2018年河南全省含所有市高考数学一模试卷汇总(20210110104340)
2018年河南全省 含所有市 高考数学一模试卷 汇总 (2
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通过我们的努力，能够为您解决问题，这是我们的宗旨，欢迎您下载使用!（８套）2018年河南全省含所有市高考数学一模试卷汇总2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]2．（5分）已知复数, 则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或5．（5分）已知等比数列{a n}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.99, 则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知{a n}为等差数列, S n为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．18210．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数, （e为自然对数的底数）, 则函数的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分.13．（5分）展开式中的常数项为．14．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•的最大值为．15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2﹣2y=0的直径, 点P为直线y=x﹣1上任意一点, 则|PA|2+|PB|2的最小值为．16．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球, 晃动此正方体, 则小球可以经过的空间的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答. 17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100）内, 且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；（Ⅱ）若销售量大于等于70, 则称该日畅销, 其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天, 再从这8天中随机抽取3天进行统计, 设这3天来自X 个组, 求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．19．（12分）如图, 在空间直角坐标系O﹣xyz中, 正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A, B, C分别在x轴, y轴, z轴上．（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）是否存在实数a, b, 使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0, +∞）恒成立？若存在, 试求出a, b的值；若不存在, 请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2},B={y|y=3x﹣1, x∈R}={y|y＞﹣1},∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1, 2]．故选：D．2．（5分）已知复数, 则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=,∴,则在复平面内所对应的点的坐标为（﹣, ﹣）, 位于第三象限角．故选：C．3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数, 在（0, +∞）递增,对于A, f（﹣x）=f（x）, 是偶函数, 且x＞0时, f（x）=x2+x+1, f′（x）=2x+1＞0,故f（x）在（0, +∞）递增, 符合题意；对于B, 函数f（x）是奇函数, 不合题意；对于C, 由x+1=0, 解得：x≠﹣1, 定义域不关于原点对称,故函数f（x）不是偶函数, 不合题意；对于D, 函数f（x）在（0, +∞）无单调性, 不合题意；故选：A．4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或【解答】解：若, 则1+cosα=3sinα, 又sin2α+cos2α=1,∴sinα=, ∴cosα=3sinα﹣1=, ∴cosα﹣2sinα=﹣,故选：C．5．（5分）已知等比数列{a n}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．【解答】解：∵, a1=1, a3+a5=6,∴a3+a5=q2+q4=6,得q4+q2﹣6=0,即（q2﹣2）（q2+3）=0,则q2=2,则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12,故选：A6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.99, 则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：模拟程序的运行, 可得程序框图的功能是计算S=+++…的值．由题意, S=+++…==1﹣≥0.99, 可得：2k≥100, 解得：k≥7,即当n=8时, S的值不满足条件, 退出循环．故选：C．7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体,其中长方体的长为4, 宽为1, 高为1,半圆柱的底面半径为r=1, 高为h=1, 如图,∴该几何体的体积：V=4×1×1+=4+．故选：D．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：边长AB=a,=•a2•sin=a2；其中正三角形ABC的面积S三角形满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域,如图中阴影部分所示, 其加起来是一个半径为的半圆,=•π•=,∴S阴影∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：P=1﹣=1﹣π．故选：B．9．（5分）已知{a n}为等差数列, S n为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d, ∵a3+7=2a5,∴a1+2d+7=2（a1+4d）, 化为：a1+6d=7=a7．则S13==13a7=13×7=91．故选：B．10．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位,可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象,故选：D．11．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图, 取PF1的中点A, 连接OA,∴2=+, =,∴+=,∵,∴•=0,∴⊥,∵,不妨设|PF2|=m, 则|PF1|=m,∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m,∴m=a=2（﹣1）a,∵|F1F2|=2c,∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2）,∴=9﹣6=（﹣）2,∴e=﹣,故选：A12．（5分）已知函数, （e为自然对数的底数）, 则函数的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．3【解答】解：令f（x）=t可得f（t）=t+1．作出f（x）的函数图象如图所示：设直线y=kx+1与y=e x相切, 切点为（x0, y0）, 则,解得x0=0, k=1．设直线y=kx+1与y=lnx相切, 切点为（x1, y1）, 则,解得x1=e2, k=．∴直线y=t+1与f（t）的图象有4个交点,不妨设4个交点横坐标为t1, t2, t3, t4, 且t1＜t2＜t3＜t4,由图象可知t1＜0, t2=0, 0＜t3＜1, t4=e2．由f（x）的函数图象可知f（x）=t1无解, f（x）=t2有1解, f（x）=t3有3解, f（x）=t4有2解．∴F（x）有6个零点．故选：B．二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分.13．（5分）展开式中的常数项为．【解答】解：二项式展开式的通项公式为T r+1=•x6﹣r•=••,令6﹣=0, 解得r=4；∴展开式中的常数项为•=．故答案为：．14．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立, 解得A（）,∵=（2, 3）, =（x, y）,∴z=•=2x+3y, 化为y=, 由图可知, 当直线y=过A时,直线在y轴上的截距最大, z有最小值为．故答案为：．15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2﹣2y=0的直径, 点P为直线y=x﹣1上任意一点, 则|PA|2+|PB|2的最小值为6．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0,转化为：x2+（y﹣1）2=1,则：圆心（0, 1）到直线y=x﹣1的距离d=,由于AB为圆的直径,则：点A到直线的最小距离为：．点B到直线的距离为．则：|PA|2+|PB|2==6,故答案为：616．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球, 晃动此正方体, 则小球可以经过的空间的体积为．【解答】解：∵在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球, 晃动此正方体,∴小球可以经过的空间的体积：V==．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答. 17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意, 在△ABC中, a+2acosB=c,由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．因为A, B∈（0, π）,所以B﹣A∈（﹣π, π）, 且A+（B﹣A）=B∈（0, π）, 所以A+（B﹣A）≠π,所以A=B﹣A, B=2A．（Ⅱ）由（Ⅰ）知, ．由△ABC为锐角三角形得,得, 则0＜cosB＜,由a+2acosB=2得,又由0＜cosB＜,则．18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100）内, 且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；（Ⅱ）若销售量大于等于70, 则称该日畅销, 其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天, 再从这8天中随机抽取3天进行统计, 设这3天来自X 个组, 求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．【解答】解：（Ⅰ）由题知, 解得5≤n≤9n, n可取5, 6, 7, 8, 9, 代入中,得, a=0.15．销售量在[50, 60）, [60, 70）, [70, 80）, [80, 90）, [90, 100）内的频率分别是0.1, 0.1, 0.2, 0.3, 0.3,销售量的平均数为55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.3=81．（Ⅱ）销售量在[70, 80）, [80, 90）, [90, 100）内的频率之比为2：3：3,所以各组抽取的天数分别为2, 3, 3．X的所有可能值为1, 2, 3,,,．X的分布列为：X123P数学期望．19．（12分）如图, 在空间直角坐标系O﹣xyz中, 正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A, B, C分别在x轴, y轴, z轴上．（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：由AB=BC=CA, 可得OA=OB=OC．设OA=a, 则, A（a, 0, 0）, B（0, a, 0）, C（0, 0, a）,设D点的坐标为（x, y, z）, 则由,可得（x﹣a）2+y2+z2=x2+（y﹣a）2+z2=x2+y2+（z﹣a）2=2a2,解得x=y=z=a,∴．又平面OAB的一个法向量为,∴,∴CD∥平面OAB；（Ⅱ）解：设F为AB的中点, 连接CF, DF,则CF⊥AB, DF⊥AB, ∠CFD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．由（Ⅰ）知, 在△CFD中, , ,则由余弦定理知,即二面角C﹣AB﹣D的余弦值为．20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得, |（x+y）（x﹣y）|=2．因为点P在区域W内, 所以x+y与x﹣y同号, 得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2,即点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D, 当直线l的斜率不存在时, , , 得．当直线l的斜率存在时, 设其方程为y=kx+m, 显然k≠0, 则,把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0,由直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0,得m2=2（k2﹣1）＞0, 得k＞1或k＜﹣1．设A（x1, y2）, B（x2, y2）, 由得, 同理, 得．所以=．综上, △OAB的面积恒为定值2．21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）是否存在实数a, b, 使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0, +∞）恒成立？若存在, 试求出a, b的值；若不存在, 请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意, 函数,,令f'（x）=0得．当且x≠0时, f'（x）＜0；当时, f'（x）＞0．所以f（x）在（﹣∞, 0）上单调递减, 在上单调递减, 在上单调递增．（Ⅱ）根据题意, 注意到f（e）=g（e）=3e, 则ae+b=3e, b=3e﹣ae①．于是, ax+b≥g（x）即a（x﹣e）﹣3e（1﹣lnx）≥0,则记h（x）=a（x﹣e）+3e（1﹣lnx）, ,若a≤0, 则h'（x）＜0, 得h（x）在（0, +∞）上单调递减, 则当x＞e时, 有h （x）＜h（e）=0, 不合题意；若a＞0, 易知h（x）在上单调递减, 在上单调递增,得h（x）在（0, +∞）上的最小值．记, 则, 得m（a）有最大值m（3）=0, 即m （a）≤m（3）=0,又m（a）≥0, 故a=3, 代入①得b=0．当a=3, b=0时, f（x）≥ax+b即⇔2x3﹣3ex2+e3≥0．记φ（x）=2x3﹣3ex2+e3, 则φ'（x）=6x（x﹣e）, 得φ（x）在（0, +∞）上有最小值φ（e）=0, 即φ（x）≥0, 符合题意．综上, 存在a=3, b=0, 使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0, +∞）恒成立．（二）选考题：共10分.请考生在第22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ,所以ρ2sin2θ=4ρcosθ, 即y2=4x,因此曲线C表示顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线．（Ⅱ）, 化为普通方程为y=2x﹣1,代入y2=4x,并整理得4x2﹣8x+1=0,所以,=,=．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时, ,∴, ∴．∴,∴, 当且仅当m=n时等号成立,∵m, n＞0, 解得, 当且仅当m=n时等号成立,故m+n的最小值为．（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2],当x∈[﹣1, 2]时, 有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x,∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1, 2]恒成立,当时, a（1﹣2x）≥1﹣2x, ∴a≥1；当时, a（2x﹣1）≥1﹣2x, ∴a≥﹣1．综上：a≥1．故实数a的取值范围是[1, +∞）．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内, 复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1| D．f（x）=cosx4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或5．（5分）已知等比数列{an}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.8, 则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B． C．D．9．（5分）已知{an}为等差数列, Sn为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．18210．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点, 则a的取值范围是（）A． B． C． D．12．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分13．（5分）命题“∀x∈R, 都有x2+|x|≥0”的否定是．14．（5分）长、宽、高分别为1, 2, 3的长方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为．15．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•的最大值为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 点A（0, ﹣3）, 若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|, 则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100]内, 且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80, 则称该日畅销, 其余为滞销, 根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天, 再从这5天中随机抽取2天, 求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．19．（12分）如图, 已知在四棱锥P﹣ABCD中, 平面PAD⊥平面ABCD, 且PA⊥PD, PA=PD, AD=4, BC∥AD, AB=BC=CD=2, E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在, 求出公切线l的方程；若不存在, 请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内, 复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=,∴复数所对应的点的坐标为（）, 位于第二象限．故选：B．2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2},B={y|y=3x﹣1, x∈R}={y|y＞﹣1},∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1, 2]．故选：D．3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1| D．f（x）=cosx【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数, 在（0, +∞）递增,对于A, f（﹣x）=f（x）, 是偶函数, 且x＞0时, f（x）=x2+x+1, f′（x）=2x+1＞0,故f（x）在（0, +∞）递增, 符合题意；对于B, 函数f（x）是奇函数, 不合题意；对于C, 由x+1=0, 解得：x≠﹣1, 定义域不关于原点对称,故函数f（x）不是偶函数, 不合题意；对于D, 函数f（x）在（0, +∞）无单调性, 不合题意；故选：A．4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或【解答】解：若, 则1+cosα=3sinα, 又sin2α+cos2α=1,∴sinα=, ∴cosα=3sinα﹣1=, ∴cosα﹣2sinα=﹣,故选：C．5．（5分）已知等比数列{an}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．【解答】解：∵, a1=1, a3+a5=6,∴a3+a5=q2+q4=6,得q4+q2﹣6=0,即（q2﹣2）（q2+3）=0,则q2=2,则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12,故选：A6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.8, 则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：第一次运行n=1, s=0, 满足条件s＜0.8, s==0.5, n=2,第二次运行n=2, s=0.5, 满足条件s＜0.8, s=+=0.75, n=3,第三次运行n=3, s=0.75, 满足条件s＜0.8, s=0.75+=0.75+0.125=0.875, n=4, 此时s=0.875不满足条件s＜0.8输出, n=4,故选：B．7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体,其中长方体的长为4, 宽为1, 高为1,半圆柱的底面半径为r=1, 高为h=1, 如图,∴该几何体的体积：V=4×1×1+=4+．故选：D．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B． C．D．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：边长AB=a,其中正三角形ABC的面积S三角形=•a2•sin=a2；满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域,如图中阴影部分所示, 其加起来是一个半径为的半圆,∴S阴影=•π•=,∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：P=1﹣=1﹣π．故选：B．9．（5分）已知{an}为等差数列, Sn为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182【解答】解：设等差数列{an}的公差为d, ∵a3+7=2a5,∴a1+2d+7=2（a1+4d）, 化为：a1+6d=7=a7．则S13==13a7=13×7=91．故选：B．10．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位,可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象,故选：D．11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点, 则a的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点⇔方程a=有3个不同的实根,即函数y=a, g（x）=的图象有3个不同的交点．g′（x）=x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）x∈（﹣∞, ﹣3）, （2, +∞）时, g（x）递增, x∈（﹣3, 2）递减,函数g（x）图如下, 结合图象, 只需g（2）＜a＜g（﹣3）即可,即﹣＜＜,故选：B．12．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图, 取PF1的中点A, 连接OA,∴2=+, =,∴+=,∵,∴•=0,∴⊥,∵,不妨设|PF2|=m, 则|PF1|=m,∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m,∴m=a=2（﹣1）a,∵|F1F2|=2c,∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2）,∴=9﹣6=（﹣）2,∴e=﹣,故选：A二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分13．（5分）命题“∀x∈R, 都有x2+|x|≥0”的否定是∃x0∈R, 使得．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题, 可得命题“∀x∈R, 都有x2+|x|≥0”的否定是“∃x0∈R, 使得”．故答案为：∃x0∈R, 使得．14．（5分）长、宽、高分别为1, 2, 3的长方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为14π．【解答】解：∵长、宽、高分别为1, 2, 3的长方体的顶点都在同一球面上,∴球半径R==,∴该球的表面积为S=4π×R2=4=14π．故答案为：14π．15．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立, 解得A（）,∵=（2, 3）, =（x, y）,∴z=•=2x+3y, 化为y=, 由图可知, 当直线y=过A时,直线在y轴上的截距最大, z有最小值为．故答案为：．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 点A（0, ﹣3）, 若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|, 则实数a的取值范围是[0, 3]．【解答】解：设点M（x, y）, 由|MA|=2|MO|,得到：,整理得：x2+y2﹣2y﹣3=0,∴点M在圆心为D（0, 1）, 半径为2的圆上．又点M在圆C上, ∴圆C与圆D有公共点,∴1≤|CD|≤3,∴1≤≤3,解得0≤a≤3．即实数a的取值范围是[0, 3]．故答案为：[0, 3]．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意, 在△ABC中, a+2acosB=c,由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．因为A, B∈（0, π）,所以B﹣A∈（﹣π, π）, 且A+（B﹣A）=B∈（0, π）, 所以A+（B﹣A）≠π,所以A=B﹣A, B=2A．（Ⅱ）由（Ⅰ）知, ．由△ABC为锐角三角形得,得, 则0＜cosB＜,由a+2acosB=2得,又由0＜cosB＜,则．18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100]内, 且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80, 则称该日畅销, 其余为滞销, 根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天, 再从这5天中随机抽取2天, 求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．【解答】解：（Ⅰ）由题知, 解得5≤n≤9, n可取5, 6, 7, 8, 9,代入中,得,解得a=0.15．（Ⅱ）滞销日与畅销日的频率之比为（0.1+0.1+0.2）：（0.3+0.3）=2：3,则抽取的5天中, 滞销日有2天, 记为a, b, 畅销日有3天, 记为C, D, E,再从这5天中抽出2天, 基本事件有ab, aC, aD, aE, bC, bD, bE, CD, CE, DE, 共10个,2天中恰有1天为畅销日的事件有aC, aD, aE, bC, bD, bE, 共6个,则这2天中恰有1天是畅销日的概率为p=．19．（12分）如图, 已知在四棱锥P﹣ABCD中, 平面PAD⊥平面ABCD, 且PA⊥PD, PA=PD, AD=4, BC∥AD, AB=BC=CD=2, E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取PA的中点F, 连接BF, EF．在△PAD中, EF为中位线,则, 又, 故,则四边形BCEF为平行四边形, 得CE∥BF,又BF⊂平面PAB, CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB．解：（Ⅱ）由E为PD的中点, 知点D到平面PBC的距离是点E到平面PBC的距离的两倍, 则．由题意知, 四边形ABCD为等腰梯形, 且AB=BC=CD=2, AD=4, 其高为,则．取AD的中点O, 在等腰直角△PAD中, 有, PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD, 故PO⊥平面ABCD,则点P到平面ABCD的距离即为PO=2．,故三棱锥E﹣PBC的体积．20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得, |（x+y）（x﹣y）|=2．因为点P在区域W内, 所以x+y与x﹣y同号, 得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2,即点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D, 当直线l的斜率不存在时, , , 得．当直线l的斜率存在时, 设其方程为y=kx+m, 显然k≠0, 则,把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0,由直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0,得m2=2（k2﹣1）＞0, 得k＞1或k＜﹣1．设A（x1, y2）, B（x2, y2）, 由得, 同理, 得．所以=．综上, △OAB的面积恒为定值2．21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在, 求出公切线l的方程；若不存在, 请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由, 得,令f′（x）=0, 得．当且x≠0时, f′（x）＜0；当时, f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞, 0）上单调递减, 在上单调递减, 在上单调递增；（Ⅱ）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在公共点且在公共点处有公切线, 且切点横坐标为x0＞0,则, 即, 其中（2）式即．记h（x）=4x3﹣3e2x﹣e3, x∈（0, +∞）, 则h'（x）=3（2x+e）（2x﹣e）,得h（x）在上单调递减, 在上单调递增,又h（0）=﹣e3, , h（e）=0,故方程h（x0）=0在（0, +∞）上有唯一实数根x0=e, 经验证也满足（1）式．于是, f（x0）=g（x0）=3e, f′（x0）=g'（x0）=3,曲线y=g（x）与y=g（x）的公切线l的方程为y﹣3e=3（x﹣e）,即y=3x．（二）选考题：共10分.请考生在22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ,所以ρ2sin2θ=4ρcosθ, 即y2=4x,因此曲线C表示顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线．（Ⅱ）, 化为普通方程为y=2x﹣1,代入y2=4x,并整理得4x2﹣8x+1=0,所以,=,=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时, ,∴, ∴．∴,∴, 当且仅当m=n时等号成立,∵m, n＞0, 解得, 当且仅当m=n时等号成立,故m+n的最小值为．（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2],当x∈[﹣1, 2]时, 有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x,∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1, 2]恒成立,当时, a（1﹣2x）≥1﹣2x, ∴a≥1；当时, a（2x﹣1）≥1﹣2x, ∴a≥﹣1．综上：a≥1．故实数a的取值范围是[1, +∞）．2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a∈R, 复数z=, 若=z, 则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（5分）已知集合M={x|≤0}, N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}, 则M∩N=（）A．[1, ] B．（, 3] C．（1, ）D．（, 2）3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据, 绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系, 则根据该折线图, 下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个4．（5分）在等比数列{an}中, 若a2=, a3=, 则=（）A．B．C．D．25．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题：“今有阳马, 广五尺, 褒七尺, 高八尺, 问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形, 一侧棱垂直于底面的四棱锥, 它的底面长, 宽分别为7尺和5尺, 高为8尺, 问它的体积是多少？”若以上条件不变,。
2018年河南省六市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年河南省六市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．[1，3]C．{0，1，2，3}D．[0，3]2．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝（2a+1）+ i的模为（）A．B．C．D．3．（5分）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．4B．7C．10D．124．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21B．20C．19D．185．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称中心完全相同，则φ＝（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α则a∥β7．（5分）为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在[10，50]，其中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n＝（）A．180B．160C．150D．2008．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．49．（5分）若函数在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M﹣m＝（）A．B．2C．D．10．（5分）若正项递增等比数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）＝0（λ∈R），则a6+λa7的最小值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．411．（5分）如图，是计算函数y＝的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是（）A．y＝﹣x，y＝0，y＝x2B．y＝﹣x，y＝x2，y＝0C．y＝0，y＝x2，y＝﹣x D．y＝0，y＝﹣x，y＝x212．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）＝﹣f（x）（其中e＝2.7182…），且在区间[e，2e]上是减函数，令a＝，b＝，c＝，则f（a），f（b），f（c）的大小关系（用不等号连接）为（）A．f（b）＞f（a）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）C．f（a）＞f（b）＞f（c）D．f（a）＞f（c）＞f（b）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设，，，若，则k＝．14．（5分）已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣2x+5，则a﹣b＝．15．（5分）抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣＝1相交于M，N两点，若∠MFN＝120°，则a＝．16．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a2＝．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，满足4a cos B﹣b cos C＝c cos B．（1）求cos B的值；（2）若，，求a和c的值．18．（12分）高三一班、二班各有6名学生去参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示．（1）若一班、二班6名学生的平均分相同，求x值；（2）若将竞赛成绩在[60，75）、[75，85）、[85，100]内的学生在学校推优时，分别赋1分、2分、3分，现在从一班的6名参赛学生中选两名，求推优时，这两名学生赋分的和为4分的概率．19．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F﹣EBC的体积．20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．2018年河南省六市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．[1，3]C．{0，1，2，3}D．[0，3]【解答】解：集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x≤0}＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝{1，2，3}．故选：A．2．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝（2a+1）+ i的模为（）A．B．C．D．【解答】解：＝＝，若为纯虚数，则，解得a＝，则z＝（2a+1）+i＝z＝2+i，则复数z＝（2a+1）+i的模为，故选：C．3．（5分）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．4B．7C．10D．12【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，2），代入目标函数z＝2x+y得z＝2×4+2＝10．即目标函数z＝2x+y的最大值为10．故选：C．4．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21B．20C．19D．18【解答】解：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5＝a1+a1+2d+a1+4d＝105，即a1+2d＝35，①a2+a4+a6＝a1+d+a1+3d+a1+5d＝99，即a1+3d＝33，②由①②联立得a1＝39，d＝﹣2，∴S n＝39n+×（﹣2）＝﹣n2+40n＝﹣（n﹣20）2+400，故当n＝20时，S n达到最大值400．故选：B．5．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称中心完全相同，则φ＝（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：若f（x）与g（x）的对称中心相同，则函数的周期相同即，则ω＝2，即f（x）＝2sin（2x+）由2x+＝kπ，即x＝﹣，即f（x）的对称中心为（﹣，0）即g（x）的对称中心为（﹣，0），则g（﹣）＝cos（2×（﹣）+φ）＝cos（kπ﹣+φ）＝±cos（φ﹣）＝0，即φ﹣＝kπ+，则φ＝kπ+，k∈Z当k＝﹣1，φ＝﹣π+＝﹣，故选：D．6．（5分）在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α则a∥β【解答】解：对于A，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故A错误；对于B，设α∩β＝m，a，b均与m平行，则a∥b，故B错误；对于C，若b⊂α，显然结论不成立，故C错误；对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，即a∥β，故D正确．故选：D．7．（5分）为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在[10，50]，其中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n＝（）A．180B．160C．150D．200【解答】解：由频率分布直方图得支出金额在[30，50]的学生所在频率为：1﹣（0.01+0.025）×10＝0.65，∵支出金额在[30，50]的学生有17人，∴n＝＝180．故选：A．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．4【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥：AD＝DC＝BD ＝2，∠ADC＝120°，BD⊥平面ADC，其直观图如图所示：AB＝BC＝2，AC＝2，底面△BCD的面积为：×2×2＝2，侧面△ABD的面积为：×2×2＝2，侧面△ADC的面积为：×2×2×＝，侧面△ACB是腰长为2，底长2的等腰三角形，故底边上的高为＝，其面积为：×2 ×＝，综上可知，最大的面的面积为，故选：B．9．（5分）若函数在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M﹣m＝（）A．B．2C．D．【解答】解：可令|x|＝t（1≤t≤4），g（t）＝﹣，由y＝，y＝﹣在[1，4]上递增，可得g（t）在[1，4]递增，g（t）的最小值为1﹣1＝0；最大值为2﹣＝，又f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，则f（x）的最小值为m＝0，最大值为M＝，则M﹣m＝，故选：A．10．（5分）若正项递增等比数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）＝0（λ∈R），则a6+λa7的最小值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．4【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，又由{a n}为正面递增等比数列，则q＞1，数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）＝0，则有1＝（a4﹣a2）+λq（a4﹣a2）＝（1+λq）（a4﹣a2），∴1+λq＝，a6+λa7＝a6（1+λq）＝＝，令g（q）＝，（q＞1），∴g′（q）＝．分析可得：1＜q＜，g′（q）＜0，g（q）在（0，）为减函数，当q＞，g′（q）＞0，g（q）在（，+∞）为增函数，则当q＝时，g（q）取得最小值，此时g（q）＝g（）＝4，∴a6+λa7的最小值为4．故选：D．11．（5分）如图，是计算函数y＝的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是（）A．y＝﹣x，y＝0，y＝x2B．y＝﹣x，y＝x2，y＝0C．y＝0，y＝x2，y＝﹣x D．y＝0，y＝﹣x，y＝x2【解答】解：由题意及框图，在①应填y＝﹣x；在②应填y＝x2；在③应填y ＝0故选：B．12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）＝﹣f（x）（其中e＝2.7182…），且在区间[e，2e]上是减函数，令a＝，b＝，c＝，则f（a），f（b），f（c）的大小关系（用不等号连接）为（）A．f（b）＞f（a）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）C．f（a）＞f（b）＞f（c）D．f（a）＞f（c）＞f（b）【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2e）＝﹣f（x），∴f（x+2e）＝f（﹣x），∴函数f（x）关于直线x＝e对称，∵f（x）在区间[e，2e]上为减函数，∴f（x）在区间[0，e]上为增函数，∵a＝，b＝，c＝，通过单调性判断，易知0＜c＜a＜b＜e∴f（c）＜f（a）＜f（b），故选：A．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设，，，若，则k＝．【解答】解：，，＝（k+1，k+2），，则：k+1+k+2＝0，解得k＝﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣2x+5，则a﹣b＝4．【解答】解：函数的导数为f′（x）＝1﹣，可得在点（1，f（1））处的切线斜率为1﹣a，由切线方程为y＝﹣2x+5，可得1﹣a＝﹣2，解得a＝3，由切点（1，3），可得3＝1+3+b，解得b＝﹣1，则a﹣b＝4，故答案为：4．15．（5分）抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣＝1相交于M，N两点，若∠MFN＝120°，则a＝．【解答】解：抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，代入双曲线的方程可得y2＝4（1+）＝4+，可设M（﹣，），∠MFN＝120°，可得tan＝tan60°＝＝，解得a＝，故答案为：．16．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a2＝．【解答】解：∵{a n}和{}都是等差数列，且公差d相等，则＝+（n﹣1）d，S n＝na1+d，令n＝2，3，可得：＝+d，＝+2d，化为：2d2＝d，解得d＝，或d＝0．d＝0时，a1＝0，与a1＞0矛盾，舍去．把d＝代入：＝+d，化为：﹣+＝0，解得a 1＝，则a2＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，满足4a cos B﹣b cos C＝c cos B．（1）求cos B的值；（2）若，，求a和c的值．【解答】解：（1）由题意得，4sin A cos B﹣sin B cos C＝sin C cos B；∴4sin A cos B＝sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A；∵sin A≠0；∴；（2）由得ac cos B＝3，ac＝12；由b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得a2+c2＝24，所以可得．18．（12分）高三一班、二班各有6名学生去参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示．（1）若一班、二班6名学生的平均分相同，求x值；（2）若将竞赛成绩在[60，75）、[75，85）、[85，100]内的学生在学校推优时，分别赋1分、2分、3分，现在从一班的6名参赛学生中选两名，求推优时，这两名学生赋分的和为4分的概率．【解答】解：（Ⅰ）由平均数相同，列方程得93+90+x+81+73+77+61＝90+94+84+72+76+63，解得x＝4；（Ⅱ）由题意知一班赋3，2，1分的学生各有2名，设赋3分的学生为A1，A2，赋2分的学生为B1，B2，赋1分的学生为C1，C2，…（6分）则从6人抽取两人的基本事件为A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2共15种，其中赋分和为4分的有5种，∴这两名学生赋分的和为4的概率为P＝＝．19．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F﹣EBC的体积．【解答】解：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BE＝G，则平面SAC∩平面EFB＝FG，∵SA∥平面EFB，∴SA∥FG，∴△GEA～△GBC，∴，∴，解得．（Ⅱ）∵，∴SE⊥AD，SE＝2，又∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∴，∴SE2+BE2＝SB2，∴SE⊥BE，∴SE⊥平面ABCD，所以．20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．【解答】解：（1）根据题意，因为△F1MN的周长为，所以，即，由直线MF1的斜率1，得，因为a2＝b2+c2，所以b＝1，c＝1，所以椭圆的标准方程为．（2）由题意可得直线MF1方程为y＝x+1，联立得，解得N（﹣，﹣），所以，因为，即，所以|QF1|＝2|PF1|，当直线l的斜率为0时，不符合题意，故设直线l的方程为x＝my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由点P在点Q的上方，且|y2|＝|2y1|，则有y2＝﹣2y1，联立，所以（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，所以，消去y2得，所以，得，又由画图可知不符合题意，所以，故直线l的斜率为．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．【解答】解：（I）当a＝4时，f（x）＝（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．f（1）＝0，即点为（1，0），函数的导数f′（x）＝lnx+（x+1）•﹣4，则f′（1）＝ln1+2﹣4＝2﹣4＝﹣2，即函数的切线斜率k＝f′（1）＝﹣2，则曲线y＝f（x）在（1，0）处的切线方程为y＝﹣2（x﹣1）＝﹣2x+2；（II）∵f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）＝1++lnx﹣a，∴f″（x）＝，∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＞f′（1）＝2﹣a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）＝0，满足题意；②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）＝0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由f（1）＝0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．另解：若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，可得（x+1）lnx﹣a（x﹣1）＞0，即为a＜，由y＝的导数为y′＝，由y＝x﹣﹣2lnx的导数为y′＝1+﹣＝＞0，函数y在x＞1递增，可得＞0，则函数y＝在x＞1递增，则＝＝2，可得＞2恒成立，即有a≤2．22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的普通方程为y＝x﹣1，∵圆C的极坐标方程为：，∴ρ2＝4ρsinθ+4ρcosθ∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0．（2）点P（2，1）在直线l上，且在圆C内，由已知直线l的参数方程是（t为参数）代入x2+y2﹣4x﹣4y＝0，得，设两个实根为t1，t2，则，即t 1，t2异号所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）|2x|+|2x﹣1|≥|2x﹣（2x﹣1）|＝1，故m≥1；…（5分）（Ⅱ）∵a＞0，b＞0，∴a+2b＞0，2a+b＞0故＝＝a2+b2+2ab＝（a+b）2，即由（Ⅰ）知a+b＝m≥1，∴．…（10分）。
2018年河南省高考数学一模试卷(理科)
2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题(本题共12小题，每小题5分,共60分）1．（5分)已知集合A={x｜x2﹣2x﹣3＞0｝，B=N，则集合（∁R A）∩B中元素的个数为（)A．2B．3C．4D．52．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(）A．﹣6B．13C．D．3．（5分）已知f（x)=sinx﹣tanx，命题p:∃x0∈（0，）,f（x0）＜0，则（）A．p是假命题,￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：∃x0∈（0，），f(x0）≥0C．p是真命题,￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题,￢p：∃x0∈（0，)，f（x0）≥04．(5分）已知程序框图如图，则输出i的值为（）A．7B．9C．11D．135．（5分）2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1）班、(2)班，(3）班、(4）班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中（1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有（)A．18种B．24种C．48种D．36种6．(5分）《九章算术》是我国古代数学名著,在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”,若某阳马”的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为（）A．1+B．1+2C．2+D．2+27．(5分）设不等式组表示的平面区域为D,若圆C:（x+1)2+y2=r2（r＞0）不经过区域D上的点，则r的取值范围为()A．（0，）∪（,+∞）B．（，+∞）C．(0，）D．［，］8．（5分)若等边三角形ABC的边长为3,平面内一点M满足6﹣3=2，则•的值为(）A．﹣B．﹣2C．2D．9．（5分）关于函数f(x)=3sin（2x﹣）+1（x∈R），下列命题正确的是(）A．由f（x1)=f（x2)=1可得x1﹣x2是π的整数倍B．y=f（x)的表达式可改写成f(x）=3cos（2x+）+1C．y=f（x）的图象关于点（，1）对称D．y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称10．（5分）设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1,若对于x∈[1，3］，f（x）＜﹣m+4恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0］B．C．D．11．（5分)设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），若双曲线的渐近线被圆M：x2+y2﹣10x=0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点,顶点P在双曲线上，则的值等于（）A．B．C．D．12．（5分)已知定义在R上的函数f（x）和g（x)分别满足f（x）=，e2x﹣2+x2﹣2f（0)•x,g′（x)+2g（x）＜0，则下列不等式恒成立的是（）A．g(2016）＜f（2）•g（2018)B．f（2）•g（2016）＜g（2018）C．g（2016）＞f（2）•g（2018）D．f（2)•g（2016）＞g（2018）二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分）13．(5分）设a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式(a﹣）6的展开式中含x2项的系数为．14．（5分）若函数f（x）=（a，b∈R）为奇函数，则f(a+b）的值为．15．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA1的长度为．16．(5分）如图，OA,OB为扇形湖面OAB的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区﹣区域I和区域Ⅱ，点C在上,∠COA=θ，CD∥OA,其中，半径OC及线段CD需要用渔网制成．若∠AOB=,OA=1，则所需渔网的最大长度为．三、解答题（共70分)17．（12分)已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1＜2,a n＞0,6S n=+3a n+2，n∈N ＊．（1）求数列｛a n｝的通项公式；（2）若对∀n∈N＊，b n=(﹣1)n，求数列{b n}的前2n项的和T2n．18．（12分)如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90°，DC=DA=2AB=2，点E为AD的中点，BD∩CE=H，PH⊥平面ABCD，且PH=4．（1)求证：PC⊥BD；（2)线段PC上是否存在一点F，使二面角B﹣DF﹣C的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．19．(12分)某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学组成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（1）估计这次考试数学成绩的平均分和众数；(2）假设在（90,100]段的学生中有3人得满分100分,有2人得99分,其余学生的数学成绩都不相同．现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．20．（12分)已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，点(2，4）在抛物线C2上．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A,B两点，M（0，2），直线AM与BM 的斜率乘积为﹣，若在椭圆上存在点N，使｜AN｜=｜BN｜,求△ABN的面积的最小值．21．（12分)已知函数f（x）=ae x+x2﹣bx(a,b∈R），其导函数为y=f′（x)．（1)当b=2时,若函数y=f′（x)在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；（2）设a≠0，点P(m，n)（m,n∈R）是曲线y=f（x)上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m）使得f（x0）﹣n=f′（)（x0﹣m）成立？并证明你的结论．[选修4—4：坐标系与参数方程选讲]22．(10分)在直角坐标系xOy中，已知直线l1：（t为参数），l2:（t为参数）,其中α∈(0，），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（1）写出l1，l2的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设l1，l2分别与曲线C交于点A,B(非坐标原点），求｜AB｜的值．［选修4—5：不等式选讲］23．设函数f（x）=|x﹣a|（a＞0）．(1）当a=2时,解不等式f（x）≥1﹣2x；（2）已知f（x）+|x﹣1｜的最小值为3，且m2n=a（m＞0,n＞0），求m+n的最小值．2018年河南省高考数学一模试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分）1．【分析】可先求出集合A=｛x｜x＜﹣1，或x＞3｝,然后进行交集、补集的运算即可．【解答】解：A=｛x|x＜﹣1，或x＞3｝；∴∁R A={x|﹣1≤x≤3};∴（∁R A)∩B={0，1,2，3}．故选：C．【点评】考查一元二次不等式的解法，以及描述法、列举法表示集合的概念,交集和补集的运算．2．【分析】利用复数的除法运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a的值．【解答】解：由复数==是纯虚数，则,解得a=﹣6．故选:A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．3．【分析】利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果．【解答】解：f（x）=sinx﹣tanx,x∈（0,）,当x=时，∴f(x）=，命题p：∃x0∈（0,)，f(x0)＜0，是真命题,命题p:∃x0∈（0，）,f（x0）＜0，则￢p：∀x∈(0，），f（x）≥0．故选:C．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值,模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=1，i=3；当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=3，i=5；当S=3时，不满足退出循环的条件，故S=15，i=7；当S=15时，不满足退出循环的条件,故S=105,i=9；当S=105时，不满足退出循环的条件,故S=945,i=11;当S=945时，不满足退出循环的条件,故S=10395，i=13；当S=10395时,满足退出循环的条件，故输出的i=13，故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5．【分析】分类讨论，第一类,一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．【解答】解：由题意，第一类,一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C32=3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21=4，故有3×4=12种．第二类,一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4，这时共有3×4=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式，故选：B．【点评】本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力,属于中档题．6．【分析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积．【解答】解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱PD⊥底面ABCD，且侧棱AD=1,∴四棱锥的四个侧面都为直角三角形,且PA=PC=，∴四棱锥的表面积为S=S底面ABCD+2S△SAD+2S△SAB=1+2××1×1+2××1×=2+．故选：C．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得到如图的△MNP及其内部，而圆C表示以（﹣1，﹣1)为圆心且半径为r的圆．观察图形，可得半径r＜CM或r＞CP时，圆C不经过区域D上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△MNP及其内部,其中M(1，1），N（2，2），P（1，3)∵圆C:(x+1）2+y2=r2（r＞0)表示以C（﹣1，0)为圆心，半径为r的圆,∴由图可得，当半径满足r＜CM或r＞CP时,圆C不经过区域D上的点，∵CM==,CP==．∴当0＜r＜或r＞时，圆C不经过区域D上的点，故选：A．【点评】本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r的取值范围．着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识,属于中档题．8．【分析】根据条件可先求出，而由即可得出,这样即可用分别表示出，然后进行数量积的运算即可．【解答】解：等边三角形ABC的边长为3;∴；;∴；∴==，=；∴===﹣2．故选:B．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，向量加法的几何意义．9．【分析】根据函数f（x)=3sin（2x﹣）+1(x∈R）,结合三角函数的性质即可判断各选项．【解答】解：函数f(x）=3sin(2x﹣）+1（x∈R)，周期T=，对于A：由f（x1)=f（x2）=1，可能x1与x2关于其中一条对称轴是对称的，此时x1﹣x2不是π的整数倍；∴A 不对．对于B：由诱导公式，3sin（2x﹣)+1=3cos［﹣（2x﹣)］+1=3cos（2x﹣）+1．∴B不对．对于C:令x=，可得f(）=3sin（2×﹣）+1=﹣1=，∴C不对，对于D:当x=﹣时，可得f（）=3sin（﹣﹣）+1=﹣1×3+1=﹣2，f(x）的图象关于直线x=﹣对称．故选：D．【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ)的信息特征，判断各选项的正误，属于中档题．10．【分析】利用分离参数法,再求出对应函数在x∈［1，3］上的最大值，即可求m 的取值范围．【解答】解：由题意，f（x)＜﹣m+4，可得m(x2﹣x+1）＜5．∵当x∈[1，3］时，x2﹣x+1∈[1,7］，∴不等式f（x）＜0等价于m＜．∵当x=3时，的最小值为，∴若要不等式m＜恒成立,则必须m＜，因此，实数m的取值范围为(﹣∞，），故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题．11．【分析】根据垂径定理求出圆心到直线的距离为d=4，再根据点到直线的距离公式可得=4,得到5b=4c，即可求出a=c，根据正弦定理可得===【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为y=x，双曲线的渐近线被圆M：x2+y2﹣10x=0，即（x﹣5）2+y2=25所截得的两条弦长之和为12,设圆心到直线的距离为d，则d==4，∴=4，即5b=4c，即b=c∵a2=c2﹣b2=c2，∴a=c，∴|AP﹣BP|=2a,由正弦定理可得===2R，∴sinB=，sinA=,sinP=，∴===,故选：C．【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，属于中档题12．【分析】f(x）=e2x﹣2+x2﹣2f（0）•x，令x=0，则f（0）=．由f′（x）=f′(1）•e2x﹣2+2x﹣2f（0）,令x=1，可得f（0）．进而得出f′（1)，f(x），f （2）．令h（x）=e2x g（x），及其已知g′(x)+2g（x）＜0，可得h′（x)=e2x[g′（x）+2g（x）]＜0，利用函数h（x)在R上单调递减，即可得出．【解答】解：f（x)=e2x﹣2+x2﹣2f（0）•x，令x=0，则f（0)=．∵f′（x）=f′(1）•e2x﹣2+2x﹣2f（0)，令x=1,则f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），解得f(0）=1．∴f′（1）=2e2．∴f（x）=e2x+x2﹣2x，∴f（2)=e4．令h（x)=e2x g（x），∵g′(x）+2g（x)＜0，∴h′（x）=e2x g′（x）+2e2x g（x)=e2x［g′(x）+2g（x）］＜0，∴函数h（x)在R上单调递减，∴h(2016）＞h（2018），∴e2016×2g（2016）＞e2018×2g(2018），可得:g（2016)＞e4g（2018）．∴g(2016）＞f（2）g(2018)．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力,属于难题．二、填空题（本题共4小题,每小题5分，共20分）13．【分析】根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．【解答】解：由于a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）｜=﹣1﹣1=﹣2，∴（﹣2﹣）6=（2+）6的通项公式为T r+1=26﹣r C6r•x3﹣r，令3﹣r=2,求得r=1，故含x2项的系数为26﹣1C61=192．故答案为:192【点评】本题主要考查定积分、二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．【分析】由已知中函数f(x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，可得a，b的值，进而可得f（a+b）的值．【解答】解：∵函数f（x)==为奇函数，故f（﹣x）=﹣f（x）恒成立,故．即，∴f（x)=，∴f（a+b)=f（1）=1﹣2=﹣1，故答案为:﹣1．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的奇偶性,函数求值,难度中档．15．【分析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长,即可求出AA1的长度．【解答】解:由题意,△ABC的外接圆即为球的大圆，r=2，设底面△ABC外接圆圆心G，即GA=GB=GC=2，从而正三角形ABC边长2,设球心O,由题意，E、D在球面上,OE=OD=2,F为DE中点，则OF⊥DE，OF=GD=GC=1，在Rt△OEF中，OE=2，OF=1，∴EF=，∴DE=2，∴AA1=2．故答案为：2．【点评】本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系,通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力,逻辑推理能力．16．【分析】确定∠COD，在△OCD中利用正弦定理求得CD的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式,利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．【解答】解：由CD∥OA,∠AOB=,∠AOC=θ，得∠OCD=θ,∠ODC=，∠COD=﹣θ;在△OCD中，由正弦定理，得CD=sin（﹣θ），θ∈（0，），设渔网的长度为f（θ),可得f（θ）=θ+1+sin(﹣θ）,所以f′(θ）=1﹣cos（﹣θ）,因为θ∈(0，），所以﹣θ∈（0，），令f′（θ)=0，得cos（﹣θ)=，所以﹣θ=，所以θ=．θ（0,）（,）f′（θ）+0﹣f（θ）极大值所以f（θ)∈（2,］．故所需渔网长度的最大值为．【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了函数模型的构建与最值应用问题,是难题．三、解答题（共70分）17．【分析】（1）6S n=+3a n+2,n∈N＊．n≥2时，6a n=6S n﹣6S n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3)=0,由a n＞0，可得a n﹣a n﹣1=3，n=1时，6a1=+3a1+2，且a1＜2，解得a1．利用等差数列的通项公式可得a n．（2）b n=(﹣1）n=（﹣1）n（3n﹣2）2．b2n﹣1+b2n=﹣(6n﹣5）2+（6n﹣2）2=3（12n﹣7）=36n﹣21．利用分组求和即可得出．【解答】解：（1）6S n=+3a n+2，n∈N*．n≥2时，6a n=6S n﹣6S n﹣1=+3a n+2﹣（+2)，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=3，n=1时,6a1=+3a1+2，且a1＜2，解得a1=1．∴数列{a n｝是等差数列，首项为1，公差为3．∴a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．（2)b n=（﹣1）n=（﹣1）n（3n﹣2）2．+b2n=﹣（6n﹣5）2+(6n﹣2)2=3（12n﹣7）=36n﹣21．∴b2n﹣1∴数列｛b n｝的前2n项的和T2n=36（1+2+……+n）﹣21n=﹣21n=18n2﹣3n．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（1)推导出△BAD≌△EDC,∠DBA=∠DEH,从而BD⊥EC，由PH⊥平面ABCD，【分析】得BD⊥PH,由此能证明BD⊥平面PEC，从而PC⊥BD．（2）推导出PH、EC、BD两两垂直,建立以H为坐标原点,HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系,利用向量法能求出线段PC上存在一点F，当点F 满足CF=3时，二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【解答】证明：(1）∵AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠EDC=∠BAD=90°,∵DC=DA=2AB，E为AD的中点，∴AB=ED，∴△BAD≌△EDC,∴∠DBA=∠DEH，∵∠DBA+∠ADB=90°,∴∠DEH+∠ADB=90°，∴BD⊥EC,又∵PH⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PH，又∵PH∩EC=H，且PH,EC⊂平面PEC，∴BD⊥平面PEC，又∵PC⊂平面PEC，∴PC⊥BD．解：（2）由(1）可知△DHE∽△DAB，由题意得BD=EC=5，AB=DE=，∴,∴EH=1，HC=4，DH=2,HB=3，∵PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，H(0，0，0）,B（3，0，0)，C（0，4，0)，D（﹣2，0，0），P（0，0，4）,假设线段PC上存在一点F满足题意，∵与共线,∴存在唯一实数λ，（0≤λ≤1)，满足=λ，解得F（0，4﹣4λ，4λ),设向量=（x,y,z）为平面CPD的一个法向量,且=（0,﹣4，4），=(﹣2，﹣4,0）,∴，取x=2,得=（2，﹣1,﹣1），同理得平面CPD的一个法向量=(0，λ，λ﹣1），∵二面角B﹣DF﹣C的余弦值是，∴|cos＜＞｜===，由0≤λ≤1,解得λ=，∴=,∵CP=4,∴线段PC上存在一点F,当点F满足CF=3时,二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【点评】本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想,是中档题．19．【分析】（1)把组中值看作各小组的平均数,根据加权平均数公式计算;（2）根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列．【解答】解:（1）=45×0。
2018年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)
2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}3．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．4．（5分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C．∃x0∈（0，+∞），使成立D．“若，则”是真命题5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．36．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm37．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），记T n=，则T2018=（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）A．B．2 C．D．912．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m 的取值范围为（）A． B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为．14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=．15．（5分）已知数列{a n}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）=．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：女生测试情况（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？临界值表：附：（，其中n=a+b+c+d）19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若，求点B到平面PAC的距离．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C 到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x 轴平行．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i【解答】解：==﹣1﹣3i故选A2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}【解答】解：∵A∩B=A，∴A⊆B．∵集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，∴a≥2故选：D．3．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）•=0，即2﹣•=0，即1+m2﹣（m﹣1+2m）=0，即m2﹣3m+2=0，得m=1或m=2，当m=1时，量=（1，1），=（0，2），满足≠，当m=2时，量=（1，2），=（1，2），不满足≠，综上m=1，故选：B．4．（5分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C．∃x0∈（0，+∞），使成立D．“若，则”是真命题【解答】解：“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故A错；“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假命题，比如m=0，若a＜b，则am2=bm2，故B错；对任意x＞0，均有3x＜4x成立，故C错；对若，则”的逆否命题是“若α=，则sinα=”为真命题，则D正确．故选D．5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．3【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．6．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选B．7．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）=sin[2（x+）+]=﹣sin2x的图象，故本题即求y=sin2x的减区间，令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数g（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故选：B．8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），记T n=，则T2018=（）A．B．C．D．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），则：数列为等差数列．设公差为d，则：d=a2﹣a1=2﹣1=1，则：a n=1+n﹣1=n．故：，则：，所以：，=，=，=．所以：．故选：C9．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]【解答】解：当x≤0时，f（x）单调递增，∴f（x）≤f（0）=1﹣a，当x＞0时，f（x）单调递增，且f（x）＞﹣a．∵f（x）在R上有两个零点，∴，解得0＜a≤1．故选A．10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．【解答】解：方法一：依题意，作图如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay﹣ab，x=y﹣a，∵PF1⊥PF2，则•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（）2+y2﹣c2，令f（y）=（）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）×+2y，∴由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．方法二：由直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，由题意可知：直线AB与圆O：x2+y2=c2相切，可得d==c，两边平方，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）A．B．2 C．D．9【解答】解：甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得x=1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）=598+y，乙班学生的平均分是86，且总分为86×7=602，所以y=4，若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则xy=G2，2G=a+b，即有a+b=4，a＞0，b＞0，则+=（a+b）（+）=（1+4++）≥（5+2）=×9=，当且仅当b=2a=时，的最小值为．12．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m 的取值范围为（）A． B．C．D．【解答】解：根据题意，对于（2x﹣）•ln≤，变形可得（2x﹣）ln≤，即（2e﹣）ln≤，设t=，则（2e﹣t）lnt≤，t＞0，设f（t）=（2e﹣t）lnt，（t＞0）则其导数f′（t）=﹣lnt+﹣1，又由t＞0，则f′（t）为减函数，且f′（e）=﹣lne+﹣1=0，则当t∈（0，e）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，当t∈（e，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，则f（t）的最大值为f（e），且f（e）=e，若f（t）=（2e﹣t）lnt≤恒成立，必有e≤，解可得0＜m≤，即m的取值范围为（0，]；故选：D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为1．【解答】解：设变量x，y满足约束条件在坐标系中画出可行域三角形，平移直线4x﹣y=0经过点A（1，3）时，4x﹣y最小，最小值为：1，则目标函数z=4x﹣y的最小值：1．故答案为：1．14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=3．【解答】解：∵直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，∴，解得a=3．故答案为：3．15．（5分）已知数列{a n}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）=100．【解答】解：∵，∴log2a n+1﹣log2a n=1，即，∴．∴数列{a n}是公比q=2的等比数列．则a101+a102+…+a110=（a1+a2+a3+…+a10）q100=2100，∴log2（a101+a102+…+a110）=．故答案为：100．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OM的方程为y=x，则另一渐近线ON的方程为y=﹣x，由FM的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=x，可得M的横坐标为，由FM的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=﹣x，可得N的横坐标为．由2=，可得2（﹣c）=﹣c，即为﹣c=，由e=，可得﹣1=，即有e4﹣5e2+4=0，解得e2=4或1（舍去），即为e=2，即c=2a，b=a，可得渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．【解答】解：（1）由正弦定理可知：===2R，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由2ccosB=2a+b，则2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，由0＜B＜π，sinB≠0，cosC=﹣，0＜C＜π，则C=；（2）由S=absinC=c，则c=ab，由c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab，∴=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时取等号，∴ab≥12，故ab的最小值为12．18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：女生测试情况（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？临界值表：附：（，其中n=a+b+c+d）【解答】解：（1）按分层抽样男生应抽取80名，女生应抽取20名；∴x=80﹣（5+10+15+47）=3，y=20﹣（2+3+10+2）=3；抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为A，B，C；两位女生设为a，b；从5名任意选2名，总的基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个；设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件A”；则事件包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6个；∴P（A）==；（2）填写2×2列联表如下：则K2=≈9.091；∵9.091＞6.635且P（K2≥6.635）=0.010，∴在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关”．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若，求点B到平面PAC的距离．【解答】证明：（1）连接CD，据题知AD=4，BD=2，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴cos，∴=8，∴CD=2，∴CD2+AD2=AC2，∴CD⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，CD∩AC=C，∴PD⊥平面ABC．解：（2）∵，∴PD=AD=4，∴PA=4，在Rt△PCD中，PC==2，∴△PAC是等腰三角形，∴，设点B到平面PAC的距离为d，=V P﹣AEC，得，由V E﹣PAC∴d==3，故点B到平面PAC的距离为3．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C 到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0可化为（x+1）2+（y﹣1）2=1，则圆心为（﹣1，1）．抛物线E：y2=2px（p＞0），焦点坐标F（），由于：圆心C到抛物线焦点F的距离为．则：，解得：p=6．故抛物线的方程为：y2=12x（2）设直线的方程为x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），则：，整理得：y2﹣12my﹣12t=0，所以：y1+y2=12m，y1y2=﹣12t．由于：OA⊥OB．则：x1x2+y1y2=0．即：（m2+1）y1y2+mt（y1+y2）+t2=0．整理得：t2﹣12t=0，由于t≠0，解得t=12．故直线的方程为x=my+12，直线经过定点（12，0）．当CN⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到直线的距离取最大值．当CP⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到动直线L的距离取得最大值．k MP=k CP=﹣，则：m=．此时直线的方程为：x=，即：13x﹣y﹣156=0．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x 轴平行．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a=0，解得：a=1，∴f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（1）不等式f（x）﹣+2x+＞k（x﹣1）可化为lnx﹣+x﹣＞k（x﹣1），令g（x）=lnx﹣+x﹣﹣k（x﹣1），（x＞1），g′（x）=，∵x＞1，令h（x）=﹣x2+（1﹣k）x+1，h（x）的对称轴是x=，①当≤1时，即k≥﹣1，易知h（x）在（1，x0）上递减，∴h（x）＜h（1）=1﹣k，若k≥1，则h（x）≤0，∴g′（x）≤0，∴g（x）在（1，x0）递减，∴g（x）＜g（1）=0，不适合题意．若﹣1≤k＜1，则h（1）＞0，∴必存在x0使得x∈（1，x0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）递增，∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．②当＞1时，即k＜﹣1，易知必存在x0使得h（x）在（1，x0）递增，∴h（x）＞h（1）=1﹣k＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）递增，∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．综上，k的取值范围是（﹣∞，1）．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】（1）直线L的参数方程为：（α为参数）．曲线C的极坐标方程是，转化为直角坐标方程为：y2=8x（2）当时，直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2=8x得到：．（t1和t2为A和B的参数），所以：，t 1t2=﹣16．所以：．O到AB的距离为：d=．则：=．23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得|x+3|＜|2x﹣1|，即|x+3|2＜|2x﹣1|2，则有3x2﹣10x﹣8＞0，∴x＜﹣或x＞4，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（4，+∞）；（2）由已知，设h（x）=2f（x）+g（x）=2|x+3|+|2x﹣1|=，当x≤﹣3时，只需﹣4x﹣5＞ax+4恒成立，即ax＜﹣4x﹣9，∵x≤﹣3＜0，∴a＞=﹣4﹣恒成立，∴a＞，∴a＞﹣1，当﹣3＜x＜时，只需7＞ax+4恒成立，即ax﹣3＜0恒成立，只需，∴，∴﹣1≤a≤6，当x≥时，只需4x+5＞ax+4恒成立，即ax＜4x+1，∵x≥＞0，∴a＜=4+恒成立，∵4+＞4，且无限趋近于4，∴a≤4，综上，a的取值范围是（﹣1，4]．。
3.2018年河南省六市高三第一次联考数学(理)参数答案
143;
1 x22 － (x1+x2)x2=lnx2+ 2
1 2
x22－(
1 x2
+x
2 )x2
=lnx2－
1
x
2 2
－1
2
…………………………………………………………………
令 t(x)=lnx－ 1 x 2 －1 （x>1） 2
t/ (x)=
1 －x
0 所以 t(x)在（ 1，
所以 | PA | | PB | | t1 | |t 2 | |t1 t2 | 2 .
....................................10 分
23.解：（Ⅰ） | 2x | | 2x 1|≥| 2x (2 x 1) | 1 ，故 m ≥ 1 ； ……５ 分
（Ⅱ）由题知 a b ≥ 1，故 ( a 2
x1
x2
2 p, y1
y2
x1
x2
p 3p
得
AB 中点为
D(
3 p,
p)
2
AB 中垂线为 y
3 p
2
(x p)
x
0 代入得 y
5 p
5
2
p 2 ……………５ 分
（Ⅱ）设 l 的方程为 y kx 1，代入 x2 4 y 得 x2 4kx 4 0
AB y1 y2 2 k ( x1 x2 ) 4 4k 2 4
故 PD : AD 2h : 2m h: m 6 : 2. …………………………… 12 分
20.解：（Ⅰ） F (0, p ) 当 l 的倾斜角为 45 时， l 的方程为 y x p
2
2
设 A( x1, y1), B( x2 , y2 )
2018年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)
2018 年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．（5 分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣ 1﹣ 3i B．﹣ 1+3i C．1﹣3i D．1+3i2．（5 分）设会合 A={ x| 1＜x＜2} ，B={ x| x＜ a} ，若 A∩ B=A，则 a 的取值范围是（）A．{ a| a≤2}B．{ a| a≤1}C． { a| a≥1}D．{ a| a≥2}3．（5 分）设向量=（ 1， m），=（m﹣ 1， 2），且≠，若（﹣）⊥，则实数 m=（）A．2B．1C．D．4．（5 分）以下说法正确的选项是（）A．“若 a＞ 1，则 a2＞1”的否命题是“若 a＞1，则a2≤1” B．“若 am2＜bm2，则 a＜b”的抗命题为真命题C．? x0∈（ 0，+∞），使成立D．“若，则”是真命题5．（ 5 分）我国古代数学文籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相遇？”现用程序框图描绘，以下图，则输出结果n=（）A．4B．5C．2D．36．（5 分）若某几何体的三视图（单位：cm）以下图，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm37．（5 分）若将函数f（x）= sin（ 2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，获得 g（x）的图象，则函数g（x）的单一递加区间为（）A．[ kπ﹣，kπ+] （k∈Z） B． [ kπ+，kπ+] （ k∈ Z）C．[ kπ﹣，kπ﹣] （ k∈ Z）D．[ kπ﹣，kπ+] （ k∈ Z）8．（5 分）已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，a1=1，a2=2，且 a n+2﹣ 2a n+1+a n=0（ n∈*），记 Tn= ，则 2018 （）N T = A．B．C．D．9．（5 分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数 a 的取值范围是（）A．（0，1] B．[ 1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞， 1]10．（ 5 分）已知椭圆的左极点和上极点分别为A， B，左、右焦点分别是F1， F2，在线段 AB 上有且只有一个点P 知足 PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．11．（ 5 分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7 名学生参加 2018 年全国高中数学联赛（河南初赛），他们获得的成绩（满分140 分）的茎叶图如图所示，此中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的均匀数是86，若正实数 a，b 知足 a，G，b 成等差数列且 x，G，y 成等比数列，则的最小值为（）A．B．2C．D．912．（ 5 分）若关于随意的正实数x， y 都有成立，则实数m 的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．（ 5 分）设变量 x，y 知足拘束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为．14．（5 分）假如直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+（a﹣1）y=a﹣7 平行，则 a=．15．（5 分）已知数列 { a n } 知足，且a1+a2+a3+ +a10=1，则 log2（a101+a102+ +a110）=．16．（5 分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（ 12 分）在△ ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，且 2ccosB=2a+b．（ 1）求角 C；（ 2）若△ ABC的面积为，求ab的最小值．18．（ 12 分） 2017 年 10 月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了观察高中学生的身体素质比状况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200 名）学生的测试成绩，依据性别按分层抽样的方法抽取100 名进行剖析，获得如下统计图表：男生测试状况：抽样状况病残免试不合格合格优异优异人数5101547x女生测试状况抽样状况病残免试不合格合格优异优异人数2310y 2（ 1）现从抽取的 1000 名且测试等级为“优异”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰巧是一男一女的概率；（2）若测试等级为“优异”或“优异”的学生为“体育达人”，其余等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，依据以上统计数据填写下边列联表，并回答可否在出错误的概率不超出 0.010 的前提下以为“能否为体育达人”与性别相关？男性女性总计体育达人非体育达人总计临界值表：P（K2≥ k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 附：（，此中 n=a+b+c+d）19．（12 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC中，平面 PAB⊥平面 ABC，AB=6，，，D，E 为线段 AB 上的点，且 AD=2DB， PD⊥AC．（ 1）求证： PD⊥平面 ABC；（ 2）若，求点B到平面PAC的距离．20．（ 12 分）已知圆 C：x2+y2+2x﹣2y+1=0 和抛物线 E：y2=2px（p＞0），圆心 C 到抛物线焦点 F 的距离为．（1）求抛物线 E 的方程；（2）可是原点的动直线 l 交抛物线于 A，B 两点，且知足 OA⊥OB．设点 M 为圆C 上随意一动点，求当动点M 到直线 l 的距离最大时的直线l 方程．21．（ 12 分）已知函数 f （x）=lnx﹣a（x+1），a∈R 在（ 1，f（ 1））处的切线与 x 轴平行．（ 1）求 f （x）的单一区间；（ 2）若存在 x0＞，当∈（，0 ）时，恒有成立，求1 x1 xk的取值范围．22．（ 10 分）在平面直角坐标系xOy 中，直线 l 过点（ 1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是．（ 1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；（ 2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△ AOB的面积．23．设函数 f （x）=| x+3| ，g（x） =| 2x﹣ 1| ．（1）解不等式 f （x）＜ g（x）；（2）若 2f（ x） +g（x）＞ ax+4 对随意的实数 x 恒成立，求 a 的取值范围．2018 年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．（5 分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣ 1﹣ 3i B．﹣ 1+3i C．1﹣3i D．1+3i【解答】解：==﹣1﹣3i应选 A2．（5 分）设会合 A={ x| 1＜x＜2} ，B={ x| x＜ a} ，若 A∩ B=A，则 a 的取值范围是（）A．{ a| a≤2} B．{ a| a≤1} C． { a| a≥1} D．{ a| a≥2} 【解答】解：∵ A∩ B=A，∴A? B．∵会合 A={ x| 1＜ x＜ 2} ，B={ x| x＜a} ，∴a≥ 2应选： D．3．（5 分）设向量=（ 1， m），=（m﹣ 1， 2），且≠，若（﹣）⊥，则实数 m=（）A．2B．1C．D．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）? =0，即2﹣?=0，即 1+m2﹣（ m﹣ 1+2m）=0，即 m2﹣ 3m+2=0，得 m=1 或 m=2，当 m=1 时，量 =（1，1）， =（ 0， 2），知足≠，当 m=2 时，量 =（1，2）， =（ 1， 2），不知足≠，综上 m=1，应选： B．4．（5 分）以下说法正确的选项是（）A．“若 a＞ 1，则 a2＞1”的否命题是“若 a＞1，则a2≤1” B．“若 am2＜bm2，则 a＜b”的抗命题为真命题C．? x0∈（ 0，+∞），使成立D．“若，则”是真命题【解答】解：“若 a＞1，则 a2＞1”的否命题是“若 a≤1，则 a2≤1”，故 A 错；“若 am2＜bm2，则 a＜b”的抗命题为假命题，比方 m=0，若 a＜b，则am2=bm2，故 B错；对随意 x＞0，均有 3x＜ 4x成立，故 C 错；对若，则”的逆否命题是“若α= ，则sinα=”为真命题，则 D正确．应选D．5．（ 5 分）我国古代数学文籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相遇？”现用程序框图描绘，以下图，则输出结果n=（）第 8页（共 24页）A．4B．5C．2D．3【解答】解：模拟履行程序，可得a=1， A=1，S=0，n=1S=2不知足条件 S≥10，履行循环体， n=2，a= ， A=2，S=不知足条件 S≥10，履行循环体， n=3，a= ， A=4，S=不知足条件 S≥10，履行循环体， n=4，a= ， A=8，S=知足条件 S≥ 10，退出循环，输出n 的值为 4．应选： A．6．（5 分）若某几何体的三视图（单位：cm）以下图，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为 5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V= × 3× 4× 5﹣××3×4×5=20（cm3）．应选 B．7．（5 分）若将函数 f（x）= sin（ 2x+ ）图象上的每一个点都向左平移个单位，获得 g（x）的图象，则函数 g（x）的单一递加区间为（）A．[ kπ﹣， kπ+ ] （k∈Z） B． [ kπ+ ，kπ+ ] （ k∈ Z）C．[ kπ﹣，kπ﹣]（k∈ Z）D．[ kπ﹣，kπ+ ] （ k∈ Z）【解答】解：将函数 f（x）= sin（ 2x+ ）图象上的每一个点都向左平移个单位，获得 g（x）= sin[ 2（x+ ）+ ] =﹣ sin2x 的图象，故此题即求 y=sin2x 的减区间，令 2kπ+ ≤ 2x≤2kπ+ ，求得 kπ+ ≤ x≤kπ+，故函数 g（x）的单一递加区间为 [ kπ+，kπ+] ，k∈ Z，应选： B．8．（5 分）已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，a1=1，a2=2，且 a n+2﹣ 2a n+1+a n=0（ n∈*），记 Tn= ，则 2018 （）N T =A．B．C．D．【解答】解：数列 { a n } 的前 n 项和为 S n，a1=1，a2=2，且 a n+2﹣ 2a n+1+a n=0（ n∈N*），则：数列为等差数列．设公差为 d，则： d=a2﹣a1=2﹣1=1，则： a n ﹣．=1+n 1=n故：，则：，因此：，= ，= ，=．因此：．应选： C9．（5 分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数 a 的取值范围是（）A．（0，1] B．[ 1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞， 1]【解答】解：当 x≤ 0 时， f （x）单一递加，∴ f（x）≤ f（0）=1﹣a，当 x＞0 时， f （x）单一递加，且 f （x）＞﹣a．∵ f（x）在 R 上有两个零点，∴，解得0＜a≤ 1．应选 A．10．（ 5 分）已知椭圆的左极点和上极点分别为A， B，左、右焦点分别是F1， F2，在线段 AB 上有且只有一个点P 知足 PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．【解答】解：方法一：依题意，作图以下： A（﹣ a，0），B（0，b），F1（﹣ c，0），F2（ c，0），∴直线 AB 的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），则 bx=ay﹣ab，x= y﹣a，∵PF1⊥ PF2，则?=（﹣ c﹣x，﹣ y） ?（ c﹣x，﹣ y） =x2+y2﹣c2=（）2+y2﹣c2，令 f（ y） =（）2+y2﹣c2，则 f ′（y）=2（ y﹣ a）× +2y，∴由 f ′（y）=0 得： y=，于是x=﹣，∴?=（﹣）2+（）2﹣ c2，=0整理得：=c2，又 b2=a2﹣c2，整理得： c4+3c2c2﹣ a4=0，两边同时除以a4，由 e2 ，∴4﹣ 3e2+1=0，∴ e2= ，又椭圆的离心率e∈（，），= e 0 1∴ e2=．椭圆的离心率的平方，应选 B．方法二：由直线AB 的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，由题意可知：直线AB 与圆 O：x2+y2=c2相切，可得 d= =c，两边平方，整理得： c4+3c2 2﹣ a4 ，两边同时除以4，由c =0 ae2=，e4﹣3e2+1=0，∴ e2=，又椭圆的离心率e∈（ 0，1），∴ e2 =．椭圆的离心率的平方，应选 B．11．（ 5 分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7 名学生参加 2018 年全国高中数学联赛（河南初赛），他们获得的成绩（满分140 分）的茎叶图如图所示，此中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的均匀数是86，若正实数 a，b 知足 a，G，b 成等差数列且 x，G，y 成等比数列，则的最小值为（）A．B．2C．D．9【解答】解：甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得 x=1；由茎叶图可知乙班学生的总分为 76+80× 3+90× 3+（0+2+y+1+3+6）=598+y，乙班学生的均匀分是 86，且总分为 86×7=602，因此 y=4，若正实数 a、b 知足： a， G，b 成等差数列且 x，G，y 成等比数列，则 xy=G2，2G=a+b，即有 a+b=4，a＞0，b＞0，则+ =（a+b）（+）=（1+4++）≥（5+2）=×9=，当且仅当 b=2a= 时，的最小值为．12．（ 5 分）若关于随意的正实数 x， y 都有成立，则实数 m 的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：依据题意，关于（ 2x﹣）?ln ≤ ，变形可得（2x﹣）ln ≤，即（ 2e﹣）ln ≤ ，设 t= ，则（ 2e﹣ t）lnt ≤， t＞0，设 f（ t）=（2e﹣t） lnt，（t ＞0）则其导数 f ′（t） =﹣ lnt+ ﹣ 1，又由 t ＞0，则 f ′（ t）为减函数，且 f ′（ e）=﹣lne+ ﹣ 1=0，则当 t ∈（ 0，e）时， f ′（t）＞ 0，f（t ）为增函数，当 t∈（ e，+∞）时， f ′（t）＜ 0，f（ t）为减函数，则 f（ t）的最大值为 f （e），且 f （e）=e，若 f（ t）=（2e﹣t） lnt≤恒成立，必有 e≤，解可得 0＜ m≤，即 m 的取值范围为（ 0， ] ；应选： D．二、填空题（此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．（ 5 分）设变量 x，y 知足拘束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为1．【解答】解：设变量 x，y 知足拘束条件在座标系中画出可行域三角形，平移直线 4x﹣y=0 经过点 A（1，3）时， 4x﹣y 最小，最小值为： 1，则目标函数 z=4x﹣y 的最小值： 1．故答案为： 1．14．（ 5 分）假如直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+（a﹣ 1） y=a﹣7 平行，则 a=3 ．【解答】解：∵直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+（a﹣ 1）y=a﹣ 7 平行，∴，解得 a=3．故答案为： 3．15．（5 分）已知数列 { a n } 知足，且a1+a2+a3+ +a10=1，则 log2（a101+a102+ +a110）= 100 ．【解答】解：∵，∴ log2a n+1﹣ log2 a n=1，即，∴．∴数列 { a n} 是公比 q=2 的等比数列．则 a101+a102+ +a110=（ a1+a2+a3+ +a10）q100=2100，∴ log2（a101+a102+ +a110）=．故答案为： 100．16．（5 分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为 y=± x ．【解答】解：由题意得右焦点 F（ c，0），设一渐近线 OM 的方程为 y= x，则另一渐近线 ON 的方程为 y=﹣ x，由 FM 的方程为 y=﹣（ x﹣c），联立方程 y= x，可得 M 的横坐标为，由 FM 的方程为 y=﹣（ x﹣c），联立方程 y=﹣ x，可得 N 的横坐标为．由 2 = ，可得 2（﹣c）= ﹣c，即为﹣c= ，由 e= ，可得﹣1= ，即有 e4﹣ 5e2+4=0，解得 e2=4 或 1（舍去），即为 e=2，即 c=2a，b=a，可得渐近线方程为y=±x，故答案为： y=±x．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（ 12 分）在△ ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，且2ccosB=2a+b．（ 1）求角 C；（ 2）若△ ABC的面积为，求ab的最小值．【解答】解：（1）由正弦定理可知：===2R，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由 2ccosB=2a+b，则 2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，∴ 2sinBcosC+sinB=0，由 0＜B＜π，sinB≠0，cosC=﹣，0＜C＜π，则 C=；（2）由 S= absinC= c，则 c= ab，由 c2=a2+b2﹣ 2abcosC=a+b2+ab，∴=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当 a=b 时取等号，∴ab≥12，故 ab 的最小值为 12．18．（ 12 分） 2017 年 10 月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了观察高中学生的身体素质比状况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，依据性别按分层抽样的方法抽取100 名进行剖析，获得如下统计图表：男生测试状况：抽样状况病残免试不合格合格优异优异人数 5 10 15 47 x女生测试状况抽样状况病残免试不合格合格优异优异人数 2 3 10 y 2 （1）现从抽取的 1000 名且测试等级为“优异”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰巧是一男一女的概率；（2）若测试等级为“优异”或“优异”的学生为“体育达人”，其余等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，依据以上统计数据填写下边列联表，并回答可否在出错误的概率不超出 0.010 的前提下以为“能否为体育达人”与性别相关？男性女性总计体育达人非体育达人总计临界值表：P（K2≥ k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 附：（，此中 n=a+b+c+d）【解答】解：（1）按分层抽样男生应抽取80 名，女生应抽取 20 名；∴x=80﹣（ 5+10+15+47） =3，y=20﹣（ 2+3+10+2）=3；抽取的 100 名且测试等级为优异的学生中有三位男生，设为A， B，C；两位女生设为 a，b；从 5 名随意选 2 名，总的基本领件有AB，AC， Aa，Ab，BC，Ba， Bb，Ca，Cb， ab，共 10 个；设“选出的两名学生恰巧是一男一女为事件A”；则事件包括的基本领件有Aa， Ab，Ba，Bb， Ca， Cb共 6 个；∴P（A）= = ；（ 2）填写 2×2 列联表以下：男生女生总计体育达人50 5 55 非体育达人30 15 45 总计80 20 100则 K2= ≈；9.091∵9.091＞6.635 且 P（K2≥6.635） =0.010，∴在出错误的概率不超出0.010 的前提下以为“能否为‘体育达人’与性别相关”．19．（12 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC中，平面 PAB⊥平面 ABC，AB=6，，，D，E 为线段 AB 上的点，且 AD=2DB， PD⊥AC．（ 1）求证： PD⊥平面 ABC；（ 2）若，求点B到平面PAC的距离．【解答】证明：（1）连结 CD，据题知 AD=4，BD=2，2 2 2，∵ AC+BC =AB ，∴∠ ACB=90°，∴ cos∴=8，∴ CD=2 ，2 2 2，∴ CD⊥AB，∴ CD +AD =AC又∵平面 PAB⊥平面 ABC，∴ CD⊥平面 PAB，∴ CD⊥PD，∵PD⊥AC，CD∩AC=C，∴ PD⊥平面 ABC．解：（ 2）∵，∴ PD=AD=4，∴ PA=4，在 Rt△PCD中， PC==2，∴△ PAC是等腰三角形，∴，设点 B 到平面 PAC的距离为 d，由 V E﹣PAC=V P﹣AEC，得，∴ d==3，故点 B 到平面 PAC的距离为 3．20．（ 12 分）已知圆：2+y2+2x﹣2y+1=0 和抛物线 E：y2 （＞），圆心CC x =2px p 0到抛物线焦点 F 的距离为．（1）求抛物线 E 的方程；（2）可是原点的动直线 l 交抛物线于 A，B 两点，且知足 OA⊥OB．设点 M 为圆C 上随意一动点，求当动点M 到直线 l 的距离最大时的直线l 方程．【解答】解：（1）圆 C：x2+y2+2x﹣2y+1=0 可化为（ x+1）2+（y﹣1）2=1，则圆心为（﹣ 1，1）．抛物线 E： y2 （＞），焦点坐标（），=2px p 0 F因为：圆心 C 到抛物线焦点 F 的距离为．则：，解得： p=6．故抛物线的方程为： y2=12x（ 2）设直线的方程为x=my+t，A（x1， y1）， B（ x2，y2），则：，整理得： y2﹣12my﹣12t=0，因此： y1+y2=12m，y1y2=﹣12t ．因为： OA⊥OB．则： x1x2+y1y2=0．即：（ m2+1） y1y2+mt （y1+y2）+t2 =0．整理得： t2﹣ 12t=0，因为 t ≠0，解得 t=12．故直线的方程为x=my+12，直线经过定点（ 12，0）．当 CN⊥ l 时，即动点 M 经过圆心 C（﹣ 1， 1）时到直线的距离取最大值．当 CP⊥ l 时，即动点 M 经过圆心 C（﹣ 1，1）时到动直线 L 的距离获得最大值．k MP=k CP=﹣，则： m=．此时直线的方程为： x=，即： 13x﹣y﹣156=0．21．（ 12 分）已知函数 f （x）=lnx﹣a（x+1），a∈R 在（ 1，f（ 1））处的切线与 x 轴平行．（ 1）求 f （x）的单一区间；（ 2）若存在 x0＞，当∈（，0 ）时，恒有成立，求1 x1 xk的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得 f（x）的定义域为（ 0，+∞），∵ f ′（ x）=﹣a，∴ f′（1）=1﹣a=0，解得：a=1，∴ f （′ x）=，令 f ′（x）＞ 0，解得： 0＜x＜1，令 f ′（x）＜ 0，解得： x ＞1，故 f（ x）在（ 0，1）递加，在（ 1， +∞）递减；（ 1）不等式 f（ x）﹣ +2x+ ＞k（x﹣1）可化为 lnx﹣+x﹣＞k（x﹣1），令 g（x） =lnx﹣ +x﹣﹣k（x﹣ 1），（x＞1），g′（ x）=，∵x＞1，令 h（x）=﹣x2+（1﹣k） x+1，h（x）的对称轴是 x=，①当≤ 1 时，即 k≥﹣ 1，易知 h（x）在（ 1， x0）上递减，∴h（ x）＜ h（ 1）=1﹣k，若 k≥1，则 h（x）≤ 0，∴g′（x）≤ 0，∴g（ x）在（ 1，x0）递减，∴g（ x）＜ g（ 1） =0，不合适题意．若﹣ 1≤k＜ 1，则 h（1）＞ 0，∴必存在 x0使得 x∈（ 1，x0）时， g′（x）＞ 0，∴g（ x）在（ 1，x0）递加，∴g（ x）＞ g（ 1） =0 恒成立，合适题意．②当＞ 1 时，即 k＜﹣ 1，易知必存在 x0使得 h（x）在（ 1，x0）递加，∴h（ x）＞ h（ 1）=1﹣k＞0，∴g′（x）＞ 0，∴ g（x）在（ 1， x0）递加，∴g（ x）＞ g（ 1） =0 恒成立，合适题意．综上， k 的取值范围是（﹣∞， 1）．22．（ 10 分）在平面直角坐标系xOy 中，直线 l 过点（ 1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是．（ 1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；（ 2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△ AOB的面积．【解答】（1）直线 L 的参数方程为：（α为参数）．曲线 C 的极坐标方程是，转变为直角坐标方程为：y2=8x（ 2）当时，直线l的参数方程为：（t为参数），代入 y2=8x 获得：．（t1和t2为A和B的参数），因此：，t 1t 2=﹣16．因此：．O 到 AB 的距离为： d=．则：=．23．设函数 f （x）=| x+3| ，g（x） =| 2x﹣ 1| ．（1）解不等式 f （x）＜ g（x）；（2）若 2f（ x） +g（x）＞ ax+4 对随意的实数 x 恒成立，求 a 的取值范围．【解答】解：（1）由已知得 | x+3| ＜ | 2x﹣ 1| ，即 | x+3| 2＜ | 2x﹣ 1| 2，则有 3x2﹣10x﹣8＞0，∴ x＜﹣或 x＞4，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（ 4，+∞）；（ 2）由已知，设 h（x）=2f（x）+g（ x） =2| x+3|+| 2x﹣1|=，当 x≤﹣ 3 时，只要﹣ 4x﹣5＞ax+4 恒成立，即 ax＜﹣ 4x﹣9，∵ x≤﹣ 3＜ 0，∴ a＞=﹣4﹣恒成立，∴ a＞，∴ a＞﹣1，当﹣ 3＜x＜时，只要7＞ax+4恒成立，即 ax﹣3＜0 恒成立，只要，∴，∴﹣ 1≤a≤ 6，当 x≥时，只要4x+5＞ax+4恒成立，即 ax＜4x+1，∵ x≥＞0，∴ a＜=4+恒成立，∵ 4+＞4，且无穷趋近于4，∴a≤ 4，综上， a 的取值范围是（﹣ 1， 4] ．。
2018年河南省高考数学一模试卷(理科)
2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合A={x|x2−2x−3>0}，B=N，则集合(∁R A)∩B中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.52. 若复数a+3i（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）1+2iA.−6B.13C.3D.√132)，f(x0)<0，则（）3. 已知f(x)=sinx−tanx，命题p:∃x0∈(0, π2)，f(x)≥0A.p是假命题，￢p:∀x∈(0, π2)，f(x0)≥0B.p是假命题，￢p:∃x0∈(0, π2)，f(x)≥0C.p是真命题，￢p:∀x∈(0, π2)，f(x0)≥0D.p是真命题，￢p:∃x0∈(0, π24. 已知程序框图如图，则输出i的值为（）A.7B.9C.11D.135. 2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中（1）班、（2）班，（3）班、（4）班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中（1）班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有（）A.18种B.24种C.48种D.36种6. 《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( )A.1+√2B.1+2√2C.2+√2D.2+2√27. 设不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0 表示的平面区域为D ，若圆C ：(x +1)2+y 2=r 2(r >0)不经过区域D 上的点，则r 的取值范围为（ ） A.(0, √5)∪(√13, +∞) B.(√13, +∞) C.(0, √5) D.[√5, √13]8. 若等边三角形ABC 的边长为3，平面内一点M 满足6CM →−3CA →=2CB →，则AM →⋅BM →的值为( ) A.−152 B.−2 C.2D.1529. 关于函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，下列命题正确的是（ ） A.由f(x 1)=f(x 2)=1可得x 1−x 2是π的整数倍 B.y =f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos(2x +π6)+1 C.y =f(x)的图象关于点(3π4, 1)对称 D.y =f(x)的图象关于直线x =−π12对称10. 设函数f(x)=mx 2−mx −1，若对于x ∈[1, 3]，f(x)<−m +4恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A.(−∞, 0]B.[0,57) C.(−∞,0)∪(0,57) D.(−∞,57)11. 设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)，若双曲线的渐近线被圆M:x 2+y 2−10x =0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sinP||sinA−sinB|的值等于（ ） A.35 B.√73C.53D.√712. 已知定义在R 上的函数f(x)和g(x)分别满足f(x)=f ′(1)2，e 2x−2+x 2−2f(0)⋅x ，g′(x)+2g(x)<0，则下列不等式恒成立的是（ ） A.g(2016)<f(2)⋅g(2018) B.f(2)⋅g(2016)<g(2018) C.g(2016)>f(2)⋅g(2018) D.f(2)⋅g(2016)>g(2018)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 设a =∫π(cosx −sinx)dx ，则二项式(a √x √x )6的展开式中含x 2项的系数为________．若函数f(x)={x(x −b),x ≥0,ax(x +2),x <0(a, b ∈R)为奇函数，则f(a +b)的值为________．已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA 1的长度为________．如图，OA ，OB 为扇形湖面OAB 的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区-区域I 和区域Ⅱ，点C 在AB^上，∠COA =θ，CD // OA ，其中AC ^，半径OC 及线段CD 需要用渔网制成．若∠AOB =π3，OA =1，则所需渔网的最大长度为________．三、解答题（共70分）已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1<2，a n >0，6S n =a n 2+3a n +2，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若对∀n ∈N ∗，b n =(−1)na n 2，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n ．如图所示，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB // CD ，∠BAD =90∘，DC =DA =2AB =2√5，点E 为AD 的中点，BD ∩CE =H ，PH ⊥平面ABCD ，且PH =4．（1）求证：PC ⊥BD ；（2）线段PC 上是否存在一点F ，使二面角B −DF −C 的余弦值是√1515？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学组成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示． （1）估计这次考试数学成绩的平均分和众数；（2）假设在(90, 100]段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同．现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．已知椭圆C 1:x 2a+y 2b =1(a >b >0)的离心率为√22，右焦点F 是抛物线C 2:y 2=2px(p >0)的焦点，点(2, 4)在抛物线C 2上． （1）求椭圆C 1的方程；（2）已知斜率为k 的直线l 交椭圆C 1于A ，B 两点，M(0, 2)，直线AM 与BM 的斜率乘积为−12，若在椭圆上存在点N ，使|AN|=|BN|，求△ABN 的面积的最小值．已知函数f(x)=ae x +x 2−bx(a, b ∈R)，其导函数为y =f′(x)．（1）当b =2时，若函数y =f′(x)在R 上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）设a ≠0，点P(m, n)(m, n ∈R)是曲线y =f(x)上的一个定点，是否存在实数x 0(x 0≠m)，使得f(x 0)−n =f′(x 0+m 2)(x 0−m)成立？并证明你的结论．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1:{x =tcosαy =tsinα （t 为参数），l 2:{x =tcos(α+π4)y =tsin(α+π4) （t 为参数），其中α∈(0, 3π4)，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ−4cosθ=0．（1）写出l1，l2的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设l1，l2分别与曲线C交于点A，B（非坐标原点），求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)=|x−a|(a>0)．（1）当a=2时，解不等式f(x)≥1−2x；（2）已知f(x)+|x−1|的最小值为3，且m2n=a(m>0, n>0)，求m+n的最小值．参考答案与试题解析2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.【答案】 C【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】可先求出集合A ={x|x <−1, 或x >3}，然后进行交集、补集的运算即可． 【解答】A ={x|x <−1, 或x >3}； ∴ ∁R A ={x|−1≤x ≤3}； ∴ (∁R A)∩B ={0, 1, 2, 3}． 2.【答案】 A【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算 复数的模复数的基本概念 【解析】利用复数的除法运算化简为a +bi(a, b ∈R)的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a 的值． 【解答】由复数a+3i1+2i =(a+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=(a+6)+(3−2a)i5=a+65+3−2a 5i 是纯虚数，则{a+65=03−2a5≠0，解得a =−6．3.【答案】 C【考点】命题的真假判断与应用 命题的否定 【解析】利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果． 【解答】f(x)=sinx −tanx ，x ∈(0, π2)，当x =π4时，∴ f(x)=√22−1<0，命题p:∃x 0∈(0, π2)，f(x 0)<0，是真命题，命题p:∃x0∈(0, π2)，f(x0)<0，则￢p:∀x∈(0, π2)，f(x)≥0．4.【答案】D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=1，i=3；当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=3，i=5；当S=3时，不满足退出循环的条件，故S=15，i=7；当S=15时，不满足退出循环的条件，故S=105，i=9；当S=105时，不满足退出循环的条件，故S=945，i=11；当S=945时，不满足退出循环的条件，故S=10395，i=13；当S=10395时，满足退出循环的条件，故输出的i=13，5.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】分类讨论，第一类，一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．【解答】由题意，第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C32＝3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21＝4，故有3×4＝12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C31＝3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21＝4，这时共有3×4＝12种，根据分类计数原理得，共有12+12＝24种不同的乘车方式，6.【答案】C【考点】由三视图求表面积【解析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积．【解答】解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， ∴ 四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱PD ⊥底面ABCD ，且侧棱PD =1，∴ 四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且PA =PC =√2， ∴ 四棱锥的表面积为S =S 底面ABCD +2S △PAD +2S △PAB=1+2×12×1×1+2×12×1×√2=2+√2． 故选C . 7.【答案】 A【考点】 简单线性规划 【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△MNP 及其内部，而圆C 表示以(−1, −1)为圆心且半径为r 的圆．观察图形，可得半径r <CM 或r >CP 时，圆C 不经过区域D 上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r 的取值范围． 【解答】作出不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0表示的平面区域，得到如图的△MNP 及其内部，其中M(1, 1)，N(2, 2)，P(1, 3)∵ 圆C ：(x +1)2+y 2=r 2(r >0)表示以C(−1, 0)为圆心，半径为r 的圆， ∴ 由图可得，当半径满足r <CM 或r >CP 时，圆C 不经过区域D 上的点， ∵ CM =√(1+1)2+12=√5，CP =√(1+1)2+32=√13． ∴ 当0<r <√5或r >√13时，圆C 不经过区域D 上的点， 8.【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算向量加减混合运算及其几何意义 【解析】根据条件可先求出CA →∗CB →=92，而由6CM →−3CA →=2CB →即可得出CM →=12CA →+13CB →，这样即可用CA →,CB →分别表示出AM →,BM →，然后进行数量积的运算即可．【解答】解：等边三角形ABC 的边长为3； ∴ CA →⋅CB →=|CA →||CB →|cos60∘=92；6CM →−3CA →=2CB →； ∴ CM →=12CA →+13CB →；∴ AM →=AC →+CM →=−CA →+12CA →+13CB →=−12CA →+13CB →，BM →=BC →+CM →=−CB →+12CA →+13CB →=12CA →−23CB →； ∴ AM →⋅BM →=(−12CA →+13CB →)⋅(12CA →−23CB →)=−14CA →2+12CA →⋅CB →−29CB →2=−94+94−2=−2． 故选B . 9.【答案】 D【考点】正弦函数的图象 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由f(x)=3sin (2x −π3)+1=1，得sin (2x −π3)=0，即2x −π3=kπ(k ∈Z)，解得x =kπ2+π6(k ∈Z)，所以x 1=k 1π2+π6(k 1∈Z ),x 2=k 2π2+π6(k 2∈Z )，所以x 1−x 2=π2(k 1−k 2)(k 1,k 2∈Z )，是π2的整数倍，故A 错误；由f(x)=3sin (2x −π3)+1，得f(x)=−3cos (2x −π3+π2)+1=−3cos (2x +π6)+1，故B 错误；由2x −π3=kπ(k ∈Z)，得x =kπ2+π6(k ∈Z)．令kπ2+π6=3π4(k ∈Z)，解得k =76，不符合题意，故C 错误；由2x −π3=kπ+π2(k ∈Z)，得x =kπ2+5π12(k ∈Z)．令k =−1，则x =−π12，即y =f(x)的图象关于直线x =−π12对称，故D 正确． 故选D ． 10.【答案】 D【考点】二次函数的性质 二次函数的图象 【解析】利用分离参数法，再求出对应函数在x ∈[1, 3]上的最大值，即可求m 的取值范围． 【解答】由题意，f(x)<−m +4，可得m(x 2−x +1)<5． ∵ 当x ∈[1, 3]时，x 2−x +1∈[1, 7]， ∴ 不等式f(x)<0等价于m <5x 2−x+1． ∵ 当x =3时，5x 2−x+1的最小值为57， ∴ 若要不等式m <5x 2−x+1恒成立， 则必须m <57，因此，实数m 的取值范围为(−∞, 57)， 11.【答案】 C【考点】 双曲线的特性 【解析】根据垂径定理求出圆心到直线的距离为d =4，再根据点到直线的距离公式可得√a 2+b 2=4，得到5b =4c ，即可求出a =35c ，根据正弦定理可得|sinP||sinA−sinB|=2c 2R |BP 2R −AP 2R |=2c 2a=53【解答】双曲线的一条渐近线方程为y =ba x ，双曲线的渐近线被圆M:x 2+y 2−10x =0，即(x −5)2+y 2=25所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为d ，则d =√25−9=4， ∴√a 2+b 2=4，即5b=4c，即b=45c∵a2=c2−b2=925c2，∴a=35c，∴|AP−BP|=2a，由正弦定理可得APsinB =PBsinA=ABsinP=2R，∴sinB=AP2R ，sinA=BP2R，sinP=2c2R，∴|sinP||sinA−sinB|=2c2R|BP2R−AP2R|=2c2a=53，12.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】f(x)=f′(1)2e2x−2+x2−2f(0)⋅x，令x=0，则f(0)=f′(1)2e．由f′(x)=f′(1)⋅e2x−2+2x−2f(0)，令x=1，可得f(0)．进而得出f′(1)，f(x)，f(2)．令ℎ(x)= e2x g(x)，及其已知g′(x)+2g(x)<0，可得ℎ′(x)=e2x[g′(x)+2g(x)]<0，利用函数ℎ(x)在R上单调递减，即可得出．【解答】f(x)=f′(1)2e2x−2+x2−2f(0)⋅x，令x=0，则f(0)=f′(1)2e2．∵f′(x)=f′(1)⋅e2x−2+2x−2f(0)，令x=1，则f′(1)=f′(1)+2−2f(0)，解得f(0)=1．∴f′(1)=2e2．∴f(x)=e2x+x2−2x，∴f(2)=e4．令ℎ(x)=e2x g(x)，∵g′(x)+2g(x)<0，∴ℎ′(x)=e2x g′(x)+2e2x g(x)=e2x[g′(x)+2g(x)]<0，∴函数ℎ(x)在R上单调递减，∴ℎ(2016)>ℎ(2018)，∴e2016×2g(2016)>e2018×2g(2018)，可得：g(2016)>e4g(2018)．∴g(2016)>f(2)g(2018)．故选：C．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】192【考点】二项式定理及相关概念定积分根据微积分基本定理首先求出a 的值，然后再根据二项式的通项公式求出r 的值，问题得以解决． 【解答】 解：由于a =∫π(cosx −sinx)dx=(sinx +cosx)|π=−1−1=−2，∴ (−2√x −√x )6=(2√x √x )6 的通项公式为 T r+1=26−r C 6r ⋅x 3−r ， 令3−r =2，求得r =1，故含x 2项的系数为26−1C 61=192． 故答案为：192. 【答案】 −1【考点】 函数的求值 分段函数的应用 【解析】由已知中函数f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)恒成立，可得a ，b 的值，进而可得f(a +b)的值． 【解答】解：∵ 函数为奇函数， 故f(−x)=−f(x)恒成立， 故{a =−1,−b =2a,即{a =−1,b =2, ∴ f(x)={x 2−2x,x ≥0,−x 2−2x,x <0,∴ f(a +b)=f(1)=1−2=−1. 故答案为−1． 【答案】 2√3【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA 1的长度． 【解答】由题意，△ABC 的外接圆即为球的大圆，r =2， 设底面△ABC 外接圆圆心G ，即GA =GB =GC =2，从而正三角形ABC 边长2√3， 设球心O ，由题意，E 、D 在球面上，OE =OD =2， F 为DE 中点，则OF ⊥DE ，OF =GD =12GC =1， 在Rt △OEF 中，OE =2，OF =1，∴ EF =√3， ∴ DE =2√3， ∴ AA 1=2√3．π+6+2√36【考点】扇形面积公式【解析】确定∠COD，在△OCD中利用正弦定理求得CD的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．【解答】由CD // OA，∠AOB=π3，∠AOC=θ，得∠OCD=θ，∠ODC=2π3，∠COD=π3−θ；在△OCD中，由正弦定理，得CD=√3sin(π3−θ)，θ∈(0, π3)，设渔网的长度为f(θ)，可得f(θ)=θ+1√3sin(π3−θ)，所以f′(θ)=1−√3cos(π3−θ)，因为θ∈(0, π3)，所以π3−θ∈(0, π3)，令f′(θ)=0，得cos(π3−θ)=√3，所以π3−θ=π6，所以θ=π6．所以f(θ)∈(2, π+6+2√36]．故所需渔网长度的最大值为π+6+2√36．三、解答题（共70分）【答案】6S n=a n2+3a n+2，n∈N∗．n≥2时，6a n=6S n−6S n−1=a n2+3a n+2−(a n−12+3a n−1+2)，化为：(a n+ a n−1)(a n−a n−1−3)=0，∵a n>0，∴a n−a n−1=3，n=1时，6a1=a12+3a1+2，且a1<2，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为3．∴a n=1+3(n−1)=3n−2．b n=(−1)na n2=(−1)n(3n−2)2．∴b2n−1+b2n=−(6n−5)2+(6n−2)2=3(12n−7)=36n−21．∴数列{b n}的前2n项的和T2n=36(1+2+……+n)−21n=36×n(n+1)2−21n= 18n2−3n．【考点】数列递推式 【解析】（1）6S n =a n 2+3a n +2，n ∈N ∗．n ≥2时，6a n =6S n −6S n−1，化为(a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0，由a n >0，可得a n −a n−1=3，n =1时，6a 1=a 12+3a 1+2，且a 1<2，解得a 1．利用等差数列的通项公式可得a n ．（2）b n =(−1)na n 2=(−1)n (3n −2)2．b 2n−1+b 2n =−(6n −5)2+(6n −2)2=3(12n −7)=36n −21．利用分组求和即可得出． 【解答】6S n =a n 2+3a n +2，n ∈N ∗．n ≥2时，6a n =6S n −6S n−1=a n 2+3a n +2−(a n−12+3a n−1+2)，化为：(a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0，∵ a n >0，∴ a n −a n−1=3，n =1时，6a 1=a 12+3a 1+2，且a 1<2，解得a 1=1．∴ 数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为3． ∴ a n =1+3(n −1)=3n −2． b n =(−1)na n 2=(−1)n (3n −2)2．∴ b 2n−1+b 2n =−(6n −5)2+(6n −2)2=3(12n −7)=36n −21． ∴ 数列{b n }的前2n 项的和T 2n =36(1+2+……+n)−21n =36×n(n+1)2−21n =18n 2−3n ． 【答案】∵ AB // CD ，∠BAD =90∘，∴ ∠EDC =∠BAD =90∘， ∵ DC =DA =2AB ，E 为AD 的中点，∴ AB =ED ， ∴ △BAD ≅△EDC ，∴ ∠DBA =∠DEH ，∵ ∠DBA +∠ADB =90∘，∴ ∠DEH +∠ADB =90∘，∴ BD ⊥EC ， 又∵ PH ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴ BD ⊥PH ，又∵ PH ∩EC =H ，且PH ，EC ⊂平面PEC ，∴ BD ⊥平面PEC ， 又∵ PC ⊂平面PEC ，∴ PC ⊥BD ． 由（1）可知△DHE ∽△DAB ，由题意得BD =EC =5，AB =DE =√5， ∴ DHDA =EHBA =DEDB ，∴ EH =1，HC =4，DH =2，HB =3， ∵ PH 、EC 、BD 两两垂直，建立以H 为坐标原点，HB 、HC 、HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴的坐标系， H(0, 0, 0)，B(3, 0, 0)，C(0, 4, 0)，D(−2, 0, 0)，P(0, 0, 4)， 假设线段PC 上存在一点F 满足题意，∵ CF →与CP →共线，∴ 存在唯一实数λ，(0≤λ≤1)，满足CF →=λCP →， 解得F(0, 4−4λ, 4λ)，设向量n →=(x, y, z)为平面CPD 的一个法向量，且CP →=(0, −4, 4)，CD →=(−2, −4, 0)， ∴ {n →∗CP →=−4y +4z =0n →∗CD →=−x −2y =0 ，取x =2，得n →=(2, −1, −1)，同理得平面CPD 的一个法向量m →=(0, λ, λ−1)，∵二面角B−DF−C的余弦值是√1515，∴|cos<n→,m→>|=|n→∗m→||n→|∗|m→|=√6∗√2λ2−2λ+1=√1515，由0≤λ≤1，解得λ=34，∴CF→=34CP →，∵CP=4√2，∴线段PC上存在一点F，当点F满足CF=3√2时，二面角B−DF−C的余弦值是√1515．【考点】二面角的平面角及求法【解析】（1）推导出△BAD≅△EDC，∠DBA=∠DEH，从而BD⊥EC，由PH⊥平面ABCD，得BD⊥PH，由此能证明BD⊥平面PEC，从而PC⊥BD．（2）推导出PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC上存在一点F，当点F满足CF=3√2时，二面角B−DF−C的余弦值是√1515．【解答】∵AB // CD，∠BAD=90∘，∴∠EDC=∠BAD=90∘，∵DC=DA=2AB，E为AD的中点，∴AB=ED，∴△BAD≅△EDC，∴∠DBA=∠DEH，∵∠DBA+∠ADB=90∘，∴∠DEH+∠ADB=90∘，∴BD⊥EC，又∵PH⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PH，又∵PH∩EC=H，且PH，EC⊂平面PEC，∴BD⊥平面PEC，又∵PC⊂平面PEC，∴PC⊥BD．由（1）可知△DHE∽△DAB，由题意得BD=EC=5，AB=DE=√5，∴DHDA =EHBA=DEDB，∴EH=1，HC=4，DH=2，HB=3，∵PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，H(0, 0, 0)，B(3, 0, 0)，C(0, 4, 0)，D(−2, 0, 0)，P(0, 0, 4)，假设线段PC上存在一点F满足题意，∵CF→与CP→共线，∴存在唯一实数λ，(0≤λ≤1)，满足CF→=λCP→，解得F(0, 4−4λ, 4λ)，设向量n →=(x, y, z)为平面CPD 的一个法向量，且CP →=(0, −4, 4)，CD →=(−2, −4, 0)， ∴ {n →∗CP →=−4y +4z =0n →∗CD →=−x −2y =0 ，取x =2，得n →=(2, −1, −1)，同理得平面CPD 的一个法向量m →=(0, λ, λ−1)， ∵ 二面角B −DF −C 的余弦值是√1515，∴ |cos <n →,m →>|=|n →∗m →||n →|∗|m →|=6∗√2λ2−2λ+1=√1515， 由0≤λ≤1，解得λ=34， ∴ CF →=34CP →，∵ CP =4√2，∴ 线段PC 上存在一点F ，当点F 满足CF =3√2时，二面角B −DF −C 的余弦值是√1515．【答案】x =45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.005×10=72（分）， 众数为75分．90分以上的人数为160×0.005×10=8人． ∴ ξ的可能取值为2，3，4， P(ξ=2)=C 33∗C51+C32∗C22C 84=435，P(ξ=3)=C 32∗C21∗C31+C31∗C22∗C31+C32∗C32+C22∗C32C 84=3970，P(ξ=4)=C 32∗C31∗C21+C33∗C51C 84=2370．∴ ξ的分布列为：∴ ξ的数学期望是E(ξ)=2×435+3×3970+4×2370=4514．【考点】频率分布直方图离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）把组中值看作各小组的平均数，根据加权平均数公式计算； （2）根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列． 【解答】x =45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.005×10=72（分）， 众数为75分．90分以上的人数为160×0.005×10=8人． ∴ ξ的可能取值为2，3，4， P(ξ=2)=C 33∗C51+C32∗C22C 84=435，P(ξ=3)=C 32∗C21∗C31+C31∗C22∗C31+C32∗C32+C22∗C32C 84=3970，P(ξ=4)=C 32∗C31∗C21+C33∗C51C 84=2370．∴ ξ的分布列为：∴ ξ的数学期望是E(ξ)=2×435+3×3970+4×2370=4514．【答案】∵ 点(2, 4)在抛物线y 2=2px 上， ∴ 16=4p ， 解得p =4，∴ 椭圆的右焦点为F(2, 0)， ∴ c =2， ∵ 椭圆C 1:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，∴ ca =√22，∴ a =2√2，∴ b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴ 椭圆C 1的方程为x 28+y 24=1，设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 由{y =kx +mx 2+2y 2=8 ，消y 可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0， ∴ x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，∴ y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+2k 2，y 1y 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−8k 21+2k 2∵ M(0, 2)，直线AM 与BM 的斜率乘积为−12， ∴ k 1⋅k 2=y 1−2x 1⋅y 2−2x 2=y 1y 2−2(y 1+y 2)+4x 1x 2=m−22(m+2)=−12，解得m =0，∴ 直线l 的方程为y =kx ，线段AB 的中点为坐标原点，由弦长公式可得|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√32(k 2+1)1+2k 2，∵ |AN|=|BN|，∴ ON 垂直平分线段AB ，当k ≠0时，设直线ON 的方程为y =−1k x ， 同理可得|ON|=12√32(1k 2+1)2×1k2+1=12√32(k 2+1)k 2+2，∴ S △ABN =12|ON|⋅|AB|=8√(k 2+1)2(k 2+2)(2k 2+1)，当k =0时，△ABN 的面积也适合上式， 令t =k 2+1，t ≥1，0<1t ≤1， 则S △ABN =8√t 2(t+1)(2t−1)=8√1−1t 2+1t+2=8√1−(1t −12)2+94，∴ 当1t =12时，即k =±1时，S △ABN 的最小值为163．【考点】椭圆的定义 【解析】（1）先求出p 的值，即可求出c 的值，根据离心率求出a 的值，即可得到椭圆方程，（2）设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由{y =kx +mx 2+2y 2=8 ，根据直线AM 与BM 的斜率乘积为−12，求出m =0，再根据弦长公式求出|AB|和|ON|，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值． 【解答】∵ 点(2, 4)在抛物线y 2=2px 上， ∴ 16=4p ， 解得p =4，∴ 椭圆的右焦点为F(2, 0)， ∴ c =2， ∵ 椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22， ∴ c a =√22，∴ a =2√2，∴ b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴ 椭圆C 1的方程为x 28+y 24=1，设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 由{y =kx +mx 2+2y 2=8 ，消y 可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0， ∴ x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，∴ y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+2k 2，y 1y 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−8k 21+2k 2∵ M(0, 2)，直线AM 与BM 的斜率乘积为−12， ∴ k 1⋅k 2=y 1−2x 1⋅y 2−2x 2=y 1y 2−2(y 1+y 2)+4x 1x 2=m−22(m+2)=−12，解得m =0，∴ 直线l 的方程为y =kx ，线段AB 的中点为坐标原点， 由弦长公式可得|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√32(k 2+1)1+2k 2，∵ |AN|=|BN|，∴ ON 垂直平分线段AB ，当k ≠0时，设直线ON 的方程为y =−1k x ， 同理可得|ON|=12√32(1k 2+1)2×1k2+1=12√32(k 2+1)k 2+2，∴ S △ABN =12|ON|⋅|AB|=8√(k 2+1)2(k 2+2)(2k 2+1)，当k =0时，△ABN 的面积也适合上式， 令t =k 2+1，t ≥1，0<1t ≤1， 则S △ABN =8√t 2(t+1)(2t−1)=8√1−1t 2+1t+2=8√1−(1t −12)2+94，∴ 当1t =12时，即k =±1时，S △ABN 的最小值为163． 【答案】解：（1）当b =2时，f(x)=ae x +x 2−2x ，(a ∈R)， f′(x)=ae x +2x −2，(a ∈R)， 由f ′(x)=0得ae x +2x −2=0，即a =2−2x e x，令ℎ(x)=2−2x e x，则ℎ′(x)=2x−4e x=0，解得x =2．当x <2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减； 当x >2时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增． ∴ ℎ(x)min =ℎ(2)=−2e 2． ∵ 当x →−∞时，ℎ(x)=2−2x e x →+∞；当x →+∞时，ℎ(x)=2−2x e x→0．所以更满足题意，则a =−2e 2或a ∈[0,+∞)．(2)由f(x)=ae x +x 2−bx ，得f ′(x)=ae x +2x −b ， 假设存在满足题意的x 0， 则有f (x 0)=f ′(x 0+m 2)(x 0−m )+n =f ′(x 0+m 2)(x 0−m )+f(m)，即f (x 0)−f(m)x 0−m=f ′(x 0+m 2)(x 0≠m )．因为f ′(x 0+m 2)=ae 12(x 0+m)+2⋅x 0+m 2−b ，f (x 0)−f(m)x 0−m =a (e x 0−e m )+(x 02−m 2)−b (x 0−m )x 0−m =a(e x 0−e m)x 0−m +(x 0+m )−b ，所以ae 12(x 0+m)+2⋅x 0+m 2−b =a (e x 0−e m )x 0−m+(x 0+m )−b ，即ae12(x 0+m)=a (e x 0−e m )x 0−m，因为a ≠0，所以e−12(x 0+m)=e x 0−e m x 0−m，不妨令t =x 0−m >0，则有e 12t+m =e m+t −e mt，两边同时除以e m ，得e 12t =e t −1t，即te 12t =e t −1，令g(t)=e t −te 12t −1，所以g ′(t)=e t −(e 12+t2e 12)=e 12(e 12−t2−1)，令ℎ(t)=e 12−t 2−1，则ℎ′(t)=12e12−12=12(e 12−1)>0(t >0)，所以ℎ(t)在(0,+∞)上单调递增，又ℎ(0)=0，所以ℎ(t)>0对于t ∈(0,+∞)恒成立，即g ′(t)>0对于t ∈(0,+∞)恒成立， 所以g(t)在(0,+∞)上单调递增，又g(0)=0， 所以g(t)>0对于t ∈(0,+∞)恒成立， 所以ae 12(x 0+m)=a (e x 0−e m )x 0−m不成立，同理可证得当t =x 0−m <0时，也不成立， 所以不存在实数x 0(x 0≠m )，使得f (x 0)−n =f ′(x 0+m 2)(x 0−m)成立．【考点】导数求函数的最值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：（1）当b =2时，f(x)=ae x +x 2−2x ，(a ∈R)， f′(x)=ae x +2x −2，(a ∈R)， 由f ′(x)=0得ae x +2x −2=0，即a =2−2x e x，令ℎ(x)=2−2x e x，则ℎ′(x)=2x−4e x=0，解得x =2．当x <2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当x >2时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增．∴ ℎ(x)min =ℎ(2)=−2e 2．∵ 当x →−∞时，ℎ(x)=2−2x e x →+∞；当x →+∞时， ℎ(x)=2−2xe x →0．所以更满足题意，则a =−2e 2或a ∈[0,+∞)．(2)由f(x)=ae x +x 2−bx ，得f ′(x)=ae x +2x −b ，假设存在满足题意的x 0，则有f (x 0)=f ′(x 0+m 2)(x 0−m )+n =f ′(x 0+m 2)(x 0−m )+f(m)， 即f (x 0)−f(m)x 0−m =f ′(x 0+m 2)(x 0≠m )．因为f ′(x 0+m 2)=ae 12(x 0+m)+2⋅x 0+m 2−b ，f (x 0)−f(m)x 0−m =a (e x 0−e m )+(x 02−m 2)−b (x 0−m )x 0−m =a(e x 0−e m )x 0−m+ (x 0+m )−b ，所以ae12(x 0+m)+2⋅x 0+m 2−b =a (e x 0−e m )x 0−m +(x 0+m )−b ， 即ae 12(x 0+m)=a (e x 0−e m )x 0−m， 因为a ≠0，所以e −12(x 0+m)=e x 0−e mx 0−m， 不妨令t =x 0−m >0，则有e 12t+m =e m+t −e m t， 两边同时除以e m ，得e 12t =e t −1t ，即te 12t =e t −1，令g(t)=e t −te 12t −1， 所以g ′(t)=e t −(e 12+t 2e 12)=e 12(e 12−t 2−1)， 令ℎ(t)=e 12−t 2−1，则ℎ′(t)=12e 12−12=12(e 12−1)>0(t >0)，所以ℎ(t)在(0,+∞)上单调递增，又ℎ(0)=0，所以ℎ(t)>0对于t ∈(0,+∞)恒成立，即g ′(t)>0对于t ∈(0,+∞)恒成立， 所以g(t)在(0,+∞)上单调递增，又g(0)=0，所以g(t)>0对于t ∈(0,+∞)恒成立，所以ae 12(x 0+m)=a (e x 0−e m )x 0−m 不成立，同理可证得当t =x 0−m <0时，也不成立，所以不存在实数x 0(x 0≠m )，使得f (x 0)−n =f ′(x 0+m 2)(x 0−m)成立．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]【答案】l1，l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R)，θ2=α+π4(ρ∈R)．曲线C的极坐标方程方程为ρ−4cosθ=0．即得ρ2−4ρcosθ=0，利用ρ2x2+y2，x=ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4．因为ρ1=4cosα，ρ2=4cos(α+π4)，所以|AB|2=ρ12+ρ22−2ρ1．ρ2cosπ4=16[cos2α+cos2(α+π4)−√2cosαcos(α+π4)]=16[cos2α+12(cosα−sinα)2−cosα(cosα−sinα)]=8，所以|AB|的值为2√2．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）考查直线l1，l2参数方程与极坐标方程的互化，曲线C的极坐标方程与直角坐标方程的互化．重点都是消去参数t．（2）利用l1，l2极坐标方程，结合余弦定理，计算出|AB|的长度．【解答】l1，l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R)，θ2=α+π4(ρ∈R)．曲线C的极坐标方程方程为ρ−4cosθ=0．即得ρ2−4ρcosθ=0，利用ρ2x2+y2，x=ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4．因为ρ1=4cosα，ρ2=4cos(α+π4)，所以|AB|2=ρ12+ρ22−2ρ1．ρ2cosπ4=16[cos2α+cos2(α+π4)−√2cosαcos(α+π4)]=16[cos2α+12(cosα−sinα)2−cosα(cosα−sinα)]=8，所以|AB|的值为2√2．[选修4-5：不等式选讲]【答案】当x≥2时，x−2≥1−2x，得x≥1，故x≥2，当x<2时，2−x≥1−2x，得x≥−1，故−1≤x<2，综上，不等式的解集是{x|x≥−1}；∵f(x)+|x−1|的最小值是3，∴f(x)+|x−1|≥|x−a−(x−1)|=|a−1|=3，故a=4，∵m+n=m2+m2+n≥3√m2∗m2∗n3=3，当且仅当m2=n即m=2，n=1时取“=”．【考点】绝对值三角不等式【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出a的值，结合基本不等式的性质求出m+n的最小值即可．【解答】当x≥2时，x−2≥1−2x，得x≥1，故x≥2，当x<2时，2−x≥1−2x，得x≥−1，故−1≤x<2，综上，不等式的解集是{x|x≥−1}；∵f(x)+|x−1|的最小值是3，∴f(x)+|x−1|≥|x−a−(x−1)|=|a−1|=3，故a=4，∵m+n=m2+m2+n≥3√m2∗m2∗n3=3，当且仅当m2=n即m=2，n=1时取“=”．。
河南省六市2018届高三第一次联考(一模)理数试题(解析版)
1．C【解析】(){|lg 21}A x x =-< (){|0210}2,12x x =<-<=, 2{|230}B x x x =--< ()1,3=-, 所以A B ⋃= ()1,12-,选C ． 2．B 【解析】因为11ia bi i+=+-,所以0,1,1,i a bi a b a b =+∴==+=选B ． 3．C【解析】试题分析：将张奖票不放回地依次取出共有种不同的取法，若获恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到张中奖票，第四次抽的最后一张奖票，共有种取法，所以概率为，故选C ．考点：古典概型及其概率的计算．5．B【解析】由A 、B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知： 药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果． 故选B ． 6．B【解析】几何体如图， SA AB SB ===，所以最大面ＳＡＢ的面积为12⨯=7．D【解析】因为2212n n a a -+= ,所以()()()100123499100250100,S a a a a a a =++++++=⨯= 选D ．9．D 【解析】试题分析：此题的程序框图的功能就是先求这2017个数的最大值，然后进行计算,2sinπb b F +=，因为2017}2017,,2,1max{== b ，所以201822017sin2017=+=πF ，故选D ． 考点：程序框图．【方法点睛】本题考查的是程序框图．对于算法与流程图的考查，一般会侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项． 10．C【解析】取SC 中点O ，则OA=OB=OC=OS,即O 为三棱锥的外接球球心，设半径为r,则2123,342r r r ⨯⨯==选C ． 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等． 12．A【解析】令1x xt e =-，则方程0x x xx e m e x e ++=-化为()2110t m t +++=有两个不等的实根12,t t ，所以312312121,11x x x x x xt t e e e=-=-=-∴3122312111x x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22121t t ==，选A ． 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 13．5【解析】b()()()0,23,23,45b =--=-∴=14．10 【解析】试题分析：由题意可得：5322=⇒=n n，所以()()rr rrr rrrr xC x x C x xC T 3105525525111---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，令31310=⇒=-r r ，所以展开式中含x 项的系数是10．考点：二项式定理． 15．1+【解析】212222 1.F l PF PQ a PF PQ a d a b -+=++≥+=+=点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围． 17．（1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）根据数列的递推关系进行化简结合等差数列的定义即可证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求出的通项公式，利用放缩法进行证明不等式．试题解析：（1）当2n ≥时， 21221nn n n S S S S --=-， 112n n n n S S S S ---=1112n n S S --=，从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列． -------6分 （2）由（1）可知，()1111221n n n S S =+-⨯=-， 121n S n ∴=-∴当2n ≥时，()()()1111111121222121n S n n n n n n n n n ⎛⎫=<=⋅=- ⎪----⎝⎭从而123111*********...112322231222n S S S S n n n n ⎛⎫++++<+-+-++-<-< ⎪-⎝⎭ ．考点：1．裂项求和；2．放缩法；3．推理能力．【方法点睛】本题主要考查的是裂项求和，放缩法，等差数列的通项公式，考查了变形能力，推理能力与计算能力，属于中档题，首先根据2221n n n S a S =-可求出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，（2）问中根据（1）中条件进行裂项求和，可发现中间部分项被消掉，因此可适当利用放缩的方法对前项和进行放大或缩小，即可证明结论，因此根据数列的递推关系结合等差数列的定义是解决问题的关键．18．(1)80岁及以上应抽取： 3人，80岁以下应抽取： 5人；(2) 2.75%；(3)2．22亿元．【解析】试题分析：（Ⅰ）从图表中求出不能自理的80岁及以上长者占比，由此能求出抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为．（Ⅱ）求出在600人中80岁及以上长者在老人中占比，用样本估计总体，能求出80岁及以上长者占户籍人口的百分比．（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X 元，则Xr 可能取值为0，120，200，220，300，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列、EX ，从而能估计政府执行此计划的年度预算．(2)在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：152045201,6006+++=用样本估计总体， 80岁及以上长者共有166116⨯=万， 80岁及以上长者占户籍人口的百分比为11100400⨯％=2.75％，求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布()~,B n p ，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度． 19．（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键；（3）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．设,,OB m OE h ==则OA =，)()(),0,0,0,,0,0,0,AB m E h向量()10,1,0n =为平面AEC 的一个法向量 ．8分设平面ABE 的一个法向量()2,,n x y z =，则20n AB ⋅= 且20n BE ⋅=，即00my my hz +=-=且，取1x =，则y z ==，则2n ⎛= ⎝⎭12分121212·cos45cos ,2·n n n n n n ∴====解得h m =故:2:2: 2.PD AD h m h m ===14分考点：1、平面与平面垂直的判定；2、平面与平面所成角余弦值的应用． 20．（1）2p =（2）3π【解析】试题分析：（1）设出直线l 的方程为2py x =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出AB 中点坐标，推出中垂线方程，结合AB 的中垂线交y 轴于点()0,5Q ，求出p 即可；（2）设l 方程为1y kx =+，代入24x y =，求出AB 的距离以及AB 中点为()22,21D k k +，令2MDN α∠=，求出S 的表达式，推出关系式SABα=，利用D 到x 轴的距离221DE k =+，求出2221cos 1222DE k k AB α+==+，分离常数即可求得S AB 的最大值．（2）设l 的方程为1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=()212122444AB y y k x x k =++=++=+ AB 中点为()22,21D k k +令2MDN α∠= 122S A B A B αα=⋅=⋅ SABα∴= D 到x 轴的距离221DE k =+222211cos 1122222DE k k k AB α+===-++ 当20k =时cos α取最小值12α的最大值为3π故S AB的最大值为3π．21．（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求导数，再研究二次方程2210x kx -+=：无根以及两个等根或两个负根时导函数不变号，为单调递增；当两个不等正根时，有三个单调区间，（2）由极值定义得122x x k +=， 121x x ⋅=，则化简()222221ln 22f x x x kx =+-为一元函数： 2221ln 12x x --，最后根据导数确定其单调性，得其最大值小于32-．当2440k ∆=->，即1k >时，2210x kx -+=，两根1,2x k =±所以(0,x k ∈， ()'0f x >(x k k ∈， ()'0f x <()x k ∈+∞, ()'0f x >故当(),1k ∈-∞时， ()f x 在()0,+∞上单调递增当()1,k ∈+∞时， ()f x 在(0,k 和()k +∞上单调递增()f x 在(k k 上单调递减．（2）()21ln 2(0)2f x x x kx x =+-> ()1'2f x x k x=+- 由（1）知1k ≤时， ()f x ()0,+∞上单调递增，此时()f x 无极值当1k >时， ()2121'2x kx f x x k x x-+=+-=由()'0f x =得2210x kx -+=2440k ∆=->，设两根12,x x ，则122x x k +=， 121x x ⋅=点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．22．（1）1y x =-， 22440x y x y +--=（2）PA PB -=【解析】试题分析：（１）根据加减消元法将直线l 的参数方程化为普通方程，根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，（２）先化直线参数方程标准形式，代入圆C 的直角坐标方程，根据参数几何意义得12PA PB t t -=+，再根据韦达定理求值．（2）点()2,1P 在直线l 上，且在圆C 内，由已知直线l的参数方程是2{ 1x y =+=+（t 为参数） 代入22440x y x y +--=，得270t -=，设两个实根为12,t t，则121270t t t t +=-<，即12,t t 异号所以1212PA PB t t t t -=-=+=点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00{ x x tcos y y tsin αα=+=+．(t 是参数，t 可正、可负、可为0) 若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α)．(2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|．(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝122t t +，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝122t t +． (4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0．23．（I ）1m ≥；（II ）详见解析．【解析】试题分析：(Ⅰ)原问题等价于()max 221m x x ≥++，结合绝对值三角不等式的性质可得1m ≥；(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可得1a b +≥，由柯西不等式可得()()2222222a b a b a b a b a b a b ⎛⎫++++≥+ ⎪++⎝⎭，即221223a b a b a b +≥++．。
河南省高考数学一模试卷(理科)(含解析)
201８年河南省高考数学一模试卷(理科）一、选择题1.已知集合A={x|x2−2x−3>0}，B=N,则集合(∁R A)∩B中元素的个数为()Ａ．2 B. 3C．4 D. 5(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数ａ的值为()2.若复数a+3i1+2iD. √13Ａ．−6ﻩB．13Ｃ．32),f(x0)<0，则()3.已知f(x)=sinx−tanx，命题p:∃x0∈(0,π2),f(x)≥0A．p是假命题,￢p:∀x∈(0,π2)，f(x0)≥0B. p是假命题,￢p:∃x0∈(0,π2)，f(x)≥0Ｃ．p是真命题，￢p：∀x∈(0,π2),f(x0)≥0D. p是真命题，￢p：∃x0∈(0,π24.已知程序框图如图，则输出i的值为()A. 7ﻩB. 9Ｃ. 11ﻩD. １35.2018年元旦假期,高三的８名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班，(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A. 18种ﻩＢ. 24种ﻩC. 4８种ﻩD. 36种6. 《九章算术》是我国古代数学名著,在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”,若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( ) A ． 1+√2B. 1+2√2ﻩC ． 2+√2ﻩD. 2+2√27. 设不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0表示的平面区域为D ,若圆C :(x +1)2+y 2=r 2(r >0)不经过区域Ｄ上的点，则ｒ的取值范围为( ) A ． (0,√5)∪(√13,+∞) Ｂ. (√13,+∞) Ｃ. (0,√5) D. [√5,√13]8. 若等边三角形ABC 的边长为3，平面内一点M 满足6CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. −152ﻩB. −2ﻩC ． 2ﻩD.1529. 关于函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，下列命题正确的是( )Ａ. 由f(x 1)=f(x 2)=1可得x 1−x 2是π的整数倍 B. y =f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos(2x +π6)+1Ｃ． y =f(x)的图象关于点(3π4,1)对称ﻩＤ. y =f(x)的图象关于直线x =−π12对称10. 设函数f(x)=mx 2−mx −1,若对于x ∈[1,3]，f(x)<−m +4恒成立，则实数m的取值范围为( )Ａ. (−∞,0]B. [0,57)ﻩC. (−∞,0)∪(0,57)ﻩD. (−∞,57)11. 设双曲线的方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0),若双曲线的渐近线被圆M :x 2+y 2−10x =0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点,顶点P 在双曲线上,则|sinP||sinA−sinB|的值等于( )Ａ. 35ﻩB. √73ﻩC ． 53ﻩD. √7 12. 已知定义在R 上的函数f(x)和g(x)分别满足f(x)=f′(1)2,e 2x−2+x 2−2f(0)⋅x ，g′(x)+2g(x)<0,则下列不等式恒成立的是( )A. g(2016)<f(2)⋅g(2018)ﻩＢ． f(2)⋅g(2016)<g(2018)C. g(2016)>f(2)⋅g(2018)ﻩD. f(2)⋅g(2016)>g(2018)二、填空题13. 设a =∫(π0cosx −sinx)dx ,则二项式(a √x −√x )6的展开式中含x 2项的系数为＿_＿___.14. 若函数f(x)={ax(x +2),x <0x(x−b),x≥0(a,b ∈R)为奇函数，则f(a +b)的值为___＿＿＿． 15. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是正三角形,侧棱AA 1⊥底面ABC ，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA 1的长度为＿＿_＿__．16. 如图,OA ,OB 为扇形湖面ＯAB 的湖岸,现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区−区域I 和区域Ⅱ，点Ｃ在AB ⌢上，∠COA =θ，CD//OA ，其中AC ⌢，半径O Ｃ及线段CD 需要用渔网制成.若∠AOB =π3，OA =1，则所需渔网的最大长度为__＿＿_＿．三、解答题17. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1<2，a n >0,6S n =a n 2+3a n +2,n ∈N ∗.(1)求数列{a n }的通项公式;ﻫ(2)若对∀n ∈N ∗,b n =(−1)n a n 2,求数列{b n }的前2ｎ项的和T 2n .ﻩ ﻩ ﻩﻩ18. 如图所示，在四棱锥P −ABCD 中,底面ABC Ｄ为直角梯形,AB//CD ，∠BAD =90∘，DC =DA =2AB =2√5,点E 为ＡD 的中点，BD ∩CE =H ，PH ⊥平面ＡBCD ,且PH =4. (1)求证：PC ⊥BD ;(2)线段PC 上是否存在一点F ，使二面角B −DF −C的余弦值是√1515?若存在,请找出点F 的位置;若不存在,请说明理由． ﻩﻩ ﻩ19. 某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出１60名，其数学组成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.ﻫ(1)估计这次考试数学成绩的平均分和众数；ﻫ(2)假设在(90,100]段的学生中有3人得满分100分,有２人得9９分，其余学生的数学成绩都不相同.现从90分以上的学生中任取4人,不同分数的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ).ﻩ ﻩ20. 已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22,右焦点F 是抛物线C 2:y 2=2px(p >0)的焦点,点(2,4)在抛物线C 2上. ﻫ(1)求椭圆C 1的方程;(2)已知斜率为ｋ的直线l 交椭圆C 1于A ,B 两点，M(0,2)，直线AM 与ＢM 的斜率乘积为−12,若在椭圆上存在点N ，使|AN|=|BN ，求△ABN 的面积的最小值.ﻩﻩﻩ ﻩﻩ21. 已知函数f(x)=ae x +x 2−bx(a,b ∈R),其导函数为y =f′(x).(1)当b =2时，若函数y =f′(x)在R 上有且只有一个零点,求实数a 的取值范围; (2)设a ≠0,点P(m,n)(m,n ∈R)是曲线y =f(x)上的一个定点,是否存在实数x 0(x 0≠m)使得f(x 0)−n =f′(x 0+m 2)(x 0−m)成立？并证明你的结论.ﻩﻩﻩ22. 在直角坐标系x Ｏy 中,已知直线l 1：{y =tsinαx=tcosα(t 为参数)，l 2:{x =tcos(α+π4)y =tsin(α+π4)(t 为参数),其中α∈(0,3π4),以原点Ｏ为极点,x 轴非负半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ−4cosθ=0．(1)写出l 1,l 2的极坐标方程和曲线Ｃ的直角坐标方程;ﻫ(2)设l 1，l 2分别与曲线C 交于点A ,B(非坐标原点)，求|AB|的值.ﻩ ﻩﻩ ﻩ23. 设函数f(x)=|x −a|(a >0)．ﻫ(1)当a =2时,解不等式f(x)≥1−2x ;(2)已知f(x)+|x −1的最小值为3,且m 2n =a(m >0,n >0),求m +n 的最小值. ﻩﻩﻩﻩ答案和解析【答案】 １. C ２. A ﻩ3. C ﻩ4. D 5． B 6. C ﻩ7. Ａ8. B 9. D ﻩ10. D １１. C ﻩ12. C13. 192 14. −1 15. 2√3１6． π+6+2√361７. 解：(1)6S n =a n2+3a n +2,n ∈N ∗．ﻫn ≥2时,6a n =6S n −6S n−1=a n 2+3a n +2−(a n−12+3a n−1+2),化为:(a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0，∵a n >0，∴a n −a n−1=3，ﻫn =1时，6a 1=a 12+3a 1+2,且a 1<2，解得a 1=1.ﻫ∴数列{a n }是等差数列，首项为１,公差为3．ﻫ∴a n =1+3(n −1)=3n −2．ﻫ(2)b n =(−1)n a n 2=(−1)n (3n −2)2.∴b 2n−1+b 2n =−(6n −5)2+(6n −2)2=3(12n −7)=36n −21．ﻫ∴数列{b n }的前2n项的和T 2n =36(1+2+⋯…+n)−21n =36×n(n+1)2−21n =18n 2−3n .18． 证明：(1)∵AB//CD ，∠BAD =90∘，∴∠EDC =∠BAD =90∘，∵DC =DA =2AB ,E 为AD 的中点，∴AB =ED ，ﻫ∴△BAD≌△EDC ，∴∠DBA =∠DEH ,∵∠DBA +∠ADB =90∘，∴∠DEH +∠ADB =90∘，∴BD ⊥EC ,又∵PH ⊥平面ＡB ＣＤ，BD ⊂平面A ＢCD ,∴BD ⊥PH ,ﻫ又∵PH ∩EC =H ,且P Ｈ,EC ⊄平面PEC ，∴BD ⊥平面PEC ，ﻫ又∵PC ⊂平面PEC ,∴PC ⊥BD ．ﻫ解：(2)由(1)可知△DHE∽△DAB , 由题意得BD =EC =5，AB =DE =√5, ∴DH DA=EH BA=DE DB，ﻫ∴EH =1,HC =4，DH =2,HB =3,∵PH 、EC 、BD 两两垂直，建立以H 为坐标原点，H Ｂ、H Ｃ、HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴的坐标系,H(0,0,0),B(3,０,0),C(0,4，0),D(−2,0，0)，P(0,0,4),ﻫ假设线段PC 上存在一点F 满足题意, ∵CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，∴存在唯一实数λ，(0≤λ≤1)，满足CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP⃗⃗⃗⃗⃗ ,ﻫ解得F(0,4−4λ,4λ)， 设向量n ⃗ =(x,y ，z)为平面CPD 的一个法向量,且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−4,4)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−4,0),ﻫ∴{n ⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4y +4z =0n⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −2y =0，取x =2，得n⃗ =(2,−1,−1)， 同理得平面CPD 的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(0,λ,λ−1)，ﻫ∵二面角B −DF −C 的余弦值是√1515,ﻫ∴|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√6⋅√2λ2−2λ+1=√1515,ﻫ由0≤λ≤1，解得λ=34,∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =34CP⃗⃗⃗⃗⃗ ,∵CP =4√2，ﻫ∴线段P Ｃ上存在一点Ｆ，当点F 满足CF =3√2时,二面角B −DF −C 的余弦值是√1515.19． 解:(1)x =45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.02×10ﻫ+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.005×10=72(分),ﻫ众数为75分． (2)90分以上的人数为160×0.005×10=8人. ∴ξ的可能取值为２,3，4,ﻫP(ξ=2)=C 33⋅C 51+C 32⋅C 22C 84=435,ﻫP(ξ=3)=C 32⋅C 21⋅C 31+C 31⋅C 22⋅C 31+C 32⋅C 32+C 22⋅C 32C 84=3970,ﻫP(ξ=4)=C 32⋅C 31⋅C 21+C 33⋅C 51C 84=2370.∴ξ的数学期望是E(ξ)=2×435+3×3970+4×2370=4514．20. 解:(1)∵点(2,4)在抛物线y 2=2px 上,∴16=4p ， 解得p =4,∴椭圆的右焦点为F(2,0),ﻫ∴c =2,ﻫ∵椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22, ∴c a=√22，ﻫ∴a =2√2,ﻫ∴b 2=a 2−c 2=8−4=4,ﻫ∴椭圆C 1的方程为x 28+y 24=1,(2)设直线l 的方程为y =kx +m ,设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2), 由{x 2+2y 2=8y=kx+m，消y 可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0, ∴x 1+x 2=−4km1+2k 2,x 1x 2=2m 2−81+2k 2，∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+2k 2，y 1y 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−8k 21+2k 2∵M(0,2)，直线AM 与ＢM 的斜率乘积为−12, ∴k 1⋅k 2=y 1−2x 1⋅y 2−2x 2=y 1y 2−2(y 1+y 2)+4x 1x 2=m−22(m+2)=−12，ﻫ解得m =0，∴直线l 的方程为y =kx ,线段AB 的中点为坐标原点,ﻫ由弦长公式可得|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√32(k 2+1)1+2k ,ﻫ∵|AN|=|BN|，∴ON 垂直平分线段AB ,当k ≠0时,设直线O Ｎ的方程为y =−1k x ,ﻫ同理可得|ON|=12√32(1k 2+1)2×1k2+1=12√32(k 2+1)k 2+2，∴S △ABN =12|ON|⋅|AB|=8√(k 2+1)2(k 2+2)(2k 2+1),ﻫ当k =0时,△ABN 的面积也适合上式，ﻫ令t =k 2+1,t ≥1,0<1t ≤1，ﻫ则S △ABN =8√t 2(t+1)(2t−1)=8√1−1t 2+1t+2=8√1−(1t −12)2+94,∴当1t =2时，即k =±1时，S △ABN 的最小值为163.2１. 解：(1)当b=2时,f(x)=ae x+x2−2x,(a∈R)，ﻫf′(x)=ae x+2x−2,(a∈R),ﻫ由题意得ae x+2x−2=0,即a=2−2xe,令ℎ(x)=2−2xe x ，则ℎ′(x)=2x−4e x=0，解得x=2,当x<2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调弟增,ﻫ当x>2时,ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递减，∴ℎ(x)min=ℎ(2)=−2e2,ﻫ∵当x=−1时,ℎ(−1)=4e>0，当x>2时,ℎ(x)=2−2xe x<0，ﻫ由题意得当a=−2e2或a∈[0,+∞)时,f′(x)在R上有且只有一个零点.(2)由f(x)=ae x+x2−bx,得f′(x)=ae x+2x−b,假设存在x0，则有f(x0)=f′(x0+m2)(x0−m)+n=f′(x0+m2)(x0−m)+f(m),ﻫ即f(x0)−f(m)x0−m=f′(x0+m2),(x0≠m),∵f′(x0+m2)=ae x0+m2+2⋅x0+m2−b,ﻫf(x0)−f(m)x0−m=a(e x0−e m)+(x02−m2)−b(x0−m)x0−m=a(e x0−e m) x0−m +(x0+m)−b，ﻫ∴ae x0+m2+2⋅x0+m2−b=a(e x0−e m)x0−m+(x0+m)−b，即ae x0+m2=a(e x0−e m)x0−m，∵a≠0，∴ex0+m2=e x0−e mx0−m，令t=x0−m>0，则e t2−m=e t+m−e mt，两边同时除以e m,得e t2=e t−1t，即te t2=e t−1，令g(t)=e t−te t2−1,∴g′(t)=e t−(e t2+t2e t2)=e t2(e t2−t2−1)，令ℎ(t)=e t2−t2−1在(0,+∞)上单调递增,且ℎ(0)=0,ﻫ∴ℎ(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立，即g′(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立，∴g(e)在(0,+∞)上单调递增,g(0)=0,ﻫ∴g(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立,∴ae x0+m2=a(e x0−e m)x0−m不成立,ﻫ同理,t=x0−m<0时,bｎgidnuｕ,ﻫ∴不存在实数x0(x0≠m)使得f(x0)−n=f′(x0+m2)(x0−m)成立.２２. 解:(1)l1，l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R),θ2=α+π4(ρ∈R).ﻫ曲线C的极坐标方程方程为ρ−4cosθ=0.即得ρ2−4ρcosθ=0,利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθﻫ得曲线Ｃ的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4．ﻫ(2)因为ρ1=4cosα,ρ2=4cos(α+π4),ﻫ所以|AB|2=ρ12+ρ22−2ρ1.ρ2cosπ4=16[cos2α+cos2(α+π4)−√2cosαcos(α+π4)]ﻫ=16[cos2α+12(cosα−sinα)2−cosα(cosα−sinα)]=8,所以|AB|的值为2√2.23. 解：(1)当x≥2时，x−2≥1−2x,得x≥1，故x≥2,当x<2时，2−x≥1−2x，得x≥−1，故−1≤x<2,ﻫ综上，不等式的解集是{x|x≥−1};ﻫ(2)∵f(x)+|x−1|的最小值是3，ﻫ∴f(x)+|x−1|≥|x−a−(x−1)|=|a−1|=3,故a=4,∵m+n=m2+m2+n≥33m2⋅m2⋅n=3，ﻫ当且仅当m2=n即m=2，n=1时取“=”．【解析】1.解：A={x|x<−1，或x>3};∴∁R A={x|−1≤x≤3};∴(∁R A)∩B={0,1，２,3}．ﻫ故选：C.ﻫ可先求出集合A={x|x<−1，或x>3},然后进行交集、补集的运算即可.考查一元二次不等式的解法，以及描述法、列举法表示集合的概念,交集和补集的运算.2. 解：由复数a+3i1+2i =(a+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=(a+6)+(3−2a)i5=a+65+3−2a5i是纯虚数，ﻫ则{a+65=03−2a5≠0，解得a=−6.ﻫ故选：A．ﻫ利用复数的除法运算化简为a+bi(a,b∈R)的形式,由实部等于0且虚部不等于求解a的值．ﻫ本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念,是基础的计算题.3. 解：f(x)=sinx−tanx,x∈(0,π2)，当x=π4时，∴f(x)=√22−1<0，命题ｐ:∃x0∈(0,π2)，f(x0)<0，是真命题,ﻫ命题ｐ:∃x0∈(0,π2)，f(x0)<0，则￢p:∀x∈(0,π2),f(x)≥0.ﻫ故选：C.利用特称值，判断特称命题的真假,利用命题的否定关系,特称命题的否定是全称命题写出结果.本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.4. 解:当S=1时，不满足退出循环的条件,故S=1，i=3;ﻫ当S=1时,不满足退出循环的条件，故S=3,i=5；当S=3时，不满足退出循环的条件，故S=15,i=7；当S=15时,不满足退出循环的条件,故S=105,i=9；当S=105时,不满足退出循环的条件，故S=945,i=11；当S=945时，不满足退出循环的条件，故S=10395,i=13；当S=10395时,满足退出循环的条件,ﻫ故输出的i=13,故选：D．ﻫ由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．ﻫ本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时,常采用模拟循环的方法解答．５. 解：由题意，第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级,从三个班级中选两个为C32=3,然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21= 4，故有3×4=12种.ﻫ第二类，一班的２名同学不在甲车上,则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上,为C31=3,然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4,这时共有3×4=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式,故选:Ｂ．ﻫ分类讨论,第一类,一班的２名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识,问题得以解决.ﻫ本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力，属于中档题．6. 解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥,如图所示;正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形, ∴四棱锥的底面是正方形,且边长为1，ﻫ其中一条侧棱PD ⊥底面ＡBCD ,且侧棱AD =1， ∴四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且PA =PC =√2， ∴四棱锥的表面积为S =S 底面ABCD +2S △SAD +2S △SAB =1+2×12×1×1+2×12×1×√2=2+√2．故选:C .ﻫ由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，ﻫ画出图形结合图形求出它的表面积．ﻫ本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题,是基础题． 7． 解：作出不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0表示的平面区域，ﻫ得到如图的△MNP 及其内部，其中M(1,1),N(2,2)，P(1,3)∵圆C ：(x +1)2+(y +1)2=r 2(r >0)表示以C(−1,−1)为圆心，半径为r 的圆,∴由图可得,当半径满足r <CM 或r >CP 时,圆C 不经过区域D 上的点，∵CM =√(1+1)2+(1+1)2=2√2,CP =√(1+1)2+(3+1)2=2√5ﻫ∴当0<r <2√2或r >2√5时,圆C 不经过区域D 上的点,ﻫ故选:Ａ.作出题中不等式组表示的平面区域,得到如图的△MNP 及其内部,而圆Ｃ表示以(−1,−1)为圆心且半径为r 的圆.观察图形,可得半径r <CM 或r >CP 时,圆Ｃ不经过区域D 上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式,即可得到r 的取值范围． 本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r 的取值范围.着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．8. 解:等边三角形AB Ｃ的边长为3；ﻫ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60∘=92； 6CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ；ﻫ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ =−12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ;ﻫ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −29CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−94+94−2=−2．ﻫ故选：Ｂ．根据条件可先求出CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =92，而由6CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，这样即可用CA⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,然后进行数量积的运算即可． 考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，向量加法的几何意义．9. 解：函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R),周期T =2π2=π，ﻫ对于A :由f(x 1)=f(x 2)=1,ﻫ可能x 1与x 2关于其中一条对称轴是对称的,此时x 1−x 2不是π的整数倍；∴A 不对.ﻫ对于Ｂ：由诱导公式，3sin(2x −π3)+1=3cos[π2−(2x −π3)]+1=3cos(2x −5π6)+1.∴B 不对．ﻫ对于C ：令x =3π4,可得f(3π4)=3sin(2×3π4−π3)+1=3×(−12)−1=−52，∴C 不对,ﻫ对于Ｄ:当x =−π12时，可得f(−π12)=3sin(−π6−π3)+1=−1×3+1=−2，ﻫf(x)的图象关于直线x =−π12对称.ﻫ故选:D .ﻫ根据函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，结合三角函数的性质即可判断各选项.ﻫ本题主要考查利用y =Asin(ωx +φ)的信息特征,判断各选项的正误,属于中档题． 10. 解：由题意,f(x)<−m +4,可得m(x 2−x +1)<5.∵当x ∈[1,3]时，x 2−x +1∈[1,7]，ﻫ∴不等式f(x)<0等价于m <5x 2−x+1.ﻫ∵当x =3时,5x 2−x+1的最小值为57，ﻫ∴若要不等式m <5x 2−x+1恒成立，则必须m <57,ﻫ因此,实数m 的取值范围为(−∞,57)，ﻫ故选:D ．ﻫ利用分离参数法，再求出对应函数在x ∈[1,3]上的最大值,即可求m 的取值范围.本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数,正确求最值，属于中档题.１１. 解：双曲线的一条渐近线方程为y =ba x ，ﻫ双曲线的渐近线被圆M ：x 2+y 2−10x =0,即(x −5)2+y 2=25所截得的两条弦长之和为12，ﻫ设圆心到直线的距离为d ,则d =√25−9=4， ∴√a 2+b 2=4,即5b =4c ,ﻫ即b =45c∵a 2=c 2−b 2=925c2,ﻫ∴a =35c ,ﻫ∴|AP −BP|=2a ,由正弦定理可得APsinB =PBsinA =ABsinP =2R ,ﻫ∴sinB =AP2R ，sinA =BP2R ，sinP =2c2R , ∴|sinP||sinA−sinB|=2c 2R |BP 2R −AP 2R |=2c 2a =53,ﻫ故选:C .ﻫ根据垂径定理求出圆心到直线的距离为d =4,再根据点到直线的距离公式可得√a 2+b 2=4,得到5b =4c ，即可求出a =35c ，根据正弦定理可得|sinP||sinA−sinB|=2c 2R |BP 2R −AP 2R |=2c 2a =53本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，属于中档题1２． 解:f(x)=f′(1)2e 2x−2+x 2−2f(0)⋅x ，ﻫ令x =0,则f(0)=f ′(1)2e 2．∵f′(x)=f′(1)⋅e 2x−2+2x −2f(0)，ﻫ令x =1,则f′(1)=f′(1)+2−2f(0)，解得f(0)=1.∴f′(1)=2e 2.∴f(x)=e 2x +x 2−2x ,∴f(2)=e 4.ﻫ令ℎ(x)=e 2x g(x)，∵g′(x)+2g(x)<0,ﻫ∴ℎ′(x)=e 2x g′(x)+2e 2x g(x)=e 2x [g′(x)+2g(x)]<0，∴函数ℎ(x)在Ｒ上单调递减,∴ℎ(2016)>ℎ(2018)，∴e 2016×2g(2016)>e 2018×2g(2018)，可得：g(2016)>e 4g(2018). ∴g(2016)>f(2)g(2018)．ﻫ故选:C ． f(x)=f′(1)2e 2x−2+x 2−2f(0)⋅x ,令x =0,则f(0)=f ′(1)2e 2.由f′(x)=f′(1)⋅e 2x−2+2x −2f(0),令x =1,可得f(0).进而得出f′(1)，f(x)，f(2).令ℎ(x)=e 2x g(x),及其已知g′(x)+2g(x)<0,可得ℎ′(x)=e 2x [g′(x)+2g(x)]<0，利用函数ℎ(x)在R 上单调递减,即可得出.ﻫ本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.１3. 解:由于a =∫(π0cosx −sinx)dx =(sinx +cosx)| 0π=−1−1=−2,∴(−2√x −√x)6=(2√x +√x)6的通项公式为T r+1=26−r C 6r⋅x 3−r ，ﻫ令3−r =2,求得r =1,故含x 2项的系数为26−1C 61=192.故答案为：192ﻫ根据微积分基本定理首先求出a 的值，然后再根据二项式的通项公式求出ｒ的值,问题得以解决.ﻫ本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14. 解：∵函数f(x)={ax(x +2),x <0x(x−b),x≥0={ax 2+2ax,x <0x 2−bx,x≥0为奇函数,故f(−x)=−f(x)恒成立，ﻫ故{−b =2a a=−1.即{b =2a=−1,ﻫ∴f(x)={−x 2−2x,x <0x 2−2x,x≥0，ﻫ∴f(a +b)=f(1)=1−2=−1， 故答案为：−1.由已知中函数f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)恒成立,可得a ,b 的值，进而可得f(a +b)的值．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值,难度中档．15. 解：由题意,△ABC 的外接圆即为球的大圆，r =2,ﻫ设底面△ABC 外接圆圆心Ｇ，即GA =GB =GC =2,从而正三角形ＡB Ｃ边长2√3,设球心Ｏ，由题意，Ｅ、F 在球面上,OE =OD =2,ﻫF 为DE中点,则OF⊥DE,OF=GD=12GC=1，ﻫ在Rt△OEF中，OE=2，OF=1，∴EF=√3，ﻫ∴DE=2√3，∴AA1=2√3.ﻫ故答案为:2√3.ﻫ由题意求出正三棱柱的高、底面边长,即可求出AA1的长度.ﻫ本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积,考查计算能力，逻辑推理能力.16. 解:由CD//OA，∠AOB=π3，∠AOC=θ，得∠OCD=θ，∠ODC=2π3,∠COD=π3−θ;在△OCD中，由正弦定理,得CD=√3sin(π3−θ),θ∈(0,π3)，设渔网的长度为f(θ),ﻫ可得f(θ)=θ+1+√3sin(π3−θ),ﻫ所以f′(θ)=1√3cos(π3−θ)，因为θ∈(0,π3)，所以π3−θ∈(0,π3)，ﻫ令f′(θ)=0,得cos(π3−θ)=3，所以π3−θ=π6，所以θ=π6．所以f(θ)∈(2,π+6+2√36].故所需渔网长度的最大值为π+6+2√36.ﻫ确定∠COD，在△OCD中利用正弦定理求得CD的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OＣ和线段ＣD长度之和,确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．ﻫ本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了函数模型的构建与最值应用问题，是难题.17. (1)6S n=a n2+3a n+2,n∈N∗.n≥2时，6a n=6S n−6S n−1,化为(a n+a n−1)(a n−a n−1−3)=0,由a n>0,可得a n−a n−1=3，n=1时，6a1=a12+3a1+2,且a1<2,解得a1.利用等差数列的通项公式可得a n．ﻫ(2)b n=(−1)n a n2=(−1)n(3n−2)2.b2n−1+b2n=−(6n−5)2+(6n−2)2=3(12n−7)=36n−21.利用分组求和即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．18. (1)推导出△BAD≌△EDC,∠DBA=∠DEH,从而BD⊥EC,由PH⊥平面ABCＤ,得BD⊥PH，由此能证明BD⊥平面PEＣ,从而PC⊥BD．(2)推导出PH、EC、BD两两垂直,建立以Ｈ为坐标原点,HB、HC、HP所在直线分别为x，y,z轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC上存在一点F,当点F满足CF=3√2时，二面角B−DF−C的余弦值是√1515．ﻫ本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想，是中档题．19．(1)把组中值看作各小组的平均数,根据加权平均数公式计算；(2)根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列．本题考查了频率分布直方图,离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.2０. (1)先求出ｐ的值，即可求出c 的值,根据离心率求出ａ的值，即可得到椭圆方程， (2)设直线ｌ的方程为y =kx +m ，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由{x 2+2y 2=8y=kx+m,根据直线AM 与BM 的斜率乘积为−12,求出m =0，再根据弦长公式求出|AB|和|ON|,表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值.ﻫ本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查椭圆与二次函数函数的应用，考查计算能力，属于难题．２１． (1)当b =2时,f(x)=ae x +x 2−2x ,(a ∈R),f′(x)=ae x +2x −2,(a ∈R)，由题意a =2−2x e x，令ℎ(x)=2−2x e x,则ℎ′(x)=2x−4e x=0,解得x =2，由此能求出当a =−2e 2或a ∈[0,+∞)时,f′(x)在Ｒ上有且只有一个零点.(2)由f(x)=ae x +x 2−bx ，得f′(x)=ae x +2x −b ,假设存在x 0，则f(x 0)−f(m)x 0−m=f ′(x 0+m 2),(x 0≠m)，利用导数性质推导出不存在实数x 0(x 0≠m)使得f(x 0)−n =f′(x 0+m 2)(x 0−m)成立．本题考查利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、满足条件的实数是否存在的判断与证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力、推理论证能力，考查创新意识,是中档题.２2． (1)考查直线l 1,l 2参数方程与极坐标方程的互化,曲线Ｃ的极坐标方程与直角坐标方程的互化.重点都是消去参数ｔ.(2)利用l 1,l 2极坐标方程，结合余弦定理，计算出|AB|的长度.ﻫ考查极坐标方程与参数方程,普通方程的互化.记准互化公式和原则是关键,属于中档题目.23. (1)通过讨论ｘ的范围,求出不等式的解集即可;ﻫ(2)根据绝对值不等式的性质求出a 的值,结合基本不等式的性质求出m +n 的最小值即可．ﻫ本题考查了解绝对值不等式问题,考查绝对值的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题.。
2018年河南省高考数学一模试卷理科含解析
2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题1.已知集合A={x|x2−2x−3>0}，B=N，则集合(∁R A)∩B中元素的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 52.若复数a+3i1+2i(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()A. −6B. 13C. 32D. √133.已知f(x)=sinx−tanx，命题p：∃x0∈(0,π2)，f(x0)<0，则()A. p是假命题，￢p：∀x∈(0,π2)，f(x)≥0B. p是假命题，￢p：∃x0∈(0,π2)，f(x0)≥0C. p是真命题，￢p：∀x∈(0,π2)，f(x)≥0D. p是真命题，￢p：∃x0∈(0,π2)，f(x0)≥04.已知程序框图如图，则输出i的值为()A. 7B. 9C. 11D. 135.2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班，(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A. 18种B. 24种C. 48种D. 36种1/ 166. 《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( ) A. 1+√2 B. 1+2√2 C. 2+√2 D. 2+2√27. 设不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0表示的平面区域为D ，若圆C ：(x +1)2+y 2=r 2(r >0)不经过区域D 上的点，则r 的取值范围为( ) A. (0,√5)∪(√13,+∞) B. (√13,+∞) C. (0,√5) D. [√5,√13]8. 若等边三角形ABC 的边长为3，平面内一点M 满足6CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. −152B. −2C. 2D. 1529. 关于函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，下列命题正确的是( )A. 由f(x 1)=f(x 2)=1可得x 1−x 2是π的整数倍B. y =f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos(2x +π6)+1 C. y =f(x)的图象关于点(3π4,1)对称 D. y =f(x)的图象关于直线x =−π12对称10. 设函数f(x)=mx 2−mx −1，若对于x ∈[1,3]，f(x)<−m +4恒成立，则实数m的取值范围为( )A. (−∞,0]B. [0,57)C. (−∞,0)∪(0,57)D. (−∞,57)11. 设双曲线的方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，若双曲线的渐近线被圆M ：x 2+y 2−10x =0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sinP||sinA−sinB|的值等于( )A. 35B. √73C. 53D. √712. 已知定义在R 上的函数f(x)和g(x)分别满足f(x)=f′(1)2，e 2x−2+x 2−2f(0)⋅x ，g′(x)+2g(x)<0，则下列不等式恒成立的是( ) A. g(2016)<f(2)⋅g(2018) B. f(2)⋅g(2016)<g(2018) C. g(2016)>f(2)⋅g(2018) D. f(2)⋅g(2016)>g(2018) 二、填空题13.设a=∫(π0cosx−sinx)dx，则二项式(a√x−√x)6的展开式中含x2项的系数为______．14.若函数f(x)={ax(x+2),x<0x(x−b),x≥0(a,b∈R)为奇函数，则f(a+b)的值为______．15.已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA1的长度为______．16.如图，OA，OB为扇形湖面OAB的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区−区域I和区域Ⅱ，点C在AB⌢上，∠COA=θ，CD//OA，其中AC⌢，半径OC及线段CD需要用渔网制成.若∠AOB=π3，OA=1，则所需渔网的最大长度为______．三、解答题17.已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1<2，a n>0，6S n=a n2+3a n+2，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若对∀n∈N∗，b n=(−1)n a n2，求数列{b n}的前2n项的和T2n．18.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，∠BAD=90∘，DC=DA=2AB=2√5，点E为AD的中点，BD∩CE=H，PH⊥平面ABCD，且PH=4.(1)求证：PC⊥BD；(2)线段PC上是否存在一点F，使二面角B−DF−C的余弦值是√1515？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．3/ 1619.某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学组成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．(1)估计这次考试数学成绩的平均分和众数；(2)假设在(90,100]段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同.现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．20.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，右焦点F是抛物线C2：y2=2px(p>0)的焦点，点(2,4)在抛物线C2上.(1)求椭圆C1的方程；(2)已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A，B两点，M(0,2)，直线AM与BM的斜率乘积为−12，若在椭圆上存在点N，使|AN|=|BN，求△ABN的面积的最小值．21.已知函数f(x)=ae x+x2−bx(a,b∈R)，其导函数为y=f′(x).(1)当b=2时，若函数y=f′(x)在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；(2)设a≠0，点P(m,n)(m,n∈R)是曲线y=f(x)上的一个定点，是否存在实数x0(x0≠m)使得f(x0)−n=f′(x0+m2)(x0−m)成立？并证明你的结论．5 / 1622. 在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：{y =tsinαx=tcosα(t 为参数)，l 2：{x =tcos(α+π4)y =tsin(α+π4)(t为参数)，其中α∈(0,3π4)，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ−4cosθ=0． (1)写出l 1，l 2的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设l 1，l 2分别与曲线C 交于点A ，B(非坐标原点)，求|AB|的值．23. 设函数f(x)=|x −a|(a >0)．(1)当a =2时，解不等式f(x)≥1−2x ； (2)已知f(x)+|x −1的最小值为3，且m 2n =a(m >0,n >0)，求m +n 的最小值．答案和解析【答案】 1. C 2. A 3. C 4. D 5. B 6. C7. A8. B 9. D 10. D 11. C 12. C13. 192 14. −1 15. 2√316. π+6+2√3617. 解：(1)6S n =a n2+3a n +2，n ∈N ∗． n ≥2时，6a n =6S n −6S n−1=a n 2+3a n +2−(a n−12+3a n−1+2)，化为：(a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0， ∵a n >0，∴a n −a n−1=3，n =1时，6a 1=a 12+3a 1+2，且a 1<2，解得a 1=1．∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为3． ∴a n =1+3(n −1)=3n −2．(2)b n =(−1)n a n 2=(−1)n (3n −2)2．∴b 2n−1+b 2n =−(6n −5)2+(6n −2)2=3(12n −7)=36n −21．∴数列{b n }的前2n 项的和T 2n =36(1+2+⋯…+n)−21n =36×n(n+1)2−21n =18n 2−3n ．18. 证明：(1)∵AB//CD ，∠BAD =90∘，∴∠EDC =∠BAD =90∘，∵DC =DA =2AB ，E 为AD 的中点，∴AB =ED ， ∴△BAD≌△EDC ，∴∠DBA =∠DEH ，∵∠DBA +∠ADB =90∘，∴∠DEH +∠ADB =90∘，∴BD ⊥EC ，又∵PH ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PH ， 又∵PH ∩EC =H ，且PH ，EC ⊄平面PEC ，∴BD ⊥平面PEC ，又∵PC ⊂平面PEC ，∴PC ⊥BD ． 解：(2)由(1)可知△DHE∽△DAB ，由题意得BD =EC =5，AB =DE =√5， ∴DH DA=EH BA=DE DB，∴EH =1，HC =4，DH =2，HB =3， ∵PH 、EC 、BD 两两垂直，建立以H 为坐标原点，HB 、HC 、HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴的坐标系， H(0,0，0)，B(3,0，0)，C(0,4，0)，D(−2,0，0)，P(0,0，4)， 假设线段PC 上存在一点F 满足题意， ∵CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，∴存在唯一实数λ，(0≤λ≤1)，满足CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 解得F(0,4−4λ,4λ)，设向量n ⃗ =(x,y ，z)为平面CPD 的一个法向量，且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−4,4)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−4,0)，∴{n ⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4y +4z =0n⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −2y =0，取x =2，得n⃗ =(2,−1,−1)， 同理得平面CPD 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(0,λ,λ−1)，7 / 16∵二面角B −DF −C 的余弦值是√1515，∴|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√6⋅√2λ2−2λ+1=√1515， 由0≤λ≤1，解得λ=34， ∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =34CP⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵CP =4√2，∴线段PC 上存在一点F ，当点F 满足CF =3√2时，二面角B −DF −C 的余弦值是√1515．19. 解：(1)x =45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.005×10=72(分)， 众数为75分．(2)90分以上的人数为160×0.005×10=8人． ∴ξ的可能取值为2，3，4， P(ξ=2)=C 33⋅C 51+C 32⋅C 22C 84=435，P(ξ=3)=C 32⋅C 21⋅C 31+C 31⋅C 22⋅C 31+C 32⋅C 32+C 22⋅C 32C 84=3970，P(ξ=4)=C 32⋅C 31⋅C 21+C 33⋅C 51C 84=2370．∴ξ的数学期望是E(ξ)=2×435+3×3970+4×2370=4514．20. 解：(1)∵点(2,4)在抛物线y 2=2px 上，∴16=4p ，解得p =4，∴椭圆的右焦点为F(2,0)， ∴c =2， ∵椭圆C 1：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，∴ca =√22， ∴a =2√2，∴b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴椭圆C 1的方程为x 28+y 24=1，(2)设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{x 2+2y 2=8y=kx+m，消y 可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0， ∴x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+2k 2，y 1y 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−8k 21+2k 2∵M(0,2)，直线AM与BM的斜率乘积为−12，∴k1⋅k2=y1−2x1⋅y2−2x2=y1y2−2(y1+y2)+4x1x2=m−22(m+2)=−12，解得m=0，∴直线l的方程为y=kx，线段AB的中点为坐标原点，由弦长公式可得|AB|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√32(k2+1)1+2k2，∵|AN|=|BN|，∴ON垂直平分线段AB，当k≠0时，设直线ON的方程为y=−1kx，同理可得|ON|=12√32(1k2+1)2×1k2+1=12√32(k2+1)k2+2，∴S△ABN=12|ON|⋅|AB|=8√(k2+1)2(k2+2)(2k2+1)，当k=0时，△ABN的面积也适合上式，令t=k2+1，t≥1，0<1t≤1，则S△ABN=8√t2(t+1)(2t−1)=8√1−1t2+1t+2=8√1−(1t−12)2+94，∴当1t =2时，即k=±1时，S△ABN的最小值为163．21. 解：(1)当b=2时，f(x)=ae x+x2−2x，(a∈R)，f′(x)=ae x+2x−2，(a∈R)，由题意得ae x+2x−2=0，即a=2−2xe x，令ℎ(x)=2−2xe x ，则ℎ′(x)=2x−4e x=0，解得x=2，当x<2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调弟增，当x>2时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递减，∴ℎ(x)min=ℎ(2)=−2e2，∵当x=−1时，ℎ(−1)=4e>0，当x>2时，ℎ(x)=2−2xe x<0，由题意得当a=−2e2或a∈[0,+∞)时，f′(x)在R上有且只有一个零点．(2)由f(x)=ae x+x2−bx，得f′(x)=ae x+2x−b，假设存在x0，则有f(x0)=f′(x0+m2)(x0−m)+n=f′(x0+m2)(x0−m)+f(m)，即f(x0)−f(m)x0−m =f′(x0+m2),(x0≠m)，∵f′(x0+m2)=ae x0+m2+2⋅x0+m2−b，f(x0)−f(m)x0−m =a(e x0−e m)+(x02−m2)−b(x0−m)x0−m=a(e x0−e m)x0−m+(x0+m)−b，∴ae x0+m2+2⋅x0+m2−b=a(e x0−e m)x0−m+(x0+m)−b，即ae x0+m2=a(e x0−e m)x0−m，∵a≠0，∴ex0+m2=e x0−e mx0−m，令t=x0−m>0，则e t2−m=e t+m−e mt，两边同时除以e m，得e t2=e t−1t，即te t2=e t−1，令g(t)=e t−te t2−1，∴g′(t)=e t−(e t2+t2e t2)=e t2(e t2−t2−1)，令ℎ(t)=e t2−t2−1在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(0)=0，∴ℎ(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立，即g′(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立，∴g(e)在(0,+∞)上单调递增，g(0)=0，∴g(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立，∴ae x0+m2=a(e x0−e m)x0−m不成立，同理，t=x0−m<0时，bngidnuu，∴不存在实数x0(x0≠m)使得f(x0)−n=f′(x0+m2)(x0−m)成立．22. 解：(1)l1，l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R)，θ2=α+π4(ρ∈R)．曲线C的极坐标方程方程为ρ−4cosθ=0.即得ρ2−4ρcosθ=0，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4．(2)因为ρ1=4cosα，ρ2=4cos(α+π4)，所以|AB|2=ρ12+ρ22−2ρ1.ρ2cosπ4=16[cos2α+cos2(α+π4)−√2cosαcos(α+π4)]=16[cos2α+12(cosα−sinα)2−cosα(cosα−sinα)]=8，所以|AB|的值为2√2．23. 解：(1)当x≥2时，x−2≥1−2x，得x≥1，故x≥2，当x<2时，2−x≥1−2x，得x≥−1，故−1≤x<2，综上，不等式的解集是{x|x≥−1}；(2)∵f(x)+|x−1|的最小值是3，∴f(x)+|x−1|≥|x−a−(x−1)|=|a−1|=3，故a=4，∵m+n=m2+m2+n≥33m2⋅m2⋅n=3，当且仅当m2=n即m=2，n=1时取“=”．【解析】1. 解：A={x|x<−1，或x>3}；∴∁R A={x|−1≤x≤3}；∴(∁R A)∩B={0,1，2，3}．故选：C．9/ 16可先求出集合A ={x|x <−1，或x >3}，然后进行交集、补集的运算即可． 考查一元二次不等式的解法，以及描述法、列举法表示集合的概念，交集和补集的运算．2. 解：由复数a+3i 1+2i =(a+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=(a+6)+(3−2a)i5=a+65+3−2a 5i 是纯虚数，则{a+65=03−2a5≠0，解得a =−6．故选：A ．利用复数的除法运算化简为a +bi(a,b ∈R)的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a 的值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．3. 解：f(x)=sinx −tanx ，x ∈(0,π2)，当x =π4时，∴f(x)=√22−1<0，命题p ：∃x 0∈(0,π2)，f(x 0)<0，是真命题，命题p ：∃x 0∈(0,π2)，f(x 0)<0，则￢p ：∀x ∈(0,π2)，f(x)≥0．故选：C ．利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查． 4. 解：当S =1时，不满足退出循环的条件，故S =1，i =3； 当S =1时，不满足退出循环的条件，故S =3，i =5； 当S =3时，不满足退出循环的条件，故S =15，i =7； 当S =15时，不满足退出循环的条件，故S =105，i =9； 当S =105时，不满足退出循环的条件，故S =945，i =11； 当S =945时，不满足退出循环的条件，故S =10395，i =13； 当S =10395时，满足退出循环的条件， 故输出的i =13， 故选：D ．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5. 解：由题意，第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C 32=3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C 21C 21=4，故有3×4=12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C 31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C 21C 21=4，这时共有3×4=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式， 故选：B ．分类讨论，第一类，一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力，属于中档题．11 / 166. 解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， ∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱PD ⊥底面ABCD ，且侧棱AD =1，∴四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且PA =PC =√2， ∴四棱锥的表面积为S =S 底面ABCD +2S △SAD +2S △SAB =1+2×12×1×1+2×12×1×√2=2+√2． 故选：C ．由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥， 画出图形结合图形求出它的表面积．本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题． 7. 解：作出不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0表示的平面区域， 得到如图的△MNP 及其内部，其中M(1,1)，N(2,2)，P(1,3)∵圆C ：(x +1)2+(y +1)2=r 2(r >0)表示以C(−1,−1)为圆心，半径为r 的圆，∴由图可得，当半径满足r <CM 或r >CP 时，圆C 不经过区域D 上的点，∵CM =√(1+1)2+(1+1)2=2√2，CP =√(1+1)2+(3+1)2=2√5∴当0<r <2√2或r >2√5时，圆C 不经过区域D 上的点， 故选：A ．作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△MNP 及其内部，而圆C 表示以(−1,−1)为圆心且半径为r 的圆.观察图形，可得半径r <CM 或r >CP 时，圆C 不经过区域D 上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r 的取值范围． 本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r 的取值范围.着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．8. 解：等边三角形ABC 的边长为3； ∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60∘=92； 6CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗=−12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −29CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−94+94−2=−2． 故选：B ．根据条件可先求出CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =92，而由6CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，这样即可用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后进行数量积的运算即可． 考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，向量加法的几何意义．9. 解：函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，周期T =2π2=π，对于A ：由f(x 1)=f(x 2)=1，可能x 1与x 2关于其中一条对称轴是对称的，此时x 1−x 2不是π的整数倍；∴A 不对． 对于B ：由诱导公式，3sin(2x −π3)+1=3cos[π2−(2x −π3)]+1=3cos(2x −5π6)+1.∴B 不对． 对于C ：令x =3π4，可得f(3π4)=3sin(2×3π4−π3)+1=3×(−12)−1=−52，∴C 不对， 对于D ：当x =−π12时，可得f(−π12)=3sin(−π6−π3)+1=−1×3+1=−2， f(x)的图象关于直线x =−π12对称． 故选：D ．根据函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，结合三角函数的性质即可判断各选项． 本题主要考查利用y =Asin(ωx +φ)的信息特征，判断各选项的正误，属于中档题．10. 解：由题意，f(x)<−m +4，可得m(x 2−x +1)<5． ∵当x ∈[1,3]时，x 2−x +1∈[1,7]， ∴不等式f(x)<0等价于m <5x 2−x+1． ∵当x =3时，5x 2−x+1的最小值为57， ∴若要不等式m <5x 2−x+1恒成立， 则必须m <57，因此，实数m 的取值范围为(−∞,57)，故选：D ．利用分离参数法，再求出对应函数在x ∈[1,3]上的最大值，即可求m 的取值范围．本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题．11. 解：双曲线的一条渐近线方程为y=bax，双曲线的渐近线被圆M：x2+y2−10x=0，即(x−5)2+y2=25所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为d，则d=√25−9=4，∴√a2+b2=4，即5b=4c，即b=45c∵a2=c2−b2=925c2，∴a=35c，∴|AP−BP|=2a，由正弦定理可得APsinB =PBsinA=ABsinP=2R，∴sinB=AP2R ，sinA=BP2R，sinP=2c2R，∴|sinP||sinA−sinB|=2c2R|BP2R−AP2R|=2c2a=53，故选：C．根据垂径定理求出圆心到直线的距离为d=4，再根据点到直线的距离公式可得5b√a2+b2=4，得到5b=4c，即可求出a=35c，根据正弦定理可得|sinP||sinA−sinB|=2c2R|BP2R−AP2R|=2c2a=53本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，属于中档题12. 解：f(x)=f′(1)2e2x−2+x2−2f(0)⋅x，令x=0，则f(0)=f′(1)2e2．∵f′(x)=f′(1)⋅e2x−2+2x−2f(0)，令x=1，则f′(1)=f′(1)+2−2f(0)，解得f(0)=1．∴f′(1)=2e2．∴f(x)=e2x+x2−2x，∴f(2)=e4．令ℎ(x)=e2x g(x)，∵g′(x)+2g(x)<0，∴ℎ′(x)=e2x g′(x)+2e2x g(x)=e2x[g′(x)+2g(x)]<0，∴函数ℎ(x)在R上单调递减，∴ℎ(2016)>ℎ(2018)，∴e2016×2g(2016)>e2018×2g(2018)，可得：g(2016)>e4g(2018)．∴g(2016)>f(2)g(2018)．故选：C．13/ 16f(x)=f′(1)2e 2x−2+x 2−2f(0)⋅x ，令x =0，则f(0)=f ′(1)2e 2.由f′(x)=f′(1)⋅e 2x−2+2x −2f(0)，令x =1，可得f(0).进而得出f′(1)，f(x)，f(2).令ℎ(x)=e 2x g(x)，及其已知g′(x)+2g(x)<0，可得ℎ′(x)=e 2x [g′(x)+2g(x)]<0，利用函数ℎ(x)在R 上单调递减，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13. 解：由于a =∫(π0cosx −sinx)dx =(sinx +cosx)| 0π=−1−1=−2，∴(−2√x −1√x)6=(2√x +1√x)6的通项公式为T r+1=26−r C 6r⋅x 3−r ，令3−r =2，求得r =1，故含x 2项的系数为26−1C 61=192． 故答案为：192根据微积分基本定理首先求出a 的值，然后再根据二项式的通项公式求出r 的值，问题得以解决．本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14. 解：∵函数f(x)={ax(x +2),x <0x(x−b),x≥0={ax 2+2ax,x <0x 2−bx,x≥0为奇函数，故f(−x)=−f(x)恒成立， 故{−b =2a a=−1.即{b =2a=−1， ∴f(x)={−x 2−2x,x <0x 2−2x,x≥0，∴f(a +b)=f(1)=1−2=−1， 故答案为：−1．由已知中函数f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)恒成立，可得a ，b 的值，进而可得f(a +b)的值．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值，难度中档． 15. 解：由题意，△ABC 的外接圆即为球的大圆，r =2， 设底面△ABC 外接圆圆心G ，即GA =GB =GC =2，从而正三角形ABC 边长2√3， 设球心O ，由题意，E 、F 在球面上，OE =OD =2， F 为DE 中点，则OF ⊥DE ，OF =GD =12GC =1，在Rt △OEF 中，OE =2，OF =1，∴EF =√3， ∴DE =2√3， ∴AA 1=2√3． 故答案为：2√3．由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA 1的长度．本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力．16. 解：由CD//OA ，∠AOB =π3，∠AOC =θ，得∠OCD =θ，∠ODC =2π3，∠COD =π3−θ； 在△OCD 中，由正弦定理，得CD =√3sin(π3−θ)，θ∈(0,π3)， 设渔网的长度为f(θ)，可得f(θ)=θ+1+√3sin(π3−θ)，15 / 16所以f′(θ)=1−√3cos(π3−θ)，因为θ∈(0,π3)， 所以π3−θ∈(0,π3)，令f′(θ)=0，得cos(π3−θ)=3，所以π3−θ=π6，所以θ=π6．所以f(θ)∈(2,π+6+2√36]. 故所需渔网长度的最大值为π+6+2√36． 确定∠COD ，在△OCD 中利用正弦定理求得CD 的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了函数模型的构建与最值应用问题，是难题．17. (1)6S n =a n2+3a n +2，n ∈N ∗.n ≥2时，6a n =6S n −6S n−1，化为(a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0，由a n >0，可得a n −a n−1=3，n =1时，6a 1=a 12+3a 1+2，且a 1<2，解得a 1.利用等差数列的通项公式可得a n ．(2)b n =(−1)n a n 2=(−1)n (3n −2)2.b 2n−1+b 2n =−(6n −5)2+(6n −2)2=3(12n −7)=36n −21.利用分组求和即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. (1)推导出△BAD≌△EDC ，∠DBA =∠DEH ，从而BD ⊥EC ，由PH ⊥平面ABCD ，得BD ⊥PH ，由此能证明BD ⊥平面PEC ，从而PC ⊥BD ．(2)推导出PH 、EC 、BD 两两垂直，建立以H 为坐标原点，HB 、HC 、HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC 上存在一点F ，当点F 满足CF =3√2时，二面角B −DF −C 的余弦值是√1515．本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 19. (1)把组中值看作各小组的平均数，根据加权平均数公式计算； (2)根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列．本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．20. (1)先求出p 的值，即可求出c 的值，根据离心率求出a 的值，即可得到椭圆方程， (2)设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x 2+2y 2=8y=kx+m，根据直线AM 与BM 的斜率乘积为−12，求出m =0，再根据弦长公式求出|AB|和|ON|，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与二次函数函数的应用，考查计算能力，属于难题．21. (1)当b =2时，f(x)=ae x +x 2−2x ，(a ∈R)，f′(x)=ae x +2x −2，(a ∈R)，由题意a =2−2x e x，令ℎ(x)=2−2x e x，则ℎ′(x)=2x−4e x=0，解得x =2，由此能求出当a =−2e 2或a∈[0,+∞)时，f′(x)在R上有且只有一个零点．= (2)由f(x)=ae x+x2−bx，得f′(x)=ae x+2x−b，假设存在x0，则f(x0)−f(m)x0−m ),(x0≠m)，利用导数性质推导出不存在实数x0(x0≠m)使得f(x0)−n=f′(x0+m2f′(x0+m)(x0−m)成立．2本题考查利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、满足条件的实数是否存在的判断与证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力、推理论证能力，考查创新意识，是中档题．22. (1)考查直线l1，l2参数方程与极坐标方程的互化，曲线C的极坐标方程与直角坐标方程的互化.重点都是消去参数t．(2)利用l1，l2极坐标方程，结合余弦定理，计算出|AB|的长度．考查极坐标方程与参数方程，普通方程的互化.记准互化公式和原则是关键，属于中档题目．23. (1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)根据绝对值不等式的性质求出a的值，结合基本不等式的性质求出m+n的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题．。
2018年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)
2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}3．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．4．（5分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C．∃x0∈（0，+∞），使成立D．“若，则”是真命题5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．36．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm37．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），记T n=，则T2018=（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）A．B．2 C．D．912．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m 的取值范围为（）A． B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为．14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=．15．（5分）已知数列{a n}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）=．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数5101547x女生测试情况抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数2310y2（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？男性女性总计体育达人非体育达人总计临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.879附：（，其中n=a+b+c+d）19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若，求点B到平面PAC的距离．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C 到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x 轴平行．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i【解答】解：==﹣1﹣3i故选：A．2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}【解答】解：∵A∩B=A，∴A⊆B．∵集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，∴a≥2故选：D．3．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）•=0，即2﹣•=0，即1+m2﹣（m﹣1+2m）=0，即m2﹣3m+2=0，得m=1或m=2，当m=1时，量=（1，1），=（0，2），满足≠，当m=2时，量=（1，2），=（1，2），不满足≠，综上m=1，故选：B．4．（5分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C．∃x0∈（0，+∞），使成立D．“若，则”是真命题【解答】解：“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故A错；“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假命题，比如m=0，若a＜b，则am2=bm2，故B错；对任意x＞0，均有3x＜4x成立，故C错；对若，则”的逆否命题是“若α=，则sinα=”为真命题，则D正确．故选：D．5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．3【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．6．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选：B．7．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）=sin[2（x+）+]=﹣sin2x的图象，故本题即求y=sin2x的减区间，令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数g（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故选：B．8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），记T n=，则T2018=（）A．B．C．D．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），则：数列为等差数列．设公差为d，则：d=a2﹣a1=2﹣1=1，则：a n=1+n﹣1=n．故：，则：，所以：，=，=，=．所以：．故选：C．9．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]【解答】解：当x≤0时，f（x）单调递增，∴f（x）≤f（0）=1﹣a，当x＞0时，f（x）单调递增，且f（x）＞﹣a．∵f（x）在R上有两个零点，∴，解得0＜a≤1．故选：A．10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．【解答】解：方法一：依题意，作图如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay﹣ab，x=y﹣a，∵PF1⊥PF2，则•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（）2+y2﹣c2，令f（y）=（）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）×+2y，∴由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．方法二：由直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，由题意可知：直线AB与圆O：x2+y2=c2相切，可得d==c，两边平方，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）A．B．2 C．D．9【解答】解：甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得x=1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）=598+y，乙班学生的平均分是86，且总分为86×7=602，所以y=4，若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则xy=G2，2G=a+b，即有a+b=4，a＞0，b＞0，则+=（a+b）（+）=（1+4++）≥（5+2）=×9=，当且仅当b=2a=时，的最小值为．故选：C．12．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m 的取值范围为（）A． B．C．D．【解答】解：根据题意，对于（2x﹣）•ln≤，变形可得（2x﹣）ln≤，即（2e﹣）ln≤，设t=，则（2e﹣t）lnt≤，t＞0，设f（t）=（2e﹣t）lnt，（t＞0）则其导数f′（t）=﹣lnt+﹣1，又由t＞0，则f′（t）为减函数，且f′（e）=﹣lne+﹣1=0，则当t∈（0，e）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，当t∈（e，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，则f（t）的最大值为f（e），且f（e）=e，若f（t）=（2e﹣t）lnt≤恒成立，必有e≤，解可得0＜m≤，即m的取值范围为（0，]；故选：D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为1．【解答】解：设变量x，y满足约束条件在坐标系中画出可行域三角形，平移直线4x﹣y=0经过点A（1，3）时，4x﹣y最小，最小值为：1，则目标函数z=4x﹣y的最小值：1．故答案为：1．14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=3．【解答】解：∵直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，∴，解得a=3．故答案为：3．15．（5分）已知数列{a n}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）=100．【解答】解：∵，∴log2a n+1﹣log2a n=1，即，∴．∴数列{a n}是公比q=2的等比数列．则a101+a102+…+a110=（a1+a2+a3+…+a10）q100=2100，∴log2（a101+a102+…+a110）=．故答案为：100．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OM的方程为y=x，则另一渐近线ON的方程为y=﹣x，由FM的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=x，可得M的横坐标为，由FM的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=﹣x，可得N的横坐标为．由2=，可得2（﹣c）=﹣c，即为﹣c=，由e=，可得﹣1=，即有e4﹣5e2+4=0，解得e2=4或1（舍去），即为e=2，即c=2a，b=a，可得渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．【解答】解：（1）由正弦定理可知：===2R，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由2ccosB=2a+b，则2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，由0＜B＜π，sinB≠0，cosC=﹣，0＜C＜π，则C=；（2）由S=absinC=c，则c=ab，由c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab，∴=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时取等号，∴ab≥12，故ab的最小值为12．18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数5101547x女生测试情况抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数2310y2（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？男性女性总计体育达人非体育达人总计临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.879附：（，其中n=a+b+c+d）【解答】解：（1）按分层抽样男生应抽取80名，女生应抽取20名；∴x=80﹣（5+10+15+47）=3，y=20﹣（2+3+10+2）=3；抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为A，B，C；两位女生设为a，b；从5名任意选2名，总的基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个；设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件A”；则事件包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6个；∴P（A）==；（2）填写2×2列联表如下：男生女生总计体育达人50555非体育达人301545总计8020100则K2=≈9.091；∵9.091＞6.635且P（K2≥6.635）=0.010，∴在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关”．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若，求点B到平面PAC的距离．【解答】证明：（1）连接CD，据题知AD=4，BD=2，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴cos，∴=8，∴CD=2，∴CD2+AD2=AC2，∴CD⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，CD∩AC=C，∴PD⊥平面ABC．解：（2）∵，∴PD=AD=4，∴PA=4，在Rt△PCD中，PC==2，∴△PAC是等腰三角形，∴，设点B到平面PAC的距离为d，=V P﹣AEC，得，由V E﹣PAC∴d==3，故点B到平面PAC的距离为3．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C 到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0可化为（x+1）2+（y﹣1）2=1，则圆心为（﹣1，1）．抛物线E：y2=2px（p＞0），焦点坐标F（），由于：圆心C到抛物线焦点F的距离为．则：，解得：p=6．故抛物线的方程为：y2=12x（2）设直线的方程为x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），则：，整理得：y2﹣12my﹣12t=0，所以：y1+y2=12m，y1y2=﹣12t．由于：OA⊥OB．则：x1x2+y1y2=0．即：（m2+1）y1y2+mt（y1+y2）+t2=0．整理得：t2﹣12t=0，由于t≠0，解得t=12．故直线的方程为x=my+12，直线经过定点（12，0）．当CN⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到直线的距离取最大值．当CP⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到动直线L的距离取得最大值．k MP=k CP=﹣，则：m=．此时直线的方程为：x=，即：13x﹣y﹣156=0．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x 轴平行．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a=0，解得：a=1，∴f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（1）不等式f（x）﹣+2x+＞k（x﹣1）可化为lnx﹣+x﹣＞k（x﹣1），令g（x）=lnx﹣+x﹣﹣k（x﹣1），（x＞1），g′（x）=，∵x＞1，令h（x）=﹣x2+（1﹣k）x+1，h（x）的对称轴是x=，①当≤1时，即k≥﹣1，易知h（x）在（1，x0）上递减，∴h（x）＜h（1）=1﹣k，若k≥1，则h（x）≤0，∴g′（x）≤0，∴g（x）在（1，x0）递减，∴g（x）＜g（1）=0，不适合题意．若﹣1≤k＜1，则h（1）＞0，∴必存在x0使得x∈（1，x0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）递增，∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．②当＞1时，即k＜﹣1，易知必存在x0使得h（x）在（1，x0）递增，∴h（x）＞h（1）=1﹣k＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）递增，∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．综上，k的取值范围是（﹣∞，1）．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】（1）直线L的参数方程为：（t为参数）．曲线C的极坐标方程是，转化为直角坐标方程为：y2=8x（2）当时，直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2=8x得到：．（t1和t2为A和B的参数），所以：，t 1t2=﹣16．所以：．O到AB的距离为：d=．则：=．23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得|x+3|＜|2x﹣1|，即|x+3|2＜|2x﹣1|2，则有3x2﹣10x﹣8＞0，∴x＜﹣或x＞4，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（4，+∞）；（2）由已知，设h（x）=2f（x）+g（x）=2|x+3|+|2x﹣1| =，当x≤﹣3时，只需﹣4x﹣5＞ax+4恒成立，即ax＜﹣4x﹣9，∵x≤﹣3＜0，∴a＞=﹣4﹣恒成立，∴a＞，∴a＞﹣1，当﹣3＜x＜时，只需7＞ax+4恒成立，即ax﹣3＜0恒成立，只需，∴，∴﹣1≤a≤6，当x≥时，只需4x+5＞ax+4恒成立，即ax＜4x+1，∵x≥＞0，∴a＜=4+恒成立，∵4+＞4，且无限趋近于4，∴a≤4，综上，a的取值范围是（﹣1，4]．。
2018年河南省高考数学一模试卷(理科)
2018 年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分）1．（5 分）已知会合 A={ x| x2﹣ 2x﹣3＞0} ，B=N，则会合（ ?R A）∩ B 中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．52．（ 5 分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣ 6B．13C．D．3．（ 5 分）已知 f（x）=sinx﹣tanx，命题 p：? x0∈（ 0，），f （x0）＜0，则（）A．p 是假命题，￢ p：? x∈（ 0，），f（x）≥ 0B．p 是假命题，￢ p：? x0∈（ 0，），f（x0）≥ 0C．p 是真命题，￢ p：? x∈（ 0，），f（x）≥ 0D．p 是真命题，￢ p：? x0∈（ 0，），f（x0）≥ 04．（5 分）已知程序框图如图，则输出i 的值为（）A．7B．9C．11D．135．（5 分） 2018 年元旦假期，高三的8 名同学准备拼车去旅行，此中（1）班、（2）班，（3）班、（4）班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4 名同学（乘同一辆车的4 名同学不考虑地点），此中（1）班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一个班的乘坐方式共有（）A．18 种B．24 种C．48 种D．36 种6．（5 分）《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如下图，此中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为（）A．1+B．1+2C．2+D．2+27．（5 分）设不等式组表示的平面地区为D，若圆 C：（x+1）2+y2=r2（r ＞0）不经过地区 D 上的点，则 r 的取值范围为（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（0，）D．[，]8．（5 分）若等边三角形ABC的边长为 3，平面内一点 M 知足 6﹣3=2，则?的值为（）A．﹣B．﹣ 2C．2D．9．（ 5 分）对于函数 f（x）=3sin（ 2x﹣）+1（x∈R），以下命题正确的选项是（）A．由 f（ x1）=f（ x2） =1 可得 x1﹣ x2是π的整数倍B．y=f（x）的表达式可改写成f（ x） =3cos（2x+）+1C．y=f（x）的图象对于点（，1）对称D．y=f（x）的图象对于直线x=﹣对称10．（ 5 分）设函数 f（x）=mx2﹣mx﹣1，若对于 x∈[ 1， 3] ，f （x）＜﹣ m+4 恒成立，则实数 m 的取值范围为（）A．（﹣∞， 0]B．C．D．11．（ 5 分）设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），若双曲线的渐近线被圆 M ：x2+y2﹣10x=0 所截得的两条弦长之和为12，已知△ ABP的极点 A，B 分别为双曲线的左、右焦点，极点 P 在双曲线上，则的值等于（）A．B．C．D．12．（ 5 分）已知定义在R 上的函数 f（ x）和 g（x）分别知足 f（x）=，e2x﹣2+x2﹣ 2f（0）?x，g′（x）+2g（ x）＜ 0，则以下不等式恒成立的是（）A．g（2016）＜ f（2）?g（ 2018）B．f （2）?g（ 2016）＜ g（ 2018）C．g（2016）＞ f （2）?g（ 2018）D．f（2）?g（ 2016）＞ g（2018）二、填空题（此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．（ 5 分）设 a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（a﹣）6的睁开式中含x2项的系数为．14．（ 5 分）若函数 f （x）=（a，b∈R）为奇函数，则f（a+b）的值为．15．（ 5 分）已知三棱柱 ABC﹣ A1B1C1的底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面 ABC，如有一半径为 2 的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA1的长度为．16．（ 5 分）如图， OA，OB 为扇形湖面 OAB 的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区﹣地区I 和地区Ⅱ，点 C 在上，∠ COA=θ，CD∥OA，其中，半径 OC及线段 CD 需要用渔网制成．若∠ AOB=，OA=1，则所需渔网的最大长度为．三、解答题（共70 分）17．（ 12 分）已知 S n为数列 { a n} 的前 n 项和，且 a1＜2，a n＞0， 6S n=+3a n+2，n∈N* ．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）若对 ? n∈ N* ，b n（﹣）n ，求数列 { b n 的前2n 项的和2n ．=1 } T18．（12 分）如下图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AB∥CD，∠BAD=90°，DC=DA=2AB=2 ，点 E 为 AD 的中点，BD∩ CE=H，PH⊥平面 ABCD，且 PH=4．（1）求证： PC⊥BD；（ 2）线段 PC上能否存在一点 F，使二面角 B﹣DF﹣ C 的余弦值是？若存在，请找出点 F 的地点；若不存在，请说明原因．19．（ 12 分）某地域为认识学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出 160 名，其数学构成绩（均为整数）的频次散布直方图如下图．（ 1）预计此次考试数学成绩的均匀分和众数；（ 2）假定在（ 90，100] 段的学生中有 3 人得满分 100 分，有 2 人得 99 分，其他学生的数学成绩都不同样．现从 90 分以上的学生中任取 4 人，不一样分数的个数为 ξ，求 ξ的散布列及数学希望 E （ξ）．20．（12 分）已知椭圆 C 1： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为 ，右焦点 F 是抛物线 C 2：y 2=2px （p ＞0）的焦点，点（ 2，4）在抛物线 C 2 上．（ 1）求椭圆 C 1 的方程；（ 2）已知斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 1 于 A ，B 两点， M （ 0，2），直线 AM 与 BM的斜率乘积为﹣ ，若在椭圆上存在点 N ，使| AN| =| BN| ，求△ ABN 的面积的最小值．21．（ 12 分）已知函数 f （x ）=ae x +x 2﹣bx （a ，b ∈ R ），其导函数为 y=f ′（ x ）．（ 1）当 b=2 时，若函数 y=f ′（ x ）在 R 上有且只有一个零点，务实数 a 的取值范围；（ 2）设 a ≠0，点 P （m ， n ）（m ， n ∈ R ）是曲线 y=f （x ）上的一个定点，能否存在实数 x 0（ 0≠ m ）使得 f （ 0）﹣ n=f （′）（ 0﹣ m ）成立？并证明你x xx的结论．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 ]22．（ 10 分）在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 1：（ t 为参数）， l 2：（t 为参数），此中 α∈（ 0，），以原点 O 为极点， x 轴第 5页（共 25页）非负半轴为极轴，取同样长度单位成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（1）写出 l1， l2的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）设 l1，l 2分别与曲线 C 交于点 A，B（非坐标原点），求 | AB| 的值．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]23．设函数 f （x）=| x﹣a| （ a＞ 0）．（1）当 a=2 时，解不等式 f（x）≥ 1﹣ 2x；（2）已知 f（x）+| x﹣1| 的最小值为 3，且 m2n=a（ m＞0，n＞0），求 m+n 的最小值．2018 年河南省高考数学一模试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题（此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分）1．【剖析】可先求出会合A={ x| x＜﹣ 1，或 x＞3} ，而后进行交集、补集的运算即可．【解答】解： A={ x| x＜﹣ 1，或 x＞3} ；∴?R A={ x| ﹣1≤x≤3} ；∴（ ?R A）∩ B={ 0，1，2，3} ．应选： C．【评论】考察一元二次不等式的解法，以及描绘法、列举法表示会合的观点，交集和补集的运算．2．【剖析】利用复数的除法运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，由实部等于0 且虚部不等于求解 a 的值．【解答】解：由复数==是纯虚数，则，解得 a=﹣6．应选： A．【评论】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了复数的基本观点，是基础的计算题．3．第 7页（共 25页）否认是全称命题写出结果．【解答】解：f（ x）=sinx﹣tanx，x∈（ 0，），当x=时，∴ f（x）=，命题 p：? x0∈（ 0，），f（x0）＜0，是真命题，命题 p：? x0∈（ 0，），f（x0）＜0，则￢p：? x∈（0，），f（x）≥ 0．应选： C．【评论】此题考察命题的否认，特称命题与全称命题的否认关系，基本知识的考察．4．【剖析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序的运转过程，可得答案．【解答】解：当 S=1时，不知足退出循环的条件，故S=1，i=3；当 S=1时，不知足退出循环的条件，故 S=3，i=5；当S=3时，不知足退出循环的条件，故 S=15， i=7；当S=15时，不知足退出循环的条件，故 S=105，i=9；当 S=105时，不知足退出循环的条件，故 S=945， i=11；当S=945时，不知足退出循环的条件，故 S=10395，i=13；当S=10395时，知足退出循环的条件，故输出的 i=13，应选： D．【评论】此题考察的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采纳模拟循环的方法解答．5．【剖析】分类议论，第一类，一班的 2 名同学在甲车上；第二类，一班的2 名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．【解答】解：由题意，第一类，一班的 2 名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不一样的班级，从三个班级中选两个为C2=3，而后分别从选择的班级中再选第 8页（共 25页）择一个学生为 C21C21=4，故有 3×4=12 种．第二类，一班的 2 名同学不在甲车上，则从剩下的 3 个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为 C31=3，而后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4，这时共有 3×4=12 种，依据分类计数原理得，共有 12+12=24 种不一样的搭车方式，应选： B．【评论】此题考察计数原理的应用，考察组合知识，考察学生的计算能力，属于中档题．6．【剖析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形联合图形求出它的表面积．【解答】解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如下图；正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，此中一条侧棱 PD⊥底面 ABCD，且侧棱 AD=1，∴四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且 PA=PC= ，∴四棱锥的表面积为S=S底面ABCD+2S△SAD+2S△SAB=1+2××1×1+2××1×=2+．应选： C．【评论】此题考察了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7．【剖析】作出题中不等式组表示的平面地区，获得如图的△MNP 及其内部，而圆 C 表示以（﹣ 1，﹣1）为圆心且半径为 r 的圆．察看图形，可得半径r ＜CM或 r＞CP 时，圆 C 不经过地区 D 上的点，由此联合平面内两点之间的距离公式，即可获得 r 的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面地区，获得如图的△ MNP 及其内部，此中M（1，1）， N（2，2），P（1，3）∵圆 C：（x+1）2 +y2=r2（r ＞0）表示以 C（﹣ 1，0）为圆心，半径为r的圆，∴由图可得，当半径知足r＜ CM 或 r＞CP时，圆 C 不经过地区 D 上的点，∵CM==，CP==．∴当 0＜r ＜或r＞时，圆C不经过地区D上的点，应选： A．【评论】此题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面地区，求半径r的取值范围．侧重考察了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面地区等知识，属于中档题．8．【剖析】依据条件可先求出，而由即可得出，这样即可用分别表示出，而后进行数目积的运算即可．【解答】 解：等边三角形 ABC 的边长为 3；∴；；∴；∴==，=；∴= ==﹣2．应选： B ．【评论】考察向量数目积的运算及计算公式， 以及向量的数乘运算， 向量加法的几何意义．9．【剖析】依据函数 f （ x ）=3sin （ 2x ﹣ ）+1（ x ∈ R ），联合三角函数的性质即可 判断各选项．【解答】 解：函数 f （x ） =3sin （2x ﹣ ）+1（x ∈R ），周期 T=，对于 A ：由 f （ x 1） =f （ 2） ，x =1可能 x 1 与 x 2 对于此中一条对称轴是对称的，此时 x 1﹣x 2 不是 π的整数倍；∴ A不对．对于 B ：由引诱公式， 3sin （2x ﹣ ） +1=3cos[ ﹣（ 2x ﹣ ） ]+ 1=3cos （ 2x﹣）+1．∴ B 不对．第11页（共 25页）∴C不对，对于 D：当 x=﹣时，可得f（）=3sin（﹣﹣）+1=﹣1×3+1=﹣2，f（x）的图象对于直线x=﹣对称．应选： D．【评论】此题主要考察利用y=Asin（ωx+φ）的信息特点，判断各选项的正误，属于中档题．10．【剖析】利用分别参数法，再求出对应函数在x∈ [ 1，3] 上的最大值，即可求m 的取值范围．【解答】解：由题意， f（x）＜﹣ m+4，可得 m（ x2﹣x+1）＜ 5．∵当 x∈[ 1， 3] 时， x2﹣x+1∈[ 1，7] ，∴不等式 f（ x）＜ 0 等价于 m＜．∵当 x=3 时，的最小值为，∴若要不等式 m＜恒成立，则一定 m＜，所以，实数 m 的取值范围为（﹣∞，），应选： D．【评论】此题考察恒成立问题，考察分别参数法的运用，解题的要点是分别参数，正确求最值，属于中档题．11．【剖析】依据垂径定理求出圆心到直线的距离为d=4，再依据点到直线的距离公式可得=4，获得5b=4c，即可求出a= c ，依据正弦定理可得第12页（共 25页）== =【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为y=x，双曲线的渐近线被圆M ：x2+y2﹣ 10x=0，即（x﹣ 5）2+y2=25 所截得的两条弦长之和为 12，设圆心到直线的距离为d，则 d==4，∴=4，即 5b=4c，即 b= c∵ a2=c2﹣ b2=c2，∴a= c，∴| AP﹣BP| =2a，由正弦定理可得∴sinB= ， sinA====2R，，sinP=，∴== =，应选： C．【评论】此题考察了双曲线的简单性质以及圆的相关性质和正弦定理，属于中档题12．【剖析】 f（x）=2x﹣2 2﹣ 2f（0）?x，令 x=0，则 f （0）= ．由 f ′e +x（x）=f （′1）?e2x﹣2+2x﹣2f（0），令 x=1，可得 f（0）．从而得出 f （′1），f（ x），（）．令（）2x （），及其已知2x[ g′f 2h x =e g x g′（x）+2g（x）＜0，可得 h′（x）=e （x）+2g（x）] ＜0，利用函数 h（ x）在 R 上单一递减，即可得出．【解答】解： f（x） =2x﹣ 2 2e +x ﹣2f（ 0） ?x，令 x=0，则 f（0）=．∵f （′ x）=f ′（1）?e2x﹣2+2x﹣ 2f（0），令 x=1，则 f ′（ 1） =f ′（1）+2﹣2f（0），解得 f（ 0） =1．∴ f （′ 1） =2e2．∴ f（x）=e2x+x2﹣2x，∴f（2）=e4．令 h（x） =e2x g（x），∵ g′（x） +2g（x）＜ 0，∴h′（x） =e2x g′（x）+2e2x g（ x） =e2x[ g′（ x）+2g（ x） ] ＜ 0，∴函数 h（ x）在 R 上单一递减，∴ h（2016）＞ h（ 2018），∴e2016×2g（2016）＞ e2018×2g（ 2018），可得： g（2016）＞ e4g（2018）．∴g（ 2016）＞ f（ 2）g（2018）．应选： C．【评论】此题考察了利用导数研究函数的单一性极值与最值、结构法、方程与不等式的解法，考察了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．第14页（共 25页）出 r 的值，问题得以解决．【解答】解：因为 a= （cosx﹣sinx）dx=（ sinx+cosx）| =﹣ 1﹣ 1=﹣2，∴（﹣2 ﹣）6+ ）6的通项公式为r+1 6﹣r 6r 3﹣r ，=（2 T =2 C ?x令 3﹣r=2，求得 r=1，故含 x2项的系数为 26﹣1C61=192．故答案为： 192【评论】此题主要考察定积分、二项式定理的应用，二项式睁开式的通项公式，属于基础题．14．【剖析】由已知中函数f（ x）为奇函数， f（﹣ x）=﹣f（ x）恒成立，可得 a，b 的值，从而可得 f （a+b）的值．【解答】解：∵函数 f （x）==为奇函数，故 f（﹣ x） =﹣ f（ x）恒成立，故．即，∴ f（x）=，∴f（a+b） =f（1）=1﹣ 2=﹣1，故答案为：﹣ 1．【评论】此题考察的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值，难度中档．15．【剖析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA1的长度．【解答】解：由题意，△ ABC的外接圆即为球的大圆，r=2，设底面△ ABC外接圆圆心 G，即 GA=GB=GC=2，从而正三角形 ABC边长 2 ，设球心 O，由题意， E、D 在球面上， OE=OD=2，F 为 DE中点，则 OF⊥DE， OF=GD= GC=1，在 Rt△OEF中， OE=2， OF=1，∴EF= ，∴ DE=2 ，∴AA1=2 ．故答案为： 2 ．【评论】此题考察正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，经过两者的关系求出正三棱柱的体积，考察计算能力，逻辑推理能力．16．【剖析】确立∠ COD，在△ OCD中利用正弦定理求得CD 的长度，依据所需渔网长度，即图中弧 AC、半径 OC和线段 CD长度之和，确立函数的分析式，利用导数确立函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．【解答】解：由 CD∥OA，∠ AOB=，∠ AOC=θ，得∠ OCD=θ，∠ ODC=，∠COD=﹣θ；在△ OCD中，由正弦定理，得CD= sin（﹣θ），θ∈（0，），设渔网的长度为f（θ），可得 f （θ）=θ+1+ sin（﹣θ），所以 f ′（θ）=1﹣cos（﹣θ），因为θ∈（0，），所以﹣θ∈（ 0，），第16页（共 25页）令 f ′（θ）=0，得 cos（﹣θ）=，所以﹣θ= ，所以θ= ．θ（0，）（，）f （′θ）+0﹣f（θ）极大值所以 f （θ）∈（ 2，] ．故所需渔网长度的最大值为．【评论】此题考察了正弦定理的应用问题，也考察了函数模型的建立与最值应用问题，是难题．三、解答题（共70 分）17．【剖析】（1）6S n=+3a n+2，n∈N* ．n≥2 时， 6a n=6S n﹣6S n﹣1，化为（ a n+a n﹣1）（a n﹣ a n﹣1﹣3）=0，由 a n＞0，可得 a n﹣a n﹣1=3，n=1 时，6a1=+3a1+2，且a1＜2，解得 a1．利用等差数列的通项公式可得a n．（2） b n=（﹣ 1）n =（﹣ 1）n（3n﹣2）2． b2n﹣1+b2n=﹣（ 6n﹣ 5）2+（6n﹣ 2）2=3（12n﹣7）=36n﹣21．利用分组乞降即可得出．【解答】解：（1）6S n =+3a n+2， n∈N* ．n≥2 时， 6a n=6S n﹣6S n﹣1= +3a n +2﹣（+2），化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，∵a n＞0，∴ a n﹣ a n﹣1=3，n=1 时， 6a1= +3a1+2，且 a1＜2，解得 a1=1．∴数列 { a n} 是等差数列，首项为1，公差为 3．∴a n=1+3（ n﹣ 1）=3n﹣2．=（﹣ 1）n（3n﹣ 2）2．（ 2） b n =（﹣ 1）n∴b+b=﹣（ 6n﹣5）2+（6n﹣ 2）2=3（ 12n﹣7）=36n﹣21．第17页（共 25页）∴数列 { b n 的前2n 项的和 2n （）﹣21n=﹣ 2} T =36 1+2+ +n 21n=18n ﹣3n．【评论】此题考察了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与乞降公式、分组乞降方法，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【剖析】（1）推导出△ BAD≌△ EDC，∠ DBA=∠DEH，从而 BD⊥EC，由 PH⊥平面 ABCD，得 BD⊥PH，由此能证明 BD⊥平面 PEC，从而 PC⊥ BD．（2）推导出 PH、 EC、BD 两两垂直，成立以 H 为坐标原点， HB、HC、HP 所在直线分别为 x，y， z 轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC 上存在一点 F，当点 F 知足 CF=3时，二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【解答】证明：（1）∵ AB∥CD，∠ BAD=90°，∴∠ EDC=∠BAD=90°，∵DC=DA=2AB，E 为 AD 的中点，∴ AB=ED，∴△ BAD≌△ EDC，∴∠ DBA=∠DEH，∵∠ DBA+∠ADB=90°，∴∠ DEH+∠ADB=90°，∴ BD⊥EC，又∵ PH⊥平面 ABCD，BD? 平面 ABCD，∴ BD⊥PH，又∵ PH∩ EC=H，且 PH，EC? 平面 PEC，∴ BD⊥平面PEC，又∵ PC? 平面 PEC，∴ PC⊥BD．解：（ 2）由（ 1）可知△ DHE∽△ DAB，由题意得 BD=EC=5，AB=DE= ，∴，∴EH=1， HC=4，DH=2，HB=3，∵ PH、EC、BD 两两垂直，成立以 H 为坐标原点， HB、HC、HP 所在直线分别为x，y，z 轴的坐标系，H（0，0，0），B（3，0，0），C（0，4，0），D（﹣ 2，0，0），P（0，0，4），假定线段 PC上存在一点 F 知足题意，∵与共线，∴存在独一实数λ，（0≤λ≤ 1），知足 =λ，解得F（0，4﹣4λ， 4λ），设向量=（x，y， z）为平面 CPD的一个法向量，且=（0，﹣ 4，4），=（﹣2，﹣4，0），∴，取 x=2，得=（2，﹣ 1，﹣ 1），同理得平面 CPD的一个法向量=（0，λ，λ﹣1），∵二面角 B﹣DF﹣ C 的余弦值是，∴ | cos＜＞| ===，由 0≤λ≤ 1，解得λ=，∴=，∵CP=4 ，∴线段 PC上存在一点 F，当点 F 知足 CF=3时，二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【评论】此题考察线线垂直垂直的证明，考察二面角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是中档题．19．【剖析】（1）把组中值看作各小组的均匀数，依据加权均匀数公式计算；（ 2）依据组合数公式计算各样状况的概率，得出散布列．【解答】解：（1） =45×0.005×10+55×0.015×10+65× 0.02×10+75× 0.03×10+85×0.025×10+95× 0.005×10=72（分），众数为 75 分．（2） 90 分以上的人数为 160×0.005×10=8人．∴ξ的可能取值为 2， 3， 4，P（ξ =2）==，P（ξ =3）==，P（ξ =4）==．∴ξ的散布列为：ξ 2 3 4P∴ξ的数学希望是 E（ξ）=2× +3×+4×=．【评论】此题考察了频次散布直方图，失散型随机变量的散布列和数学希望，属于中档题．20．【剖析】（1）先求出 p 的值，即可求出 c 的值，依据离心率求出 a 的值，即可得到椭圆方程，（ 2）设直线 l 的方程为 y=kx+m，设 A（ x1，1），（2，2），由，yB x y依据直线 AM 与 BM 的斜率乘积为﹣，求出m=0，再依据弦长公式求出| AB|和| ON| ，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：（1）∵点（ 2， 4）在抛物线 y2=2px 上，∴16=4p，第20页（共 25页）∴椭圆的右焦点为F（2，0），∴c=2，∵椭圆 C1：+ =1（a＞b＞0）的离心率为，∴= ，∴a=2 ，∴b2=a2﹣ c2=8﹣4=4，∴椭圆 C1的方程为+，=1（ 2）设直线 l 的方程为 y=kx+m，设 A（x1，1 ），（ 2 ， 2 ），y B x y 由，消 y 可得（ 1+2k2） x2 +4kmx+2m2﹣8=0，∴ x1 2 ， 1 2 ，+x = x x =∴ y1 2 （ 1 2 ）+2m= ，12 212 （ 1 2） 2=+y =k x +x y y =k x x +km x +x +m∵ M（0，2），直线 AM 与 BM 的斜率乘积为﹣，∴ k1?k2=?===﹣，解得 m=0，∴直线 l 的方程为 y=kx，线段 AB 的中点为坐标原点，由弦长公式可得 | AB| ==，∵| AN| =| BN| ，∴ ON 垂直均分线段 AB，当 k≠0 时，设直线 ON 的方程为 y=﹣x，同理可得|ON|== ，∴ S △ ABN = | ON| ?| AB| =8，当 k=0 时，△ ABN 的面积也合适上式，令 t=k 2+1， t ≥1，0＜ ≤ 1，则S =8=8=8，△ABN∴当 = 时，即 k=±1 时， S △ABN 的最小值为 ．【评论】此题考察椭圆的标准方程， 直线与椭圆的地点关系， 考察椭圆与二次函数函数的应用，考察计算能力，属于难题．21．【剖析】（1）当 b=2 时，f （ x ）=ae x +x 2﹣ 2x ，（ a ∈ R ），f （′x ）=ae x +2x ﹣2，（ a ∈ R ），由题意 a=，令 h （ x ）= ，则 =0，解得 x=2，由此能求出当 a=﹣或 a ∈[ 0， +∞）时， f ′（x ）在 R 上有且只有一个零点．（ 2 ）由f （ x ） =ae x +x 2 ﹣ bx ， 得 f ′（ x ） =ae x +2x ﹣ b ， 假定 存在 x 0 ，则，利用导数性质推导出不存在实数x （0 x 0≠m ）使得 f （x 0）﹣ n=f （′）（ 0﹣ m ）成立．x【解答】 解：（1）当 b=2 时， f （x ）=ae x +x 2﹣2x ，（a ∈R ），f （′x ）=ae x +2x ﹣ 2，（a ∈R ）， 由题意得 ae x +2x ﹣ 2=0，即 a= ，令 h （x ） =，则=0，解得 x=2，当 x ＜2 时， h ′（ x ）＜ 0，h （x ）单一递减，当 x ＞2 时， h ′（ x ）＞ 0，h （x ）单一递加， ∴ h （ x ）min =h （ 2）=﹣ ，∵当 x=﹣ 1 时， h （﹣ 1） =4e ＞0，当 x ＞2 时， h （x ）=＜0，由题意适当 a=﹣或 a ∈[ 0， +∞）时， f ′（ x ）在 R 上有且只有一个零点．（ 2）由 f （x ）=ae x +x 2﹣bx ，得 f ′（x ）=ae x +2x ﹣ b ，假定存在 x 0，则有 f （x 0）==，即，∵ f （′）= +2 ﹣b ，==+（x 0+m ）﹣ b ，∴+2?﹣ b=+（x 0 +m ）﹣ ，b即 = ，∵ a ≠0，∴，令 t=x 0﹣ m ＞ ，则，两边同时除以 e m ，得，即 ，令 g （t ） =，∴ ，令 h （t ） =﹣ ﹣1 在（ 0，+∞）上单一递加，且 h （0）=0，∴ h （ t ）＞ 0 对于 t ∈（ 0， +∞）恒成立，即 g ′（t ）＞ 0 对于 t ∈（ 0， +∞）恒成立，∴ g （ e ）在（ 0，+∞）上单一递加， g （0）=0，∴ g （ t ）＞ 0 对于 t ∈（ 0， +∞）恒成立，∴= 不可立，同理， t=x 0﹣ m ＜0 时，∴不存在实数 x 0（ 0≠ m ）使得 f （ 0）﹣ n=f ′（）（0﹣ m ）成立． x xx【评论】此题考察利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、 知足条件的实数能否存在的判断与证明，考察函数与方程思想、转变与化归思想，考察运算求解能力、推理论证能力，考察创新意识，是中档题．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 ]22．【剖析】（1）考察直线 l 1，l 2 参数方程与极坐标方程的互化，曲线 C 的极坐标方程与直角坐标方程的互化．要点都是消去参数t ．（ 2）利用 l 1， l 2 极坐标方程，联合余弦定理，计算出 | AB| 的长度．【解答】 解：（1）l 1，l 2 的极坐标方程为 θ1=α（ρ∈R ）， θ2=α+ （ρ∈R ）．曲线 C 的极坐标方程方程为 ρ﹣4cos θ=0．即得 ρ2﹣4ρcos θ=0，222利用 ρ x +y ，x=ρcos θ得曲线 C 的直角坐标方程为（ x ﹣2）2+y 2=4． （ 2）因为 ρ1=4cos α， ρ2=4cos （α+ ），所以|AB|2﹣ ρ1． ρ222（ ）﹣ cos αcos=+2 cos=16[ cos α+cos（）]=16[ cos 2α+ （cos α﹣ sin α）2﹣cos α（ cos α﹣ sin α）] =8，所以| AB| 的值为 2 ．【评论】考察极坐标方程与参数方程， 一般方程的互化． 记准互化公式和原则是要点，属于中档题目．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]第24页（共 25页）23．【剖析】（1）经过议论 x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）依据绝对值不等式的性质求出 a 的值，联合基本不等式的性质求出 m+n 的最小值即可．【解答】解：（1）当 x≥2 时， x﹣ 2≥ 1﹣ 2x，得 x≥1，故 x≥2，当 x＜2 时， 2﹣x≥1﹣2x，得 x≥﹣ 1，故﹣ 1≤x＜2，综上，不等式的解集是 { x| x≥﹣ 1} ；（ 2）∵ f（ x）+| x﹣ 1| 的最小值是 3，∴ f（x）+| x﹣1| ≥| x﹣ a﹣（ x﹣ 1） | =| a﹣ 1|=3，故 a=4，∵ m+n= + +n≥3 =3，当且仅当=n 即 m=2， n=1 时取“=．”【评论】此题考察认识绝对值不等式问题，考察绝对值的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题．第25页（共 25页）。
2018年河南省六市高三第一次联考数学试题(理科)含答案
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分。考试时间为 120 分钟，其中第Ⅱ卷 22 题-23 题为选考题，其它题为必考题。考试结束后，将试卷和答题卡一 并交回。 注意事项： 1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填涂清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域 内。 2.选择题必需用 2B 铅笔填涂； 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整， 笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。
2
8.已知锐角△ABC 中， 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c， 若 b a ( a c) ,
则
sin 2 A 取值范围是 sin( B A)
D. 100
A. 250 B. 200 C.150
9.设 a1 , a2 ，...， a2017 是数列 1，2,…2017 的一个排列，观察如图所 示的程序框图，则输出的 F 的值为 A. 2015 B. 2016 C.2017 D. 2018
第 I 卷（选择题共 60 分）
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的。 1.已知集合 A ={ x | lg( x 2) < 1 }，集合 B ={ x | x 2 x 3 < 0 }，则 A∪B 等于
2
A.(2,12)
其中 m R ，e=2.71828......则 (
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
河南省2018年高考数学一模试卷(理科)Word版含解析
2018年河南省高考数学一模试卷（理科）选择题1.A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】故选【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解题的关键，属于基础题。
2.）A. -6B. 13C.D.【答案】A【解析】解答：a=−6.本题选择A选项.3.已知pA. p，B. pC. p，D. p【答案】C【解析】【分析】利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果。
命题：，是真命题【点睛】本题主要考查了命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题。
4.已知程序框图如图，则输出iA. 7B. 9C. 11D. 13【答案】D【解析】【分析】运行过程，可得答案．【点睛】本题主要考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答。
5.2018年元旦假期，高三的8各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐44班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一A. 18种B. 24种C. 48种D. 36种【答案】B【解析】【分析】组合知识，问题得以解决。
根据分类计数原理得，共有【点睛】本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力，属于中档题．四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两【答案】C【解析】【分析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积。
【详解】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且故选【点睛】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7.D，若圆C：D上的点，则r的取值范围为【答案】A【分析】表示以【详解】及其内部，其中时，圆的取值范围，着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题。
数学文卷·2018届河南省六市高三第一次联考
河南省六市2018届高三第一次联考（一模）数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}4,3,2,1{=A ，}03|{2≤-=x x x B ，则=B A （ ） A ．}3,2,1{ B ．]3,1[ C ．}3,2,1,0{ D ．]3,0[ 2．已知i 为虚数单位，R a ∈，若ia i+-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．113．已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x ，则y x +2的最大值为（ ）A ．4B ．7C ．10D ．124．在等差数列}{n a 中，105531=++a a a ，99642=++a a a ，以n S 表示}{n a 的前n 项和，则使n S 达到最大值的n 是（ ）A ．21B ．20C ．19D ．18 5．已知函数)0)(6sin(2)(>+=ωπωx x f 的图象与函数)2|)(|2cos()(πϕϕ<+=x x g 的图象的对称中心完全相同，则ϕ为（ ） A ．6π B ．6π- C ．3πD ．3π-6．在空间中，b a ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若αα//,//b a ，则b a //B ．若βαβα⊥⊂⊂,,b a ，则b a ⊥C ．若b a a //,//α，则α//bD ．若αβα⊂a ,//，则β//a7．为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在]50,10[，其中支出金额在]50,30[的学生有17人，频率分布直方图如图所示，则=n （ ）A ．180B ．160C ．150D ．2008．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（ ）A ．152B ．15C ．2D ．4 9．若函数|1|||)(2xx x f -=在},4||1|{R x x x ∈≤≤上的最大值为M ，最小值为m ，则=-m M （ ）A ．1631 B ．2 C ．49 D ．411 10．若正项递增等比数列}{n a 满足0)()(15342=-+-+a a a a λ（R ∈λ），则76a a λ+的最小值为（ ） A. 2-B. 4-C. 2D. 411．如图是计算函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤-=2,21,01,2x x x x x y 的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是（ ）A ．2,0,x y y x y ==-=B ．0,,2==-=y x y x yC ．x y x y y -===,,02D ．2,,0x y x y y =-==12．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足：)()2(x f e x f -=+（其中 71828.2=e ），且在区间]2,[e e 上是减函数，令22ln =a ，33ln =b ，55ln =c ，则)(a f ，)(b f ，)(c f 的大小关系（用不等号连接）为（ ）A ．)()()(c f a f b f >>B ．)()()(a f c f b f >>C ．)()()(c f b f a f >>D ．)()()(b f c f a f >>二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设)1,1(=a ，)2,1(=b ，b a k c +=，若c a ⊥，则=k . 14．已知函数)0()(≠++=x b xax x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为52+=x y ，则=-b a .15．抛物线)0(22>=a ax y 的焦点为F ，其准线与双曲线19422=-x y 相交于N M ,两点，若0120=∠MEN ，则=a .16．已知正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，若}{n a 和}{n S 都是等差数列，且公差相等，则=2a .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别是c b a ,,，满足B c C b B a cos cos cos 4=-. （1）求B cos 的值；（2）若3=⋅BC BA ，23=b ，求a 和c 的值.18．高三一班、二班各有6名学生参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示.（1）若一班、二班6名学生的平均分相同，求x 值；（2）若将竞赛成绩在]100,85[),85,75[),75,60[内的学生在学校推优时，分别赋1分，2分，3分，现在一班的6名参赛学生中取两名，求推优时，这两名学生赋分的和为4分的概率.19．如图已知四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，060=∠BAD ，5==SD SA ，7=SB ，点E 是棱AD 的中点，点F 在SC 棱上，且λ=SCSF，//SA 平面BEF .（1）求实数λ的值；（2）求三棱锥EBC F -的体积.20．已知椭圆)0(02222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，上顶点为M ，若直线1MF 的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N ，MN F 2∆的周长为24. （1）求椭圆的标准方程；（2）过点1F 的直线l （直线l 的斜率不为1）与椭圆交于Q P ,两点，点P 在点Q 的上方，若MP F NQ F S S 1132∆∆=，求直线l 的斜率. 21．已知函数)1(ln )1()(--+=x a x x x f .（1）当4=a 时，求曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程； （2）若当),1(+∞∈x 时，0)(>x f ，求a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 12（t 为参数），圆C 的极坐标方程为)4sin(24πθρ+=.（1）求直线l 的普通方程与圆C 的执直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线L 交于B A ,两点，若P 点的直角坐标为)1,2(，求||||||PB PA -的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式m x x ≤-+|12||2|有解. （1）求实数m 的取值范围；（2）已知m b a b a =+>>,0,0，证明：312222≥+++b a b b a a .数学答案一、选择题1-5：ACCBD 6-10：DABAD 11-12：BA二、填空题13．23-14．8- 15．13263 16．43三、解答题17．解：（1）由题意得，B C C B B A cos sin cos sin cos sin 4=-所以A C B B C C B B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 4=+=+= 因为0sin ≠A 所以41cos =B （2）由3=⋅得12,3cos ==ac B ac由B ac c a b cos 2222-+=，23=b 可得2422=+c a ， 所以可得32==c a .18．解：（1）由93+90+x +81+73+77+61=90+94+84+72+76+63 得4=x .（2）由题意知一班赋3，2，1分的学生各有2名没赋3分的学生为21,A A ，赋2分的学生为21,B B ，赋1分的学生为21,C C ， 则从6人抽取两人的基本事件为212212211121221222122111211121,,,,,,,,,,,,,,C C C B C B C B C B B B C A C A B A B A C A C A B A B A A A 共15种其中赋分和为4分的有5种，∴这两名学生赋分的和为4的概率为31155==P . 19.解：（1）连接AC ，设G BE AC = ，则平面 SAC 平面FG EFB =，∵GEA ∆∽GBC ∆，∴21==BC AE GC AG ， ∴SC SF GC AG FC SF 3121=⇒==，∴31=λ （2）∵5==SD SA ，∴AD SE ⊥，2=SE ， 又∵2==AD AB ，060=∠BAD ，∴3=BE ， ∴222SB BE SE =+，∴BE SE ⊥， ∴⊥SE 平面ABCD 所以934260sin 22313131320=⨯⨯⨯⨯===---ABCD S EBC S BCE F V V V . 20.（1）因为MN F 1∆的周长为24，所以244=a ，即2=a ，由直线1MF 的斜率1，得1=cb因为222c b a +=，所以1,1==c b所以椭圆的标准方程为1222=+y x （2）由题意可得直线1MF 方程为1+=x y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x x y , 解得)31,34(--N ，所以31||||11=MF NF ，因为MP F NQ F S S 1132∆∆=，即)sin ||||21(32sin ||||21111111M PF PF MF N QF QF NF ∠⋅=∠， 所以||2||11PF QF =，当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故设直线l 的方程为1-=my x ，),(),,(2211y x Q y x P ，由点P 在点Q 的上方，则122y y -=联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12122y x m y x ，所以012)2(22=--+my y m ， 所以21,22221221+-=+=+m y y m m y y ，消去2y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2122222121m y m m y ，所以21)2(82222+=+m m m 得722=m ，714±=m ， 又由画图可知714=m 不符合题意，所以714-=m ， 故直线l 的斜率为2141-=m . 21．（1）)(x f 的定义域为),0(+∞当4=a 时，)1(4ln )1()(--+=x x x x f ，31ln )('-+=xx x f ， 0)1(,2)1('=-=f f所以曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为022=-+y x . （2）当),1(+∞∈x 时，0)(>x f 等价于01)1(ln >+--x x a x令1)1(ln )(+--=x x a x x g ， 则222)1(1)1(2)1(21)('++-+=+-=x x x a x x a x x g ，0)1(=g ， ①当2≤a ，),1(+∞∈x 时，0121)1(222>+-≥+-+x x x a x ，故)(,0)('x g x g >在),1(+∞∈x 上单调递增，因此0)(>x g ；②当2>a 时，令0)('=x g 得1)1(121----=a a x ，1)1(122--+-=a a x ，由12>x 和121=x x 得11<x ，故当),1(2x x ∈时，0)('<x g ，)(x g 在),1(2x x ∈上单调递减，因此0)(<x g . 综上，a 的取值范围是]2,(-∞.22. 解：（1）直线l 的普通方程为1-=x y ，θθπθρcos 4sin 4)4sin(24+=+=，所以θρθρρcos 4sin 42+=所以曲线C 的直角坐标方程为04422=--+y x y x .（2）点)1,2(P 在直线l 上，且在圆C 内，由已知直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y tx 221222（t 为参数）代入04422=--+y x y x ，得0722=--t t ，设两个实根为21,t t ，则07,22121<-==+t t t t ，即21,t t 异号所以2||||||||||||||2121=+=-=-t t t t PB PA .23.解：（1）1|)12(2||12||2|=--≥-+x x x x ，故1≥m（2）由题知1≥+b a ，故222)()22)(22(b a b a b a b a b b a a +≥++++++， ∴31)(312222≥+≥+++b a b a b b a a .。
2018年河南省六市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年河南省六市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|lg（x﹣2）＜1}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B 等于（）A．（2，12）B．（﹣1，3）C．（﹣1，12）D．（2，3）2．（5分）已知i为虚数单位，若复数＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝（）A．﹣i B．i C．﹣1D．13．（5分）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）汽车以v＝（3t+2）m/s作变速运动时，在第1s至2s之间的1s内经过的路程是（）A．5m B．C．6m D．5．（5分）为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A、B对该疾病均没有预防效果6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．47．（5分）已知数列{a n}满足＝2，则其前100项和为（）A．250B．200C．150D．1008．（5分）已知锐角三角形ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝a（a+c），则的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．9．（5分）设a1，a2，…，a2017是数列1，2，…，2017的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F的值为（）A．2015B．2016C．2017D．201810．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB ＝SC，且三棱锥S﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的半径为（）A．1B．2C．3D．411．（5分）椭圆+＝1（a＞b＞0）与函数y＝的图象交于点P，若函数y＝的图象在P处的切线过椭圆的左焦点F（﹣1，0），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）若关于x的方程有3个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，e＝2.71828……，则的值为（）A．1B．1﹣m C．1+m D．e二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，，则＝．14．（5分）已知二项式（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是15．（5分）已知P是双曲线C：右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值是．16．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2﹣6x的最小值是．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项的和为S n，且满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：当n≥2时，．18．（10分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如图：（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．（单位：亿元，结果保留两位小数）19．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．20．（10分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．（1）求p的值；（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F旋转时，求的最大值．21．（10分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．2018年河南省六市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|lg（x﹣2）＜1}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B 等于（）A．（2，12）B．（﹣1，3）C．（﹣1，12）D．（2，3）【解答】解：集合A＝{x|lg（x﹣2）＜1}＝{x|0＜x﹣2＜10}＝{x|2＜x＜12}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝{x|﹣1＜x＜12}＝（﹣1，12）．故选：C．2．（5分）已知i为虚数单位，若复数＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝（）A．﹣i B．i C．﹣1D．1【解答】解：∵a+bi＝＝＝＝i，∴a＝0，b＝1．∴a+b＝1．故选：D．3．（5分）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：将5张奖票不放回地依次取出共有A＝120种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有3A A＝36种取法，∴P＝＝．故选：C．4．（5分）汽车以v＝（3t+2）m/s作变速运动时，在第1s至2s之间的1s内经过的路程是（）A．5m B．C．6m D．【解答】解：根据题意，汽车以v＝（3t+2）m/s作变速运动时，则汽车在第1s至2s之间的1s内经过的路程S＝（3t+2）dt＝（+2t）＝；故选：D．5．（5分）为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A、B对该疾病均没有预防效果【解答】解：由A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选：B．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．4【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥：AD＝DC＝BD ＝2，∠ADC＝120°，BD⊥平面ADC，其直观图如图所示：AB＝BC＝2，AC＝2，底面△BCD的面积为：×2×2＝2，侧面△ABD的面积为：×2×2＝2，侧面△ADC的面积为：×2×2×＝，侧面△ACB是腰长为2，底长2的等腰三角形，故底边上的高为＝，其面积为：×2 ×＝，综上可知，最大的面的面积为，故选：B．7．（5分）已知数列{a n}满足＝2，则其前100项和为（）A．250B．200C．150D．100【解答】解；n＝2k﹣1（k∈N*）时，a2k+a2k﹣1＝2．∴其前100项和＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a99+a100）＝2×50＝100．故选：D．8．（5分）已知锐角三角形ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝a（a+c），则的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．【解答】解：由b2＝a（a+c），利用余弦定理，可得：c﹣a＝2a cos B，利用正弦定理边化角，得：sin C﹣sin A＝2sin A cos B，∵A+B+C＝π，∴sin（B+A）﹣sin A＝2sin A cos B，∴sin（B﹣A）＝sin A，∵ABC是锐角三角形，∴B﹣A＝A，即B＝2A．∵0＜B＜，＜A+B＜π，那么：＜A＜，则＝sin A∈（，）．故选：B．9．（5分）设a1，a2，…，a2017是数列1，2，…，2017的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F的值为（）A．2015B．2016C．2017D．2018【解答】解：分析题中程序框图的功能是先求这2 017个数的最大值，然后进行计算F＝b+sin；因为b＝max{1，2，…，2 017}＝2 017，所以F＝2 017+sin＝2 018．故选：D．10．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB ＝SC，且三棱锥S﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的半径为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：如图，取SC的中点O，连接OB，OA，∵SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，∴OB⊥SC，OA⊥SC，OB＝SC，OA＝SC，∴SC⊥平面OAB，O为三棱锥的外接球的球心，SC为球O的直径，设球O得半径为R，则AB＝SC＝R，∴△AOB为正三角形，则∠BOA＝60°，∴V S﹣ABC ＝V S﹣OAB+V C﹣OAB＝，解得R＝3．故选：C．11．（5分）椭圆+＝1（a＞b＞0）与函数y＝的图象交于点P，若函数y＝的图象在P处的切线过椭圆的左焦点F（﹣1，0），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，左焦点F为（﹣1，0），设P（t，），k PF＝，由y＝，求导y′＝，则k PF＝，即＝，解得t＝1，即P（1，1），设椭圆M的右焦点为F2（1，0），则2a＝|PF1|+|PF2|＝1+，∴椭圆M的离心率为e＝＝＝，故选：B．12．（5分）若关于x的方程有3个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，e＝2.71828……，则的值为（）A．1B．1﹣m C．1+m D．e【解答】解：由方程⇒，令，则有t++m＝0．⇒t2+（m﹣1）t+1′﹣m＝0，令函数g（x）＝，，∴g（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，其图象如下，要使关于x的方程有3个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3结合图象可得关于t的方程t2+（m﹣1）t+1′﹣m＝0一定有两个实根t1，t2，（t1＜0＜t2）且，∴＝[（t1﹣1）（t2﹣1）]2．（t1﹣1）（t2﹣1）＝t1t2﹣（t1+t2）+1＝（1﹣m）﹣（1﹣m）+1＝1．∴＝[（t1﹣1）（t2﹣1）]2＝1．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，，则＝5．【解答】解：∵，，∴＝＝（﹣3，4），∴．故答案为：5．14．（5分）已知二项式（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是10【解答】解：由题意可得2n＝32，n＝5，展开式的通项公式为T r+1＝•x10﹣2r•x ﹣r＝•x10﹣3r．令10﹣3r＝1，r＝3，故展开式中含x项的系数是＝10，故答案为10．15．（5分）已知P是双曲线C：右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值是．【解答】解：设右焦点分别为F2，∵∴|PF1|﹣|PF2|＝2，∴|PF1|＝|PF2|+2，∴|PF1|+|PQ|＝|PF2|+2+|PQ|，当且仅当Q、P、F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|+|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离，可得l的方程为y＝±x，F2（，0），F2到l的距离d＝1∴|PQ|+|PF1|的最小值为2+1．故答案为：1+2．16．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2﹣6x的最小值是﹣．【解答】解：动点P（x，y）满足，x≥1时，x+≥1+；∴要使（x+）（﹣y）≤1，只要﹣y≤，﹣y≤﹣x（*），设f（x）＝﹣x，x∈R，则f（x）是单调减函数，（*）可化为y≥x；∴动点P满足，该不等式组表示的平面区域如图所示：又x2+y2﹣6x＝（x﹣3）2+y2﹣9，由两点间的距离公式可得，M（3，0）到区域中A的距离最小，由，解得A（，）；∴x2+y2﹣6x＝（x﹣3）2+y2﹣9≥|AM|2﹣9＝+﹣9＝﹣．故答案为：﹣．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项的和为S n，且满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：当n≥2时，．【解答】证明：（1）当n≥2时，，S n﹣1﹣S n＝2S n S n﹣1，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）可知，，∴，∴当n≥2时，，从而．18．（10分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如图：（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老：人每月发放生活补贴，标准如下①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．（单位：亿元，结果保留两位小数）【解答】解：（1）数据整理如下表：从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：人，80岁以下应抽取：人（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：用样本估计总体，80岁及以上长者为：万，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为．（3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，X的可能取值为0，120，200，220，300，，，，，，则随机变量X的分布列为：，全市老人的总预算为28×12×66×104＝2.2176×108元政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元．19．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．【解答】解：（I）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD＝D∴AC⊥平面PBD又∵AC⊂平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；（II）连接OE，∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD＝OE，PD⊂平面PBD∴PD∥OE，结合O为BD的中点，可得E为PB的中点∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，又∵OE⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，∵平面EAC∩平面ABCD＝AC，BO⊂平面ABCD，BO⊥AC∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，则∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF内的相交直线，∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF因此，∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO＝45°设AD＝BD＝a，则OB＝a，OA＝a，在Rt△BOF中，tan∠BFO＝，可得OF＝Rt△AOE中利用等积关系，可得OA•OE＝OF•AE即a•OE＝a•，解之得OE＝∴PD＝2OE＝，可得PD：AD＝：2即PD：AD的值为．20．（10分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．（1）求p的值；（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F旋转时，求的最大值．【解答】解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，，当l的倾斜角为45°时，l的方程为设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得x2﹣2px﹣p2＝0，x1+x2＝2p，y1+y2＝x1+x2+p＝3p，得AB中点为…（3分）AB中垂线为，x＝0代入得．∴p＝2…（6分）（2）设l的方程为y＝kx+1，代入x2＝4y得x2﹣4kx﹣4＝0，，AB中点为D（2k，2k2+1）令∠MDN＝2α，，∴…（8分）D到x轴的距离|DE|＝2k2+1，…（10分）当k2＝0时cosα取最小值，α的最大值为．故的最大值为．…（12分）21．（10分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：．【解答】解：（1），x∈（0，+∞）所以①当k≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增②当k＞0时，令t（x）＝x2﹣2kx+1，当△＝4k2﹣4≤0即0＜k≤1时，t（x）≥0恒成立，即f'（x）≥0恒成立所以f（x）在（0，+∞）上单调递增当△＝4k2﹣4＞0，即k＞1时，x2﹣2kx+1＝0，两根所以，f'（x）＞0，f'（x）＜0，f'（x）＞0故当k∈（﹣∞，1）时，f（x）在（0，+∞）上单调递增当k∈（1，+∞）时，f（x）在和上单调递增f （x）在上单调递减．（2）证明：，，由（1）知k≤1时，f（x）（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值当k＞1时，由f'（x）＝0得x2﹣2kx+1＝0，△＝4k2﹣4＞0，设两根x1，x2，则x1+x2＝2k，x1•x2＝1其中f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，＝＝．令，所以t（x）在（1，+∞）上单调递减，且故．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的普通方程为y＝x﹣1，∵圆C的极坐标方程为：，∴ρ2＝4ρsinθ+4ρcosθ∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0．（2）点P（2，1）在直线l上，且在圆C内，由已知直线l的参数方程是（t为参数）代入x2+y2﹣4x﹣4y＝0，得，设两个实根为t1，t2，则，即t 1，t2异号所以．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）|2x|+|2x﹣1|≥|2x﹣（2x﹣1）|＝1，故m≥1；…（5分）（Ⅱ）∵a＞0，b＞0，∴a+2b＞0，2a+b＞0故＝＝a2+b2+2ab＝（a+b）2，即由（Ⅰ）知a+b＝m≥1，∴．…（10分）。