安徽中考数学专题复习二：几何图形动点问题34张

AB长为半径的圆上(如图①)．
图①
图②
推广：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不与点B重合)，将△BEF沿
EF折叠得到△B′EF，则点B′的运动轨迹为以E为圆心，线段BE为半径的半圆
弧．
类型1 点圆最值 【模型分析】 平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值 和最小值．具体分以下三种情况讨论(规定OD＝d，⊙O半径为r)： (i) 若D点在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D、E、O三点共线时，线段DE出现 最值，DE的最大值为___d_＋__r__，DE的最小值为___d_－__r__；
－3)，∴E(－3，1)，F(1，－3)，∴AB＝ 312132＝2 2 ， EF＝ 312132＝4 2 ，即四边形ABCD的周长的最小值为AB＋
BC＋CD＋AD＝AB＋EF＝6 2 .
提分要点
三、利用圆的相关性质求线段最值
定点定长作圆
平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为圆心，
例5题解图
模型三 “两点两线”型(两动点＋两定点)
【问题】点P、Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使 得四边形PQNM周长最小． 【解决思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ 的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上， 因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
例5题图
【解析】如解图，分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接 CM、OC、DN、OD，∵点P关于OA的对称点为C，∴PM＝CM， OP＝OC，∠COA＝∠POA，∵点P关于OB的对称点为D，∴PN ＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OC＝OD＝OP＝6， ∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋ 2∠POB＝2∠AOB＝60°，△PMN的周长为PM＋PN＋MN＝ CM＋DN＋MN，连接CD分别交OA，OB于点M′，N′，∵CM＋ DN＋MN≥CM′＋DN′＋M′N′，当M与M′，N与N′重合时， △PMN的周长最小，即为线段CD的长度，∵∠COD＝60°， OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝ 6.∴△PMN的周长的最小值为6.
3 BC＝ ，∴O4 C3＝2OB＝ ，∴CF′＝4OC3 －O2F′3＝ 2 －3 ＝.
例2题图
例2题解 图
类型2 线圆最值 【模型分析】 (i) 如图，AB为 O的一条定弦，点C为圆上一动点． (1)如图①，若点C在优弧 A B 上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到 弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大； (2)如图②，若点C在劣弧A B 上，当CH⊥AB且CH 的延长线过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大.
例3 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是
AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为( A )
13
A.
2
B. 1 3
C. 7
D. 3
【解析】如解图，连接MO并延长，与BC交于点P′，∵PM－
PO≤MO，当P与P′重合时，此时PM－PO有最大值，且最大值为
MO的长度，过点M作MN⊥BC于点N，在△AOM和△COP′中，
例3题图
∠AOM＝∠COP′，OA＝OC，∠OAM＝∠OCP′，
∴△AOM≌△COP′，∴OM＝OP′＝ 1 MP′，∴CP′＝AM＝4－1
2
＝3，BP′＝1，∴P′N＝4－1－1＝2，∴MP′＝ 22 +32 ＝ 1 3 ，
1 ∴OM＝2
A. 6
B. 8
5
5
C. 1 2
D. 5
5
4
例题图
【解析】∵∠BAC＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，如解
图，∵点M为EF的中点，∴连接AP必过点M，且AP＝EF＝2PM，∴当AP最小
时，PM取得最小值，根据直线外一点到直线上任意一点的连线中，垂线段最短，
可知当AP⊥BC时，AP最短，PM取得最小值．在Rt△ABC中，由勾股定理得
专题二：几何图 形动点问题
专题二 几何图形动点问题
专题解读：几何图形动点问题是安徽中考近10年的高频考点，2019、2017、2016年 均在选择压轴题考查，其中2019年考查带有限定条件的动点问题，2017年考查利 用对称性求线段和的最小值；2016年考查利用隐形圆求线段的最小值；2015年在 20题结合圆的基本性质涉及考查线段最值问题；2011年在22(3)题结合几何图形综 合题考查线段最值问题．
例1 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，
E是AB边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为( B )
A. 3
B2. 3 C. 2
D. 2 【解析】如解图，连接CE交AD于点F′，
∵EF＋CF≥EF′＋CF′＝CE，∴当点F与F′
重合时，此时EF＋CF有最小值，且最小值
12，∴AB＝ 1 2 ＝2 3 ，又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2 3 ，即PD＋
PE的最小值为2 3 .
类型3 同侧差最大值问题
【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB| 的值最大．
【解决思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A ，B，P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接 AB并延长，与直线l的交点即为点P.
小值，在Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝ 32 22
＝ 1 3 ，∴CD′的最小值是AC－AD′＝AC－AD 13 2
＝
.
例1题图
例1题解图
例2 如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE， 连接AD、BE交于点F，连接CF，则CF的最小值为( B ) A. 3 B.2 3 C.2 3 D. 5
图①
图②
(ii) 如图， O与直线l相离，点P是 O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离 为d， O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是__d_＋__r___(如图③)，点P到直 线l的最大距离是__d_－__r___(如图④)．
图③
图④
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2， C的半径为1，
MP′＝
13 2
.∴PM－PO的最大值为
1 2
3
.
例3题解图
类型4 异侧差最大值问题 【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最 大． 【解决思路】将异侧点转化为同侧点，同类型3即可解决．
例4 (2019陕西)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的
＝cos45°＝2
＝A M
2
22
，∴∠AM′N＝90°，∴M′N＝AM′＝2，
2
AN
∵PM－PN＝PM′－PN≤M′N＝2，延长M′N交BD于点P′，连接
例4题图
P′M，∴当点P运动到P′时，即点M′、N、P′共线时，M′N＝P′M′
－P′N＝2，∴PM－PN的最大值为2.
例4题解图
模型二 “一点两线”型(两动点＋一定点)
【问题】点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N， 使得△PMN周长最小． 【解决思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点 之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．
例5 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分 ∠AOB，且OP＝6，则△PMN的周长最小值为( C )
【解析】易证△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE， ∴∠ABF＋∠BAF＝∠ABF＋∠CBE＝60°，∴∠AFB＝ 120°，即∠AFB的度数保持不变．如解图，作△ABF的外 接圆 O，则点F在劣弧A B 上运动．连接OC、OB，OC交 劣弧A B 于点F′ ， 当点F与点F′重合时，CF的长度最 小．易知△OBC是直角三角形，∠OCB＝30°，3∴OB＝2 3
图①
图②
(ii) 当D点在圆上时，d＝r，如图③：当D、E、O三点共线时，线段DE出现
最值， DE的最大值为_d_＋__r_=_2_r_，DE的最小值为_d_－______； r=0
图③
图④
图⑤
(iii) 当点D在⊙O内时，d<r，如图④、⑤：当D、E、O三点共线时，线段DE 出现最值，DE的最大值为_d_＋__r__，DE的最小值为___d_－__r__．
类型一 最值问题
[2017、2016.10，2015.20，2011.22(3)]
一、利用垂线段最短求线段最值
【问题】A为直线m外一点，求点A到直线m的最短距离. 【解决思路】过点A作AP⊥m，此时点A到直线m的距离最短，即AP的长.
例 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点P是边BC上一动点， PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，连接EF，若点M为EF的中点，连接MP， 则PM的最小值是( A )
B小C值＝为A6 B2.AC2＝5，S△ABC＝12
5
AB·AC＝ 1 2
BC·AP，解得AP＝1 2 5
，∴PM的最
例题解图
二、利用“将军饮马”求线段最值
模型一 “一线两点”型(一动点＋两定点) 类型1 异侧线段和最小值问题
【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小． 【解决思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．连接AB 交直线l 于点P，点P即为所求．
点P是斜边AB上的点，过点P作 C的一条切线PQ(点Q是切点)，则线段PQ的
最小值为( A )
A. 2 B.2 C. 3 D. 4
【解析】如解图，连接CP、CQ，∵PQ是 C的切线，∴CQ⊥PQ，
为线段CE的长．∵AB＝4，AE＝2，由等边
三角形性质可知CE⊥AB，∴CE＝AC2AE2
例1题图
例1题解图
＝ 42 22 ＝2.即EF＋CF的最小值为2 3 .
类型2 同侧线段和最小值问题
【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小． 【解决思路】将两定点同侧问题转化为两定点异侧问题，同类型1即可解决．可 作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，点P即为所求．
例6 如图，在平面直角坐标系中，A(－3，－1)，B(－1，－3)，若D是x轴上一 动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值是__6 __2 ____．
例6题图 例6题解图
【解析】如解图，分别作点A关于x轴的对称点E，作点B关于y轴 的对称点F，连接EF交x轴于点D，交y轴于点C，连接AD、BC.在 x轴，y轴上分别任取一点D′，C′，∵AB＋BC′＋C′D′＋AD′≥AB＋ BC＋CD＋AD＝AB＋CF＋CD＋DE＝AB＋EF，当点D，C分别与 D′，C′重合时，AB＋BC＋CD＋AD最小，∵A(－3，－1)，B(－1，
例1 如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E是CD边上一点，将△ADE沿AE 折叠，使点D落在点D′处，连接CD′，则. 13 2 D. 13 2
【解析】如解图，由折叠知，点D′在以点A为圆心，AD为
半径的圆弧上，当点A，D′，C在同一直线上时，CD′有最
例2 如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为( B )
A. 3
B.2 3
C.2 6
D. 6
例2题图
例2题解图
【解析】如解图，易知点B与点D关于AC对称，当点P在AC与BE的交点时，PD＋
PE取得最小值，∵PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE，∵正方形ABCD面积为
中点，点M在BC边上，且BM＝6，P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为
___2_____．
【解析】如解图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB和CB关于对角
线BD对称，作点M关于BD对称的点M′，则点M′在AB上，连接
PM′、M′N，根据对称可得BM′＝BM＝6，又∵AB＝8，∴AC＝
82 82 ＝8 2 ，AM′＝2，AN＝1 AO＝1 ×1 AC＝2，∵cos∠M′AN