【猿辅导几何模型】中考必会几何模型：中点四大模型
中考必考几何模型（猿辅导）
最
新
讲
义
中点四大模型
模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形
②图①
图构造全等
倍长类中线
倍长中线D
C
B
A
F
F A
C
A
B
C
D
C
A
模型分析
如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE ＝AD ，易证：△ADC ≌△EDB （SAS ）． 如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE ＝FD ，易证：△FDB ≌△EDC （SAS ）
当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．
模型实例
如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AF ＝EF ，求证：AC ＝BE ．
F
E
C
A
1．如图，在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝20，求BC 边上中线AD 的范围．
B
A
解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC与△EDB中，
?
?
?
?
?
=
∠
=
∠
=
DE
AD
BDE
ADC
CD
BD
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC＝20，
根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE＜20＋12，
∴4＜AD＜16，
故AD的取值范围为4＜AD＜16．
2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．
求证：AD2＝
4
1
(AB2＋AC2)．
N
M
D C
A
证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME．
∵
BD ＝DC ， ∴ED ＝DN ．
在△BED 与△CND 中，
∵??
?
??=∠=∠=DN ED CDN BDE DC BD ∴△BED ≌△CND （SAS ）． ∴BE ＝NC ． ∵∠MDN ＝90°，
∴MD 为EN 的中垂线． ∴EM ＝MN ．
∴BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2， ∴△BEM 为直角三角形，∠MBE ＝90°． ∴∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°． ∴∠BAC ＝90°． ∴AD 2＝(
21BC )2＝4
1
（AB 2＋AC 2）．
模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．
A
B
C
D
D
C
B
A
模型分析
等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得
到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”． 模型实例
如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，求MN 的长度．
N
M C
B A
解答： 连接AM ．
∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 中点， ∴AM ⊥BC ，BM ＝CM ＝2
1
BC ＝3． ∵AB ＝5， ∴AM ＝
4352222=-=-BM AB ．
∵MN ⊥AC ，
∴S △ANC ＝
21MC ·AM ＝21
AC ·MN ． 即：21×3×4＝21×5×MN ．
∴MN ＝5
12
跟踪练习
1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ⊥DE ，AF ⊥DF ，且AE ＝AF ，求证：∠EDB ＝∠FDC ．
F
证明：连结AD ，
∵
AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90° 在Rt △AED 与Rt △AFD 中，
??
?==AD
AD AF
AB ， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD ．（HL ） ∴∠ADE ＝∠ADF ， ∵∠ADB ＋∠ADC ＝90°， ∴∠EDB ＝∠FDC ．
2．已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．
（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DF ⊥AC 于E 时（如图①），求证：S △DEF ＋S △CEF ＝
2
1
S △ABC ； （2）当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．
③
图②
图①
图A
B
D
E
F
A
C
D
D
C
A
解：（1）连接CD ；如图2所示： ∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点， ∴∠B ＝45°，∠DCE ＝
21∠ACB ＝45°，CD ⊥AB ，CD ＝2
1
AB ＝BD ， ∴∠DCE ＝∠B ，∠CDB ＝90°，
∵∠EDF ＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△CDE 和△BDF 中，
??
?
??∠=∠=∠=∠B DCB BD CD 21， ∴△CDE ≌△BDF （ASA ），
∴S △DEF ＋S △CEF ＝S △ADE ＋S △BDF ＝
21
S △ABC ； （2）不成立；S △DEF ?S △C EF ＝2
1
S △ABC ；理由如下：连接CD ，如图3所示：
同（1）得：△DEC ≌△DBF ，∠DCE ＝∠DBF ＝135° ∴S △DEF ＝S 五边形DBFEC ， ＝S △CFE ＋S △DBC ，
＝S △CFE ＋
2
1
S △ABC ， ∴S △DEF －S △CFE ＝2
1
S △ABC ．
∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是：S △DEF －S △CEF ＝
2
1
S △ABC ． 2
1
A
B
C
D
E
模型3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理
构造中位线取另一边中点E
D
D
A
模型分析
在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：
DE ∥BC ，且DE ＝
2
1
BC 来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．
模型实例
如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M ，N ．求证：∠BME ＝∠CNE ．
N
M F
E
D
C
B
A
解答
如图，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE 、HF ． ∵E 、F 分别是BC 、AD 的中点， ∴FH ＝
21AB ，FH ∥AB ，HE ＝2
1
DC ，HE ∥NC ． 又∵AB ＝CD ，
∴HE ＝HF ．
∴∠HFE ＝∠HEF ． ∵FH ∥MB ，HE ∥NC ，
∴∠BME ＝∠HFE ，∠CNE ＝∠FEH ． ∴∠BME ＝∠CNE ．
练习：
1.（1）如图1，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，垂足分别为D ，E ，连接DE ，求证：DE ∥BC ，DE =12
（AB +BC +AC ）；
（2）如图2，BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？ （3）如图3，BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，其他条件不变，DE 与BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.
E D C
B
A
图1
G F
E
D
C
B
A
图2
F
E
D C
B
A
图3
1.解答
（1）如图①，分别延长AE ，AD 交BC 于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中，
ABD DBK BD BD
BDA BDK ∠=∠??
=??∠=∠?
∴△BAD ≌ △BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB .
同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12
HK .
又∵HK =BK +BC +CH =AB +BC +AC . ∴DE =12（AB +AC +BC ）.
（2）猜想结果：图②结论为DE =12
（AB +AC -BC ） 证明：分别延长AE ，AD 交BC 于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中
ABD DBK BD BD
BDA BDK ∠=∠??
=??∠=∠?
∴△BAD ≌△BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB
同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12
HK . 又∵HK =BK +CH -BC =AB +AC -BC
∴DE =12（AB +AC -BC ）
G
A
B
C
D
E
K
H
F 图2
（3）图③的结论为DE =12
（BC +AC -AB ） 证明：分别延长AE ，AD 交BC 或延长线于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中，
ABD DBK BD BD
BDA BDK ∠=∠??
=??∠=∠?
∴△BAD ≌△BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB .
同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12
KH . 又∵HK =BH -BK =BC +CH -BK =BC +AC -AB
∴DE =12（BC +AC -AB ）.
A
B
C
D E
K
H
F
图3
2.问题一：如图①，在四边形ABCD 中，AB 与CD 相交于点O ，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF ，分别交DC ，AB 于点M ，N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论.
问题二：如图②，在△ABC 中，AC >AB ，D 点在AC 上，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC =60°，连接GD ，判断△AGD 的形状并证明.
图1
N
M
O F E D
C B
A
E
图2
G A
B
C
D
F
2.证明
（1）等腰三角形（提示：取AC 中点H ，连接FH ，EH ，如图①）
（2）△AGD 是直角三角形
如图②，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HF ，HE . ∵F 是AD 的中点， ∴HF ∥AB ，HF =12
AB . ∴∠1=∠3.
同理，HE ∥CD ，HE =12
CD ， ∴∠2=∠EFC ， ∴AB =CD ， ∴HF =HE . ∴∠1=∠2.
∵∠EFC =60°，
∴∠3=∠EFC =∠AFG =60°. ∴△AGF 是等边三角形. ∴AF =FG . ∴GF =FD .
∴∠FGD =∠FDG =30°.
∴∠AGD =90°，即△AGD 是直角三角形.
图2
321G A B
C
D
F H
模型4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线
D
C
B
A
模型分析
在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD =12
AB ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD ，该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型实例
如图，在△ABC 中，BE ，CF 分别为AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DM ⊥ EF 于点M ，求证：FM =EM .
M F
E
D
C
B
A
证明
连接DE ，DF .
BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，
DF =12BC ，DE =12
BC .
DF =DE ，即△DEF 是等腰三角形. DM ⊥EF ，
点M 是EF 的中点，即FM =EM .
A
B
C
D
E
F
M
练习：
1.如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10，求DM 的长度.
1.解答
取AB 中点N ，连接DN ，MN .
在Rt △ADB 中，N 是斜边AB 上的中点， ∴DN =12
AB =BN =5.
∴∠NDB =∠B .
在△ABC 中，M ，N 分别是BC ，AB 的中点， ∴MN ∥AC
∴∠NMB =∠C ，
又∵∠NDB 是△NDM 的外角， ∴∠NDB =∠NMD +∠DNM .
即∠B =∠NMD +∠DNM =∠C +∠DNM . 又∵∠B =2∠C ，
∴∠DNM =∠C =∠NMD . ∴DM =DN . ∴DM =5.
N M
D C
B
A
2.已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE =90°，连接DE ，M 为DE 的中点，连接MB ，MC ，求证：MB =MC .
M
E
D
C
B
A
2.证明
延长BM 交CE 于G ，
∵△ABD 和△ACE 都是直角三角形， ∴CE ∥BD .
∴∠BDM =∠GEM .
又∵M 是DE 中点，即DM =EM ， 且∠BMD =∠GME ， ∴△BMD ≌△GME . ∴BM =MG .
∴M 是BG 的中点，
∴在Rt △CBG 中，BM =CM .
3.问题1：如图①，三角形ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥ BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F .AE 、BF 交于点M ，连接DE ，DF ，若DE =kDF ，则k 的值为 . 问题2：如图②，三角形ABC 中，CB =CA ，点D 是AB 边的中点，点M 在三角形ABC 内部，且∠MAC =∠MBC ，过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥ AC ，垂足分别为点E ，F ，连接DE ，DF ，求证：DE =DF .
问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他 条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.
图1
M
F E D
C
B
A
图2
A
B
C
D
F
M
图3
A
B
C
D
F M
3.解答
∵（1）AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，
∴△AEB 和△AFB 都是直角三角形， ∵D 是AB 的中点， ∴DE =12AB ，DF =12
AB .
∴DE =DF . ∵DE =KDF ， ∴k =1. （2）∵CB =CA ， ∴∠CBA =∠CAB . ∵∠MAC =∠MBC ，
∴∠CBA -∠MBC =∠CAB -∠MAC ，即∠ABM =∠BAM . ∴AM =BM .
∵ME ⊥BC ，MF ⊥AC ， ∴∠MEB =∠MF A =90°. 又∵∠MBE =∠MAF ，
∴△MEB ≌△MF A （AAS ） ∴BE =AF .
∵D 是AB 的中点，即BD =AD ， 又∵∠DBE =∠DAF ，
∴△DBE ≌△DAF （SAS ） ∴DE =DF .
图1
M F E D
C
B A
（3）DE=DF.
如图，作AM的中点G，BM的中点H，连DG，FG，DH，EH. ∵点D是边AB的中点，
∴DG∥BM，DG=1
2 BM
.
同理可得：DH∥AM，DH=
1
2
AM.
∵ME⊥BC于E，H是BM的中点.
∴在Rt△BEM中，HE=
1
2
BM=BH.
∴∠HBE=∠HEB.
∴∠MHE=2∠HBE.
又∵DG=
1
2
BM，HE=
1
2
BM，
∴DG=HE.
同理可得：DH=FG. ∠MGF=2∠MAC.
∵DG∥BM，DH∥GM，
∴四边形DHMG是平行四边形.
∴∠DGM=∠DHM.
∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC，∠MBC=∠MAC，
∴∠MGF=∠MHE.
∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE.
∴∠DGF=∠DHE.
在△DHE与△FGD中
DG HE
DGF DHE
DH FG
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△DHE≌△FGD（SAS）
∴DE=DF.
图2
A
B C
D F
M
高中数学知识点
二次函数
（1）一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．
设一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令
2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：
2b
x a
=-
③判别式：? ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ?
②x 1≤x 2＜k ?
③
x 1＜k ＜x 2 ? af (k )＜0
④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ?
⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2
? f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合
⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ? 此结论可直接由⑤推出．
（5）二次函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01
()2
x p q =
+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -
<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a
->，则()m f q =
①若02b x a -
≤，则()M f q =
②02b x a
->，则()M f p = x
x
x
(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -
<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a
->，则()M f q =
①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a
->，则()m f p =．
x
>
O
-
=f (p) f (q)
()2b
f a
-g
0x x
>
O
-
=f
(p) f
(q)
()
2b f a
-0x g
x
-=f (p) f (q) ()2b f a -x < O -=f (p) f (q) () 2b f a -x < O -=f (p) f (q) ()2b f a - x g x < O - =f (p) f (q) ()2b f a - x < O - =f (p) f (q) ()2b f a - g x