特征值屈曲

F
歧点
极限点
前屈曲
理想的静力 特性
后屈曲
理想的加载路径 非理想结构的加载路径 实际动态响应
u
载荷控制，位移控制与弧长法
• 为计算结构的静态力位移响应，有不同的分析技巧。这些技巧包 括：
– 载荷控制 – 位移控制 – 弧长法
载荷控制
• 分析如下所示的薄拱形结构突然弯折。当用增量加载(F)的方式完成
特征值屈曲分析的基础
线性失稳分析以经典的特征值问题为基础。为求解特征值问题，首 先求解线弹性前屈曲加载状态{P0} 的载荷－位移关系；既给定{P0} ，解
以得到
{P0} = [Ke]{u0}
{u0} = 加载{P0}的位移结果，及 {s} = {u0}引起的应力结果
特征值屈曲分析的基础(续)
假设前屈曲位移很小，可给出任意状态({P}, {u}, {s})的增量平衡
u
位移控制(续)
• 位移控制的缺点是只有你明确知道施加多大的位移时才可使用！ 如果在弧形结构上施加的不是集中载荷而是压力载荷，则不可能 使用位移控制。
P
对于一些更复杂的加载情况，
通常不知道施加的位移大小。
弧长法
• 弧长法是一种用于得到不稳定(KT 0)或负刚度矩阵(KT < 0)问题 的数值稳定解的方法。
此问题的求解时，需使用载荷控制 。
F F F
Fapp
可用载荷控制得到 Fapp 吗？
u
载荷控制(续)
• 在Newton-Raphson 法中使用载荷控制的困难在于求解无法越过不 稳定点。在不稳定点(Fcr) ，刚度矩阵KT 奇异 。使用载荷控制， Newton-Raphson 法将不收敛。但是，此种分析对描述结构的前屈 曲特性有益。
F
线性特 征值屈曲
非线性屈曲
理想化加载路径 非理想结构的加载路径
前屈曲
u
特征值屈曲
• 特征值屈曲分析 可预测一个理想线弹性 结构的理论屈曲强度（
歧点）。
• 特征值公式决定了结构的歧点。此种方法相当于教科书上的线弹 性屈曲分析方法。一个Euler 立柱的特征值屈曲解与经典的Euler 解相匹配。
特征值屈曲(续)
• 但是非理想性与非线性使大多数实际结构无法达到它们的理论弹性
屈曲强度。特征值屈曲通常得到非保守 结果，在使用时要小心。
F
歧点
前屈曲
极限载荷
理想加载路径 非理想结构的加载路径
u
特征值屈曲(续)
• 尽管特征值屈曲分析经常得到非保守解，但进行线性失稳分析有 两个优点：
– 相对经济（快速）的分析 – 失稳模态形状可用作非线性屈曲分析的初始几何缺陷。
第四章
稳定性分析
结构稳定性
• 许多结构需要评定它们的结构稳定性。细立柱，受压杆件，真空 容器都是需考虑结构稳定性的例子。
• 在不稳定（失稳）发生时，结构在载荷基本无变化的情况下（由 于小的载荷扰动），位移 {u} 发生很大变化。
F
稳定
F
不稳定
结构稳定性(续)
• 一个理想化的固定端柱子在逐渐增加的轴向载荷(F)作用下，将显 示出如下特性。
[Baidu NhomakorabeaT]{u} = l {Fa} - {Fnr}
• 为了适应增加的未知数，必须引入一个约束方程，弧长 。 弧长与载荷因子l以及Newton-Raphson 方程中的位移增量 {u}有关。
弧长法(续)
弧长法是借助一条圆 弧将载荷因子增量l 和位移增量u关联起 来。图中所示的是用 于全NewtonRaphson法中的载荷 因子增量l和位移增 量u。
ArLcenRgath di uun 2sl2
弧长法(续)
• 强制Newton-Raphson 迭代沿 着与平衡路径相交的圆弧收敛， 可得到承受零或负刚度的结构的解。
F
ri
ri
ri
ri
ri 弧长半径 收敛子步
平衡路径
u
前屈曲分析
前屈曲分析及破坏载荷分析的分析方法包括： • 线性特征值屈曲 • 非线性屈曲分析
• 弧长法可用于比例加载的静力问题。
F
• 尽管弧长法可求解复杂的力位移响 应问题，但它最适合求解不带突然
歧点的平滑响应问题。
u
弧长法(续)
• 通过在求解时引入未知数－载荷因子l (-1 < l < 1)后，弧长法 可在 Newton-Raphson 方法中对载荷与位移同时求解。 Newton-Raphson 方程可重写为,
F
F
F
歧点
不稳定平衡
Fcr u
中性平衡 稳定平衡
u
结构稳定性(续)
歧点
• 在加载历史中的某一点处,可能有两种分支的解，这一点就是所谓 的歧点。
F
F
P
• 一个理想化的一端固定的立柱，在临界载 荷(Fcr)的作用下，它将有可能向左或向右 弯曲。因此会有两种可能的加载路径。在
实际的结构中，由于几何误差或扰动载荷
结构稳定性(续)
极限载荷
• 在实际结构中，要获得临界载荷非常困难。由于几何误 差和非线性特性，结构在低于临界载荷的力的作用下就 会变得不稳定。
F
歧点
实际结构的响应，
低于临界载荷就会
Fcr
出现不稳定。
u
结构稳定性(续)
• 非线性载荷位移曲线如下图所示。此图显示了理想的加载路径， 非理想结构的加载路径及结构的动态响应。
Fapp Fcr
KT = 0
KT < 0
Fcr 只能用载荷控 制得到。
u
位移控制
• 弧形结构受到逐渐增大的位移载荷，对应于受力载荷，求解是使用
位移控制 完成的。位移控制的优点在于它在Fcr 点外产生一个稳定
求解。（施加的位移可在不稳定点添加约束。）
UY
Fapp
UY
UY
Fapp 可通过位移控制得 到。 (Fapp 现在是施加 位移UY 的反作用力。)
方程
这里
{P} = [[Ke] + [Ks(s)]]{u}
[Ke] = 弹性刚度矩阵 [Ks(s)] = 在应力状态{s}下计算的初始应力矩阵
特征值屈曲分析的基础(续)
假设前屈曲特性是载荷 {P0}的线性函数，
{P} = l{P0} 我们可得到
{u} = l{u0}
{s} = l{s0}
[Ks(s)] = l[Ks(s0)]
(P 0) 的存在，它们会决定加载路径。
u
结构稳定性(续)
临界载荷
• 当 F < Fcr时， 立柱处于稳定平衡状态。 如果先施加一个 小的扰动力 (P 0) 然后再删除掉，立柱将会恢复到原始 位置。当 F > Fcr 时，立柱处于非稳定平衡状态，任何扰 动力都将会引起失稳。当 F = Fcr时 ，立柱处于中性平衡 状态，这就是临界载荷。
因此，对整个前屈曲范围 表达的增量平衡方程可写为