3.1.1 椭圆(第一课时)(精讲)(解析版)

3.1.1 椭圆

考点一椭圆的定义

【例1】（1）（2020·上海徐汇.高二期末）已知1F ､2F 是定点，12||6F F =.若动点M 满足12||||6M F M F +=，则动点M 的轨迹是（ ） A ．直线

B ．线段

C ．圆

D ．椭圆

（2）（2019·宁波市第四中学高二期中）设p 是椭圆22

12516

x y

+

=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )

A ．4

B ．5

C ．8

D ．10

【答案】（1）B （2）D

【解析】（1）对于在平面内，若动点M 到1F 、2F 两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点1F 、2F 的距离，则动点M 的轨迹是以1F ，2F 为端点的线段．故选：B ．

（2）因为椭圆的方程为225

1162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，

故选D ．

【一隅三反】

1．（2020·河南省鲁山县第一高级中学高二月考）若椭圆上一点Ｐ到左焦点的距离为５，则其

到右焦点的距离为（ ） A ．５ B ．３

C ．２

D ．１

【答案】D

【解析】由题意a=3,P 点到右焦点的距离为2a -5=1

2．（2020·东城.北京五十五中高二月考）若椭圆22110036

x y +=上一点P 到其焦点1F 的距离为6，则P 到另

一焦点2F 的距离为( ) A ．4 B ．194 C ．94 D ．14

【答案】D

【解析】依题意10a =，且1222622014PF PF PF a PF +=+==⇒=.故选：D 3.下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)

①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． 【答案】 ②

【解析】 ①2<2，故点P 的轨迹不存在；②因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；③到定点F 1(－3，0)，F 2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)．

考点二 椭圆定义的运用

【例2-1】（1）（2019·福建高二期末）如果2

2

2x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围

是（ ） A ．(0,1)

B ．(0,2)

C ．(1,)+∞

D ．(0,)+∞

（2）（2019·江苏省苏州实验中学高二期中）方程2214x y m

+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（ ）

A ．0m >

B ．4m >

C ．04m <<

D ．0m >且4m ≠

【答案】（1）A （2）D

【解析】（1）222x ky +=转化为椭圆的标准方程，得22

12

2x y k

+=，因为22

2x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以

2

2k

>，解得01k <<.所以实数k 的取值范围是()0,1.选A. （2）方程22

14x y m

+=表示椭圆，若焦点在x 轴上，40m >>；若焦点在y 轴上，4m >.

综上：实数m 的取值范围是0m >且4m ≠故选：D

【一隅三反】

1．（2020·广东高三月考（文））“35m -<<”是“方程22

153

x y m m +=-+表示椭圆”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为方程2

2

153x y

m m +=-+表示椭圆的充要条件是5030

53

m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩

，即35m -<<且1m ≠，故“35m -<<”是“方程22

153

x y m m +=-+表示椭圆”的必要而不充分条件.故选：B.

2．（2017·浙江东阳.高二期中）如果方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是

（ ） A ．3a > B ．2a <- C ．3a >或2a <- D ．3a >或62a -<<-

【答案】D 【解析】

椭圆的焦点在x 轴上，260a a ∴>+>，解得3a >或62a -<<-，故选D.

3．（2019·北京北师大实验中学高二期中）若方程22

12

y x m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范

围是（ ）

A ．()3-∞，

B ．()23，

C ．()2+∞，

D ．()3

+∞， 【答案】D

【解析】因为方程2

2

12

y x m +=-表示椭圆，故：20m ->，且21m -≠；

又该椭圆的焦点在y 轴上，故只需21m ->，解得3m >.故选：D.

【例2-2】（1）（2018·黑龙江哈尔滨三中高二期中（文））已知ABC ∆的顶点B ，C 在椭圆22

1169

x y +=上，

顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 上，则ABC ∆的周长是（ ）

A ．8

B ．

C ．16

D ．24

（2）（2019·广西田阳高中））已知P 是椭圆221259

x y +=上一点，

12,F F 为椭圆的两焦点，且0

1260F PF ∠=，则12F PF ∆面积为（ ）

A ．

B ．

C

D 【答案】（1）C

【解析】（1）ABC ∆的顶点B ，C 在椭圆221169

x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦

点在BC 上，由椭圆的定义可得：ABC ∆的周长是44416a =⨯=．故选：C ． （2）由椭圆的标准方程可得：a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，

设|PF 1|＝t 1，|PF 2|＝t 2，所以根据椭圆的定义可得：t 1+t 2＝10①， 在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝60°，

所以根据余弦定理可得：|PF 1|2+|PF 2|2﹣2|PF 1||PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2＝（2c ）2＝64， 整理可得：t 12+t 22﹣t 1t 2＝64，②把①两边平方得t 12+t 22+2t 1•t 2＝100，③ 所以③﹣②得t 1t 2＝12，

∴12

121

2

F PF S t t sin =∠F 1PF 2＝A ．