两个平面的位置关系

三．两个平面的位置关系

知识提要

1. 空间两个平面有相交(有一条公共直线)和平行(无公共点)两种位置关系．

2. (1)定义 如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行．

(2)判定 如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面

平行．

(3)性质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

3. (1)定义 如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂

直．

(2)判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．

(3)性质 (1)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线，垂直于

另一个平面．

(2)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于另一个平面的直线，也垂直

于交线．

4. 二面角 平面一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面．一

条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．

5. 二面角的平面角 以二面角棱上的任意一点为端点，在两个面分别作垂直于棱的两条

射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角是900

时称直二面角。

6. 作二面角的平面角有：定义法，三垂线(或其逆)定理法，垂面法．把平面角放入相关

三角形中求解．

课前练习

1．α、β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ，②α⊥β，③n ⊥β，④m ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并证明它．

解析：m ⊥α，n ⊥β，α⊥β⇒m ⊥n （或m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β⇒α⊥β）

证明如下：过不在α、β的任一点P ，作PM ∥m ，PN ∥n ，

过PM 、PN 作平面r 交α于MQ ，交β于NQ ． MQ PM PM m PM m ⊥⇒⊥⇒⎭

⎬⎫⊥αα//， 同理PN ⊥NQ ．

因此∠MPN ＋∠MQN = 180°，

故∠MQN = 90°⇔∠MPN = 90°

即m ⊥α，n ⊥β，α⊥β⇒m ⊥n

2．自二面角一点分别向这个二面角的两个面引垂线，求证：它们所成的角与这个二面角的平面角互补．

证明：如图PQ ⊥，PQ ⊥AB ，

PR ⊥，PR ⊥AB ，

则AB ⊥面PQR ．

经PQR 的平面交、于SR 、SQ ，

那么AB ⊥SR ，AB ⊥SQ ．

∠QSR 就是二面角的平面角．

因四边形SRPQ 中，∠PQS ＝∠PRS ＝90°，

因此∠P ＋∠QSR ＝180°．

3．在60°的二面角M －a －N 有一点P ，P 到平面M 、平面N 的距离分别为1和2，求P 点到直线a 的距离．

解析：本题涉及点到平面的距离，点到直线的距离，二面角的平面角等概念，图中都没有表示，按怎样的顺序先后作出相应的图形是解决本题的关键．可以有不同的作法，下面仅以一个作法为例，说明这些概念的特点，分别作PA ⊥M ，A 是垂足，PB ⊥N ，B 是垂足，先作了两条垂线，找出P 点到两个平面的距离，其余概念要通过推理得出：于是PA 、PB 确定平面α，设α∩M =AC ，α∩N =BC ，C ∈a ．由于PA ⊥M ，则PA ⊥a ，同理PB ⊥a ，因此a ⊥平面α，得a ⊥PC ．这样，∠ACB 是二面角的平面角，PC 是P 点到直线a 的距离，下面只要在四边形ACBP ，利用平面几何的知识在△PAB 中求出AB ，再在△ABC 中利用正弦定理求外接圆直径2R ＝3212，即为P 点到直线a 的距离，为3

212． 4．判定下列命题的真假

（1）两个平面垂直，过其中一个平面一点作与它们的交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；

（2）两个平面垂直，分别在这两个平面且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；

（3）两平面垂直，分别在这两个平面的两直线互相垂直。

解析：（1）若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，

如图，正方体AC 1中，平面AC ⊥平面AD 1，平面AC ∩平面AD 1＝AD ，

在AD 上取点A ，连结AB 1，则AB 1⊥AD ，即过棱上一点A 的直线AB 1

与棱垂直，但AB 1与平面ABCD 不垂直，其错误的原因是AB 1没有保证在平面ADD 1A 1，可以看出：线在面这一条件的重要性；

（2）该命题注意了直线在平面，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体AC 1中，平面AD 1⊥平面AC ，AD 1⊂平面ADD 1A 1，AB ⊂平面ABCD ，且AB ⊥AD 1，即AB 与AD 1相互垂直，但AD 1与平面ABCD 不垂直；

（3）如图,正方体AC 1中，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，AD 1⊂平面ADD 1A 1，AC ⊂平面ABCD ，

AD 1与AC 所成的角为600，即AD 1与AC 不垂直 解：由上面的分析知，命题⑴、⑵、⑶都是假命题。

点评:在利用两个平面垂直的性质定理时，要注意下列的三个条件

缺一不可：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个面；③直线

必须垂直它们的交线。

5．设S 为ABC ∆平面外的一点，SA=SB=SC ，γβα2,2,2=∠=∠=∠ASC BSC ASB ，若γβα2

22sin sin sin =+，求证：平面ASC ⊥平面ABC 。

解析：（1）把角的关系转化为边的关系

（2）利用棱锥的性质（三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心）

证明：设D 为AB 的中点 SB SA = α=∠∴ASD SA AB SA AD 2sin ==

α 同理SC AC SB BC 2sin ,2sin ==

γβ SC SB SA == 且γβα222sin sin sin =+ A B C

D A 1 D 1 C 1

B 1 A B

C

D A 1 D 1 C 1 B 1