7微积分的创立

第7章微积分的创立

主题：

微积分创立的意义

知识理解：

本章介绍微积分从酝酿到完全确立起来的过程，重点介绍了在17世纪里有关微积分所产生的一系列的数学事件，包括各种微积分算法的特殊情况和牛顿和莱布尼茨建立微积分的情况。

一．背景：1解析几何：工具

2科学问题：

（1）古代：求积、求切线和最值

（2）近代：瞬时变化率、切线问题、函数极值、几何求积

（3）酝酿：开普勒与旋转体体积；卡瓦列尼不可分量原理；笛卡儿“圆法”；费马求极大值与极小值的方法；巴罗“微分三角形”；沃利斯“无穷算术”

总之：针对基本问题，微积分的算法技巧成熟。需要的工作：将各种算法统一成一种同一的算法——微分与积分，同时确立二者的互逆关系从而统一起来。

二微积分的创立

1 牛顿创立微积分的过程：

（1）其人：

牛顿（1642－1727）：

（2）过程：

出发点：1664 笛卡儿《圆法》，1665 发明“正流数术”（微分），1666 “反流数术”（积分），《流数简论》（1666年）是历史上第一篇系统的微积分文献。

（3）特点：微积分具有运动学背景

（4）意义：在这之前，面积总是被看成无限小量不可分量之和，牛顿这是从确定面积变化率入手通过反微分计算面积。面积计算与求切线问题的互逆关系，在以往场合也被人模糊提出过，但没有把它作为一种系统的理论总结出来，而只有牛顿以敏锐的眼光和能力将这种互逆关系明确作为一般规律揭示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础。牛顿是自古希腊以来将求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术即微分与积分，并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体。微积分算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等16类问题，表现了此类算法的极大的普遍性和系统性。

（5）发展：

《运用无限多项方程的分析》（简称《分析学》）（1699），

《流数法与无穷级数》（1671），

《曲线求积术》（1691）

三篇论文反映了微积分学说的发展过程，并对于微积分的基础先后给出不同的解释。

（6）发表：《原理》

2 莱布尼茨创立微积分的过程

其人：莱布尼茨（1646－1716）：

（1）起点：特征三角形

（2）建立：

（3）分析微积分：形式化

（4）有关文献：

（5）其他数学贡献：

三比较

背景：运动背景几何化；几何背景形式化

方法：综合方法；分析方法

形式：和力学运动学结合在一起；与几何背景抽象出来

7微积分的创立

7.1 孕育（16－17世纪）

开普勒（德，1571－1630年），1609年、1619年公布了通过观测归纳出的行星运动三大定律，如何从数学上推证这定律成为当时自然科学的中心课题之一。事实上，自文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破的阶段，所面临的数学困难，关注的焦点：瞬时速度问题、切线问题，极值问题，长度、面积、体积、重心和引力计算问题。在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，特别是描述运动与变化的无限小算法。

（1）伽利略（意，1564－1642年），1638年《关于力学和位置运动的两种新科学的对话与数学证明》，建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定

了基础，切线构造为运动合速度方向的直线；

（2）开普勒（德，1571－1630年），1615年《测量酒桶的新立体几何》，论述了求圆锥曲线围绕其所在平面上某直线旋转而成的立体体积的积分法，无穷小求和思想；

（3）卡瓦列里（意，1598－1647年），就学于伽利略，1629－1647年是波罗尼亚大学的数学教授，他那个时代最有影响的数学家之一，虔诚的耶稣会士，曾任帕马的耶稣会修道院院长，1629年任波罗尼亚大学首席数学教授直至去世（1629－1647年），1635年《用新方法促进的连续不可分量的几何学》中提出了线、面、体的不可分量原理，即卡瓦列里原理，无穷小方法计算面积和体积，该书成为研究无穷小问题的数学家引用最多的书籍，1639年他用一可分量原理建立了等价于⎰=a

xdx 0a^{2}/2的积分公式；

（4）托里切利（意，1608－1647年），物理学家、数学家，幼年时表现出数学才能，20岁时到罗马在伽利略早年的学生卡斯提利指导下学习数学，毕业后成为他的秘书，1641年写了第一篇论文《论自由坠落物体的运动》，发展了伽利略关于运动的想法，经卡斯提利推荐做了伽利略的助手，在数学上的主要贡献是推进了不可分量方法，关于高次抛物线和双曲线的切线，获得了面积比

等于抛物线的幂指数比，从而本质上证明了⎰a n dx x 0＝a{n+1}/(n+1)； （5）笛卡儿（法，1596－1650年）1637年《几何学》中提出圆法及讨论光的折射时法线的构造方法，由此可导入切线的构造，牛顿是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路；

（6）费尔马（法，1601－1665年）的极大极小方法（1629）和曲边梯形面积（1636），给出了增量方法及矩形长条分割曲边形并求和的方法，这方法几乎相当于现今微分学中所用的方法；令人奇怪的是，费尔马在应用他的方法来确定切线、求函数的极大值极小值以及面积、求曲线长度等问题时，能在如此广泛的各种问题上从几何和分析的角度应用无穷小量，而竟然没有看到这两类问题之间的基本联系，其实，只要费尔马对他的抛物线和双曲线求切线和求面

积的结果再仔细地考察和思考，是有可能发现微积分的基本定理的，也就是说费尔马差一点就成为微积分的真正发明者。

（7）巴罗（英，1630－1677年），1664年任剑桥大学卢卡斯讲座教授（荣誉数学教授职位，每年有若干津贴，低于大学院院长，不需要再担任神职，也不许再兼其他学校的教授）第一人，以微积分先驱者闻名于世，1669年让位于牛顿，形成于1664年、载于1669年《几何讲义》，求切线方法的关键概念是“特征三角形”或“微分三角形”，Δy/Δx 对于决定切线的重要性；此外，微积分基本定理是架设在切线问题和求积问题之间的桥梁，揭示了两者的互逆关系，巴罗在《几何讲义》的第10、11讲中用几何形式给出面积与切线的某种关系，已得到基本定理的要领。

（8）沃利斯（英，1616－1703年），在牛顿和莱布尼茨以前，将分析方法引入微积分贡献最突出的数学家，是当时最有能力、最有创造力的数学家之一，也是牛顿在英国的直接前辈之一，他推动英国数学界的发展长达半个世纪。1649年他被任命为牛津大学的萨魏里几何讲座教授直至逝世（任职54年），1655年出版《无穷算术》，因而作为一个数学家享誉四方，其中有分数幂积分公式

q q p a q p a q

p q dx x /)(0/++=⎰、无穷小分析的算术化等内容，有计算π的著名的沃利斯公式，4/π=3/2∙3/4∙5/4∙5/6∙7/6∙⋯，引进了现在用的无穷大符号∝，最先完整地说明零指数、负指数和分数指数意义的人，为牛顿创立微积分开辟了道路。

17世纪上半叶一系列前驱的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，这还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生，方法缺乏足够的一般性，没有一般规律性的提出，需要有人站在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论。历史安排牛顿和莱布尼茨在这样关键的时刻出场了。

在伽利略去世的那年，牛顿出生了。

7.2 牛顿（英，1642－1727年）

伽利略死的那年牛顿出生。