九年级数学上册-圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径导学案新版新人教版

24.1.2垂直于弦的直径

——垂径定理及其推论

一、新课导入

1.导入课题：圆是轴对称图形吗？这节课我们从圆的轴对称性出发探究圆的相关性质.(板书课题)

2.学习目标：

(1)能通过折纸探究圆的轴对称性,能证明圆是轴对称图形.

(2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.

(3)能利用垂径定理解决相应问题.

3.学习重、难点：

重点：圆的轴对称性、垂径定理及其推论.

难点：利用垂径定理进行计算或证明.

二、分层学习

1.自学指导：

(1)自学内容：教材第81页“探究”——圆的轴对称性.

(2)自学时间：2分钟.

(3)自学方法：完成探究提纲.

(4)探究参考提纲：

①操作：用纸剪一个圆形纸片,沿着圆的任意一条直径所在直线对折,重复几次.

a. 通过上面的折纸,圆是轴对称图形吗？有几条对称轴？

是轴对称图形,有无数条对称轴.

b. “圆的任意一条直径都是它的对称轴”这种说法对吗？若不对,应该怎样说？

不对,应该说圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.

②猜想：圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

③证明：怎样证明圆是轴对称图形呢？

a. 要证圆是轴对称图形,只需证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上.

b. 怎样证明两点关于已知直线对称？

两点的连线被已知直线垂直平分.

c. 如图,设CD是⊙O的任意一条直径,A为⊙O上异于点C,D的任意一点,过A作AA′⊥CD,垂足为M.交⊙O于点A′,下面只需证明A′是点A关于直线CD的对称点.

如图,连接OA,OA′.

在△OAA′中,∵OA=OA′,

∴△OAA′是等腰三角形.

又AA′⊥CD,

∴AM=MA′.

即CD是AA′的垂直平分线.

∴点A′、A关于直径所在的直线对称

即圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

2.自学：学生可结合探究提纲,相互研讨学习.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：关注证明过程的逻辑性与规范性.

②差异指导：指导学生探究证明思路.

(2)生助生：小组内相互交流、研讨.

4.强化：

(1)圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

(2)要证某图形是轴对称图形,只需证明该图形上任意一点关于对称轴的对称点也在这个图形上.

1.自学指导：

(1)自学内容：教材第82页例2之前的部分.

(2)自学时间：8分钟.

(3)自学方法：完成探究提纲.

(4)探究参考提纲：

①垂径定理：

b.归纳：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

②垂径定理的推论：

b. 反例：当弦AA′为直径时,结论还成立吗？为什么？

不成立,因为任意两条直径都互相平分,但不一定垂直.

c. 限定：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

2.自学：学生可结合自学指导相互研讨学习.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：了解学生由数学现象概括数学结论时出现的困惑和错误.

②差异指导：依据学情进行个别指导或分类指导.

(2)生助生：小组内相互交流研讨、订正结论.

4.强化:

(1)从图形、文字和式子三个方面对垂径定理及其推论进行解读.

(2)垂径定理的条件：过圆心,垂直于弦；结论：平分弦,平分弦所对的两条弧.

1.自学指导：

(1)自学内容：教材第83页“练习”第1题.

(2)自学时间：4分钟.

(3)自学方法：完成探究提纲.

(4)探究提纲：

①线段OE满足垂径定理的题设条件：条件1：AB是弦；条件2：OE⊥AB.

②依据垂径定理得, AE=12AB=BE.

③要求⊙O的半径,只需连接OA,在Rt△AOE中,由勾股定理,

就可求得⊙O的半径为5.

④给出你的解答过程：

2.自学:同学们可结合自学指导进行自学.

3.助学:

(1)师助生：

①明了学情：观察学生是否会构造直角三角形,书写过程是否规范.

②差异指导：从解题思路的探究、辅助线的添加和解题过程的书写等方面给予指导.

(2)生助生：生生互动交流、研讨、订正.

4.强化:

(1)常规辅助线：过圆心作弦的垂线段.

(2)设圆的半径为r,弦长为a,圆心到弦的距离为d,则有因此,在这三个量中已知其中两个量就可以求出第三个量.

(3)练习：如图,已知⊙O的半径为1,弦AB的长为,求圆心O到弦AB的距离.

解：如图,作OE⊥AB,垂足为E,则OE垂直平分AB.

1.自学指导：

(1)自学范围：教材第82页例2.

(2)自学时间：6分钟.

(3)自学方法：阅读、思考、总结、提高.

(4)自学参考提纲：

2.自学：学生依据自学指导自主学习.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：从解题思路的探究、辅助线的添加和解题过程的书写等方面了解学生的学习情况.

②差异指导：根据学情合理指导.

(2)生助生：小组内相互交流、研讨.

3.强化：

(1)强调常规辅助线和解题规范.

(2)练习：如图是一条水平铺设的直径为2m的通水管道横截面,其水面宽为1.6m,则这条管道中的水最深为0.4m.

三、评价

1.学生的自我评价(围绕三维目标)：在这节课的学习中你有哪些收

获？还有何困惑？

2.教师对学生的评价：

(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、小组交流协作情况和存在的问题等.

(2)纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价(教学反思)：

(1)这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始,引入课题从实验入手,得到圆的轴对称性,进而推出垂径定理及推论.教学设计中,从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般,层层递进,有利于提高学生的数学思维能力,同时,注意加强对学生的启发和引导,培养学生大胆猜想,小心求证的科学研究素质.

(2)本课时的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合,将圆的问题转化为直角三角形,常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.

(时间：12分钟满分：100分)

一、基础巩固(80分)

1.(10分) 下列说法中正确的是(B)

A. 在同一个圆中最长的弦只有一条

B. 垂直于弦的直径必平分弦

C. 平分弦的直径必垂直于弦