量子力学试卷B(2007级)

2,2- （C ）2,,,2-- （D ）,,0,,2-- 、在光的照射下，原子从低能级跃迁到高能级，这种现象称为 （ ）

）自发和受激吸收 （C ）光的吸收 （D ）自发辐射 ）线性厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此

、变分原理在于：根据具体问题在物理上的特点，先提出

ˆ

i L

z

题各15分，第

、在一维无限深势阱〔0,a〕中，粒子处于第一激发态，即

S，S

是二个自旋，

1z

武汉理工大学教务处

试题标准答案及评分标准用纸

| 课程名称—量子力学—— （ B 卷） | 一、选择题（每题3分，共15分） 装 1.C 2.B 3. D 4.C 5.D

| 二、填空题 (每空2分，共20分）

1. i -∇，p i ∇

2. 实数 正交

3. 费米－狄拉克 费米子

4. q

p P A c

=-

正则动量 5. 试探 极值

三、 证明题（共15分）

（1）证明：令1a n n λ+

=+ 则

其共轭式为*

1n a n λ=+，与上式两边分别作用得 （2分） *

11n aa n n n λ

λ+

=++

利用a a n n n +

= ,1a a +⎡⎤=⎣⎦和mn m n δ= （5分）

等式左边=111n a a n n n n n +

+=+=+ 等式右边=()2

2

2

1111n n n n λλ

λ++=++=

故λ=

1a n +=+ （3分）

（2）证明：ˆˆˆx z y L yp zp =- ˆˆˆy x z L z p x p =- ˆˆˆz

y x L xp yp =- （2分）

[][][][][]()ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,,,ˆˆˆˆˆˆˆ,00,x y z y x z z x z z y x z z

z x y z y x z L L y p z p z p x p y p z p y p x p z p z p y p x p

y p z p p z p x i x p y p i L

⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦=--+=-=

利用动量分量彼此对易和[]ˆ,z z p

i = （3分） 四 计算题（第1、2题各15分，第3、4题各10分，要求有具体计算步骤）

1、解：一维无限深势阱中，粒子处于第一激发态的波函数为 (

)22x x a πψ⎛⎫=

⎪⎝⎭

（2分） （1）粒子坐标的平均值：()()*

22

20022sin 2a x a x x x x dx x dx a a πψψ∞

⎛⎫=== ⎪⎝⎭

⎰⎰ ()()2

*

22222220

02211sin 38a x x x x x dx x dx a a a πψψπ∞

⎛⎫⎛⎫=

=

=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎰

⎰

x ∆=

= （5分）

（2）动量的平均值：()()()()**

22220

ˆ0d p x p x dx x i

x dx dx ψψψψ∞

∞

⎛

⎫

=

=-= ⎪⎝⎭

⎰

⎰ ()()()()22

2

2

*2

*2

2

22

222

00

4ˆd p x p

x dx x x dx dx a πψ

ψψψ∞

∞

⎛

⎫==-= ⎪

⎝

⎭⎰⎰

2p a

π

∆=

（5分） （3）粒子动能为22p E m =，则有222

2

422p E m ma

π== （3分） 2、解：（1）Hamilton 量满足的本征方程为

21021

01201

200003003a a a b b b c c c λ

λλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪⎪ ⎪

⎪⎪

=⇒-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝

⎭⎝⎭

非零解的条件为

()()2

210

1

203100

03λ

λλλλ

--=--=- （6分）

即123λλ== 31λ=是可能的能量本征值，能量有简并。

（2

）

)21051203003i H H H i i i i i ψψψψ+

⎛⎫⎛⎫

⎪===---= ⎪ ⎪⎝⎭

（3分）

)2

22221011

1203

003i H H H i i i i i ψψψψ+⎛⎫⎛⎫

⎪⎪===---= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭

（3分）

3

H ∆==

（3分） 3、解：选2

2

12()S S S =+与12z z z S S S =+的共同本征态s SM χ。 当1S =，0,1S M =±是三重态，对二电子交换对称。

0S =，0S M = 是单态，对二电子交换反对称。 （2分）

首先有

2

2

2

21212122

12

()23 22

S S S S S S S S S =+=++⋅=+⋅

定态方程为

s s SM SM H E χχ=

因为

22211002 , 0s s M M S S χχχ==

所以

2

2

2

121113()4

4

s s s

M M M S S χχχ⋅=-=

2

12000034

S S χχ⋅=-

又

1121100() 0

s s s z M z z M s M z S S S M S χχχχ=+== （4分）

对三重态能级为