18推理理论

B、不相容：如果对于P1，P2，…，Pn的每一组真值 指派使得H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn的真值均为F，则称公 式H1，H2，…，Hn是不相容的。
②证法 可以把不相容的概念应用于命题公式的证明。 设有一组前提H1，H2，…，Hn ，要推出结论C，即证H1 ∧
H2 ∧ … ∧ Hn C，记作S C，即┐C→ ┐S为永真，或 C∨┐S为永真，故┐C ∧S为永假 。因此要证明H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn C，只要证明H1，H2，…，Hn与是┐C是不相 容的。
P P T(8),(9) I T(7),(10) I
(12) ┐W ∧ ┐R (13) ┐W
T(11) E T(12) I
练习 47页（2）a）， b）
3. 间接证法（反证法与CP规则法）
(1)反证法（当结论是“∨”；“→”；“┐”时较
①易定）义 a、相容：定义1-8.2 假设公式H1，H2，…，Hn 中的 命题变元为P1，P2，…，Pn ，对于P1，P2，…，Pn 的一些真值指派，如果能使H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn的 真值为T，则称公式H1，H2，…，Hn 是相容的。
I2 P∧Q Q （化简） I10 ┐P,P∨Q Q （析取三段论）
I3 P P∨Q （附加） I11 P,P→Q Q （假言推理）
I4 Q P∨Q （附加） I12 ┐Q,P→Q ┐P（拒取式）
I5 ┐P P→Q （附加 I13 P→Q, Q→R P→R（假言三
变形）
┐P ：老师教得好。 Q：自己不努力。
推广： (P∨Q∨R∨S)∧┐P∧┐Q∧┐R S
(4) 假言三段论 : (P→Q)∧(Q→R)P→R
如： P→Q：如果不下雨，就开运动会。 Q→R：如果开运动会，就不上课。 P→R ：如果不下雨，就不上课。
常用的等价式(43页表1-8.4)（E：Equal)
E6 P∧ (Q ∨ R) (P∧Q) ∨(P∧R) E17 ┐(P → Q) P∧┐Q
E7 P ∨(Q∧R) (P ∨ Q) ∧(P∨ R) E18 P→Q ┐Q →┐P
E8 ┐(P∧Q) ┐P ∨ ┐Q
E19 P→ (Q→R) (P∧Q) →R（输 出率）
E9 ┐(P ∨ Q) ┐P ∧┐Q
（对任一题，除ＣＰ规则需特殊形式外，均可用任一方法解）。
（ 前面讲过的所有证明ＰＱ的方法均可用来证明）
1. 真值表法(变元不太多时用） 设P1，P2，…，Pn是出现于前提H1，H2，…，
Hn和结论C中的全部命题变元，假定对P1，P2，…， Pn作了全部的真值指派，这样就能对应地确定H1， H2，…，Hn和C的所有真值，列出这个真值表，即可 看出(A)式是否成立。
我们一般地要对“假设”的内容作深入分析， 并推究其间的关系，从而得到结论。
但也有一些推理，只需分析假设中的真值 和联结词，便可获得结论。（如，若太阳从西边出，则我不喝酒。太阳从西边出，因此
我不喝酒。）
推理理论：在数理逻辑中，集中注意的是研究和提供用来从前 提导出结论的推理规则和论证原理，这些规则有关的理论称为 推理理论。
例题2 如果张老师来了，这个问题可以得到解答， 如果李老师来了，这个问题也可以得到解答，总 之张老师或李老师来了，这个问题就可得到解答。
解 若设
P：张老师来了。 Q：李老师来了。 R：这个问题可以得到解答。
上述语句可翻译成下述命题关系式: (P→R)∧(Q→R)∧(P∨Q) R
（也可改为(P→R)∧(Q→R) (P∨Q) → R）
T(4),(5) I
(7) ┐S → P
T(6) E
(8) (┐S ∧ ┐R ) →(P ∧ ┐R )
T(7) I
(9) P ∧ ┐R
T(2),(8) I
(10) P →R (11) ┐P∨R
P T(10) E
(12) ┐(P ∧ ┐R)
T(11) E
(13) (P ∧ ┐R) ∧ ┐(P ∧ ┐R)(矛盾) T(9),(12) I
E20 P Q (P→Q) ∧(Q→P)
E10 P ∨ P P
E21 P Q (P∧Q) ∨(┐P∧ ┐Q) (┐P ∨ Q) ∧(P ∨ ┐Q)
E11 P∧P P
E22 ┐(P Q) P ┐Q P ∨ Q
例题1 证明 (P∨Q) ∧(P→R)∧(Q→S) S∨R 证法1（利用假言三段论）
定义1-8.1 设A和C是两个命题公式，当且仅当A→C为一 重言式，即A C，称C是A的有效结论。或C可由A逻辑 地推出。
2. 推广
有效结论定义可以推广到有n个前提的情况。
设H1，H2，……，Hn，C是命题公式，当且仅当
H1∧H2∧…∧Hn C
(A)
称C是一组前提H1，H2，……，Hn的有效结论。
E1 ┐┐P P
E12 R ∨(P∧┐P) R
E2 P∧Q Q∧P
E13 R∧ (P ∨ ┐P) R
E3 P ∨ Q Q ∨ P
E14 R ∨(P ∨ ┐P) T
E4 (P∧Q) ∧R P∧ (Q∧R)
E15 R∧ (P∧┐P) F
E5 (P ∨ Q) ∨ R P ∨(Q ∨ R) E16 P→Q ┐P ∨ Q
式S，则公式S可以引入推导之中。
（等价： T(x) E；蕴含：T(x1) ,……(xn) I(n>=1））
真值表法把所给前提一起使用;
而直接证法则不断使用前提和前面推出的结论，构成推导序列， 把前提一步一步拿来使用。
常用的蕴含式（43页表1-8.3）（I：Implicate）
I1 P∧Q P（化简） I9 P,Q P∧Q（合取引入）
(1)假言推理（肯定的肯定）: P∧(P→Q)Q
通过肯定条件的前件从而肯定条件的后件 如： P→Q：如果他喝酒，则他脸红。
P：他喝酒。 Q：他脸红。 但是， P→Q：如果他喝酒，则他脸红。
Q：他脸红。 P：他喝酒。(不成立) 注意：不能通过肯定条件的后件而肯定条件的前件
(2) 拒取式（否定的否定）: ┐Q∧(P→Q)┐P
（S → C为永T，即┐（S → C） S ∧ ┐ C为永F）
即假定┐C为真，推出矛盾。
例题3 证明 A→B， ┐(B∨C)可逻辑推出┐A
证明
(1) A→B (2) A (3) ┐(B∨C)
P P(附加前提) P
(4) ┐B ∧ ┐C (5) B
T(3) E T(1),(2) I
(6) ┐B
T(4) I
通过否定条件的后件从而否定条件的前件。 如： P→Q：小王评上三好学生，则小王成绩好。
┐Q ：小王成绩不好。 ┐P ：小王没评上三好学生。 注意：不能通过否定条件的前件而肯定条件的后件。
(3) 析取三段论: (P∨Q)∧┐PQ
产生一个事件的原因有P和Q，否定P，则一定是Q。 如: P∨Q：成绩不好是老师教得不好或自己不努力。
也可用第二种方法
2. 直接证法: 由一组前提，利用一些公认的推理规则(P,T) ，根据已 知的等价(表１--８.4一个等价可变两蕴含)或蕴含(表１-８.３)公式，推演得到有效的结论。
P规则 前假提在设推前导提过程中的定定任律理何（时T）候都P可，以T规使则用。结论
T规则
条件 等价、蕴含公式 在推导中，如果有一个或多个公式重言蕴含着公
例题1 一份统计表格的错误或者是由于材料不可靠， 或者是由于计算有错误；这份统计表格的错误不是 由于材料不可靠，所以这份统计表格是由于计算有 错误。
解 设各命题变元为 P：统计表格的错误是由于材料不可靠。 Q：统计表格的错误是由于计算有错误。 本例可译为：Q是前提P∨Q，┐P的有效结论，
即 ┐P∧(P∨Q) Q
(1) P∨Q
P
(2) ┐P→Q T(1) E
(3) Q→S (4) ┐P→S (5) ┐S→P (6) P→R
P T(2) ,(3) I T(4) E P
(7) ┐S→R T(5),(6) I
(8) S∨R
T(7) E
例题1 证明 (P∨Q) ∧(P→R)∧(Q→S) S∨R
证法2 （利用蕴含附加）：
§1—8 推理理论
要求：能够熟练地进行命题逻辑的推理。
重点：有效结论的概念（一个结论可由一组前提逻 辑地推出），有效结论的推演。
难点：利用推理规则(P,T,CP)、已知的等价式(表１ －８.4)和蕴含式(表１－８.３）推演得到有效结论。
在数学和其它自然科学中，经常要考虑从某些前提 A1，A2，…，An能够推导出什么结论。
(7) B ∧ ┐B(矛盾) T(5),(6) I
例题4 证明 (P∨Q) ∧(P→R)∧(Q→S) S∨R 证明（也可用化简法或蕴含附加法等）
(1) ┐(S∨R)
P(附加前提)
(2) ┐S ∧ ┐R
T(1) E
(3) P∨Q
P
(4) ┐P →Q
T(3) E
(5) Q →S
P
(6) ┐P → S
段论）
I6 Q P→Q（附加变形）I14 P∨Q,P→R,Q→R R（二难
推理）
I7 ┐(P→Q) P（化简 I15 A→B (A∨C)→(B∨C)（蕴
变形）
含附加）
I8 ┐(P→Q) ┐Q（化 I16 A→B (A∧C)→(B∧C) （蕴
简变形）
含附加）
附加：几种常用的推理的定律
3 . 论证过程
判别有效结论的过程就是论证过程。即证明 H1∧H2∧……∧Hn → C为永真式。
二、证明方法: 基本方法是
1.真值表法(变元不太多时用： A→C为一重言式（一般不用）；前 真看后真；后假看前假）
2.直接证法 3.间接证法（反证法（当结论是“∨”；“→”；“┐”时较易）与