等差数列的前n项和

等差数列的前n 项和【例1】 等差数列前10项的和为140,其中，项数为奇数的各项的和为125,求其第6 项.解依题意，得a, +a 3+a 5+a 7+a 9 = 5召 +20d = 125解得坷=113, d= —22・ .・.其通项公式为a n =113+(n-l) • (-22)=-22n+135 Aa 6=-22X6+135=3说明 本题上边给出的解法是先求岀基本元素d,再求其他的.这种先求岀基本元素, 再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法.在本课中如果注意到a6=a[+5d, 也可以不必求出an 而[2a.+9d = 28直接去求as ，所列方程组化简后可得：心 “相减即得①+5d = 3,aj+4d = 25即a 6=3.可见，在做题的时候，要注意运算的合理性.当然要做到这一点，必须以对知 识的熟练掌握为前提.【例2】在两个等差数列2, 5, 8,…，197与2, 7, 12,…，197中，求它们相同项的和・解 由已知，第一个数列的通项为a n =3n-l ；第二个数列的通项为b N =5N-3 若 a m =b N ,则有 3n —l=5N —3若满足n 为正整数，必须有N=3k+l(k 为非负整数). 又 2W5N — 3W197,即 1WNW40,所以N=l, 4, 7,…，40 n=h 6, 11,…，66•••两数列相同项的和为2+17+32 + ・・・ + 197=1393【例3】 选择题：实数a, b, 5a, 7, 3b,…，c 组成等差数列，且a+b+5a+7 + 3b+… +c=2500,则a, b, c 的值分别为I]A ・ 1, 3, 5B ・ 1, 3, 7C ・ 1, 3, 99D ・ 1, 3, 9解 C 由题设2b 二 a+5a => b = 3a10a, +10(10-1爲= 140即 n=N+2(N-1) 3又••• 14=5a+3b>a=L b=3•••首项为1，公差为2, ,n(n-l) 又 S = na. + ------------- dn 12 ,n(n- 1) . ••• 2500 =n+———-• 2 An=502 /. a5Q=c= 1 -b (50 — 1) • 2=99/. a=L b=3, c=99【例4】 在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1.末项为2的等差数列，若这个数列 的前半部分的和同后半部分的和之比为9： 13,求插入的数的个数.解依题意 2=l+(2n+2 — l)d①前半部分的和Sn+I=(n+1)+② 后半部分的和S ；+1 = (n+l)・2+(n4~1)n ・(~d)③nd(n + l)(l + —) 9 n+l = 2 =n+，(n + l)(2-y)13nd1 +V 9 化简’得Ttf 2-—2 解之，得nd 二春 由①，有(2n+l)d=l由④，⑤，解得d = -j-j-» n = 5 ・•・共插入10个数.【例5】 在等差数列伽｝中，设前m 项和为Sm ，前n 项和为Sn ，且S m =S n , m^n, 求Sm+n ・解 TSm+n=(m+n)a|+ *(m+n)(m+n —l)d= (m+n)[a| + £(m+n — l)d]s 由已知,W —ma( + — m(m— l)d = na 】+ 牙n(n— 1 )d厶乙整理得(m—n)a】—(m—n)(m+n— 1) = 02EP(m—n)[a| + — (m+n—l)d] = 0由mHn,知a】+*(m+n—l)d = 0••Sm+n=°【例6】已知等差数列｛aj中，S3=2h S6=64.求数列｛la n l｝的前n项和几・分析等差数列前n项和S“=：na| +出牛丄d,含有两个未知数眄，d,已知S3和S6的值，解方程组可得列与d,再对数列的前若「•项的正负性进行判断,则可求出Tn来.解设公差为d,由公式S n=na, + ^^d3d[ +3d = 21 ba, + 15d = 24解方程组得：d=-2, ai=9/. a n=9+(n—l)(n—2)=—2n+11由a n = -2n+ll>0得n<y = 5.5,故数列｛a.｝的前5项为正, 其余各项为负.数列｛aj的前n项和为:S n = 9n+ —亍丄(-2)= -n2 + 10n•••当nW5 时，T n=-n2+10n当n>6 时，T n=S5+IS n-S5l=S5-(S n-S5)=2S5-S nZ.T n=2(-25+50)-(-n2+10n)=n2-10n+50T n = —n2 + lOn nW5即｛?n^N *rr — 10n+50 n>6说明根据数列｛刚｝中项的符号，运用分类讨论思想可求｛la n l｝的前n项和.【例7】在等差数列｛aj中，已知a6+a9+a]2+a]5=34,求前20项之和.解法一由a6+a9+a]2+ai5 = 34得4a]+38d = 34, .20X19又S2° = 20a| + —^-d= 20a1 + 190d= 5(4iq+38d)=5X 34=170翻—e(Ji+a2o)X2O irxz丄-、解法一-^20 二 2 二°(J] +J0)由等差数列的性质可得：a6+a15=a9 + a12=a l +a20 Aa l+a20=17S2O=17O【例8】已知等差数列｛aj的公差是正数，且a3・a7=-12, a4+a6=-4,求它的前20 项的和S2o的值.解法一设等差数列｛窃｝的公差为d,则d>0,由已知可得(a t + 2d)(3[ +bd) = —12 ①ai + 3d+a|+5d=—4 ②由②，有a】 = —2—4d,代入①，有d?=4再由d>0,得d=2・・・ai=_10最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20=180解法二由等差数列的性质可得：即83+^7= _4又a3 • aj=—12,由韦达定理可知：a3，a7是方程X2+4X-12=0 的二根解方程可得X]=—6, X2=2•••d>0 A｛a n｝是递增数列a^ = —69 aj=2a 7 -a, d = ——= 2T U| = —10, S 20 = 180【例9】 等差数列｛a n ｝. ｛"｝的前n 项和分别为Sn 和T”若二 2X199 上b 】+b ⑼ 3X199 + 1 299利用数列｛如｝为等差数列的充要条件：S n =an 2+bn•••S n _ 2n • T n - 3n + l可设 S n =2n^kt Tn=n(3n+l)k ••玉=Sn-S n “ =2i 「k-2(n-1)5bn T“—Tn- n(3n + l)k — (n — l)[3(n — 1) + l]k4n - 2 2n - 1 6n - 2 3n - 1.a lw 2X100-1 199 •忆一 3X100—1 " 299说明 该解法涉及数列｛aZ 为等差数列的充要条件S n =an 2+bn,由S 2n己知汙=」7,将$“和1；写成什么？若写成S n =2nk, T n =(3n+l)k,Tn 3n + lS" _丄则皿等于 3n + l b 1(x)T nA. B.C.199 299D.23 200 30?S 分析该题是将严与尹=b!00 T n和公式Sn 二巴宁丄把前n 项和的值与项的值进行联系.T 」缶发生联系，可用等差数列的前n 项解法一 y 严Z)S n a, +a n 'T n "b l +b nT n (b i +b n ) 2 ，Tn=—2...引 + J = 2n* * b, + b n 3n + 1T 2a 100=a 1+a 199,2b 100=b 14-b 1993】00 _ 3】+ a i99 bioo解法二k 是常数，就不对了.【例10] 解答下列各题：(1) 已知:等差数列｛an ｝中a2=3, ae=_17,求ag ：(2) 在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为 1350,求这几个数：(3) 已知:等差数列｛aj 中，a4+a6+ai5+ai7=50,求 S20； (4) 已知：等差数列｛aj 中，a n =33-3n,求Sn 的最大值.分析与解答-17-3(l) a 6 =a 2 + (6 —2)d d=—-—二 一5玄9=玄6+(9—6)d=— 17+3X(—5)=—32(2)a ]=19, an+°=89, = 13502X1350=2519 + 8935an+2 二 a 25 :q + 24d%故这几个数为首项是21昔，末项是86右，公差为罟的23个数.(3) V a4+ae+5+^17=50又因它们的下标有4+17=6+15=21/. aq+a 17=a 6+a ] 5=2 5(a. +a 70) X 20S 20 = ——~Y ——=10X (a 4 +a 17) = 250 (4) Va n =33-3n A a!=30(a 】+ a ) • n (63-3n)n 3 . 63 S = ---------- T 2 ------ = -------- - ----- = - —n" + —n n2 2 2 23 21 . 3X212 = p(n-㊁)-+r — VnGN, •••当i=10或n=ll 时，S[】取最大值165.【例11] 求证：前n 项和为4n 2+3n 的数列是等差数列. 证 设这个数列的第n 项为an ，前n 项和为S*.(a】+a n+2)(n + 2)2•'•n+2 = n = 23当 n^2 时，a n =S n -S Ivl/. a n =(41Q+3n) — [4(n 一 1 )2 + 3(n — 1)] =8n-l'"i n=l 时，a 】=S]=4+3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n,都有a n =8n-l 又 an+i — an=[8(n+l) — 1]一(8n —l)=8••・这个数列是首项为7,公差为8的等差数列.说明 这里使用了 “an=Sn -Sn_i ”这一关系.使用这一关系时，要注意，它只在n>2时 成立.因为当时，S n _i=S 0.而So 是没有泄义的.所以，解题时，要像上边解答一样， 补上n=l 时的情况.【例12】 证明：数列伽｝的前n 项之和S n =an 2+bn(a. b 为常数)是这个数列成为等差 数列的充分必要条件.证n由 S n =an 2+bn,得 当 n^2 时，an=Sn-Sn_i—an-4-bn —a(n — 1 卩一b(n — 1) =2na+b —a a]=S]=a+b•:对于任何 nGNt a n =2na+b —a 且 a n ~a n .j=2na+(b —a)—2(n — l)a —b+a=2a (常数)/.｛a n ｝是等差数列.若｛如｝是等差数列，则- 2 +n（a i _d ）d . d =2n +n （a i -㊁）,n （n 一 1）S =皿］+ ---------- d n 1 2（1 + n ） •若令^- = a,则a] —» = b,即S n=an-+bn综上所述，S n=an2+bn是｛如｝成等差数列的充要条件.说明由本题的结果，进而可以得到下而的结论：前n项和为S n=an2+bn+c的数列是等差数列的充分必要条件是c=0.事实上，设数列为｛%｝,贝％充分性c = O=>S n=an2+b n ^>｛u n｝是等差数列.必要性｛i*｝是等差数列=>Sn=an'+bn=>c=O.【例13] 等差数列｛aj的前n项和S n=m,前m项和S m=n(m>n),求前m+n项和Sm+n・1 2m + n — 1= (m+n)(a]+----------------- • d)=—(m+n)解法二设S X=A X2+B X(X GN)Anr + Bm=nAn2 + Bn=m①一②，得A(nr—n-)+B(m—n)=n—inT mHn A(m+n)+B=— 1故A(m+n)2+B(m+n)= —(m+n)即Sm+n=-(m+n)说明a P d是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素.再・・・s卄“】*网+吐理3»解法一设｛如｝的公差d按题意，则有解决其它问题，但本题关键在于求出了a*'；亠=-1,这种设而不解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴.解法二中，由于是等差数列，由例 22♦故可设 Sx=Ax? + Bx ・ (xGN)【例14] 在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和为75,各偶数项之和为90,末项 与首项之差为27,则n 之值是多少？解TS 偶项一S 奇项=ndAnd=90-75=15又由 a2n-ai=27, RP(2n-l)d=27nd=15 <n = 5(2n-l)d = 27【例15】 在等差数列｛aj 中，已知筍=25, S 9=S 17.问数列前多少项和最大，并求出 最大值. 解法一 建立S]】关于】】的函数，运用函数思想，求最大值.Va 1=25, S 17=S 9 解得 d=-2S n = 25nH ———(— 2) = —n ? +26n = —(n —13)'+169 厶.••当n=13时，Sn 最大，最大值S 13=169解法二因为ai=25>0, d=-2<0,所以数列｛窃｝是递减等 差数列，若使前n 项和最大，只需解卜可解出Ta] =25, S Q =S• . 9X8 . 17X16•••9X25 ------------ d = 17X25 ----------------d,解得d= -22 2 /. a n =25+(n — 1)(—2)=—2n+27 — 2n+27$0[nW13・5 •[ — 2(n+l) + 27$0[n^l2.5 …一 '即前13项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S 13=169. 解法三 利用S 9=Si7寻找相邻项的关系.根据题意: S J7 = 17a] +17X16d,S 9 = 9a, + ^d由题意S9=S]7 得a iO"^"a l 1 +a〔2+…+a[7=。