圆周运动中的加速度公式推导题

量， 作出速度的矢量三角形，在矢量
� v
(t
+
∆ t ) 上截取一段，使其
�� 长度等于 v(t),作矢量 ∆vn 和 ∆vt
�� � ∆v = ∆vn + ∆vt
a�
=
lim
� ∆v
∆t→0 ∆�t
�
= lim ∆vn + lim ∆vt
∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t
�� � � = an + at = anen + atet
�
�
det = dθ en
式（6）中第二项为：
� v det
dt
= v dθ dt
� en
=
v ds � r dt en
=
v2 r
� en
方向讨论同上。
� v2 � an = r en
（7）
v2 an = r
（8）
方法 3
关于切向加速度的推导同方法 2。 由图 5
☆法向加速度
� et �
=
− cos⎜⎛ π − θ ⎟⎞i� + sin⎜⎛ π ⎝ 2� ⎠ � ⎝ 2
☆
切向加速度：
� at
at
= lim ∆vt ∆t→0 ∆t
∆v = lim
∆t→0 ∆t
=
dv dt
（4）
即等于速率的变化率。
�
�
�
由于∆t → 0时，∆vt和方向趋向于和v在同一直线上，从而at的方向也沿着轨道的切线方向。
从而称之为切向加速度。
讨论：①切向加速度表示质点速率变化的快慢。
�
�
②a t 为一代数量，可正可负
圆周运动中的加速度公式推导题
1、自然坐标系的定义
切向轴：沿轨迹在该点的切向方向
单位矢量为 et;
法向轴：沿轨迹的法线并指向曲线凹侧，
单位矢量为 en.
v� e�
t
en A,
n
O
在自然坐标系中，速度 ��
v = vet
（1）
图1
2、加速度公式推导
方法 1 ［1］
如图
2
所示，
� v
(t
)和
� v
(t
+
∆ t ) 分别为质点在 B 点和 C 点的速度矢
y
�
v
�
et
A,t
�
en
θ
r
O
x
图5
图 1-7
（9） （10） （11） （12）
方向讨论同上。 总之，在圆周运动中，总加速度
� � � � � dv � v2 � a = at + an = at et + anen = dt et + r en
大小：
a=
at2
+
a
2 n
=
⎛ ⎜ ⎝
dv dt
2
度，记为
� at
=
dv dt
� et
=
� at et
at
=
dv dt
（6）
关于切向加速度方向的讨论同上。
☆法向加速度 式（7）中，第二项是由质点运动方向改变引起的。 υ�′
� υ� B,t + dt et
ds A,t dθ
r
如图 3，质点由 A 点运动到 B 点，有
��
⎧ v → v'
⎪⎨e�t ⎪⎩ds
−
θ
⎟⎞
� j
⎠
=
�
�
− sin θi + cos θj
en == − cos θi − sin θj
� det
= − cos θ
dθ
� i − sin θ
dt
� at
� dt = v det =
dt
v2 � r en
dθ dt
�
�
j = −ωen
v� = − r en
�
�
et
det
dθ
� et′
图4 图 1-9
∆t →0
∆v n ∆t
v ⋅ ∆S v ∆S v 2
= lim
= lim =
∆t→0 r∆t r ∆t→0 ∆t r
（3）
� an 的方向：当 ∆t
→
0 时， ∆θ
→
�
�
0, 从而∆vn的方向趋向于垂直于速 度v
� 的方向而指向圆心。因此 an 的方向在任何时刻都垂直于圆的切线方向而沿着半
径而指向圆心，从而称之为法向加速度或向心加速度。
� ☆ 法向加速度： an
� v( t + ∆t )
�
v(t )
∆s
C B
∆θ r A
O
�
∆v � ∆vt �
� ∆vn
∆θ
v�( t )
x v( t + ∆t )
图2
（2）
如图 2 所示两个相似三角形， �
∆vn = BC vr
当 ∆t → 0 时，弦长BC和对应的弧长∆s 相等，因此
�
an
=
lim
→ =
� e '⌢t AB
�
�
��
因为 et ⊥ OA ， e't ⊥ OB ，所以 et 、 e't 夹角为 dθ 。
� �� det = e'tΒιβλιοθήκη Baidu−et （见图 4）
�� 当 dθ → 0 时，有 det = et dθ = dθ 。
��
�
因为 det ⊥ et ，所以 det 由 A 点指向圆心 O，可有
供稿人 孙厚谦
⎞ ⎟ ⎠
+
⎜⎜⎛ ⎝
v2 r
2
⎞ ⎟⎟ ⎠
（13） （14）
�� 方向： a 与 et 夹角（见图 6）
tgθ = an at
（15）
� a
� at
θ
O�
A,t
an
图 1-10 图 6
参考文献
1、张三慧，《大学基础物理学》（第 1 版）（上册），清华大学出版社,P28-31 2、程守洙等 《普通物理学》（第 5 版）（第 1 册），高等教育出版社,P18-21
。at
>
0表示速率随时间增大
�
�
, 这时at的方向与速度
v的
方向相同。 at < 0表示速率随时间减小 , 这时at的方向与速度 v的方向相反。
方法 2［2］
☆切向加速度
��
由： �
v
=
vet
v = v 为速率。加速度为
� a
=
dv� dt
=
dv dt
� et
+v
� det dt
（5）
� 式中，第一项是由质点运动速率变化引起的，方向与 et 共线，称该项为切向加速