数学建模中的图论方法

数学建模中的图论方法----图论的基础知识
哈密尔顿回路，起源于一个名叫“周游世界”的游戏， 它是由英国数学家哈密尔顿（Hamilton）于1859年提出的。 他用一个正十二面体的20个顶点代表20个大城市（图 (a)），这个正十二面体同构于一个平面图（图(b)）。要 求沿着正十二面体的棱，从一个城市出发，经过每个城市 恰好一次，然后回到出发点。这个游戏曾风靡一时，它有 若干个解。图(b)给出了一个解。
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
c
d
如左图是某街道图形。洒水车从A点出发执行洒水任务。 试问是否存在一条洒水路线，使洒水车通过所有街道且不 重复而最后回到车库B？ （蚂蚁比赛问题）如右图所示，甲、乙两只蚂蚁分别位于 结点 a , b处，并设图中的边长度相等。甲、乙进行比赛： 从它们所在的结点出发，走过图中的所有边最后到达结 点e处。如果他们的速度相同，问谁先到达目的地？
a b d c
f
图18
e
数学建模中的图论方法----综合例题 例3 某中学有3个课外小组：英语组(A)、物理组(B)和生物组(C)， 有5名学生a, b, c, d, e， (1)已知a, b为A组成员，a, c, d为B组成员，c, d, e为C组成员； (2)已知a为A组成员，b, c, d为B组成员，b, c, d, e为C组成员； (3)已知a为A组成员，a又为B组成员，b, c, d, e为C组成员． 问在以上三种情况下，能否各选出3名不兼职的组长？ 解： 根据三种已知情况，分别画出二部图，如图所示． 记 V1 A, B, C ,V2 a, b, c, d , e ，
v1 v2 v1 v2
v1 v2 v1 v2
v3
v4
v3
v4
v3
v4
v3
v4
v5 (a)
v6
v5 (b)
v6 v5
(c)
v6
v5 (d)
v6
数学建模中的图论方法----图论的基础知识
如果图G中具有一条经过所有边的简单回路,称欧拉回 路,含欧拉回路的图称为欧拉图；如果图G中具有一条经过 所有边的简单(非回路)路径,称欧拉路。 定理:(1)连通无向图G是欧拉图的充要条件是G的每个结点 均为偶结点; (2) 连通无向图G含有欧拉路的充要条件是G恰有两 个奇结点,且欧拉路必始于一个奇结点而终止于另一个奇 结点.
数学建模中的图论方法----图论的基础知识
设无向图G V , E ，如果存在V 的一个分划 V1,V2 ，使 得G的每一条边的两个端点分属V1和V2，则称G为二部图(或 偶图)。V1 和V2称为互补结点子集，此时可将G记为V1, E,V2 。 设G V1, E,V2 是二部图，若M E ，且M中任何两条边 均不相邻，则称M是G的一个匹配；具有最大边数的匹配称 为最大匹配；若最大匹配M满足 M min V1 , V2 ，则称M是G 的一个完备匹配，此时若 V1 V2 ，则称M为V1到V2的一个 完备匹配；若 V1 V2 M ，则称M是G的一个完美匹配．
数学建模中的图论方法----引言
图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧 拉于1736年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。在哥尼斯堡有 七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸连结起来（如 图）。问题是：要从这四块陆地中的任何一块开始通过每 一座桥正好一次，再回到起点。
问题转化为：从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
数学建模中的图论方法----综合例题
例1 证明任意六个人的集会上，总会有三人互相认识或 者不认识． 证明 设六个结点为 vi i 1, 2,,6 。从 v1引出的边有五条， 而颜色只有红蓝两种，由抽屉原理，至少有三条边同色， v1, v2 , v1, v3 , v1, v4 不失一般性，假定有三条边 为红色。
min ( P ) , d ( u, v ) ，
P为u, v间的路径 当u到v不可达
问题：在加权的简单连通无向图G(V,E,W)中，求一结点 a(源点)到其它结点x的距离——称单源问题。 v Dijkstra算法的基本思想是：若v1v2 vn是从 1 到vn的最短 路径，则也必然是从v1到vn 1 的最短路径。
数学建模中的图论方法----综合例题
例2 出席某次国际学术会议的有六个成员a, b, c, d, e, f，其中：a会讲汉语、法语和日语；b会讲德语、日语和 俄语；c会讲英语和法语；d会讲汉语和西班牙语；e会讲 英语和德语；f会讲俄语和西班牙语．如将此六人分成两 组，是否会发生同一组内的任意两人不能互相直接交谈的 情况？ 解 用结点表示成员，两成员间如有共同语言，则用边相 连，可得下图．由于图中的回路长度均为偶数，故此图为 V 二部图．设 V1 a, c, f ，2 b, d , e，当六位代表如此分组时， 则同一组内的任意两个人都不能直接交谈．
数学建模中的图论方法----图论中的几个实用算法
2．求最小生成树的Kruskal算法
筑路选线问题：欲修筑连接n个城市的铁路，已知i城 与j城之间的铁路造价为Cij ，设计一个线路图，使总造价 最低。 数学模型：在一个连通加权图上求权最小的连通生成 子图，显然，即求权最小的生成树，称最小生成树。 Kruskal算法（避圈法）1956年 设G为由n个顶点、m条边构成的加权连通图。先将G中 所有的边按权的大小次序进行排列，不妨 设 e1 e2 em ， ⅰ k 1, A ； ⅱ 若 A e 导出的子图不含回路，则 A A e； ⅲ 若A中已有n-1条边，则stop；否则 k k 1 ，转ⅱ。
数学建模中的图论方法
湖南文理学院 张莉茜
数学建模中的图论方法
1. 引言
2. 图论的基础知识 3. 综合例题 4. 图论的几个实用算法 5. 其他问题
数学建模中的图论方法----引言
1. 引言 图论是离散数学的重要组成部分，它对于自然科学、 工程技术、经济管理和社会现象等诸多问题，能够提供有 力的数学模型加以解决，特别在国内外大学生数学建模竞 赛当中，有不少问题可以应用图论模型解决。我们在此有 针对性地把图论的骨干概念和结论以及相关的有效算法做 一简要介绍，愿听者增强图论建模的意识和能力。
数学建模中的图论方法----图论的基础知识
2.图的基础知识
图G是由非空结点集 V v1, v2 ,vn 以及边集 E e1, e2 ,em 所 组成，记作 G V , E 。它的结点数称为阶。 根据边有无方向，图分为有向图和无向图。有向图的边去掉方 向后所得的图称为原有向图的基础图(或底图)。 没有自环或多重边的图称简单图。 有些实际问题抽象出来的图，边上往往带有信息，在边上附加 一些数字来刻划此边，称权，此时该图称加权图。 无向图中与结点v相关联的边数称为v的度数，记 deg v ，有 向图中以v为起点或终点的边数分别称为v的出度和入度， 记 deg v ,deg v 。 握手定理：（1）无向图中所有结点的度数之和等于边数的两倍。 （2）有向图中所有结点的出度(入度)之和等于边数。 推论：任何图的奇结点必为偶数个。 例如，一群人中，有奇数个朋友的人必为偶数个。
2 15 17 18 11 10 6 7
16 1 20
14 13 12 3 4 5
19 9
（a）
8
（b）
E e1 , e2 ,, em
数学建模中的图论方法----图论的基础知识
如果图G中具有一条经过所有结点的基本回路（称哈 密尔顿回路），则称为哈密尔顿图。
虽然哈密尔顿图判定问题与欧拉图判定问题同样有意 义，但遗憾的是至今为止还没有找到一个判别它的充分必 要条件，这是图论中尚未解决的主要问题之一。
如果G是一个加权连通图，我们希望找一棵权之和最 小的生成树，称为最小生成树。
数学建模中的图论方法----图论的基础知识
例 设有6个城市，它们之间有输油管道连通，其布置图 如图(a)所示．战争期间，为了保卫油管不被破坏，需派 部队看守，看守一段油管需一连士兵．为保证各城市间输 油畅通，最少需派几连士兵？他们应驻于那些油管处？ 解：此问题即为寻找图(a)的生成树问题． 由图知，结点数为6，故其生成树的边数为5，即最少需派 5连士兵看守．其看守地段可见图(b)、(c)、(d)所画之线 段．
数学建模中的图论方法----图论的基础知识
如果简单无向图的任两个结点均邻接，称之为完全图， n 1 Kn n阶完全图记为 ，它的每个结点的度数等于 ,边数等 n n 1 2 于 。 Cn
2
一个边的序列(或点的序列)称路径，封闭的路径称回 路。边不重复的路径称简单路径，点不重复的路径称基本 路径。路径所含边的条数称为路径的长度。 如果存在从结点u到v的路径，则称从u到v可达。如果 u到v可达，则从u到v的路径中长度最短的路径称为短程线 （或测地线），它的长度称为从u到v的距离,记为d u, v； 如果u到v不可达，则记 d u, v 。 如果无向图G的任两个结点都可达，则称G为连通图。
数学建模中的图论方法----图论的基础知识
设n阶图 G V , E 的结点集 V v1, v2 ,vn ，则n阶 方阵 A aij nn 称为G的邻接矩阵，其中 aij 表示以vi 为 起点、 v j 为终点的边的数目。 一个图的邻接矩阵完整地刻划了图中各结点间的邻 接关系。 如图1，它们的邻接矩阵分别为：
0 2 A(G1 ) 0 1 v
1
2 0 2 1
0 2 0 1
1 1 1 1
0 1 A(G 2 ) 0 v1 0
，
1 0 0 0
1 1 1 1
0 0 1 0
·
v4
v2 v4
v2
v3
G1
v3 G2
·
数学建模中的图论方法----图论的基础知识
连通无回路图称为树。每个连通分支都是树的无向图 称为森林． 定理：若树的结点数为n，边数为m，则m=n-1。
在结点数确定的情况下，树是连通图中边数最少的图， 也是无回路图中边数最多的图．
，
每个连通图G至少有一个生成子图是一棵树，称之为G 的生成树。显然每个连通图都有生成树，而一般来说生成 树不唯一(而边数是确定的)。
数学建模中的图论方法----综合例题
3.综合例题 例1 证明任意六个人的集会上，总会有三人互相认识或 者不认识． 证明 这是1947年匈牙利数学竞赛出的一道试题，因为它 很有趣且很重要，后来曾收录到《美国数学月刊》及其它 数学刊物上。这类问题可以转化为图论中的完全图染色问 题．
把参加集会的人看作结点，作一个完全图，如果两个 人认识，则两结点间的连线涂上红色，否则涂上蓝色．问 题转化为：无论怎样涂色，总可以找到红或蓝．
数学建模中的图论方法----引言
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔 画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与 偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得 到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问 题，而且开创了图论研究的先河。
注：图论中的“图”并不是通常意义下的几何图形 或物体的形状图，而是以一种抽象的形式来表达一些确定 的事物及其关系的一个数学系统。
数学建模中的图论方法----图论的基础知识
图1的所有结点均为偶结点，故为欧拉图，一条欧拉回路 abcdefcebfa 。 为： bcdeabe。 图2有2个奇结点，故不是欧拉图，但有欧拉路：
a a b f b e
c
e c d
d
（1）
（2）
数学建模中的图论方法----图论的基础知识
a D E b C G F e
（1）如果结点v2 , v3 , v4之间至少有一条红边，比如 v2 , v3 是 红边，则得到红色的三角形 v1v2v3； （2）如果结点v2 , v3 , v4之间的边全是蓝色的，则得到蓝色 的三角形 v2v3v4。 关于问题中的结点数，对任何n 6 ，命题都成立．但 当n 5 时，命题便不成立了。这说明：不同的六个点是保 证用两色涂染其边，存在同色三角形的最少点数。
A B C A
B
C
A
B
C
a
b G1
c
d
e
a
b
c G2
d
e
a
b
c G3
d
e
数学建模中的图论方法----图论中的几个实用算法
4.图论中的几个实用算法
1．加权图中的最短路径的Dijkstra算法
最短路径问题：给定连接若干城市的铁路网，寻找从 指定城市到各城市去的最短路线。 数学模型：设 G V , E,W 是一个加权图，边 u, v 的权 记为 u, v ，路径P的长度定义为路径中边的权之和，记 为 P。两结点u和v之间的距离定义为