湖北省黄石二中2018年自主招生素质考核数学试题参考答案

……… 5 分
又由 DA ＝ DC 得 DA2 DC2 ，即 ( 9b2 6c )2 m2 (3b 0)2 (m c)2 ，把 m 6 代入后
可解得 c 6 （另一解 c 0 舍去）.
………………10 分
又因为 AM // BC ，所以 OA OM ，即 3b
9b2 6c
|3| 2.
OB OC 3b 9b2 6c | 6 |
把 c 6 代入解得 b 5 （另一解 b 5 舍去1 x2 5 x 6 . 62
………………………15 分
18.如图， PA 为⊙ O 的切线， PBC 为⊙ O 的割线， AD ⊥ OP 于点 D ， ADC 的外接圆与 BC 的另一个
1
11.【答案】
12
【解答】设三角形三边长为 a, b, c （ a b c ），则 3a a b c 24 且 2a a b c 24
8 a 12 ，所以 a 的可能取值为 8,9,10,11 ，满足题意得数组 (a, b, c) 可能为 (8,8,8) ，
17.解：易求得点 P (3b, 3 b2 c) ，点 C (0, c) . 2
设△ABC 的外接圆的圆心为 D ，则点 P 、 D 都在线段 AB 的垂直平分线上，设点 D (3b, m) .
显然，
x1, x2
是一元二次方程
1 x2 bx c 0 6
的两根，所以
x1 3b
交点为 E ，证明： BAE ACB
证明：连接 OA ， OB ， OC ， BD .，∵ OA ⊥ AP ， AD ⊥ OP ，∴由射影定理可得 PA2 PD PO ，
AD2 PD OD .又由切割线定理可得 PA2 P B P C ，∴ P B P C PD PO ，∴ D 、B 、C 、O 四
n ≥6 ．
…………………10 分
下面构造一个例子说明 n 6 是可以的．
G1 S1, S2 , S3 , S4 , S5 ， G2 S1, S2 , S6 , S7 , S8 ， G3 S1, S3 , S6 , S9 , S10 ，
G4 S2 , S4 , S7 , S9 , S10 ， G5 S3 , S5 , S7 , S8 , S9 ， G6 S4 , S5 , S6 , S8 , S10 ．
a b c 0 或 b c 2a ， c a 2b ， a b 2c ，所以 (a b)(b c)(c a) 1或 8 abc
13.【答案】 b 10 【解答】 DCFE 是平行四边形，所以 DE // CF ，且 EF // DC ．连接 CE ，因为 DE // CF ，即 DE // BF ，所以 SDEB SDEC ， 因此原来阴影部分的面积等于 ACE 的面积． 连接 AF ，因为 EF // CD ，即 EF // AC ，所以 SACE SACF ．
12.【答案】 1 或 8
【解答】令 b c a c a b a b c k ，则 b c (k 1)a ， c a (k 1)b ，
a
b
c
a b (k 1)c ， 于 是 2(a b c) (k 1)(a b c) a b c 0 或 k 1 ， 即
(9,9,6) ，(9，8,7) ，(10,10,4) ，(10,9,5) ，(10,8,6) ，(10,7,7) ，(11,11,2) ，（11,10,3），(11,9,4) ，
(11,8,5) ， (11,7,6) 共 12 组，其中为直角三角形三边长的只有 (10,8,6) ，所以所求概率为 1 12
参加这两组，于是他们与 S1 没有同过组，矛盾．
所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是 n 个课外小组 G1, G2 ,, Gn 的人数之和不小于 310 ＝30．
另一方面，每一课外小组的人数不超过 5，所以 n 个课外小组 G1, G2 ,, Gn 的人数不超过 5n，故 5n ≥ 30 ， 所以
生 都 至 少 在 某 一 小 组 内 出 现 过 ， 所 以 其 它 9 个 学 生 都 与 他 在 同 一 组 出 现 ， 于 是 这 一 组 就 有 10 个 人 了 ， 矛
盾．
…………………5 分
若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设 S1 恰好参加 G1, G2 ，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有
容易验证，这样的 6 个课外小组满足题设条件．
所以， n 的最小值为 6．
…………………15 分
因为 BC 4CF ，所以 SABC 4SACF ．故阴影部分的面积为 6 ．
14.【答案】 b 10
【解答】因为 b a1 b a2 b a3 b a4 b a5 2009 ，
且 a1，a2，a3，a4，a5 是五个不同的整数，所有 b a1，b a2，b a3，b a4，b a5 也是五个不同
一、选择题
1. C 2. B 3.A 4. A 5. C 6. B 7.D
二、填空题
数学试卷参考答案
8.B
9.【答案】 7
【解答】 1 1 1 10 a b c a b c a b c 10
ab bc ca 9
bc
ca
ab
1
c bc
的整数．又因为 2009 1 1 7 7 41 ，所以
b a1 b a2 b a3 b a4 b a5 41 ． 由 a1 a2 a3 a4 a5 9 ，可得 b 10 ． 15.【答案】 2 【解答】设报 3 的人心里想的数是 x ，则报 5 的人心里想的数应是 8 x ．于是报 7 的人心里想的数是 12 (8 x) 4 x ， 报 9 的 人 心 里 想 的 数 是 16 (4 x) 12 x ， 报 1 的 人 心 里 想 的 数 是
9b2 6c
，
x2 3b 9b2 6c ，又 AB 的中点 E 的坐标为 (3b, 0) ，所以 AE＝ 9b2 6c .
因为 PA 为⊙ D 的切线，所以 PA ⊥ AD ，又 AE ⊥ PD ，所以由射影定理可得 AE2 PE DE ，即
( 9b2 6c )2 ( 3 b2 c) | m | ，又易知 m 0 ，所以可得 m 6 . 2
(30 a)(30 b) 450 2 32 5 2 ，
因为
a,
b
均为整数且
a

b
，所以只可能是
30 30

a b

52, 2
32,
解得
a b

5, 12.
………12
分
所以，直角三角形的斜边长 c 13 ，三角形的外接圆的面积为 169 . ………15 分 4
∴ BAD ACD ，∴ AB 是 ACD 的外接圆的切线，∴ BAE ACB .………15 分
19.解：设 10 个学生为 S1, S2 ,, S10 ，n 个课外小组为 G1, G2 ,, Gn ．
首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为 S1 ，由于每两个学
点共圆，
∴ PDB PCO OBC ODC 又 PBD COD ，∴ PBD ∽ COD ， ∴ PD BD ，
CD OD ∴ BD CD PD OD AD 2 ，∴ BD AD .
AD CD 又 BDA BDP 900 ODC 900 ，∴ BDA ∽ ADC ，
20 (12 x) 8 x ，报 3 的人心里想的数是 4 (8 x) 4 x ．所以 x 4 x ，解得 x 2 ．
三、
16.解：设直角三角形的三边长分别为 a, b, c （ a b c ），则 a b c 30 .
显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长 c ，下面先求 c 的值. 由 a b c 及 a b c 30 得 30 a b c 3c ，所以 c 10 . 由 a b c 及 a b c 30 得 30 a b c 2c ，所以 c 15 . 又因为 c 为整数，所以11 c 14 . ………………………………6 分 根 据 勾 股 定 理可 得 a2 b2 c2 ， 把 c 30 a b 代 入 ， 化 简 得 ab 30(a b) 450 0 ， 所 以
1
b ca
1
c ab
10

a bc

b ca

c ab

7
10.【解答】设这个数为 n ，则 n 168 a2 ， n 100 b2 a2 b2 68 (a b)(a b)
22 17 ，又 a b 与 a b 同号，所以 a b 34 ， a b 2 a 18 ，从而 n 156