈Z)
① k∈Z；
② 是任意角；
③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应
看成k·360º+(－30º)；
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根
据以往的经验，我们可以把一对意义相反的
量用正负数来表示，那么许多问题就可以解
1.1.1 任意角的概念
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1、角的概念
初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几
何图形. 这种概念形象、直观、但它是从图形形
状来定义角，因此角的范围是[0º, 360º)， 这种定义称为静态定义，其弊端在于
“狭隘”。生活中很多实例不在该范围。
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2．角的概念的推广
“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，
④ ห้องสมุดไป่ตู้边相同的角不一定相等，但相等的角，终
边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们
相差360º的整数倍.
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例1. 在0º到360º范围内，找出与下列各角终边 相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′.
解：⑴⑶∵∵－－192500º=º1－2’3=6－0º+3×24306º，0º+129º48’， ∴1∴292º4480’º的的角角与与－－915200ºº1的2’角的终角边终相边同相，同， 它是它第是二第象三限象角限．角． ⑵ ∵640º=360º+280º， ∴280º的角与640º的角终边相同， 它是第四象限角．
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课堂小结：
1、角的概念的推广：正角、负角、0º角 2、“象限角” 、“轴线角” 3、终边相同的角：所有与终边相同的角连同
在内可以构成一个集合： {β| β=α+k·360º}(k∈Z)
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高中数学·必修4
人民教育出版社
一线名师·名校学案·联校开发
（1）旋转中心：作为角的顶点.
4．终边相同的角
⑴ 观察：390，330角，它们的终边都与
30角的终边相同.
390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－1)
30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4) （2）所有与终边相同的角连同在内可以构成
一个集合：{β| β=α+k·360º}(k∈Z)
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例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并 把S中在－360º~720º间的角写出来：
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
解：(123) Sβ|=β{=β|kβ·3=6k0·º3+603º6+－36º2011º4º’(k(k∈∈ZZ) )},} S中S中在在－－36306º0～º～72702º0间º间的的角角是是 0－－×213××6033º6－600º2+º+13º6=03－ºº=142－’1=º2；－803º；56º46’； 1－0××13×366030º6－º0+º2+6103º6=336º31094º；º’；=3º14’； 201×××333666000ºº－+º+3266103ºº=1464’92=903º．63º14’．
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2、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边
在（ A） A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上
3、终边与坐标轴重合的角的集合是（ C ）
A {β|β=k·360º(k∈Z) }
B {β|β=k·180º(k∈Z) }
C {β|β=k·90º(k∈Z) }
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例3、写出终边在y轴上的角的集合 例4、写出终边在y=x上的角的集合S，并
把S中在－360º~720º间的角写出来：
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1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是 否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间 (0º,90º)内的角是锐角吗？
答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定 是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故 它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐 角．
（旋转中心、旋转方向和旋转量）
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3．“象限角” y
轴线角
o
象限角 x
例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，
300、 60是第Ⅳ象限角，
585、1300是第Ⅲ象限角，
135 、2000是第Ⅱ象限角等
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❖将角按照上述方法放在直角坐标系中 后，给定一个角，就有唯一的一条终 边与之对应。反之，对于直角坐标系 内任意一条射线OB，以它为终边的角 是否唯一？
绕着它的端点O按逆时针方向 旋转到另一位置OB，就形成角 B α．
O
A
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⑵．“正角”与“负角”、“0º角” 我们把按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，
把按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，
如图特，别以O地A为，始当边一的角条α射=2线10°没，有β=作－任150何°旋，γ转=6，60°， 我们把这个角叫做零度角（0º）．
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5、若α是第四象限角，则180º－α是（ C）
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
6、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，
那么α与β之间的关系是（ ） D
A. β=α+90o
B β=α±90o
C β=k·360o+90o+α,k∈Z
D β=k·360o±90o+α, k∈Z
D {β|β=k·180º+90º(k∈Z) }
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4．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边 落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指 出它们是哪个象限的角？ (1)420º，(2) －75º，(3)855º，(4) －510º．
答：(1)第一象限角； (2)第四象限角， (3)第二象限角， (4)第三象限角.
角的记法：角α或可以简记成∠α.
2100
6600
-1500
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⑶角的概念扩展： 角的概念推广以后，它包括任意大小的正
角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素
即：任何一个与角终边相同的角，都可以
表示成角与整数个周角的和
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（3） 终边相同的角都可以表示成一个0到 360的角与k(k∈Z)个周角的和：
（4）注意以下四点： {β| β=α+k·360º}(k∈Z)
① k∈Z；
② 是任意角；
③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应
看成k·360º+(－30º)；
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根
据以往的经验，我们可以把一对意义相反的
量用正负数来表示，那么许多问题就可以解
1.1.1 任意角的概念
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1、角的概念
初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几
何图形. 这种概念形象、直观、但它是从图形形
状来定义角，因此角的范围是[0º, 360º)， 这种定义称为静态定义，其弊端在于
“狭隘”。生活中很多实例不在该范围。
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2．角的概念的推广
“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，
④ ห้องสมุดไป่ตู้边相同的角不一定相等，但相等的角，终
边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们
相差360º的整数倍.
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例1. 在0º到360º范围内，找出与下列各角终边 相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′.
解：⑴⑶∵∵－－192500º=º1－2’3=6－0º+3×24306º，0º+129º48’， ∴1∴292º4480’º的的角角与与－－915200ºº1的2’角的终角边终相边同相，同， 它是它第是二第象三限象角限．角． ⑵ ∵640º=360º+280º， ∴280º的角与640º的角终边相同， 它是第四象限角．
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课堂小结：
1、角的概念的推广：正角、负角、0º角 2、“象限角” 、“轴线角” 3、终边相同的角：所有与终边相同的角连同
在内可以构成一个集合： {β| β=α+k·360º}(k∈Z)
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（1）旋转中心：作为角的顶点.