第6章分子对称性与群论基础

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a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
am1
am2
amn
a ij 称为第i行第j列的矩阵元 当m=n时,称为n阶方阵 行矩阵:仅由一行元素构成的矩阵 列矩阵:仅由一行元素构成的矩阵
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6.1 矩 阵
2 矩阵的运算规则
(1) 两个矩阵相等: 若矩阵A=B,则要求它们的所有矩阵元 相等,即: Aij=Bij i=1,2,3,…;j=1,2,3,…
(2) 矩阵的加(减): 若两矩阵A、B 的行数与列数分别相 等,则它们可相加(减)而乘另一个矩阵C,规则: Cij=Aij±Bij i=1,2,3,…;j=1,2,3,… 矩阵的加(减)满足交换律、结合律: A±B= B ± A; A±B ±C = (A ± B) ±C
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第6章 分子对称性与群论基础
6.1 矩阵 6.2 对称操作与对称元素 6.3 对称操作的矩阵表示 6.4 群的定义与性质 6.5 分子点群 6.6 群表示理论 6.7 群论应用简介
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6.1 矩 阵
1 矩阵的定义 矩阵:由m×n个数按一定次序排列成m行n列的表:
;恒等操作 在进行对称操作时,分子中至少有1点是不动的,同
时这种对称操作不改变分子中任意两点之间的距离
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6.2 对称操作与对称元素
NH3分子的对称操作
2 对称操作的分类 统一分类并用标准符号表示之,其中的映面、象转及
反演操作能把右手变为左手,称为“非真的”或虚操作。
an1
an2
anm bm 1
am 2
amk
cn1
cn2
cnk
n×m
m×k
n×k
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6.1 矩 阵
其中:
m
cij aip bp j
(i1,2, ,n;j1,2, ,k)
p1
[注意]只有前一矩阵的列数与后一矩阵的行数相等时才 能相乘。
1 0 3 A2 1 0
A-1 A= A A-1 =E
(8) 相似矩阵 若矩阵A,B和C之间存在关系 B= CA C-1
则称矩阵B与矩阵A相似.通过这样的关系把矩阵A变 为矩阵B的变换称为相似变换.
(9)矩阵的迹 一个矩阵所有对角元素之和称为这个矩阵 的迹,用tr表示.
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6.2 对称操作与对称元素
称中心i,这种操作
就是反演.
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6.2 对称操作与对称元素
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6.1 矩 阵
(3) 数与矩阵相乘
若 kA=C, 则:Cij=kAij
例如:
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2 3 0 6 9 0 31 5 33 15 9
(4)矩阵和矩阵的乘法
a11a12a1mb11 b12 b1k c11c12c1k CA Ba21a22 a2mb21 b22 b2kc21c22 c2k
共轭转置矩阵 若A=[Aij], AH= [A*ji]
1 2i Ai 2
AH1 2i
i 2
(6) 零矩阵:全部的矩阵元为0的矩阵
单位矩阵:对角元素均为1,其余元素均为0的矩阵
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6.1 矩 阵
(7)逆矩阵 若一个矩阵左乘矩阵A及右乘矩阵A均得到单 位矩阵E,则称这个矩阵为A的逆矩阵,用A-1表示.即
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6.2 对称操作与对称元素
试找出分子中的镜面
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6.2 对称操作与对称元素
(3) 对称中心与反演操作
分子中若存在 一点,将每个原子 通过这一点引连线 并延长到反方向等 距离处而使分子复 原,这一点就是对
1.几何意义 分子的几何构型可用对称图
形来表示。能使一个图形复原的 操作称为对称操作,全部对称操 作的集合构成一个“群”。不改 变图形中任何两点的距离而能使 图形复原.
对称元素 对称操作的实现 必须借助于一定的几何实体,如 三重轴、映面等,称为对称元素 。对称元素与对称操作总是互相 依存,但并非一一对应。
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6.2 对称操作与对称元素
对称 元素
符号
对称操作


n重轴
映面
象转轴 对称中心
I 恒等操作
Cn
旋转角度2π/n,n最高的称为主轴。若有垂直主轴的二 重轴,对应的操作表示为C’2。
σv 代表包含主轴的平面反映
σd 代表垂直主轴的平面反映
σh 代表包含主轴且平分一对垂直于主轴的二重轴之 间 夹角(或两个σv之间的夹角)的平面反映
4 1 B1 1
2 0
140(1)32 110130 101 CAB241(1)02 2111007 3
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6.1 矩 阵
矩阵的乘法一般不满足交换律,但满足结合律。即:
AB≠BA, ABC=(AB)C=A(BC) (5) 转置矩阵 若A=[Aij], AT= [Aji]
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对称元素: 旋转轴 对称操作: 旋转
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6.2 对称操作与对称元素
[实例] 氨分子的几何构型与对称性 分子呈正三角锥形,N原子位于锥顶。对称特点: 1个三重对称轴通过锥顶且垂直于底面 3个对称面(映面)分别通过三重轴及1个N-H键
共有6个对称操作: 绕三重轴旋转120°及240°;通过3个映面的反映
Sn 旋转2π/n,继之对垂直于旋转轴的平面进行反映
i 相对于对称中心的反演
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6.2 对称操作与对称元素
(1)旋转轴与旋转操作 分子中若存在一条轴线,绕此轴旋
转一定角度能使分子复原,就称此轴为旋转轴, 符号为Cn . 旋转 可以实际进行,为真操作;相应地,旋转轴也称为真轴.
H2O2中的C2
(旋转轴上的椭圆形为C2的图形符号。类似地,正三角形、正方 形、正六边形分别是C3、C4和C6的图形符号)
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6.2 对称操作与对称元素
2)镜面与反映操作
分子中若存在一个 平面,将分子两半部互 相反映而能使分子复原, 则该平面就是镜面σ,这 种操作就是反映.
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