2018高考数学试题分类汇编 数列求和及综合应用 解析版

数列求和及综合应用

一、填空题

1.(2018·江苏高考·T14)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}.记S n为数列{a n}的前n项和,则使得S n>12a n+1成立的n的最小值为.

【解析】B={2,4,8,16,32,64,128…},与A相比,元素间隔大,所以从S n中加了几个B中元素考虑,

1个:n=1+1=2S2=3,12a3=36

2个:n=2+2=4S4=10,12a5=60

3个:n=4+3=7S7=30,12a8=108

4个:n=8+4=12S12=94,12a13=204

5个:n=16+5=21S21=318,12a22=396

6个:n=32+6=38S38=1150,12a39=780

发现21≤n≤38时S n-12a n+1与0的大小关系发生变化,以下采用二分法查找: S30=687,12a31=612,所以所求n应在22~29之间,

S25=462,12a26=492,所以所求n应在25~29之间,

S27=546,12a28=540,所以所求n应在25~27之间,

S26=503,12a27=516,

因为S27>12a28,而S26<12a27,所以使得S n>12a n+1成立的n的最小值为27.

答案:27

二、解答题

2.(本小题13分)(2018·北京高考文科·T15)设{a n}是等差数列,且a1=ln2,a2+a3=5ln2.

(1)求{a n}的通项公式.

(2)求错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。.

【命题意图】考查求数列的通项公式与前n项和,以及对数运算,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算、数据分析的数学素养.

【解析】(1)由已知,设{a n}的公差为d,则

a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=5ln2,又a1=ln2,

所以d=ln2,

所以{a n}的通项公式为a n=ln2+(n-1)ln2=n ln2(n∈N*).

(2)由(1)及已知,错误！未找到引用源。=e n ln2=(e ln2)n=2n,

所以错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。=21+22+…+2n=错误！未找到引用源。=2n+1-2(n∈N*).

3.(本小题满分13分)(2018·天津高考理科·T18)设{a n}是等比数列,公比大于0,其前n项和为S n(n∈N*),{b n}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4= b3+b5,a5=b4+2b6.

(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式.

(Ⅱ)设数列{S n}的前n项和为T n(n∈N*),

(ⅰ)求T n;

(ⅱ)证明错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。-2(n∈N*).

【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.

【解析】(I)设等比数列{a n}的公比为q.由a1=1,a3=a2+2,可得q2-q-2=0.

因为q>0,可得q=2,故a n=2n-1.

设等差数列{b n}的公差为d,由a4=b3+b5,可得b1+3d=4.由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16,从而b1=1,d=1,故b n=n.

所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1,数列{b n}的通项公式为b n=n.

(II)(ⅰ)由(I),有S n=错误！未找到引用源。=2n-1,故T n=错误！未找到引用源。(2k-1)=

错误！未找到引用源。2k-n=错误！未找到引用源。-n=2n+1-n-2.

(ⅱ)因为错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。, 所以,错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。-2.

4.(本小题满分13分)(2018·天津高考文科·T18)设{a n}是等差数列,其前n 项和为S n(n∈N*);{b n}是等比数列,公比大于0,其前n项和为T n(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.

(Ⅰ)求S n和T n;

(Ⅱ)若S n+(T1+T2+…+T n)=a n+4b n,求正整数n的值.

【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.

【解题指南】(Ⅰ)利用等差、等比数列的公式,结合题设条件,即可求解;(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论,将题设代数式化简,利用方程思想求解.

【解析】(I)设等比数列{b n}的公比为q,由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故b n=2n-1.

所以T n=错误！未找到引用源。=2n-1.

设等差数列{a n}的公差为d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.

由b5=a4+2a6,

可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,故a n=n,所以S n=错误！未找到引用源。. (II)由(I),知T1+T2+…+T n=(21+22+…+2n)-n=2n+1-n-2.

由S n+(T1+T2+…+T n)=a n+4b n可得错误！未找到引用源。+2n+1-n-2=n+2n+1,

整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4.所以n的值为4.

5.(本小题满分16分)(2018·江苏高考·T20)

设{a n}是首项为a1,公差为d的等差数列,{b n}是首项为b1,公比为q的等比数列.

(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|a n-b n|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围.

(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,错误！未找到引用源。],证明:存在d∈R,使得|a n-b n|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).【解析】(1)由条件知:a n=(n-1)d,b n=2n-1.

因为|a n-b n|≤b1对n=1,2,3,4均成立,

即|(n-1)d-2n-1|≤1对n=1,2,3,4均成立,

即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9,得错误！未找到引用源。≤d≤错误！未找到引用源。.

因此,d的取值范围为错误！未找到引用源。.

(2)由条件知:a n=b1+(n-1)d,b n=b1q n-1.

若存在d,使得|a n-b n|≤b1(n=2,3,…,m+1)成立,

即|b1+(n-1)d-b1q n-1|≤b1(n=2,3,…,m+1),

即当n=2,3,…,m+1时,d满足错误！未找到引用源。b1≤d≤错误！未找到引用源。b1.