工程力学第三单元

x
y
2
2
(
0)2



x

y
2
2


2 x
(c)
1
这是一个以正应力σ、切应力τ为坐标的圆的方程，
其圆心坐标为


x
2

y
2

2 x


x
2
，y 半, 0径为

x

y
2来自百度文库
2

。x2
圆上任意一点的纵、

横坐标分别代表单元体相

应截面上的切应力和正应 O
C
力，此圆称为应力圆或莫 尔(O.Mohr)圆。
x y 2
图 13−4
2
对于图示的平面应力状态单元体，作出相应的 应力圆，并求斜截面上的正应力和切应力。
(a)
图示单元体的应力圆可按如下方法作出：
1)在σ-τ坐标系 的平面内，由单元体x截面上的应力x,x按某一比
200
C′
300 200
DO
1
σ
28º x
3
62°
单位：
C 0 100kPa
kPa
(a)
(b)
(c)
解：首先选定坐标系的比例尺，由坐标(200,-300)和(-
200,300)分别确定C和C'点(图b）。然后以CC'为直径画圆，即
得相应的应力圆。从应力圆量得主应力及方位角，并画出主应
力的应力状态如图。
1 360 kPa ,
3 360 kPa ,
1 28 ,
max 360 kPa
11
(1) 若 x＞ y ，则有 |0max|＜45°
(2) 若 x＜ y ，则有 |0max|＞45°
(3) 若 x = y ，则有
0 max

45 45
( x ( x
0) 0)
(13−7)
10
例题13−4 试用图解法求解图示应力状态单元体的主
应力。
τ
例尺定出点D1；
2)由单元体y截面上的应力y,y(取y = -x)定出点D2； 3)然后连接D1和D2，与 轴的交点为C；
4)以C为圆心，以 CD1 或CD2 为半径可作出应力圆(图b)。

D1 x , x

O
C
D2 y , y
(b)
4
利用应力圆求 斜截面(图a)上的应力，
8
几种对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元 体某一方向截面上的正应力和切应力； 转向对应——应力圆上半径旋转方向与截面法线旋 转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角 度的两倍。
前面提到的通过解析法可以求得的两个α0，哪个 是σmax作用面的方位角，那个 是σmin作用面的方位角，可以从 应力圆中通过观察给出。
CD1 sin 20 cos 2 CD1 cos 20 sin 2

x
cos 2


x

2
y
sin
2

7
α
A
B
τ
b
2 a
σ
O
C
当单元体内截面A和B的夹角为 时，应力圆上相 应点a和b所夹的圆心角则为2 ，且二角之转向相同。
因此，单元体上两个相互垂直的截面在应力圆上的对 应点所夹圆心角为180˚，即它们必位于同一直径的两 端。
时，只需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的
点D1所对应的半径CD1按方位角的转向转动2a
角，得到半径CE，那么圆周上E点的坐标便代表
了单元体斜截面上的应力。
5
现在我们来证明一下上 述确定斜截面应力 的方法是否正确。
E点横坐标：
OF OC CF OC CE cos20 2
OC CE cos20 cos2 CE sin 20 sin 2
OC CD1 cos20 cos2 CD1 sin 20 sin 2

x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2

6
E点纵坐标：
EF CE sin20 2
第三单元 应 力 圆
对于平面应力状态也可以利用图解法进行分析。
一、应力圆
将平面应力状态下斜截面上的应力改写成如下形式：
σα
σx
σy 2

σx
σy 2
cos 2α τ x sin 2α
(a)
τα
0

σx
2
σy
sin
2α

τx
cos 2α
(b)
将以上二式各自平方后再相加可得：