四川省成都七中2019-2020学年上学期高2020届高二数学(文科)测试题(解析版)

2019-2020学年四川省成都七中高二（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题）1.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x时只记得x=1，忘记了n的值，但输出v的值为56，则可推断出输入n的值为()A. 9B. 10C. 11D. 无法推断出2.有4本不同的书，平均分给甲、乙2人，则不同的分法种数有()A. 3B. 6C. 12D. 243.某市要对20000多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出1000名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()A. 31.6岁B. 32.6岁C. 33.6岁D. 36.6岁4.大学生小赵计划利用假期进行一次短期职业体验，已知小赵想去某单位体验，单位领导告知每天上班的时间(单位：小时)和工资(单位：元)如下表所示：时间x2358912工资y30406090120140则小赵这段时间每天工资y与每天工作时间x满足的线性回归方程为()A. ŷ=587x+1837B. ŷ=11.4x+5.9C. ŷ=807x+407D. ŷ=8.6x+24.15.对具有线性相关关系的两个变量x，y，测得一组数据如表所示：x24568y 20 m 60 70n根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为y ̂=10.5x +1.5，则m +n =( ) A. 119 B. 120 C. 129 D. 130 6. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x .，则( )A. m e =m 0=x .B. m e =m 0<x .C. m e <m 0<x .D. m 0<m e <x .7. 在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的四位数中，大于3145且小于4231的数共有( ) A. 27个 B. 28个 C. 29个 D. 30个 8. 如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有( ) A. 192 B. 336 C. 600D. 以上答案均不对二、填空题（本大题共4小题）9. 如果执行如图所示的程序框图，输入正整数n =7，m =3，那么输出的p 等于______10. 某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数是______．11. 把半椭圆x 24+y 23=1(x ≥0)与圆弧(x −1)2+y 2=4(x <0)合成的曲线称作“曲圆”，其中F 为半椭圆的右焦点，A 是圆弧(x −1)2+y 2=4(x <0)与x 轴的交点，过点F 的直线交“曲圆”于P ，Q 两点，则△APQ 的周长取值范围为______12. 4名大学生毕业到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是______ 三、解答题（本大题共3小题）13. 从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标，由测质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125)频数62638228(2)估计这种产品质量指标值的平均数、中位数(保留2位小数)；(3)根据以上抽样调査数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？14. 为了分析某个高三学生的学习状态．现对他前5次考试的数学成绩x ，物理成绩y进行分析．下面是该生前5次考试的成绩．数学 120 118 116 122 124 物理 7979778283 附b =∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2,a ̂=y −−b x −．R 2=1−∑(n i=1y i −y i )2∑(n i=1y i −y −)2．(1)已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，求物理成绩y 与数学成绩x的回归直线方程；(2)我们常用R 2来刻画回归的效果，其中R 2越接近于1，表示回归效果越好．求R 2． (3)已知第6次考试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少？15.如图，椭圆C1：x23+y22=1，抛物线C2：y2=2px(p>0)，过C2上一点P(异于原点O)作C2的切线l交C1于A，B 两点，切线l交x轴于点Q．(1)若点P的横坐标为1，且|1|AQ|−1|BQ||=12，求p的值．(2)求△OAB的面积的最大值，并求证当△OAB面积取最大值时，对任意的p>0，直线l均与一个定椭圆相切．答案和解析1.【答案】C【解析】解：初始值为n，x=1，模拟程序运行过程如下；v=1，i=n−1满足条件i≥0，v=1×1+n−1=n，i=n−2满足条件i≥0，v=n×1+n−2=2n−2，i=n−3满足条件i≥0，v=(2n−2)×1+n−3=3n−5，i=n−4…满足条件i≥0，v=1+(n−1)+(n−2)+(n−3)+⋯+2+1=n(n−1)2+1，i=0满足条件i≥0，v=(n(n−1)2+1)×1+0=n(n−1)2+1，i=−1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为n(n−1)2+1=56，即n(n−1)=110，解得n=11．故选：C．由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=−1时，不满足条件i≥0时跳出循环，输出v的值，由此列方程求出n的值．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，正确依次写出每次循环得到的i，v值是解题的关键，是中档题．2.【答案】B【解析】解：根据题意，将4本不同的书，平均分给甲、乙2人，每人得2本，分2步进行分析：①，在4本书中任选2本，分给甲，有C42=6种情况，②，剩下的2本送给乙，有1种情况，则有6种不同的分法；故选：B．根据题意，分2步进行分析：①，在4本书中任选2本，分给甲，②，剩下的2本送给乙，由分步计数原理计算可得答案．本题考查分步计数原理的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图，得：司机年龄在[25,30)的频率为：1−(0.01+0.07+0.06+0.02)×5=0.2，∴司机年龄在[25,30)的频率为：0.01×5+0.2=0.25，司机年龄在[30,35)的频率为：0.07×5=0.35，∴估计该市出租车司机年龄的中位数大约是：30+0.5−0.250.35×5≈33.6岁．故选：C．由频率分布直方图，求出司机年龄在[25,30)的频率为0.2，司机年龄在[25,30)的频率为：0.01×5+0.2=0.25，司机年龄在[30,35)的频率为：0.07×5=0.35，由此能求出估计该市出租车司机年龄的中位数．本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：x −=16(2+3+5+8+9+12)=6.5，y −=16(30+40+60+90+120+140)=80．b ̂=∑x i 6i=1y i −6x −y−∑x i 26i=1−6x−2=2×30+3×40+5×60+8×90+9×120+12×140−6×6.5×8022+32+52+82+92+122−6×6.52=11.4，a ̂=y −−b ̂x −=80−11.4×6.5=5.9．∴小赵这段时间每天工资y 与每天工作时间x 满足的线性回归方程为y ̂=11.4x +5.9． 故选：B ．由已知表格中的数据求得b ^与a ^的值，则线性回归方程可求． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 5.【答案】B【解析】解：∵x −=15(2+4+5+6+8)=5，y −=15(20+m +60+70+n)=150+m+n5，∴样本点的中心的坐标为(5,150+m+n5)，代入线性回归方程，得150+m+n5=10.5×5+1.5，解得m +n =120．故选：B ．由已知表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解m +n 的值． 本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题． 6.【答案】D【解析】解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数m e =5.5， 得分为5的最多，故众数m 0=5， 其平均数x .=2×3+3×4+10×5+6×6+5×7+2×8+2×9+2×1030≈5.97；则有m 0<m e <x .， 故选：D ．根据题意，由统计图依次计算数据的中位数、众数、平均数，比较即可得答案．本题考查数据的平均数、中位数、众数的计算，关键是由统计图分析得到平均数、中位数、众数． 7.【答案】A【解析】解：根据题意，分2种情况， ①，四位数的千位数字为3，其百位数字为1时，有3154符合条件，其百位数字可以为2、4、5时，有3种情况，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有A 32=6种情况， 此时有1+3×6=19个符合条件的四位数； ②，四位数的千位数字为4，其百位数字为1时，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有A 32=6种情况，其百位数字为2时，只有4213、4215符合条件，此时有6+2=8个符合条件的四位数；则有19+8=27个符合条件的四位数；故选：A．根据题意，按四位数的千位数字不同分2种情况讨论：求出每种情况下四位数的个数，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：E，F，G分别有4，3，2种方法，①当A与F相同时，A有1种方法，此时B有2种，(1)C若与F相同有C有1种方法，同时D有3种方法，(2)若C与F不同，则此时D有2种方法，故此时共有：4×3×2×1×2×(1×3+1×2)=240种方法；②当A与G相同时，A有1种方法，此时B有3种方法，(1)若C与F相同，C有1种方法，同时D有2种方法，(2)若C与F不同，则D有1种方法，故此时共有：4×3×2×1×3×(1×2+1×1)=216种方法；③当A既不同于F又不同于G时，A有1种方法，(1)若B与F相同，则C必须与A相同，同时D有2种方法；(2)若B不同于F，则B有1种方法，(Ⅰ)若C与F相同则C有1种方法同时D有2种方法；(Ⅱ)若C与F不同则必与A相同，C有1种方法，同时D有2种方法；故此时共有：4×3×2×1×[1×1×2+1×(1×2+1×2)]=144种方法；综上共有240+216+144=600种方法．故选：C．根据题意，结合计数原理，先排E，F，G，然后根据A，B，C，D的情况讨论．本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏．本题属于难题．9.【答案】210【解析】解：模拟程序的运行，可得n=7，m=3，k=1，p=1p=5，满足条件k<3，执行循环体，k=2，p=30满足条件k<3，执行循环体，k=3，p=210不满足条件k<3，退出循环，输出p的值为210．故答案为：210．讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足k<3，退出循环，从而求出p的值，解题的关键是弄清循环次数．本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．10.【答案】46【解析】解：由茎叶图得：=46．该样本的中位数是：45+472故答案为：46．由茎叶图和中位数的性质能求出该样本的中位数．本题考查中位数的求法，考查茎叶图和中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】(6,8]【解析】解：显然直线PQ的斜率不能为0，设直线PQ的倾斜角为θ，θ∈(0,π)，由半椭圆方程为x24+y23=1(x≥0)可得F(1,0)，圆弧方程为：(x−1)2+y2=4(x<0)的圆心为(1,0)，半径为2，且A(−1,0)恰为椭圆的左焦点，|PA|+|PF|=2a=4，与y轴的两个交点为B(0,−√3)，C(0,√3)，当直线PQ经过B时，k PQ=tanθ=√3，即有θ=π3；当直线PQ经过C时，k PQ=tanθ=−√3，即有θ=2π3．①当θ∈(0,π3)时，Q、P分别在圆弧：(x−1)2+y2=4(x<0)、半椭圆x24+y23=1(x≥0)上，△AFQ为腰为2的等腰三角形，则|AQ|=2|QF|sinθ2=4sinθ2，△APQ的周长L=|QA|+|QF|+|PF|+|AP|=4sinθ2+2+4=6+4sinθ2∈(6,8)；②当θ∈(2π3,π)时，P、Q分别在圆弧：(x−1)2+y2=4(x<0)、半椭圆x24+y23=1(x≥0)上，△APF为腰为2的等腰三角形，且|AP|=2|FP|sin(90°−θ2)=4cosθ2，△APQ的周长L=|QA|+|QF|+|PF|+|AP|=4+2+|AP|=6+4cosθ2∈(6,8)；③当θ∈[π3,2π3]时，P、Q在半椭圆x24+y23=1(x≥0)上，△APQ的周长L=|QA|+|QF|+|PF|+|AP|=4×2=8．综上可得，△APQ的周长取值范围为(6,8]．故答案为：(6,8]．首先判断直线PQ的斜率不能为0，设直线PQ的倾斜角为θ，θ∈(0,π)，求得F，A的坐标，以及圆的圆心和半径，求得直线PQ经过圆与y轴的交点B，C的倾斜角，分别讨论①当θ∈(0,π3)时，②当θ∈2π3，π)时，③当θ∈[π3,2π3]时，P，Q的位置，结合椭圆的定义和圆的定义和等腰三角形的性质，可得△APQ的周长的范围．本题是圆与椭圆的综合问题，考查椭圆和圆的定义和性质，以及直线的倾斜角的范围，考查分类讨论思想和数形结合思想，化简运算能力，属于中档题．12.【答案】60【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①，4名大学生中录用3人，有A43=4×3×2=24种录取情况；②，4名大学生全部录用，有C42A33=6×6=36种录取情况，则有24+36=60种录用种数；故答案为：60．根据题意，分2种情况讨论：①，4名大学生中录用3人，②，4名大学生全部录用，由加法原理计算可得答案．本题考查分步计数原理的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．13.质量指标值[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)分组频数 6 26 38 22 8频率0.060.260.380.220.08由频率分布表作出这些数据的频率分布直方图为：(2)质量指标值的样本平均数为：x.=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100，∵[75,95)内频率为：0.06+0.26=0.32，∴中位数位于[95,105)内，×10≈99.74，设中位数为x，则x=95+0.5−0.26−0.060.38∴中位数为99.74．(3)质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68．由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%的规定．【解析】(1)由已知作出频率分布表，由此能作出作出这些数据的频率分布直方图．(2)由频率分布直方图能求出质量指标值的样本平均数、中位数位．(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值．由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%的规定．本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、众数、中位数、方差的求法，考查产品质量指标所占比重的估计值的计算与应用．×(120+118+116+122+124)=120，14.【答案】解：(1)计算x−=15y −=15×(79+79+77+82+83)=80；b ̂=∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)∑(5i=1x i −x −)2=0×(−1)+(−2)×(−1)+(−4)×(−3)+2×2+4×3(−1)2+(−1)2+(−3)2+22+32=34； a ̂=y −−b ̂x −=80−34×120=−10，所以y 关于x 的线性回归方程是y ̂=34x −10；计算相关系数R 2=1−∑(n i=1y i −y i )2∑(n i=1y i −y −)2=1−(−1)2+0.52+0+0.52+0(−1)2+(−1)2+(−3)2+22+32=1−116=1516=0.9375；所以R 2接近于1，表示回归效果越好；(3)第6次考试该生的数学成绩达到132，计算y ̂=34x −10=34×132−10=89，预测他的物理成绩为89分．【解析】(1)计算x −、y −，求出回归系数b ^、a ^，写出回归方程； (2)利用回归方程计算y 对应的y ^值，求出相关系数R 2的值； (3)利用回归方程计算x =132时y ^的值即可．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也看出来相关系数的应用问题，是中档题． 15.【答案】解：(1)点P(1,±√2p)，由对称性不妨设P(1,√2p)． 于是l ：√2py =px +p ，于是Q(−1,0).所以点Q 是C 1的左焦点． 设∠AQO =α.焦准距为m =2．类比抛物线的焦半径算法可得|AQ|=m 1e−cosα,|BQ|=m1e+cosα．于是|1|AQ|−1|BQ||=2cosαm=cosα=12，于是2p =√3，所以p =6．(2)设P(x 0,y 0).于是l ：y 0y =px +px 0． 于是Q(−x 0,0).令t =y 0p ，则l ：x =ty −x 0．联立{x 23+y 22=1x =ty −x 0⇒(2t 2+3)y 2−4x 0ty +2x 02−6=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).△=24(2t 2−x 02+3)． S △OAB =12|OQ||y 1−y 2|=12|x 0|√△2t +3=√6√x 02(2t 2−x 02+3)2t +3≤√6x 02+(2t 2−x 02+3)22t +3=√62． 当且仅当x 02=2t 2+32取等，且满足△>0.所以△OAB 的面积的最大值为√62．注意到x 02=2t 2+32即为2t 2+3−2x 02=0.这个等式类似于△=12(2t 2−2x 02+3)； 于是猜想椭圆x 23+y 22=12.联立{x 23+y 22=12x =ty −x 0得：(2t2+3)y2−4tx0y+2x02−3=0；△=16t2x02−4(2t2+)(2x02−3)=12(2t2−2x02+3)=0；故当△OAB面积取最大值时，直线l均与一个定椭圆x23+y22=12相切．【解析】(1)不妨设P(1,√2p).计算出AQ，BQ的长度代入条件计算出p值；(2)设P(x0,y0)则Q(−x0,0).令t=y0p，则l：x=ty−x0.表示出△OAB的面积，求出其最大值，验证直线l与椭圆x23+y22=12.相切；本题考查圆锥曲线的切线，直线与圆锥曲线的位置关系，三角形面积的最值，均值不等式求最值，属于难题．。