等腰三角形的分类讨论思想

等腰三角形问题中的分类讨论思想

教学设计

西安市远东第一中学罗天马

年级:七年级所属学科: 数学

学情分析| 教学目标| 教学过程| 小结| 反思

学情分析:

课本上已经在七下第五章《生活中的轴对称》第3小节第1课时完成了对等腰三角形性质的学习,但是学生对等腰三角形性质的应用和等腰三角形与高线、中线、垂直平分线等知识相结合的一些综合题型并没有明确的认识,无法熟练运用所学知识解决问题。这节课将对不同等腰三角形与这些知识的结合加以补充，使学生对等腰三角形的分类讨论思想有明确和深刻的认识。

教学目标：

1．通过自学、讨论学习，解决等腰三角形的遇边、遇角的讨论问题。

2．深入学习分类讨论的思想，学会将等腰三角形分成锐角和钝角三角形进行分类、讨论。

3.经历、体验、探索等腰三角形性质的过程，渗透从一般到特殊、类比的数学思想，培养学生归纳和初步的分类讨论能力。

教学重点:

深入学习分类讨论的思想，学会将等腰三角形分成锐角和钝角三

角形进行分类、讨论。

教学难点:

学会将等腰三角形分成锐角和钝角三角形进行分类、讨论。

教学过程：

一、自主学习、合作交流

本环节是考查学生对等腰三角形性质的基本应用能力,通过对等腰三角形边和角的位置进行分类讨论,让学生明白等腰三角形需要讨论的原因是边和角位置的不确定性。只有确定了边和角的位置，才能确定正确答案。

（一）遇边讨论

（1）已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，则它的周长为

（2）若一个等腰三角形两边的长为4cm、6cm，则该等腰三角形的周长为

注意：在讨论边的位置关系的同时还应提醒学生考虑三边关系，确认能否围成三角形，中等生和学困生容易忽略这个问题。

（二）遇角讨论

（3）已知等腰三角形的一个内角为75°，则该等腰三角形顶角的度数为。

（4）如果等腰三角形的两个内角的度数之比为1：4，那么这个三角形三个内角各是多少度？

本环节的设计意图：让学生通过自主学习对等腰三角形为什么需

要讨论有一个初步认识，在自主学习的过程中形成自然讨论。然后通过小组讨论，小组长订正小组成员的答案并负责对本小组学困生的答疑解惑完成自主学习。教师在学生完成自主学习、合作交流的过程中，来到各小组了解学生的学习情况，并参与讨论。本环节结束后进行提问：

提问一：这4道题的答案分别是多少？

提问二：答案为什么不是唯一的？是什么原因导致的？

二、精讲精练

（三）遇中线讨论：

在等腰三角形ABC 中，已知AB=AC ，周长为27cm ，且AC 边上的中线BD 把△ABC 分成周长差为3cm 的两个三角形，求△ABC 各边的长。

图2

设计意图：这类题型学生有所接触，但都比较简单。大部分学生

知道周长之差是由AB-BC 的差得到的。本题在出示时先出示图1，暂不出示图2，所以学生在做题时可能没有考虑AB 边和BC 边的大小关系对本题的影响，即没有考虑锐角等腰三角形和钝角等腰三角形对本题答案的影响。通过对本题的讲解要让学生开始关注锐角的等腰三角

A

C

形和钝角的等腰三角形对答案的影响。

提问三：在这道题中是什么原因导致本题的多解?

本题的解题方法要用到二元一次方程组的解题方法，适当引入带入消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程解题。用带入法解二元一次方程组的方法在以前的教学中已经有所渗透，所以学生在解题上不存在理解问题。

（四）遇高讨论：

若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°,求这个三角形各内角的度数。

图1 图2

设计意图：

通过对中线问题的讨论学生对分类讨论的主要原因应有了初步认识，所以在本题中大部分同学会想到要将等腰三角形分成锐角的等腰三角形和钝角的等腰三角形来进行讨论。但对夹角的位置可能认识不清，需进一步明确夹角在什么位置。题中图2涉及到的∠BAC 的求法可以用邻补角去求，也可以利用∠DAB 是等腰三角形ABC 的外角去求∠C 从而求出各内角的度数。使学生对等腰三角形的分类方法和分类的目的更加明确。注：外角的性质在讲等腰三角形的性质时已补充。

三、推广探究

C B

（五）遇中垂线讨论

在△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，求∠B 的度数。

设计意图：此时学生已经明确等腰三角形除了对边和角的位置需要讨论外，还要重视对锐角和钝角的等腰三角形的讨论。所以在本题的计算中学生会重视这个问题。但对图形的画法和夹角的位置可能还存在不能确定的问题，需加以引导。尤其是钝角的等腰三角形中垂线和一边夹角的画法要引导。

图1 图2

四、当堂检测

1．若等腰三角形一边长为12cm ，且腰长是底边长的 34 ，求这个三角形的周长。

2．已知一个等腰三角形的两个内角分别为（2x-2）°和（3x-5）°,求这个等腰三角形各内角的度数。

五、交流反思，回顾小结

小结时可以让学生们畅所欲言，除了总结知识点之外，他们还会总结自己的小错误，这个时候我也会适当提问学困生，只要他们表达出本节有收获，我就鼓励支持，恭喜他！并给予美好的祝愿。有能

B

C

力的同学可以给予更深刻更有高度的引导并严格要求他，包括一些小结论希望他们能够理解并记住。在这样“以生为本”的民主氛围中培养学生归纳、概括能力和语言表达能力，同时引导学生反思过程，从而帮助学生在头脑中将知识系统化。

我希望在课堂上不同的学生从不同的角度有不同的收获，这样也能不断给他们信心。我们班级的学生个体差异很大，虽然参差不齐，但我最欣慰的是都没有放弃数学学习，我想只要都能坚持学习最后都会取得一个令自己满意的成绩。

六、布置作业：（针对学生的情况采取分层次作业。）

必做题：全品练习册第94页第12题

选做题：全品练习册第94页第14题

七、课后反思：

本节课我采用启发式、探究式等多种教学方法，创设各种教学环境，引导学生质疑、探究，合作、交流；主要让学生动手操作发现问题、解决问题，这是新课程改革的要求，也是学生进行数学研究性学习与自主学习的重要手段与途径。通过动手操作、自主学习与合作交流探讨，不但突破了重点难点，学生学习方式也有了新的改变，学生更加体会学习的乐趣，学生的自主性、实践性、创造性得到锻炼与提高，从而完成了教学目标和过程目标。

新课程强调对学生的评价要多元化，全面化，方法多样化。不仅关注学习结果，更要关注过程，通过练习，发现问题，针对学生的情况及时给予帮助或鼓励，完成本节课的情感目标。本节课，不同的学