污水处理和渔业持续收获的数学建模

污水处理和渔业持续收获的数学建模
关于污水处理的数学建模
摘要
因为全球经济的日益增长中国经济也随之快速发展，经济发展的越快，就不可避免的破坏更多的自然环境，所以环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而与每个居民的日常生活密切相关的就是水资源问题，因此对于污水处理这一特殊的问题我们在解决时就应该本着高效的原则去实施，在这个污水处理问题中，我们先建立了一般情况下的模型，然后将该模型应用到实际问题中从而解决了实际问题。

在模型的建立中我们要考虑工厂的净化能力，江水的自净能力，在保证江水经这一系列的处理后在到达下一个居民点后要达到国家标准，还要花费最少，对该问题进行全面的分析后可知这是一个运筹学方面关于线性规划的最优解问题，在该模型的建立中我们针对江水污水浓度在每个居民点之前小于国家标准这一条件对其建立线性约束条件，然后综合考虑费用最小，在结合三个处理厂各自的情况后关于费用抽象数模型的目标函数，，然后应用LINDO软件求解该问题得到当三个处理厂排出的污水浓度分别为40 mg/l，20 mg/l，50 mg/l时，此时我们得到使江面上所有地段的水污染达到国家标准,最少需要花费费用为500万元。

当从三个处理厂出来的污水浓度分别为 62.222225mg/l，60mg/l，50mg/l,时，此时如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准最少需要花费费用为188.8889万元。

问题的提出
设上游江水流量为1000（12
10L/min），污水浓度为0.8（mg/L），3个工
厂的污水流量均为5（12
10L/min），污水浓度（从上游到下游排列）分别为100，60，50（mg/L），处理系数均为1（万元/（（12
10L/min）×（mg/L））），3个工厂之间的两段江面的自净系数（从上游到下游）分别为0.9和0.6。

国家标准规定水的污染浓度不超过1（mg/L）。

（1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？
(2) 如果只要求3个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花费多
少费用？
问题的分析
通过对该污水处理所花费用最少问题的分析，我们可知在此问题中有多个污水浓度，江水的原始污水浓度，工厂排出的污水浓度，处理厂排出的污水浓度，以及当处理厂排出污水与江水混合后再经江水自净后的浓度，在这几个浓度中只有经处理厂排出的污水的浓度是未知的，其关系着整个问题，要使总费用最少，江中每段的污水浓度都达到国家标准，江水中污水浓度在到达下一居民点之前须达到国家标准1（mg/l），那么问题的重点就在于对污水浓度的认识。

在问题中有三个工厂以及对应的三个污水处理厂，那么这三个污水处理厂各向江中投放的污水浓度就要有一个界值，又因当处理厂将污水排到江中之后污水会随着江水不断向下游移动，因此下游污水的浓度与上游污水的浓度是紧密相关的，即江面中每段污水的浓度都是有联系的，在模型的建立过程中我们就要考虑应用递推的方法进行相邻两端之间污水浓度的联系，在问题的求解中因所花费用都是用来对污水的处理，因此对个处理厂排出的污水浓度的确定就显得至关重要，只有确
定了这三个未知数即这三个界值后，我们才能建立目标函数从而进一步得到最小花费。

基于对江水浓度的限定与对花费最少两方面的考虑，我们建立了线性规划模型。

具体问题分析如下：
(1)为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准,最少需要花费多少费用的
解也就是说对于工厂1所排出的污水经过污水处理厂处理后的污水与江水混合后的污水浓度就得达到国家标准。

同时工厂2，3排出的经过处理的污水与江水经过自净的水混合后也要达到国家标准。

这样在求解具体问题的时候每个限制条件在江水与工厂排出的水混合时进行设定。

对于第二个问题
(2)如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准最少需要花费多少费用,对居民点1来说其上游的江水污水浓度为0.8(mg/l),低于国家的标准污水浓度，无需考虑。

也就是说在第二，三个居民点之前，污水浓度必须达到国家标准，这时处理问题的限制条件发生在第二三个居民点处。

这时工厂1排出的污水经过污水厂的处理之后与江水混合再经过江水自净到达居民点2 之前须达到国家标准，居民点3同理。

模型的假设
假设与符号表示
1.假设长江的水流速度固定，不会因为加入污水或改变污水浓度而改变。

2.假设污水之间无反应，不会因为污水反应而改变污水量或污水浓度。

3.假设居民区不产生污水。

4.假设江水的自净作用对所有的污水都有用。

5.假设污水进入长江后是均匀分布的。

6.假设污水进入长江后不会进入上游。

7.假设江水进行自净作用时，不改变江水本身流量。

8.假设在进行污水处理时，不改变污水流量，只能改变污水浓度。

9.假设三个工厂之间的两段江面，各自单位的自净能力相同。

Qi 表示第i 段江水的流量
Si 表示各工厂排出污水的流量.
Ci 表示第i 段江水中污水的浓度
Ai 表示第i个污水厂的污水浓度。

Xi 表示第i个处理厂的污水浓度。

Di 表示江水与处理厂的污水混合后的污水浓度。

Ri 表示第i个处理厂的处理系数
ti 表示第i段江面的自净系数。

M 表示所花费用。

C0 表示国家规定的污水浓度
其中 C0=1mg/l
工厂i+1，污水浓度Ai+1，流量Si+1
工厂i，污水浓度Ai，流量Si
处理厂1，污水浓度X1，流量S1
处理厂i，污水浓度Xi，流量Si
处理厂i+1，污水浓度Xi+1，流量Si+1
江水流量为Qi，江水上游污水浓度为C1，各水段自净系数为ti
工厂1，污水浓度A1，流量S1
当处理厂江污水处理完排放到江中之后，居民点1即要取水，此时所要满足的条件是（为了解决问题方便不妨假设S1=S2=Si=S0）
（Qi*C1+S1*X1）/(Qi+S0)<=C0
同理对居民点i其所满足的为 Ci<=C0,其中
Ci=(Ci-1)*ti+Xi*((Qi+(i-1)*S0)*Ci-1+S0*Xi)/((Qi+(i-1)*S0)+S0) 假设花费为M则有
目标函数：M=∑Ri*S0*(Ai-Xi)(i=1……n)
居民点与工厂和处理厂的位置如图所示：
模型的建立
对问题进行一般化处理后我们建立一般化的模型如下：
目标函数：
min M=∑Ri*S0*(Ai -Xi) (i=1……n)
线性约束条件：
Di=（Qi*Ci+S0*Xi ）/(Qi+S0)
Ci+1=ti*Di
s.t Di<=C0
Xi<=Ai
模型的简化与求解
在上面的一般模型中我们比较仔细的考虑了江水流量与处理厂的流量问题，但在现实生活中因污水处理厂的处理能力有限，因此其流量相对于江水流量而言较小，我们对其进行理想化的处理即整个江水的流量为一常数Qi ，在求解i 段江面的混合污水浓度时忽略污水厂的流量。

得到的简化模型如下所示：
min M=∑Ri*S0*(Ai-Xi) (i=1,2,3)
Di=Ci+S0*Xi/Qi
Ci+1=ti*Di
s.t Di<=C0
Xi<=Ai
针对下面的问题：
设上游江水流量为 ,污水浓度为0.8 mg/l，3个工厂的污水流量均为 ,污水浓度(从上游到下游排列)分别为100,60,50(mg/l),处理系数均为1万元( (mg/l)),3个工厂之间的两段江面的自净系数(从上游到下游)分别为
0.9和0.6.国家标准规定水的污染浓度不能超过1mg/l.
(1)为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准,最少需要花费多少费用?
(2)如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准最少需要花费多少费用?
建立模型：
对于问题(1)求解
minM=5*(100-X1)+5(60-X2)+5(50-X3)
0.005X1<=0.2
0.0045X1+0.005X2<=0.28
0.0027X1+0.003X2+0.005X3<=0.568
S.t X1<=100
X2<=60
X3<=50
利用lindo 求解可得当X1=40，X2=20，X3=50时，M=500.
所以要想使江面所有地段均达到国家标准，所花最小费用为500万元。

对于问题二求解：
min M=5*(100-X1)+5(60-X2)+5(50-X3)
0.0045X1<=0.2
0.0027X1+0.003X2<=0.568
S.T X1<=100
X2<=60
X3<=50
利用lindo 求解可得当X1=62.222225，X2=60，X3=50时，M=188.8889
所以要使个居民点上游江水均达到国家标准，所花早少费用为188.8889万元。

当然，该模型可以将题中的3个居民点和3个工厂推广到n个居民点和n个工厂等等，但是求解思想和方法都是与上述相同的。

附件:
(1)
Min 5A1-5X1+5A2-5X2+5A3-5X3
st
0.005X1<=0.2
0.0045X1+0.005X2<=0.28
0.0027X1+0.003X2+0.005X3<=0.568
X1<=100
X2<=60
X3<=50
A1=100
A2=60
A3=50
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION V ALUE
1) 500.0000
V ARIABLE V ALUE REDUCED COST
A1 100.000000 0.000000
X1 40.000000 0.000000
A2 60.000000 0.000000
X2 20.000002 0.000000
A3 50.000000 0.000000
X3 50.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 100.000023
3) 0.000000 1000.000000
4) 0.150000 0.000000
5) 60.000000 0.000000
6) 40.000000 0.000000
7) 0.000000 5.000000
8) 0.000000 -5.000000
9) 0.000000 -5.000000
10) 0.000000 -5.000000
NO. ITERATIONS= 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
V ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE
A1 5.000000 INFINITY INFINITY
X1 -5.000000 0.500000 INFINITY
A2 5.000000 INFINITY INFINITY
X2 -5.000000 5.000000 0.555556
A3 5.000000 INFINITY INFINITY
X3 -5.000000 5.000000 INFINITY
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE
2 0.200000 0.111111 0.200000
3 0.280000 0.200000 0.100000
4 0.568000 INFINITY 0.150000
5 100.000000 INFINITY 60.000000
6 60.000000 INFINITY 40.000000
7 50.000000 30.000006 50.000000
8 100.000000 INFINITY 100.000000
9 60.000000 INFINITY 60.000000
10 50.000000 INFINITY 50.000000
(2)
Min 5A1-5X1+5A2-5X2+5A3-5X3
st
0.0045X1<=0.28
0.0027X1+0.003X2<=0.568
X1<=100
X2<=60
X3<=50
A1=100
A2=60
A3=50
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1
OBJECTIVE FUNCTION V ALUE
1) 188.8889
V ARIABLE V ALUE REDUCED COST
A1 100.000000 0.000000
X1 62.222225 0.000000
A2 60.000000 0.000000
X2 60.000000 0.000000
A3 50.000000 0.000000
X3 50.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 1111.111206
3) 0.220000 0.000000
4) 37.777775 0.000000
5) 0.000000 5.000000
6) 0.000000 5.000000
7) 0.000000 -5.000000
8) 0.000000 -5.000000
9) 0.000000 -5.000000
NO. ITERATIONS= 1
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
V ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE
A1 5.000000 INFINITY INFINITY
X1 -5.000000 5.000000 INFINITY
A2 5.000000 INFINITY INFINITY
X2 -5.000000 5.000000 INFINITY
A3 5.000000 INFINITY INFINITY
X3 -5.000000 5.000000 INFINITY
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE
2 0.280000 0.170000 0.280000
3 0.568000 INFINITY 0.220000
4 100.000000 INFINITY 37.777775
5 60.000000 73.33333
6 60.000000
6 50.000000 INFINITY 50.000000
7 100.000000 INFINITY 100.000000
8 60.000000 INFINITY 60.000000
9 50.000000 INFINITY 50.000000
捕鱼业的持续收获的综合评估
摘要
本题是对捕鱼业的持续发展进行综合评估，考察一个渔场，其中的鱼量在天然环境下按一定的规律增长，如果捕捞量恰好等于增长量，那么鱼量将保持不变，这个捕捞量将持续下去。

本题针对以上问题建立在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，得到平衡点（渔场的稳定鱼量），分析鱼量保持稳定的条件，并且在稳定的前提下，讨论如何控制捕捞，使持续产量达到最大，最后研究所谓捕捞过度的问题。

建立Gompertz 模型，考虑在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳，用Matlab软件作出鱼量——捕捞量的图像，由图像得出稳定平衡点、最大捕捞强度及捕捞的最大持续产量。

关键词：持续收获捕捞量增长量平衡点Gompertz模型最大捕捞强度稳定解
一、问题引入
（1）问题重述
已知某渔场鱼量的自然生长服从种族增长规律Gompertz模型：，其中是固有增长率，是环境容许的最大鱼量。

并且单位时间捕捞量为，其中比例常数表示单位时间捕捞率，又称捕捞强度。

现要求：（1）建立在捕捞情况下渔场鱼量的数学模型，讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性；（2）在鱼量稳定的前提下，求最大持
续产量及获得最大产量的捕捞强度和渔场鱼量水平。

（2）背景介绍
再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）是我们一直关注的问题，如何使再生资源可持续发展是我们亟待解决的问题。

再生资源应要进行适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。

结合所学数学知识，微分方程的平衡点可分为稳定和不稳定两种。

当轻轻扰动平衡点时，系统状态就会剧烈变化。

若新的状态决不会回到原平衡点，此点就是不稳定的；相反，如果一个系统在稳定平衡点附近受到干扰，它总是企图回到平衡点，那么此点就是稳定的。

用这一数学工具可以解决诸如渔场鱼量等一系列实际问题。

二、问题分析
问题一：捕鱼业的持续收获，就是渔场鱼量保持不变，那么保持鱼量稳定的条件有哪些？
渔场鱼量在天然环境下按一定的规律增长，如果单位时间内捕捞量h(x)恰好等于增长量f(x)，那么渔场鱼量将保持不变。

因此就需要知道单位时间的捕捞量h（x）和增长量f（x）.在无捕捞条件下，鱼量x(t)的增长服从Gompertz规律即。

其中r是固有增长率，N是环境容许的最大鱼量。

由单位时间捕捞量h(x)与渔场鱼量x（t）成正比,可得出h(x). 得出捕捞情况下渔场鱼量满足F（x）
=f(x)-h(x)
问题二：在稳定的前提下如何控制捕捞量使持续产量最大?
在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大。

我们不需要解方程得到x(t)的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即时间t 足够长以后渔场x(t)的趋向，并由此确定最大持续产量。

可求方程得出平衡点
问题三：捕捞强度如何确定？
捕捞强度可以用比如捕鱼网眼的大小或出海渔船数量来控制其大小
三．模型假设
1、无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic 规律 其中r~固有增长量，N~最大鱼量；
2、单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比。

其中
E~捕捞强度；
3、渔场捕捞是考虑在正常天气下，不考其他虑恶略因素；
四．符号说明
()x t 表示时刻t 时渔场中的鱼量；
()0,1i x i =表示渔场鱼量平衡点；
*0
x 表示获得最大持续产量的渔场鱼量水平； r 表示种群的固有增长率；
N 表示环境容许的最大鱼量；
()f x 表示单位时间渔场鱼量的增长量；
()h x 表示单位时间的捕捞量；
)1()()(N x rx x f t x -==
m h 表示单位时间的最大持续产量；
()F x 表示在捕捞情况下渔场的鱼量；
()'F x 表示()F x 的导数；
五．模型建立
（1）无捕捞时鱼的自然增长服从Gompertz 模型：
()().ln N
x t f x rx x == （r ~固有增长率, N ~最大鱼量）
（2）单位时间的捕鱼量与渔场鱼量x(t ）成正比，比例常数E 表示单位时间捕捞率（又称捕捞强度），故单位时间的捕捞量为
（3） 从而得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程：()().ln N x t F x rx Ex x
==-
六．模型求解及结果分析
（1）渔场鱼量平衡点及其稳定性讨论
根据上面得到的在捕捞情况下渔场的鱼量()F x 所满足的方程③式，令
()ln 0N F x rx Ex x
=-= 得到两个平衡点
01,0E r N x x e == ④
由于()'ln N F x r r E x
=--，因此有()'00F x r =-<，故0x 点稳定（与E ，r 的大小无关）；同时，可证1x 点不稳定。

（2）渔场鱼量稳定前提下持续产量最大问题的讨论
)()()(x h x f x F -=记
根据①，②式作曲线()y f x =和直线()y h x Ex ==，如图1所示。

由于稳定点0x 与E ，r 的大小无关，因此应用图解法，由图1可知，当y Ex =与()y f x =在顶点*P 相交时可获得最大持续产量，此时的稳定平衡点为
*01N
N x e = ⑤ 且单位时间的最大持续产量为 1m N r
h e =
⑥ 由④易算出获得最大产量的捕捞强度为
m r
E N =
⑦ 用matlab 作图如下：其中P 的纵坐标 h ~产量 P 的横坐标 x 0~平
衡点
N 0N/2。