第4章 三铰拱

§4.1
概述
拱是轴线（截面形心的连线）为曲线且在竖向荷载下会产生水 平反力的结构。拱结构是应用比较广泛的结构型式之一。在房 屋和桥梁建筑中，经常用到拱结构。拱结构通常有三种常见的 形式，其计算简图如图，图（a）、（b）所示的无铰拱和两铰 拱是超静定结构。图（c）所示的三铰拱为静定结构。
§4.1
概述
（1）弯矩的计算公式
弯矩的符号，规定以使拱内侧纤维受拉的为正，反之
为负。取AK段为隔离体，如图 (c)
由
Mk FAy xk FP1(xk a1) FX yk M K 0
得截面K的弯矩
M k FAy xk FP1 (xk a1 ) FX yk
MK
M
0 K
FX yk
§4.2
三铰拱的内力计算
MC 0
MC
FAy
l 2
FP1
(
l 2
a1 )
FP 2
(l 2
a2
)
FAxf
0
FX
FAx
FBx
FAy
l 2
FP1
(
l 2
a1
)
FP
2
(
l 2
a2
)
f
§4.2
三铰拱的内力计算
• 从求解结论，可以看出，图(a)和 (b)相应的竖向支座反力相同
• 水平支座反力右边的分子，等于相 应简支梁上与拱的中间铰位置相对 应的截面C的弯矩M0C。由此可得：
（2）剪力的计算公式 剪力的符号，通常规定以使截面两侧的隔离体有顺时针方向 转动趋势的为正，反之为负。以AK段为隔离体，如图 (c)，
由平衡条FS件K 得FP1 cosK FX sin K FAyCosK 0
可得：
FSK FS0K cos K FX sin K
§4.2
三铰拱的内力计算
（3）轴力的计算公式 因拱轴通常为受压，所以规定使截面受压的轴力为正，反
§4.2
三铰拱的内力计算
§4.2
三铰拱的内力计算
§4.2
三铰拱的内力计算
§4.3
三铰拱的压力线和合理拱轴线
1、 拱的压力线 三铰拱任一截面上一般有弯矩、剪力和轴力三个内力，它们可
以合成为作用于该截面的一个合力。因为拱截面上的轴力通常为压 力，所以合力称为该截面的总压力。三铰拱各截面总压力作用点的 连线，称为三铰拱的压力线。 压力线表示拱截面合力偏离开心的程度，偏心距越小，则作用于截 面上的弯矩越小。由于左右两个支座及拱顶处的弯矩为零，因此压 力线必定通过三个铰的中心。对于砖、石及混凝土材料的拱，若要
• 拱结构的特点是：杆轴为曲线，而且在竖向荷载作用下支座将产 生水平力。这种水平反力又称为水平推力，或简称为推力。拱结 构与梁结构的区别，不仅在于外形不同，更重要的还在于竖向荷 载作用下是否产生水平推力。
• 拱结构最高的一点称为拱顶，三铰拱的中间铰通常是安置在拱顶 处。拱的两端与支座联结处称为拱趾，或称拱脚。两个拱趾间的 水平距离l称为跨度。拱顶到两拱趾连线的竖向距离f称为拱高， 或称拱矢。如图（a）所示。拱高与跨度之比f/l称为高跨比或矢 跨比。由后面可知，拱的主要力学性能与高跨比有关。
之为负。取AK段为隔离体， 如图（c），由平衡条件
FNk FP1 siБайду номын сангаас k FAy sin k FX cosk 0
可得：
FNk FS0k sin k FX cosk
§4.2
三铰拱的内力计算
例4.1 图4.5（a）所示为一三铰拱，其拱轴为一抛物线，当 坐标原点选在左支y 座4l2时f x，(l 拱x)轴方程为：
§4.2
三铰拱的内力计算
解：先求支座反力，可得
FAy
FA0y
100 9
20 6 3 12
105kN
FBy
FB0y
100 3 20 6 9 12
115kN
FX
M
0 C
f
105 6 100 3 4
82.5kN
反力求出后，即可用截面法求解内力图。为此，将拱跨分 成八等分，列表算出各截面上的M、FS、FN值，然后根据表 中所得数值绘制M、FS、FN图。
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§4.3
三铰拱的压力线和合理拱轴线
2、 拱的合理轴线 在一般情况下，三铰拱截面上有弯矩、剪力和轴力，处于偏心 受压状态，其正应力分布不均匀。但是，我们可以选取一根适 当的拱轴线，使得在给定荷载作用下，拱上各截面只承受轴力，
而弯矩为零，这M样K的拱 轴M线K0称为合FX理y轴k线。0
可得 y M 0 FX
§4.3
三铰拱的压力线和合理拱轴线
例4.2 试求图（a）所示对称三铰拱在均匀荷载q作用下的合 理拱轴线。
解：作出相应简支梁如图（b）所 示，其弯矩方程为
M 0 1 qlx 1 qx2 1 qx(l x)
22
2
合理轴线方程
y
M0
1 qx(l x) 2
4f
x(l x)
FX
ql 2
l2
8f
小结 1. 静定拱主要有三铰拱和带拉杆的三铰拱。它们是由曲杆组成， 在竖向荷载作用下，支座处有水平反力的结构。水平推力使拱上 的弯矩比同情况下的梁的弯矩小得多。因而材料可以充分得到利 用。又由于拱主要是受压，这样可以利用抗压性能好而抗拉性能 差的砖、石和混凝土等建筑材料。 2. 本章的重点是三铰拱的内力计算，核心就是静定拱的平衡方 程，必须熟练掌握。
第4章 三铰拱
教学目标
• 了解三铰拱的受力特点 • 掌握三铰拱的内力计算方法 • 理解合理拱轴线的概念和几种常见的合理拱轴线
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§4.2
三铰拱的内力计算
三铰拱为静定结构，其全部反力和内力都可由静力平衡方程求出。为 了说明三铰拱的计算方法，现以图（a）为例，导出其计算公式。
1. 支座反力的计算公式 三铰拱的两端都是铰支座，因此有 四个未知反力，故需列四个平衡方
程进行解算。除了三铰拱整体平衡 的三个方程之外，还可利用中间铰 处M不B能 0抵抗弯FA矩y 的FP1特b1 性F(P 2即b2 弯 F矩P3b3 McM=0A)来0 建立F一By 个F补P1a充1 方FP2ll程a2 。 FP3a3
FAy FA0y
FBy FB0y
FX
FAx
FBx
M
0 C
f
§4.2
三铰拱的内力计算
FX
FAx
FBx
M
0 C
f
由上式可知，推力FX等于相应简支梁截面C的弯矩MC0除以拱高f。 其值只与三个铰的位置有关，而与各铰间的拱轴形状无关。换 句话说，即只与拱的高跨比f/l有关。当荷载和拱的跨度不变时， 推力FX将与拱高f反比，即f愈大则FX愈小，反之，f愈小则FX愈 大。
§4.2 2. 内力的计算公式
三铰拱的内力计算
计算内力时，应注意到拱轴为曲线这一特点，所取截面与
拱轴正交，即与拱轴的切线相垂直，截面K的内力可以分解为
弯矩MK、剪力FSK和轴力FNK，其中FSk沿截面方向，即沿拱轴法 线方向作用，轴力FNK沿垂直于截面的方向，即沿拱轴切线方 向作用。
§4.2
三铰拱的内力计算