数值积分与数值微分
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分与数值积分是现代计算机科学中非常重要的数学工具。
它们可以用来处理各种研究。
在本文中，我们将讨论这两种方法的基础原理，以及它们在不同领域中的应用。
什么是数值微分？数值微分是指对给定函数进行求导的一种数值方法。
在实际应用中，函数的导数通常很难求得解析解，这时需要使用数值微分的方法来进行近似计算。
数值微分通常是通过在函数的某个点进行差分计算来完成的。
考虑一个函数$f(x)$在某个点$x_0$进行微分的情况。
我们可以计算$f(x_0+h)$和$f(x_0-h)$，其中$h$是一个小的正数。
然后，我们可以计算$[f(x_0+h) - f(x_0-h)]/2h$来得到$f'(x_0)$的近似值。
数值微分的应用非常广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算物理量相关的导数。
例如，流体力学中的速度梯度、量子力学中的波函数导数，都可以使用数值微分进行近似计算。
此外，在金融领域中，数值微分也可用于计算期权价格等任意变量导数的近似解。
什么是数值积分？数值积分是指对给定函数进行积分的一种数值方法。
与数值微分类似，函数的积分通常很难求得解析解，而不得不使用数值积分的方法来近似计算。
在数值积分中，我们通常使用数值积分公式来计算定义在一个区间$[a,b]$上的函数（如果积分问题是无限积分，我们需要进行变形，将其转化为有限积分问题）。
数值积分公式通常基于插值方法，即将函数转化为一个多项式，并对多项式进行积分。
数值积分也应用广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算面积、物质质量，以及探测信号的峰值等。
在金融领域中，数值积分也可用于计算期权定价公式的近似解。
数值微分和数值积分的误差分析在应用数值微分和数值积分时，误差是一个重要的考虑因素。
误差源可以来自于采样、采样噪声、近似方法等。
通常，我们使用误差分析来评估误差大小。
数值微分的误差通常归因于选取的$h$值。
当$h$太大时，我们会失去一些重要的信息，如函数的局部斜率。
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值计算_第7章数值微分和数值积分
数值计算_第7章数值微分和数值积分数值微分和数值积分是数值计算中的两个重要内容，它们在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍数值微分和数值积分的概念、方法和应用，并分析其优缺点。
数值微分是通过数值方法来近似计算函数的导数。
在实际问题中，往往很难直接计算函数的导数，因此需要使用数值方法来进行近似计算。
常用的数值微分方法有中心差分法、向前差分法和向后差分法。
中心差分法是一种通过利用函数在特定点两侧的数据点来计算函数的导数的方法。
具体方法是用函数在该点两侧的差值来估计导数。
中心差分法具有较高的精度和稳定性，适用于函数光滑的情况。
向前差分法和向后差分法是一种通过利用函数在该点的数据点来计算函数的导数的方法。
向前差分法用函数在该点的后一点数据来估计导数，向后差分法用函数在该点的前一点数据来估计导数。
这两种方法的精度相对较低，但计算简单，适用于函数不太光滑的情况。
数值微分方法的优点是计算简单、直观易懂、易于实现。
缺点是对函数的平滑性和间隔大小要求较高，误差较大。
数值积分是通过数值方法来近似计算函数的积分。
在实际问题中，往往很难直接计算函数的积分，因此需要使用数值方法来进行近似计算。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和数值积分公式。
梯形法则是一种通过将区间划分为多个小区间，在每个小区间上用梯形面积来近似计算积分的方法。
辛普森法则是一种通过将区间划分为多个小区间，在每个小区间上用抛物线面积来近似计算积分的方法。
这两种方法的精度较高，适用于函数较光滑的情况。
数值积分公式是通过选取节点和权重，将积分转化为对节点函数值的加权求和。
常用的数值积分公式有高斯求积公式和牛顿-寇茨公式。
这些公式具有较高的精度和稳定性，适用于计算复杂函数的积分。
数值积分方法的优点是适用范围广、精度较高、计算稳定。
缺点是计算量较大、计算复杂、需要选取合适的节点和权重。
数值微分和数值积分在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。
数值积分与数值微分ppt课件
a
,
x1
b
2
a
,
x2
b
,h
b
2
a
Cotes系数:
C0( 2 )
1 4
2
1
(t 1)(t 2)dt
0
6
4.5 4
C1(2)
1 2
2
t(t 2)dt
0
4 6
3.5 3
2.5
C2(2)
1 4
2
1
(t 1)tdt
0
6
2 1.5
1
求积公式:
2
Q2( f ) (b a)
n (t j)h
0
0
jn
(k
j)h
h
dt
jk
jk
h (1)nk n
(t j)dt
k!(n k)! 0 0 jn
jk
Ak
ˆ
(b
a
)
C (n) k
C
(n)称
k
为Cotes系
数
(1)nk
n
Ak
(b a)
3
I3(
f
)
b
6
a
(a2
(a
b)2
b2
)
b3
3
a3
R( , x2 ) 0
（3）当 f (x) x3时，I ( f ) b4 a4
4
I3(
f
)
b
6.数值积分与数值微分
b Ak =∫a lk( x)dx
2、n=2时 有(x0，f（x0）)， (x1，f（x1）) ， (x2，f（x2）) b ∫a f( x)dx ≈ A0 f（x0）+ A1f（x1）+ A2f（x2） = A0 f（a）+ A1f（x1）+ A2f（b） b b A0 =∫a l0 ( x)dx =∫a [(x- x1)( x- x2)/[(x0-x1)(x0-x2)]] dx b =∫a [(x-x1)( x-b)/[(a-x1)(a-b)]]dx =[(b-a)(2a+b-3x1)]/[6(a-x1)]
b b
3. n=4时,有5个节点 4 （ 4 ） 4 C0 =(-1) /[4(0!)(4!)] ∫0 (t-1)(t-2)(t-3)(t-4)dt=7/90 4 C1（4） =(-1) 3 /[4(1!)(3!)] ∫0 t(t-2)(t-3)(t-4)dt=32/90 4 C2（4） =(-1) 2 /[4(2!)(2!)] ∫0 t(t-1)(t-3)(t-4)dt=12/90 4 （ 4 ） 1 C3 =(-1) /[4(3!)(1!)] ∫0 t(t-1)(t-2)(t-4)dt=32/90 4 C4（4） =(-1) 0 /[4(4!)(0!)] ∫0 t(t-1)(t-2)(t-3)dt=7/90 可以看出 C0（4） =C4(4) ， C1(4) = C3(4) ∴ I4 =(b-a)∑ C k (4) f(x0 +kh) =[(b-a)/90][7f(x0)+32 f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7(x4)] 这是Cotes求积公式。 Cotes系数性质： b (1)与[a,b]无关，f(x)=1时， (b-a)∑Ck（n）1=∫a 1 dx=b-a 所以 ∑Ck（n） = 1 (2)对称性Ck（n） =Cn-k(n)
数值方法中的数值微分和数值积分
泰勒展开法：将函数 在某点处展开成泰勒 级数，然后利用级数 的各项系数计算数值 微分
牛顿插值法：利用牛 顿插值多项式计算数 值微分，其思想是通 过构造插值多项式ห้องสมุดไป่ตู้ 逼近导数函数
数值微分的误差分析
数值微分的基本概念
数值微分误差的来源
数值微分误差的估计
减小误差的方法
数值微分的应用
计算物理量的变化 率
应用领域的比较
数值微分的应用领域：主要应用于求解微分方程的近似解，例如在物理学、 工程学和经济学等领域。
数值积分的应用领域：主要应用于求解定积分、不定积分等积分问题，例 如在计算面积、体积、物理实验数据处理等领域。
比较：数值微分和数值积分在应用领域上存在差异，但两者都是数值计算 中的重要工具，可以相互补充。
矩形法：将积分区 间划分为若干个小 的矩形，用矩形面 积的和近似积分
梯形法：将积分区 间划分为若干个小 的梯形，用梯形面 积的和近似积分
辛普森法：将积分 区间划分为若干个 等分的子区间，用 抛物线面积的和近 似积分
牛顿-莱布尼茨法 ：利用定积分的定 义和牛顿-莱布尼 茨公式，通过求和 的方式计算定积分
预测函数的变化趋 势
优化问题中的梯度 计算
机器学习中的梯度 下降算法
Part Three
数值积分
数值积分的概念
数值积分定义：用数值方法近似计算定积分的值 常用方法：矩形法、梯形法、辛普森法等 近似误差：与使用的数值方法有关，通常误差随迭代次数增加而减小 应用领域：科学计算、工程、数学建模等
数值积分的计算方法
数值积分的误差分析
算法稳定性：数值积分方法的稳定性和误差控制 步长选择：步长对误差的影响和最佳步长选择 收敛性：数值积分方法的收敛速度和误差收敛性 误差来源：数值积分中误差的来源和减小误差的方法
数值分析-第八章数值微分与数值积分
ab
f
x dx
n
i1
xxii1
f
x dx
n
i1
xi
xi1 2
f
xi1
f
xi
h 2
n
i1
f
xi1
f
xi
h 2
f
a
n1
2
i1
f
a ih
f
b
Tn
11
复合梯形公式的误差:
RTn
f
n h3 f i1 12
i
h3 nf 12
ba3
12
1 n2
f
二 复合Simpson公式
ab f x dxin1xxii1 f xdx
n
i1
xi
xi1 6
我们的目的是导出一组与函数无关的求导系数和求积系数.
从而得到能够对任意函数都通用的公式.
2
§2 数值微分 一 二点公式 给出两个点及其函数值,做一个一次插值多项式,对这个插 值多项式求导,得到:
fx0fx0,x 1 fx 1fx0,x 1
其几何意义就是用割线的斜率近似代替切线的斜率. 当然也可以用泰勒展开来导出上述公式.
a b公式
7
三 N-C公式的截断误差
Rnfa bfxdxba n Ck nfxk k0 ab f x dx ab Ln x dx
ab
f
n1 n 1!
第八章 数值微分和数值积分
第2章数值微分和数值积分
f '( x) D(h) O ( h) 2 f '( x) D(h / 2) O(h / 2)
f '( x) D(h) 2 f '( x) 2D(h / 2) f '( x) D(h / 2) D(h) D(h / 2)
例：
f(x)=exp(x)
h 0.10 0.09 f’(1.15) 3.1630 3.1622 R(x) -0.0048 -0.0040 h 0.05 0.04 f’(1.15) R(x) 3.1590 3.1588 -0.0008 -0.0006
f
误差
(k )
( x) Ln ( x)
(k )
f ( n1) ( ) Rn ( x) n ( x) f ( x) Ln ( x) (n 1)! k ( n 1) d f ( ) (k ) Rn ( x) k n ( x) dx (n 1)!
1 h2 f '( x0 ) L '2 ( x0 ) 3 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 ) f '''( ) 2h 3 1 h2 f '( x1 ) L '2 ( x1 ) f ( x0 ) f ( x2 ) f '''( ) 2h 6 1 h2 f '( x2 ) L '2 ( x2 ) f ( x0 ) 4 f ( x1 ) 3 f ( x2 ) f '''( ) 2h 3 1 h2 (4) f ''( x0 ) L ''2 ( x0 ) 2 f ( x0 ) 2 f ( x1 ) f ( x2 ) [ hf '''(1) f (2 )] h 6 1 h2 (4) f ''( x1 ) L ''1 ( x2 ) 2 f ( x0 ) 2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) h 12 1 h2 (4) f ''( x2 ) L ''2 ( x2 ) 2 f ( x0 ) 2 f ( x1 ) f ( x2 ) [hf '''(1 ) f (2 )] h 6 2 Taylor展开分析，可以知道，它们都是 O(h )
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。
它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。
1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。
在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。
一种常用的数值微分方法是有限差分法。
它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。
我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。
有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。
数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。
根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。
2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。
在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。
一种常见的数值积分方法是复合梯形法。
它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。
最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。
复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。
除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。
根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。
3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。
数值微分与数值积分的计算方法
数值微分与数值积分的计算方法数值微分和数值积分是数学中一种非常重要的方法。
在实际生活和科学研究中，很多情况下，需要对函数进行微分或积分的计算。
然而，由于很多函数的解析式很难或者根本不能求出，因此需要采用一些数值方法来近似计算。
本文将讨论数值微分和数值积分的计算方法。
一、数值微分在数值计算中，常常会遇到需要求函数在某个点处的导数的问题。
这时候，我们就需要用到数值微分。
数值微分主要有三种方法：前向差分、后向差分和中心差分。
（一）前向差分前向差分是一种用来计算函数在某个点处导数的方法。
其基本思想是求函数在当前点和向前一点的斜率，即：$$f'(x_i)=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{h}$$其中，$h$表示步长。
（二）后向差分后向差分是一种用来计算函数在某个点处导数的方法。
其基本思想是求函数在当前点和向后一点的斜率，即：$$f'(x_i)=\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{h}$$（三）中心差分中心差分是一种用来计算函数在某个点处导数的方法。
其基本思想是求函数在当前点左右两个点的平均斜率，即：$$f'(x_i)=\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h}$$对于三种方法，其截断误差的阶分别为 $\mathcal{O}(h)$、$\mathcal{O}(h)$ 和 $\mathcal{O}(h^2)$。
二、数值积分数值积分是指用数值方法对某个函数在某一区间上的定积分进行近似计算的过程。
常见的数值积分方法有梯形法、辛普森法和龙贝格法。
下面将分别介绍这三种方法。
（一）梯形法梯形法是一种比较简单的数值积分方法。
其基本思想是将积分区间分成若干个小梯形，然后求出这些小梯形面积的和。
具体地，假设我们要对函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上进行积分，将该区间分成 $n$ 个小区间，步长为 $h=(b-a)/n$，则梯形法的计算公式为：$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)+f(b)\right]$$梯形法的截断误差的阶为 $\mathcal{O}(h^2)$。
数值积分和数值微分
F(x) 1 x2 2x2 3 3 x 2x2 3 9 ln( 2x x2 2x2 3)
4
16
16 2
(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数 关系由表格或图形表示。 对于这些情况, 要计算积分的准确值都是十分
困难的。由此可见, 通过原函数来计算积分有它的 局限性, 因而研究一种新的积分方法来解决 Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题, 这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。
研究其数值计算方法。这是本章介几绍何的意另义一个内容
—数值微分。
a
b
数能够找到用初等函数的 有限形式表示的原函数F(x)，例如：
1 sin xdx和 1 ex2 dx
0x
0
Newton-Leibnitz公式就无能为力了
(2) 还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，
但表达式太复杂，例如函数 f (x) x2 2x2 3
并不复杂，但积分后其表达式却很复杂，积分 后其原函数F(x)为：
数值计算方法
数值积分和数值微分
我们知道,若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原 函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式
b
a f (x)dx F (b) F (a)
求定积分的值 , Newton-Leibnitz公式 无论在理论上 还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不 能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的 实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中 经常遇到以下三种情况：
将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函 数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想， 用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)进行积分 是本章讨论数值积分的主要内容。
数值分析中的数值微分与数值积分
数值分析中的数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析领域中两个重要的概念。
它们在计算机科学、工程学和物理学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理以及一些常用的方法和技巧。
一、数值微分数值微分是通过数值方法来计算函数的导数。
导数是描述函数变化率的工具，它在物理学、经济学和生物学等领域中具有重要的作用。
1. 前向差分法（Forward Difference）前向差分法是一种简单而常用的计算导数的方法。
它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，h为步长，为了提高精度，需要选择足够小的步长。
2. 后向差分法（Backward Difference）后向差分法与前向差分法类似，不同之处在于它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h))/h同样地，步长h需要选择足够小。
3. 中心差分法（Central Difference）中心差分法是一种更加准确的数值微分方法，它利用函数在某一点上的前后两个点的值来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h))/(2h)中心差分法相对于前向差分法和后向差分法而言，具有更高的精度。
二、数值积分数值积分是通过数值方法来计算函数的积分。
积分在物理学、经济学和统计学等领域中起着重要的作用，它可以用来计算面积、体积以及概率等。
1. 矩形法（Rectangle Method）矩形法是一种简单的数值积分方法，它利用多个矩形来逼近曲线下的面积。
具体来说，将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间上选择一个点作为高度，从而构造出多个矩形。
最后，将各个矩形的面积相加，即可得到近似的积分值。
2. 梯形法（Trapezoidal Method）梯形法是一种更加准确的数值积分方法，它利用多个梯形来逼近曲线下的面积。
第四章 数值积分与数值微分
寻找一个足够精度的简单函数p(x)代替f(x) ，于是
有 a
b
f ( x)dx p( x)dx,把p(x)取成插值多项式，
a
b
则可得到插值型求积公式。
设给定节点 a x0 x1 x2 xn b
并已知这些节点上的函数值 f ( xk ) (k 0,1,, n)
当求积系数由 Ak
l ( x)dx
a k
b
所唯一确定时，所得的求积公式称为插值型求 积公式。 Remark：由截断误差可知，插值型求积公式 至少具有n次代数精度。
2018/11/17 17
二. Newton-cotes公式
h (b a) n 将[a，b]分为n等份， 取节点 xk a kh（k＝0,1,…,n）
a a a
m a0 Ak a1 Ak xk am Ak xk k 0 k 0 k 0
2018/11/17 5
n
n
n
求积公式的代数精确度（续）
b
a
dx Ak
n
b
a
xdx Ak xk
k 0 n
b
a
x dx Ak x
m k 0
k 0
3
2018/11/17 12
三.收敛性与稳定性
Ak f ( xk ) f ( x)dx (lim R[ f ] 0), 如果 lim a n h 0
b n
( xi xi 1 )，则称该求积公式是收敛的。 其中 h max 1 i n
k 0
n
如果求积公式对舍入误差不敏感（误差能够控 制），则称该求积公式是稳定的。
数值分析中的数值微分与数值积分
数值分析中的数值微分与数值积分数值分析是一门重要的数学分支，用于研究如何使用计算机来求解各种数学问题。
数值微分和数值积分是数值分析中的两个基本概念，它们在科学计算和工程应用中具有广泛的应用。
一、数值微分数值微分是通过数值方法来近似计算函数的导数。
在实际计算中，往往很难直接求得函数的导数表达式，这时候数值微分方法就派上用场了。
1. 前向差分公式前向差分公式是最简单的数值微分方法之一，它基于导数的定义，用函数值的差商来近似计算导数。
假设函数f(x)在点x0处可导，则其导数f'(x0)可以近似表示为：f'(x0) ≈ (f(x0 + h) - f(x0)) / h其中h是一个足够小的正数，通常称为步长。
通过取不同的步长h，可以得到不同精度的数值微分结果。
2. 中心差分公式中心差分公式是数值微分中较为常用的方法，它利用了函数值的前向和后向差商来近似计算导数。
假设函数f(x)在点x0处可导，则其导数f'(x0)可以近似表示为：f'(x0) ≈ (f(x0 + h) - f(x0 - h)) / (2h)与前向差分公式相比，中心差分公式的精度更高，但计算量稍大一些。
二、数值积分数值积分是通过数值方法来近似计算函数在某个区间上的定积分值。
定积分在数学、物理等领域中具有广泛的应用，尤其是对于无法用解析方法求解的积分问题，数值积分提供了可行的解决办法。
1. 矩形法则矩形法则是最简单的数值积分方法之一，它将函数在积分区间上分成若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和。
假设函数f(x)在区间[a, b]上积分，则其定积分值可以近似表示为：∫[a,b] f(x)dx ≈ (b - a) * f(x)其中x是[a, b]上的随机点。
2. 梯形法则梯形法则是数值积分中较常用的方法，它将函数在积分区间上分成若干个小梯形，然后计算这些小梯形的面积之和。
假设函数f(x)在区间[a, b]上积分，则其定积分值可以近似表示为：∫[a,b] f(x)dx ≈ (b - a) * (f(a) + f(b)) / 2梯形法则的精度要比矩形法则要高一些。
数值积分和数值微分
定理 对于n+1节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度。
§5.2 牛顿－柯特斯求积公式
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插 值
多一项、式公建式立推的导数：值求积公式
将积分区间[a, b]分割为n等份, 步长为h b a , n
从几何上看，就是计算曲 边梯形面积的近似值。
最简单的办法，是用直线、 抛物线等代替曲边，使得 面积容易计算。
用直线代替曲边
f(x)
f(a) a
a
f(a) a
b f(x)
(a+b)/2
b
f(x)
f(b)
b
左矩公式
b
a
f ( x)dx
f ab a
中矩公式
b f ( x)dx f a b b a
a1 dx b a =
b
x
dx
b2
a2
=
a
2
b
2
a
[1
1]
b a [a b] 2
b x2dx b3 a3
a
3
b
2
a
[a 2
b2 ]
因此梯形公式只对一次多项式精确成立。
➢代数精度
定义 如果某个求积公式对于次数不超过m的一切多
项式都准确成立,而对 某个m+1次多项式并不准确成 立，则称该求积公式的代数精度为m。
各节点为 xk a kh , k 0,1, , n ，
以此分点为节点,构造出的插值型求积公式。
根据插值型求积公式
b
f ( x)dx
a
数值分析第七章数值微分与数值积分
a
k 0 n
b
定理
2n 阶Newton-Cotes 公式至少具有 2n+1 次代数精度. 证明 只要验证, 当 f (x)=x2n+1时, 余项为0.
按余项公式, 由于 f (2n+1)(x)=(2n+1)!, 从而有
I (1) 1dx 2
1
1
I ( x ) x 2dx 2 3
2 1 1
1
1 ~ I (1) (5 8 5) 2 9 ~ 2 I ( x ) (5 0.6 2) 9 2 3.
I ( x ) x dx 2 5
4 4 1 1
~ 4 I ( x ) (5 0.36 2) 9 0.4 ~ 6 I ( x ) (5 0.63 2) 9 0.24
a a
b
b
b a
f ( x ) n ( x xk ) dx. ( n 1)! k 0
( n 1 )
13
当节点等距分布时：
ba xk a k h, h , k 0, 1, ... , n n
Ak
n
xn x0
(x xj) dx j k ( xk x j )
令 x ath
(t j ) h (b a )( 1)n k h dt 0 n k !( n k )! jk (k j ) h
注: Cotes 系数仅取决于 n 和 k，可查表得到. 与 f (x) 及区间[a, b]均无关.
( t j )dt 0 jk
第六章 数值积分与数值微分
第六章 数值积分与数值微分第一节 值积分的基本概念7.1.1求积公式与代数精确度积分中值定理告诉我们,如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则在积分区间],[b a 内存在一点ξ,使⎰-=baf a b dx x f )()()(ξ成立。
由于ξ的具体位置一般是未知的,因而难以准确地计算出)(ξf 。
如果能够提供一种求)(ξf 的算法,相应地便得到一种数值求积方法。
若)(ξf 近似地 用积分区间端点处的函数值)(a f 与)(b f 的算术平均值替,便导出计算积分的梯形公式⎰+-≈bab f a f ab dx x f )]()([2)((7.1.1) 若)(ξf 近似地用积分区间中点2b a +处的函数值)2(ba f +代替,导出计算积分的中矩形公式⎰+-≈b a ba f ab dx x f )2()()((7.1.2) 一般地,所谓数值求积方法是指，在积分区间［a,b ］上适当地选取某些节点i x ,然后用)(i x f 加权平均得到)(ξf ,这样构造出的求积公式为⎰∑=≈ba i ni i x f A dx x f )()(0(7.1.3)或写为⎰∑=+=ba ni i i f R x f A dx x f 0)()()((7.1.4)其中,i x 称为求积节点,权i A 称为求积系数,它仅仅与节点i x 有关,)(f R 称为余项。
为了保证数值求积公式的精度,我们自然希望求积公式能够对尽可能多的函数f(x)都准确成立,这在数学上常用代数精确度这一概念来说明。
定义 如果某个求积公式对于次数不超过m 的一切多项式都准确成立,而对 某个1+m 次多项式并不准确成立,则称该求积公式的代数精确度为m 。
显然,梯形公式(7.1.1)与中矩形公式(7.1.2)均具有一次代数精确度。
一般地，欲使求积公式(7.1.3)具有m 次代数精确度,只要令它对于m x x x x f ,,,,1)(2 =都准确成立即可,即要求m k a b k x A k k ni ki i ,,2,1,0),(11110 =-+=++=∑(7.1.5)(7.1.5)式由1+m 个方程组成，包含有1+n 个节点i x 以及1+n 个待定的求积系数i A 。
数值积分与数值微分
数值积分与数值微分数值积分和数值微分是数值计算中重要的概念和方法，它们在科学、工程和统计等领域有广泛的应用。
本文将介绍数值积分和数值微分的基本概念、原理和方法，并对其在实际问题中的应用进行讨论。
一、数值积分数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。
定积分是函数在给定区间内的面积，表示为∫f(x)dx。
在实际计算中，由于很多函数的原函数求解十分困难或不可求得，因此需要借助数值积分方法来进行求解。
1.1 矩形法矩形法是最基本的数值积分方法之一。
它将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取一点，然后用这些小区间上的函数值的平均值来近似积分值。
具体而言，对于等分为n个小区间的积分，矩形法可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx * (f(x0) + f(x1) + ... + f(xn-1))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。
矩形法的计算简单，但精度较低。
1.2 梯形法梯形法是另一种常用的数值积分方法，它通过用梯形面积来逼近积分值。
类似于矩形法，梯形法将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取两个点，然后用这些小区间上的梯形面积之和来逼近积分值。
具体而言，梯形法可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx/2 * (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(xn))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。
梯形法相对于矩形法有更高的精度，但计算复杂度也相应提高。
1.3 辛普森法则辛普森法则是一种更加精确的数值积分方法，它利用三次多项式来逼近积分值。
辛普森法则将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取三个点，然后通过构造一个三次多项式，利用多项式的积分近似面积来逼近积分值。
具体而言，辛普森法则可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx/3 * (f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + 2f(xn-2) +4f(xn-1) + f(xn))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。
数值计算06-数值积分与数值微分
用 inline 函数定义被积函数： >> f=inline('2/sqrt(pi)*exp(-x.^2)','x'); >> y=quad(f,0,1.5)
y= 0.9661
• 矩形区域上的二重积分的数值计算
I yM xM f (x, y)dxdy ym xm
格式： 矩形区域的双重积分： y=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM)
数值计算
第六章 数值积分与数值微分
1
§6.1 引 言
一、数值积分的必要性
讨论如下形式的一元函数积分
b
I ( f ) f (x)dx
a
在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分
b
I ( f ) a f (x)dx F (b) F (a)
要求被积函数 F x
☞ 有解析表达式；
☞ f x的原函数 F x 为初等函数．
k 0
称为求积公式 余项(误差).
构造或确定一个求积公式，要解决的问题包括:
(i) 确定求积系数 Ak 和求积节点 xk；
(ii) 确定衡量求积公式好坏的标准； (iii) 求积公式的误差估计和收敛性分析.
数值积分的基本问题
针对某类函数，选择合适的求积结点和求积系数，使得求积 公式(1) 具有尽可能小的截断误差或尽可能高的代数精度。
2
若f ( x)在区间[a,b]上有四阶连续导数。则Simpson
公式的截断误差
R2
(b a)5
2880
f (4)( ) (a,b)
(6.3.8)
且具有三次代数精度。
Simpson3/8公式：
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Gauss 型公式是收敛的
令 f ( x) = li2( x)
∫ ∑ b a
ρ
(
x= )li2( x) dx
n
= Ajli2 ( x j )
Ai
j=0
Ai > 0
Gauss 型公式是稳定的
11
Gauss 公式与正交多项式
利用正交多项式构造 Gauss 求积公式
积分区间: [-1, 1]，权函数： ρ(x) = 1
a
Ai f ( xi )
i=0
含 2n+2 个参数 (节点与系数)，为了使该公式具有 尽可能高的代数精度，可将 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入公式，使其精确成立，则可构造出代数精度至 少为 2n+1 的求积公式!
自由选取求积节点！等分点不一定最佳！
3
举例
例：试确定节点 xi 和系数 Ai ，使得下面的求积公式具有尽
设 p2n+1(x) 是 f(x) 在节点 x0, x1, …, xn 上的 2n+1 次 Hermite
插值多项式, 即 p2n+1( xi ) = f ( xi ), p2'n+1 ( xi ) = f '( xi )
= f (x)
p2n+1( x) +
f (2n+2) (2n +
(ξx ) 2)!
n
（将 ∏ f ( x) = ( x − xi )2 代入验证即可） i=0
Gauss 求积公式在所有机械求积公式中代数精度最高
5
Gauss 点
问题：如何计算 Gauss 点 xi 和 高斯系数 Ai
法一：解非线性方程组 法二：分开计算
太困难!
先确定 Gauss 点 再通过解线性方程组计算 Gauss 系数
可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。
1
∫−1 f ( x) dx ≈ A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
解：将 f (x)＝1, x, x2, x3 代入求积公式，使其精确成立，可得
A0 + A1 = 2
A0
x0
+
A1 x1
= 0
A0
x02
+
A1 x12
= 2 / 3
ω2 n+1
(
x
)
dx
∫ R[ f ] = f (2n+2) (η )
(2n + 2)!
b a
ρ(
x)ωn2+1( x)
dx
η ∈ (a, b)
10
收敛性与稳定性
可以证明：当 a, b 为有限数，且 f (x) ∈C[a, b] 时
∑ ∫ n
b
lim
n→∞
i=0
Ai
f
( xi )
=
ρ ( x) f ( x) dx
b
∫a ρ ( x) p( x)ωn+1( x) dx = 0
证明: 板书
推论：设 p0(x), p1(x), …, pn(x) , … 是 [a, b] 上带权 ρ(x) 正交的
多项式族，则 Gauss 点即为 pn+1(x) 的零点！
7
计算 Gauss 点的一般方法
求出 ωn+1(x) 的表达式 计算其零点
6
Gauss 点
∫ ∑ b
n
ρ ( x) f ( x)dx ≈
a
Ai f ( xi )
i=0
定理：上面的插值型求积公式中的节点 xi (i = 0, 1, … , n) 是
n
Gauss点的充要条件是：多项式 ωn+= 1( x) ∏ ( x − xi ) 与任意次 i=0
数不超过 n 的多项式 p(x) 都关于权函数 ρ(x) 正交，即
A0 x03 + A1x13 = 0
= A0 1= , A1 1
x0
= − 33 , x1
= 3 3
∫1
−1 f ( x)dx ≈ f −
3 3
+
f
3 3
该公式对 f (x)＝x4 不精确成立，故有 3 次代数精度！
缺点：非线性方程组求解较困难！ 4
Gauss 型求积公式
一般情形：考虑机械带权求积公式
8
Gauss 系数的计算
将 f (x) = 1, x, x2, …, xn 代入，解方程 或利用 Lagrange 基函数
例：试确定节点 xi 和系数 Ai ，使得下面的求积公式具有尽
可能高的代数精度。
1
∫0 x f ( x) dx ≈ A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
9
余项公式
与 1, x, x2, ..., xn 带权正交
特殊情形：
(1) [a, b]=[-1, 1], ρ(x)=1，
则 Gauss 点即为 Legendre 多项式的零点
( )−1
(2) [a, b]=[-1, 1], ρ (= x) 1 − x2
则 Gauss 点即为 Chebyshev 多项式的零点
Gauss-Legendre 求积公式
积分区间: [-1, 1]，权函数： ρ ( x) =
1 1− x2
Gauss-Chebyshev 求积公式
12
Gauss-Legendre 求积公式
积分区间: [-1, 1]， 权函数: ρ(x) = 1
Gauss 点 = Legendre 多项式 pn+1(x) 的零点
∫ ∑ b
Байду номын сангаас
n
ρ ( x) f ( x) dx ≈
a
Ai f ( xi )
i=0
定义：若存节点在 xi ∈[a, b] 及系数 Ai ，使得上面的求积
公式具有 2n+1 次代数精度，则称节点 xi 为高斯点，Ai 为 高斯系数，求积公式为 高斯型求积公式
性质：上面的求积公式至多具有 2n+1 次代数精度
G-L 求积公式:
∫ ∑ 1
n
f ( x) dx ≈
−1
Ai f ( xi )
i=0
13
低阶 G-L 公式
n =0 时, Pn+1( x) = x
Gauss 点: x0 = 0
G-L 求积公式:
将 f (x)＝1 代入求出 A0
1
∫ f ( x) dx ≈ 2 f (0) −1
第四章
数值积分与数值微分 — Gauss 求积公式
1
本讲内容
Gauss 求积公式
一般理论：公式，余项，收敛性，稳定性 Gauss-Legendre 求积公式 Gauss-Chebyshev 求积公式 无限区间的 Gauss 求积公式
2
怎样构造更高精度的求积方法
考虑求积公式
∫ ∑ b
n
f ( x)dx ≈
ω2 n+1
(
x
)
∫ ∫ ∫ b
= ρ( x) f ( x) dx a
b
a ρ ( x) p2n+1( x) dx +
b a
f (2n+2) (2n +
(ξx ) 2)!
ρ
(
x
)ωn2+1
(
x
)
dx
∑ ∫ =
n
Ai p2n+1( xi )
i=0
+
b
ρ(x)
a
f (2n+2) (2n +
(ξ x )
2)!