离散数学期末试卷(3套附答案)

2 离散数学（A 卷） 王军东
（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．设A , B 是集合，若A B A =-，则
(A) B = ∅ (B) A = ∅ (C) =⋂B A ∅ (D) A B A =⋂
2．在有理数集合Q 上定义运算“*”如下：对于任意x , y ∈ Q ，y x * = x + y – xy ，则Q 关
于*的单位元是( ).
(A)x . (B)y . (C)1. (D)0.
3．谓词公式)())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀中量词x ∀的辖域为
(A))())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀ (B))()(y yQ x P ∃→
(C))())()((x R y yQ x P ∧∃→ (D))()(y yQ x P ∃→和)(x R
4．设p ：我们划船，q ：我们跑步, 则有命题“我们不能既划船又跑步”符号化为( )
(A) ⌝ p ∧⌝ q (B) ⌝ p ∨⌝ q (C) ⌝ (p ↔ q ) (D) ⌝ (⌝ p ∨⌝ q ).
5．设Z +是正整数集，R 是实数集，f :Z +→R , f (n )=log 2n ,则f （ ）
A ．仅是单射
B ．仅是满射
C ．是双射
D ．不是函数
6. 设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(x , y )|x , y ∈ A 且x + y = 6}，则R 的性质是( ).
(A) 自反的. (B) 对称的. (C) 对称的、传递的. (D) 反自反的、传递的.
7. 下列联结词中，不满足交换律的是( ).
(A)∧. (B)∨. (C)⊕. (D) →.
8．.设G 是n 阶简单无向图，则其最大度)(G ∆( ).
(A) > n (B) ≤ n . (C) < n . (D) ≥ n .
9. 下列所示的哈斯图所对应的偏序集中能构成格的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
课程考试试题
学期 学年 拟题人:
校对人:
拟题学院（系）: 适 用 专 业:
10. 设G 是(n , m )图，且G 中每个节点的度数不是k 就是k + 1，则G 中度数为k 的节点个数为
( ). (A)2
n . (B)n (n + 1). (C)nk . (D)m k n 2)1(-+. 二、填空题(每空3分，共30分)
1．设A={1，2}，B={2，3}，则A-B=_______， A ⊕B=________，
2．设A={2,3 }，R ⊆A ×A ，R={(2,3)， (2,2)}，则R 的自反闭包r(R)=__________,
对称闭包s(R)=__________。

3．设f :R →R , f (x )=x+3， g :R →R , g (x )= 2
x ,则复合函数()()f g x =_____________ , ()()g f x =_____________。

4．设有向图G=（V ,E ）,V={v 1,v 2,v 3,v 4},若G 的邻接矩阵01011011A 11001001⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则deg -(v 1)=_ ________, 从v 2到v 4长度为2的路有________条。

5．给定集合A={1,2,3,4}，在集合A 上定义两种关系：R={（1,2）,（2,4）,（3,3）},
S={（1,3）,（2,4），（4,2）}，则2R S _______________=，-12(R )_______________=。

三、解答题（5个小题，共40分）
1．（8分）设A={１,２,３,６,９,１８}，≤为整除关系。

（１）画出（A ，≤）的哈斯图；
（２）求子集Ｂ＝｛３，６，９｝的极大元、极小元、最大元、最小元。

2．（8分）构造命题公式（（P ∧Q ）→P ）∨R 的真值表，并判断该命题公式是否是永真式？
3．（８分）请通过等值演算法求┐(P ∧Q )→(P ∨Q )的主析取范式。

4．（８分）用推理方法证明：∀x (Ｆ(x ) →Ｇ(x ))，∃x Ｆ(x )⇒∃x Ｇ(x )
5．（８分）设图G 有n 个结点，n +1条边，证明：G 中至少有一个结点度数≥3。

拟题学院（系）： 适用专业： 学年 2学期 离散数学 （A 卷） 试题标准答案
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一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．（A ）2． (D)；3．（B ）；4．（B ）；5. (A) 6．（B ）
7． (D)；8．（C ）；9．（C ）；10. (D).
二、填空题(每空3分，共30分)
1．{1}，{1，3}； 2．{(2，3), (2,2), (3,3) }, {(2，3), (2,2), (3,2) }； 3．
32x +,32
x +； 4．3,2； 5．{(1,2) }，{(4,1),(3,3) }
三、解答题（5个小题，共40分）
1.解：（１） 哈斯图： ……４分
（２）Ｂ＝｛３，６，９｝的极大元：６，９。

极小元：３。

最大元：无。

最小元：３ ……８分
2. P Q
R P ∧Q P ∧Q →P （（P ∧Q ）→P ）∨R 1 1
1 １ １ 1 1 １
０ １ １ 1 １ ０
1 0 １ 1 １ 0
0 ０ 1 1 ０ １
１ ０ １ １ ０ １
０ ０ １ １ ０ ０
１ ０ １ １ ０ ０ ０ ０ １ １
………７分
有表可知，命题公式为永真式 ………８分
3.解：┐(P ∧Q )→(P ∨Q )= (P ∧Q ）∨(P ∨Q )
=（P ∨P ∨Q ）∧(Q ∨P ∨Q ）
= P ∨Q
= ( P ∧(⎤Q ∨Q )) ∨（Q ∧(⎤P ∨P )）
= ( P ∧⎤Q) ∨(P ∧Q) ∨(Q ∧⎤P) ∨(Q ∧P )
= ( P ∧⎤Q) ∨(P ∧Q) ∨(⎤P ∧Q ) ………8分
拟 题 人：
书写标准答案人：
4．证明： （１）∃x Ｆ(x ) Ｐ ………１分
（２）Ｆ(ｃ) ＥＳ（１） ………３分 （３）∀x (Ｆ(x ) →Ｇ(x )) Ｐ ………４分
（４）Ｆ(ｃ) →Ｇ(ｃ) ＵＳ（３） ………６分
（５）Ｇ(ｃ) Ｔ（２）（４）Ｉ ………７分
（６）∃x Ｇ(x ) ＥＧ（５） ………８分
5.解：证明： 设图),(E V G =有n 个节点,,21n v v v 边数为n+1 ………1分 假设任意节点其度数2deg ≤i v ，则n v
n i i 2deg 1
≤∑= ………4分 又因为节点度数总和等于边数两倍，即)1(2deg 1+=∑=n v n
i i ………７分
所以n n 2)1(2≤+，这是个矛盾。

故不可能每个节点度数小于等于2，即
至少有一节点度数大于等于3 ………8分。