电路分析(西南交大)版
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0
U
L
右图所示。
U
S
0
1
0
说明 （1）只有当 Q
1 UL 、 UC 才出 0.707时， 2
现峰值（可用数学推导证明）；
max U max U max （2）U C L
max U max QU （3）Q 很大时 U C L S ，且两峰值极靠近谐振频率。
H 例 9－3 某收音机调谐电路的电感线圈 L250 、R 与可变电容 20
1 C
R'
+ us -
RS
+
Z'
（ a）
L
R
U
S
Z'
（ b）
j L'
解
3 j L j 100 520 10 52
j 52 260 ' Z R jL 51 78.69 ( 10 j 50 ) 260 j 52
图（a）等效为图（b）。图（b）中
2
（ 3） I 2 I 2
I1 I0
1 730 640 1 50.32 640 730
2
0.075
I2 0.075 7.5% I1 I 2 0.075I1 0.0375 μA U L2 f2 U L1 f1 1 f 2 f1 1 Q2 f f 2 1
10 μV ，试求 u 2 产生的电流 I 2 及电感电压 U L 2 ，并求 I 2
I1
和 UL2 UL1 。
1 1 12 C C F ( 247 10 ) F 247 pF （ 1） 0 2 3 2 6 L ( 2 640 10 ) 250 10 1
2 . 调谐
根据上式，可以调 f 或 C 或 L 使电路发生谐振，使电路发生谐振的 f 、C、
L 为：
f f0 1 2 LC
1
C C0
1 2 L (2f ) 2 L 1 1 L L0 2 C (2f ) 2 C
二 . 串联谐振电路的特点
1 . 谐振阻抗、感抗、容抗
R
- +
U
L
1 j C
+
U
C
-
1 Z() R jL R jX() Z() () C 1 X() XL () XC () L C 1 Z() R2 L C
2
L C ( ) arctan
选频电路 或 滤波电路
负 载
选频电路：选出一个频率信号或一频带（一段频率）信号的电路称为选频 电路。谐振电路为常见的一种。 ２. 谐振、谐振电路 + u _ i
谐振：右图所示由 R、L、C构成的二端网络，
当端口的输入电流 i 与输入电压 u 同相时， u 、 i 同时起伏，电路的这一工作 状态称为谐振。 谐振电路：能发生谐振的选频电路称为谐振电路。 说明 交流电路提高功率因数使 cos ＝1，这时也有 u 、 i 同相，但不称 为谐振电路，因为其功能不在选频。 3 . 谐振电路的分类 （1）串联谐振；（2）并联谐振。
§9 －2
RLC串联谐振电路的频率特性和 通频带
RLC 串联谐振电路是一种选频电路，为了了解其选频性能，需要分析电路
的频率特性。频率特性是指电路中电流、电压、阻抗（导纳）等量与频率变化
的关系。
一. 阻抗频率特性 右图所示 RLC串联谐振电路，其阻抗与频率之关系为
I
U
S
R
j L
+ -
+
Z
U
Z0 R —— 最小（与非谐振状态比）
0 L
式中
1 L L 0C C LC
L C 称为特性阻抗 。
2 . 谐振电流、电压
I0
US US Z0 R
—— 最大， I 0 与 U S 同相
U R0 R I 0 U S U L0
—— 0 L 最大 j 0 L I 0 j U S jQ U S R
UR0 US
I0
U
C0
例 9－1 将一电感 L＝4 mH、电阻 R＝50 Ω的线圈 与 C＝160 pF 的电容器串联接在 U＝2.5 V的正弦电源上。 电源频率为多少时电路发生谐振，此时电路中电流 I 0 和 电容电压 U C 0 各为多少？ 解 该题电路如右图所示
1 1 f Hz 0 3 12 2 LC 2 4 10 160 10 3 (199 10 )Hz 199 kHz
2
1 f f 2 0 1 Q f f 0
2
—— 相对电流幅频特性
I I
0
～ 0 曲线 —— 通用谐振曲线
I I0
1
通用谐振曲线如右图所示。
0 1
0
谐振曲线呈山峰状，曲线的陡度取决于Q值的大 小，Q愈大（习惯称Q愈高），曲线愈尖锐。由谐振曲线可以看出，当输入信号 是一群大小相等而频率不同的电压时，它们在电路中产生的电流大小不等。频 率为 0 及其附近值的信号在电路中产生的电流大，而远离 0 的信号产生的电流
或
1 Q 4 . 167 ( R S R ') C U U
C L
QU
S
4 . 167 0 . 8333
42 . 5 V
Z ' I 51 0 . 8333
42 . 5 V
由图（a） IL
UL 42.5 0.8173 A L 52 U 42.5 IR L 0.1635 A R 260
Z ()
XL()
X ()
()
2
R
0
XC ()
ω
0
2
0
ω
容性
感性
二. 电流幅频特性 1. 电流幅频特性 I ～ω、谐振曲线 RLC串联电路中电流有效值
I( ) U S Z ( ) U S 1 2 R L C
2
—— 电流幅频特性
小。由此可见，串联谐振电路有选择 0 及其附近信号而抑制远离 0信号的能力， 这一特性称为选择性。显然，Q值愈高，选择性愈好。
三.
1.
U
U U
L
U C 的频率特性 、
U ～ L0 0 、
L
L
～ 0
1 2 0 1 Q 0
2
U LI I L U LI I L 0 0 0 0 0 0
L R C
+
u
-
I0
U 2.5 A 0.05A 50mA R 50
1 L 1 4103 Q 100 12 R R C 50 160 10 UC0 QU 100 2.5 V 250V
可见 U C 0 大大超过了外加电压。 下两图所示为接有负载 RL 时的串联谐振电路，
1 UC0 j I 0 j0L I 0 jQUS 0C
UL0 UC0 QU S
上列式中
Q
0L
R
1 0CR
—— 串联谐振电路的品质因数
串联谐振电路的 3 . 品质因数
，因此串联谐振又称为电压谐振
谐振电路品质因数的定义是 Q＝
谐振时 L 或C 的无功功率绝对值
主 要 内 容
§9 －1 §9 －2 §9 －3 RLC串联谐振电路 RLC串联谐振电路的频率特性和 通频带 并联谐振电路
§9 －4
纯电抗串并联谐振电路
１ . 实际电路中，常有输入为多频信号，而负载只需要一个频率信号或一 频带信号的情况，这时就需要在输入与负载之间接一选频电路或滤波电路（下 图所示）以达到目的。 f1 f2
I ～ω曲线称为谐振曲线，如图所示，它反映了谐振时 I＝I0 最大，ω＝0和ω→ ∞时，I＝0最小。
I (ω)
I0
0
容性
0
感性
ω
不同的串联谐振电路，I 、 0 不等，谐振曲线也 0 I f 不同。为了便于统一分析，我们用相对概念的电流幅频特性，即用 I 0 0 来分析电路。RLC 串联电路，设 U S 不变 ，于是
Z Z I U R S 0 2 2 I U Z Z R X 0 S 0 R 1 2 R L C
2
2. 相对电流幅频特性 I ～ 、通用谐振曲线 0 0
I
进一步推导（见参考书）可得
I I 0 1 2 0 1 Q 0
' R 10 ,
' L 50
wk.baidu.com
由谐振条件，
1 L ' 50 C 1 1 C F 200 F 5000 50 100 U S 10 I 0 . 8333 F ' RS R 12
L' 50 Q 4 . 167 ' RS R 12
1 2 0 1 Q 0
2
U C
0
QU S 2 0 1Q 0
2
—— 电容电压频率特性
UL 、 UC
3.
U L ～ 0 、 U
C
U L ～ 0 和 U
U max ～ 特性曲线 0 C UC ～ 特性曲线如
解
10 1 （2） I1 U μA
R 20 3 6 2 640 10 250 10 0L Q 50 .3 R 20 U 50 .3 10 )μV 503 μV L 1 QU 1 (
1 f 2 f1 1 Q2 f f 2 1
R
1
它们统称为阻抗频率特性，其对应的特性曲线如下图（a）所示。由图可见，
0 时，X＝0 ，＝0 ，电路呈阻性， Z() R 为最小； 0 时， X< 0 , 2，电路为纯容性， Z ； 0 电路呈容性； ω＝0 时， 时， X > 0,
电路呈感性； ω→ ∞ 时， 2 电路为纯感性， Z 。
谐振时电路损耗的有功功率
2
根据此定义，RLC串联谐振电路的品质因数为
I0 L L 1 0 0 Q 2 R CR I0 R 0
通信和电子技术中的谐振电路，品质因数 Q 一般都很大，即 Q >> 1 ，因
U U 此 U L 0 C 0 S 。
4 . 相量图
U
L0
RLC串联谐振电路的相量图如右图所示。
§ 9 －1
RLC串联谐振电路
下图所示为 R、L、C 串联谐振正弦电路的相量模型。
I
U
S
R
j L
+ -
+
Z
U
R
- +
U
L
j 1 C
+
U
C
-
一 . RLC 串联电路的谐振条件
1 Z R j L R jX 分析输入阻抗 Z （见图中所示）， C
L 1 C 式中 X 。 当 X＝0 时，Z ＝R，U 与 I 同相 —— 谐振 。
1. 串联谐振条件
串联谐振的条件是输入阻抗的电抗部分为零： X＝0
即
L
1 C
0 、f 0 表示，于是有 谐振时的角频率和频率分别用
1 LC 1 2 LC
0
f0
电路固有谐振频率
U U L L U U QU L L 0 S U U L 0 L 0 0
QU S 2 0 1 Q 0
2
—— 电感电压频率特性
2.
U U
～ 、U C ～ C 0 0 0
C
U I C I C 0 U I C C 0 0 0 0I 0
KHz 器构成串联振谐电路。（1）若要收听频率为 f1 640 的甲电台节目，问C
应为多少？（2）若甲电台电磁波在振谐电路两端产生的电压为 u 1 ，其有效值 为 10 μV ，求 u 1 在回路中产生的电流 I 1 及L两端的电压 U L 1 ；（3）频率为
f2 730 kHz 乙电台电磁波在振谐电路两端产生的电压为 u 2 ，其有效值也是
R C R L C
+ Zi
L
+
RL
-
Zi
RL
分析时，应从谐振条件出发，即令输入阻抗 Z i 的虚部为零，由 此即可求得谐振时的情况。
例 图（a）电路谐振，电源电压有效值 US 10V，角频率ω＝100 rad/s 。
U 求：C、I、品质因数Q、U C 、
L
和 I L 、I R 。
2Ω
2Ω
j
C
U
L
右图所示。
U
S
0
1
0
说明 （1）只有当 Q
1 UL 、 UC 才出 0.707时， 2
现峰值（可用数学推导证明）；
max U max U max （2）U C L
max U max QU （3）Q 很大时 U C L S ，且两峰值极靠近谐振频率。
H 例 9－3 某收音机调谐电路的电感线圈 L250 、R 与可变电容 20
1 C
R'
+ us -
RS
+
Z'
（ a）
L
R
U
S
Z'
（ b）
j L'
解
3 j L j 100 520 10 52
j 52 260 ' Z R jL 51 78.69 ( 10 j 50 ) 260 j 52
图（a）等效为图（b）。图（b）中
2
（ 3） I 2 I 2
I1 I0
1 730 640 1 50.32 640 730
2
0.075
I2 0.075 7.5% I1 I 2 0.075I1 0.0375 μA U L2 f2 U L1 f1 1 f 2 f1 1 Q2 f f 2 1
10 μV ，试求 u 2 产生的电流 I 2 及电感电压 U L 2 ，并求 I 2
I1
和 UL2 UL1 。
1 1 12 C C F ( 247 10 ) F 247 pF （ 1） 0 2 3 2 6 L ( 2 640 10 ) 250 10 1
2 . 调谐
根据上式，可以调 f 或 C 或 L 使电路发生谐振，使电路发生谐振的 f 、C、
L 为：
f f0 1 2 LC
1
C C0
1 2 L (2f ) 2 L 1 1 L L0 2 C (2f ) 2 C
二 . 串联谐振电路的特点
1 . 谐振阻抗、感抗、容抗
R
- +
U
L
1 j C
+
U
C
-
1 Z() R jL R jX() Z() () C 1 X() XL () XC () L C 1 Z() R2 L C
2
L C ( ) arctan
选频电路 或 滤波电路
负 载
选频电路：选出一个频率信号或一频带（一段频率）信号的电路称为选频 电路。谐振电路为常见的一种。 ２. 谐振、谐振电路 + u _ i
谐振：右图所示由 R、L、C构成的二端网络，
当端口的输入电流 i 与输入电压 u 同相时， u 、 i 同时起伏，电路的这一工作 状态称为谐振。 谐振电路：能发生谐振的选频电路称为谐振电路。 说明 交流电路提高功率因数使 cos ＝1，这时也有 u 、 i 同相，但不称 为谐振电路，因为其功能不在选频。 3 . 谐振电路的分类 （1）串联谐振；（2）并联谐振。
§9 －2
RLC串联谐振电路的频率特性和 通频带
RLC 串联谐振电路是一种选频电路，为了了解其选频性能，需要分析电路
的频率特性。频率特性是指电路中电流、电压、阻抗（导纳）等量与频率变化
的关系。
一. 阻抗频率特性 右图所示 RLC串联谐振电路，其阻抗与频率之关系为
I
U
S
R
j L
+ -
+
Z
U
Z0 R —— 最小（与非谐振状态比）
0 L
式中
1 L L 0C C LC
L C 称为特性阻抗 。
2 . 谐振电流、电压
I0
US US Z0 R
—— 最大， I 0 与 U S 同相
U R0 R I 0 U S U L0
—— 0 L 最大 j 0 L I 0 j U S jQ U S R
UR0 US
I0
U
C0
例 9－1 将一电感 L＝4 mH、电阻 R＝50 Ω的线圈 与 C＝160 pF 的电容器串联接在 U＝2.5 V的正弦电源上。 电源频率为多少时电路发生谐振，此时电路中电流 I 0 和 电容电压 U C 0 各为多少？ 解 该题电路如右图所示
1 1 f Hz 0 3 12 2 LC 2 4 10 160 10 3 (199 10 )Hz 199 kHz
2
1 f f 2 0 1 Q f f 0
2
—— 相对电流幅频特性
I I
0
～ 0 曲线 —— 通用谐振曲线
I I0
1
通用谐振曲线如右图所示。
0 1
0
谐振曲线呈山峰状，曲线的陡度取决于Q值的大 小，Q愈大（习惯称Q愈高），曲线愈尖锐。由谐振曲线可以看出，当输入信号 是一群大小相等而频率不同的电压时，它们在电路中产生的电流大小不等。频 率为 0 及其附近值的信号在电路中产生的电流大，而远离 0 的信号产生的电流
或
1 Q 4 . 167 ( R S R ') C U U
C L
QU
S
4 . 167 0 . 8333
42 . 5 V
Z ' I 51 0 . 8333
42 . 5 V
由图（a） IL
UL 42.5 0.8173 A L 52 U 42.5 IR L 0.1635 A R 260
Z ()
XL()
X ()
()
2
R
0
XC ()
ω
0
2
0
ω
容性
感性
二. 电流幅频特性 1. 电流幅频特性 I ～ω、谐振曲线 RLC串联电路中电流有效值
I( ) U S Z ( ) U S 1 2 R L C
2
—— 电流幅频特性
小。由此可见，串联谐振电路有选择 0 及其附近信号而抑制远离 0信号的能力， 这一特性称为选择性。显然，Q值愈高，选择性愈好。
三.
1.
U
U U
L
U C 的频率特性 、
U ～ L0 0 、
L
L
～ 0
1 2 0 1 Q 0
2
U LI I L U LI I L 0 0 0 0 0 0
L R C
+
u
-
I0
U 2.5 A 0.05A 50mA R 50
1 L 1 4103 Q 100 12 R R C 50 160 10 UC0 QU 100 2.5 V 250V
可见 U C 0 大大超过了外加电压。 下两图所示为接有负载 RL 时的串联谐振电路，
1 UC0 j I 0 j0L I 0 jQUS 0C
UL0 UC0 QU S
上列式中
Q
0L
R
1 0CR
—— 串联谐振电路的品质因数
串联谐振电路的 3 . 品质因数
，因此串联谐振又称为电压谐振
谐振电路品质因数的定义是 Q＝
谐振时 L 或C 的无功功率绝对值
主 要 内 容
§9 －1 §9 －2 §9 －3 RLC串联谐振电路 RLC串联谐振电路的频率特性和 通频带 并联谐振电路
§9 －4
纯电抗串并联谐振电路
１ . 实际电路中，常有输入为多频信号，而负载只需要一个频率信号或一 频带信号的情况，这时就需要在输入与负载之间接一选频电路或滤波电路（下 图所示）以达到目的。 f1 f2
I ～ω曲线称为谐振曲线，如图所示，它反映了谐振时 I＝I0 最大，ω＝0和ω→ ∞时，I＝0最小。
I (ω)
I0
0
容性
0
感性
ω
不同的串联谐振电路，I 、 0 不等，谐振曲线也 0 I f 不同。为了便于统一分析，我们用相对概念的电流幅频特性，即用 I 0 0 来分析电路。RLC 串联电路，设 U S 不变 ，于是
Z Z I U R S 0 2 2 I U Z Z R X 0 S 0 R 1 2 R L C
2
2. 相对电流幅频特性 I ～ 、通用谐振曲线 0 0
I
进一步推导（见参考书）可得
I I 0 1 2 0 1 Q 0
' R 10 ,
' L 50
wk.baidu.com
由谐振条件，
1 L ' 50 C 1 1 C F 200 F 5000 50 100 U S 10 I 0 . 8333 F ' RS R 12
L' 50 Q 4 . 167 ' RS R 12
1 2 0 1 Q 0
2
U C
0
QU S 2 0 1Q 0
2
—— 电容电压频率特性
UL 、 UC
3.
U L ～ 0 、 U
C
U L ～ 0 和 U
U max ～ 特性曲线 0 C UC ～ 特性曲线如
解
10 1 （2） I1 U μA
R 20 3 6 2 640 10 250 10 0L Q 50 .3 R 20 U 50 .3 10 )μV 503 μV L 1 QU 1 (
1 f 2 f1 1 Q2 f f 2 1
R
1
它们统称为阻抗频率特性，其对应的特性曲线如下图（a）所示。由图可见，
0 时，X＝0 ，＝0 ，电路呈阻性， Z() R 为最小； 0 时， X< 0 , 2，电路为纯容性， Z ； 0 电路呈容性； ω＝0 时， 时， X > 0,
电路呈感性； ω→ ∞ 时， 2 电路为纯感性， Z 。
谐振时电路损耗的有功功率
2
根据此定义，RLC串联谐振电路的品质因数为
I0 L L 1 0 0 Q 2 R CR I0 R 0
通信和电子技术中的谐振电路，品质因数 Q 一般都很大，即 Q >> 1 ，因
U U 此 U L 0 C 0 S 。
4 . 相量图
U
L0
RLC串联谐振电路的相量图如右图所示。
§ 9 －1
RLC串联谐振电路
下图所示为 R、L、C 串联谐振正弦电路的相量模型。
I
U
S
R
j L
+ -
+
Z
U
R
- +
U
L
j 1 C
+
U
C
-
一 . RLC 串联电路的谐振条件
1 Z R j L R jX 分析输入阻抗 Z （见图中所示）， C
L 1 C 式中 X 。 当 X＝0 时，Z ＝R，U 与 I 同相 —— 谐振 。
1. 串联谐振条件
串联谐振的条件是输入阻抗的电抗部分为零： X＝0
即
L
1 C
0 、f 0 表示，于是有 谐振时的角频率和频率分别用
1 LC 1 2 LC
0
f0
电路固有谐振频率
U U L L U U QU L L 0 S U U L 0 L 0 0
QU S 2 0 1 Q 0
2
—— 电感电压频率特性
2.
U U
～ 、U C ～ C 0 0 0
C
U I C I C 0 U I C C 0 0 0 0I 0
KHz 器构成串联振谐电路。（1）若要收听频率为 f1 640 的甲电台节目，问C
应为多少？（2）若甲电台电磁波在振谐电路两端产生的电压为 u 1 ，其有效值 为 10 μV ，求 u 1 在回路中产生的电流 I 1 及L两端的电压 U L 1 ；（3）频率为
f2 730 kHz 乙电台电磁波在振谐电路两端产生的电压为 u 2 ，其有效值也是
R C R L C
+ Zi
L
+
RL
-
Zi
RL
分析时，应从谐振条件出发，即令输入阻抗 Z i 的虚部为零，由 此即可求得谐振时的情况。
例 图（a）电路谐振，电源电压有效值 US 10V，角频率ω＝100 rad/s 。
U 求：C、I、品质因数Q、U C 、
L
和 I L 、I R 。
2Ω
2Ω
j
C