高考数学《数列》专题 数列求和学案

第5课时 数列求和 求数列的前n 项和，一般有下列几种方法：

1．等差数列的前n 项和公式：

S n ＝ ＝ ．

2．等比数列的前n 项和公式：

① 当q ＝1时，S n ＝ ．

② 当q≠1时，S n ＝ ．

3．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．

4．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．

5．裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．

例1. 已知数列：1，⎪⎭⎫ ⎝⎛+211，⎪⎭⎫ ⎝⎛++41211，⎪⎭⎫ ⎝⎛+++8141211，…，⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++-12141211n ，求它的前n 项的和S n ．

解：∵ a n ＝1＋21＋

41＋……＋121-n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--n n 21122

1121

1 ∴a n ＝2－121-n 则原数列可以表示为：

(2－1)，⎪⎭⎫ ⎝⎛-212，⎪⎭⎫ ⎝⎛-2212，⎪⎭⎫ ⎝⎛-3212，…⎪⎭⎫ ⎝⎛--1212n 前n 项和S n ＝(2－1)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-212＋⎪⎭

⎫ ⎝⎛-2212＋…＋⎪⎭⎫ ⎝⎛--1

212n ＝2n －⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++-122121211n ＝2n －21121

1--

n ＝2n －2⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 211 ＝121

-n ＋2n －2

变式训练1.数列 ,16

14,813,412,21

1前n 项的和为 （ ） 典型例题

基础过关

A ．2212n n n ++

B ．12212+++-n n n

C ．2212n n n ++-

D ． 22

121n n n -+-+ 答案:B 。解析：2111(1)11234122222n n n

n n S n +=+++++++=+- 例2. 求S n ＝1＋

211+＋3211++＋…＋n ++++...3211． 解：∵ a n ＝

n ++++ 3211＝)1(2+n n ＝2(n 1－1

1+n ) ∴ S n ＝2(1－21

＋21－31＋…＋n 1－11+n )＝1

2+n n 变式训练2：数列{a n }的通项公式是a n ＝

11++n n ，若前n 项之和为10，则项数n 为（ ） A ．11 B ．99

C ．120

D ．121

解：C .a n ＝11

++n n ＝n n -+1，

∴S n ＝11-+n ，由11-+n ＝10，∴1+n ＝11，

∴n＝11

例3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝)()21(

*2N n a n ∈+，b n ＝a n ·2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．

解：取n ＝1，则a 1＝21)21(

+a ⇒a 1＝1 又S n ＝2)(1n a a n +可得：2

)(1n a a n +＝2)21(+n a ∵a n ≠－1(n∈N *) ∴a n ＝2n －1

∴T n ＝1·2＋3·22＋5·23＋……＋(2n －1)·2

n ① 2T n ＝1·22＋3·23＋5·24＋……＋(2n －1)·2

n ＋1② ①－②得：

∴－T n ＝2＋23＋24＋25＋……＋2n ＋1－(2n －1)·2n ＋1

＝2＋2

1)21(213---n －(2n －1)·2n ＋1＝－6＋(1－n)·2n ＋2 ∴T n ＝6＋(n －1)·2n ＋2

变式训练3.设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1.

⑴ 求数列{a n }和{b n }通项公式．

⑵ 设C n ＝n

n b a ，求数列{C n }前n 项和T n ． 解：（1）当n ＝1时a 1＝S 1＝2，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －2，故{a n }通项公式为a n ＝4n －2，即{a n }是a 1＝2，d ＝4的等差数列，设{b n }的公比为q ，则b 1qd ＝b 1，d ＝4，∴ q＝41，故b n ＝b 1q n －1＝142

-n

（2）∵C n ＝n n b a ＝14)12(1

4224--=--n n n n ∴T n ＝C 1＋C 2＋…＋C n ＝1＋3×4＋5×42＋…＋（2n －1）4

n －1 ∴4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋（2n －3）4

n －n ＋（2n －1）4n

两式相减 3T n ＝]54)56[(3

1+-n n ∴ T n ＝]54)56[(91+-n n ．

例4. 求S n ＝1!＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！．

解： a n ＝n·n!＝(n ＋1)!－n!

∴ S n ＝(n ＋1)!－1!＝(n ＋1)!－1 变式训练4.以数列{a n }的任意相邻两项为坐标的点P n (a n 、a n ＋1)均在一次函数y ＝2x ＋k 的图象上，数列{b n }满足条件：b n ＝a n ＋1－a n ，且b 1≠0．

⑴ 求证：数列{b n }为等比数列．

⑵ 设数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若S 6＝T 4，S 5＝－9，求k 的值．

解：⑴由题意，a n ＋1＝2a n ＋k

∴ b n ＝a n ＋1－a n ＝2a n ＋k －a n ＝a n ＋k

b n ＋1＝a n ＋1＋k ＝2a n ＋2k ＝2b n

∵ b 1≠0，∴ n

n b b 1+＝2 ∴ {b n }是公比为2的等比数列．

⑵ 由⑴知a n ＝b n －k

∵ b n ＝b 1·2n －1 ∴ T n ＝)12(2

1)21(11-=--n n b b S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(b 1＋b 2＋…＋b n )－nk

＝T n －nk ＝b 1(2n

－1)－nk

∵ ⎩⎨⎧-==9546S T S ∴ ⎩⎨⎧-=-=-953115663111k b b k b 归纳小结