全国高中数学联赛试题专题分类汇编集合

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编1、集合部分2019A 2、若实数集合{}1,2,3,x 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为 ．◆答案：32-★解析：假如0x ≥，则最大、最小元素之差不超过{}max 3,x ，而所有元素之和大于{}max 3,x ，不符合条件．故0x <，即x 为最小元素．于是36x x -=+，解得32x =-。

2019B1. 若实数集合{}1,2,3,x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x 的值为 ． ◆答案：3-★解析：条件等价于1,2,3,x 中除最大数以外的另三个数之和为0 ．显然0<，从而120x ++=，得3x =-．2018A1、设集合{}99,,3,2,1Λ=A ，集合{}A x x B ∈=|2，集合{}A x x C ∈=2|，则集合C B I 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，{}48,,6,4,2ΛI =C B ，故C B I 的元素个数为24。

2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A Y 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A Y ，元素之和为31.2018B 三、（本题满分50分）设集合{}n A ,,2,1Λ=，Y X ,均为A 的非空子集（允许Y X =）．X 中的最大元与Y 中的最小元分别记为Y X min ,max ．求满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目。

★解析:先计算满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目.对给定的X m max =，集合X 是集合{}1,,2,1-m Λ的任意一个子集与{}m 的并，故共有12-m 种取法.又Y m min ≤，故Y 是{}n m m m ,,2,1,Λ++的任意一个非空子集，共有121--+mn 种取法. 因此，满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目是：()[]()12122122111111+⋅-=-=-∑∑∑=-==-+-n nm m n m nnm mn m n由于有序集合对),(Y X 有()()()2121212-=--n n n 个，于是满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目是()()124122122+-=-+⋅--n n n n n n n2017B 二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集+N 分拆为k 个互不相交的子集k A A A ,,,21Λ，每个子集i A 中均不存在4个数d c b a ,,,（可以相同），满足m cd ab =-．★证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+L 设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡•-•=+，故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m -=2017B 四、（本题满分50分）。

设{}5,4,3,2,1,,,2021∈a a a Λ，{}10,,3,2,1,,,2021ΛΛ∈b b b ，集合{}0))((,201|),(<--≤<≤=j i j i b b a a j i j i X ，求X 的元素个数的最大值。

★解析：考虑一组满足条件的正整数12201220(,,,,,,,)a a a b b b L L对1,2,,5k =L ，设120,,a a L 中取值为k 的数有k t 个，根据X 的定义，当i j a a =时，(,)i j X ∉，因此至少有521kt k C =∑个(,)i j 不在X 中，注意到5120k k t ==∑，则柯西不等式，我们有5555522211111111120()(())20(1)3022525kt k k k k k k k k k C t t t t ======•-≥•-=••-=∑∑∑∑∑ 从而X 的元素个数不超过2203019030160C -=-=另一方面，取4342414k k k k a a a a k ---====（1,2,,5k =L ），6i i b a =-（1,2,,20i =L ）， 则对任意,i j （120i j ≤<≤），有2()()()((6)(6))()0i j i j i j i j i j a a b b a a a a a a --=----=--≤等号成立当且仅当i j a a =，这恰好发生24530C =次，此时X 的元素个数达到22030160C -=综上所述，X 的元素个数的最大值为160.2016B 四、（本题满分50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}v u A v u uv B ≠∈=,,|求B 的元素个数的最小值．★解析：记{}1121,,,a a a A Λ=，不妨设1121a a a <<<Λ ①若0≥i a ()111≤≤i 恒成立；由于1110113112423221a a a a a a a a a a a a <<<<<<<ΛΛ，这里显然可以发现有18个数在B 中，即18≥B②若1111210a a a a a a k k k <<<≤<<<<++ΛΛ，其中5≤k 时，由于1111121121111121a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k >>>>>>>>--++ΛΛ有10个非负数；又11101141131124232a a a a a a a a a a a a k k k k k k k <<<<<<<+++++++ΛΛ有k 217-个正数， 故此时，1722721710≥-=-+≥k k B ，当5=k 时，17min =B ，如{}4322,2,2,2,1,0±±±±±=A ，{}87654322,2,2,2,2,2,2,2,1,0-±±±±±±±-=B 满足； ③若1111210a a a a a a k k k <<<≤<<<<++ΛΛ，其中6≥k 时，由于1111121121111121a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k >>>>>>>>--++ΛΛ有10个非负数；又0621<<<<a a a Λ，则1213141525354565a a a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<<有8个正数，故此时，18810=+≥B④若0<i a ()111≤≤i 恒成立；同①显然可以发现有18个数在B 中，即18≥B ； 综上。

B 的元素个数的最小值为17.2015AB10、（本题满分20分）设4321,,,a a a a 是4个有理数，使得{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441|j i aa ji ，求4321a a a a +++的值。

★解析：由条件可知，(14)i j a a i j ≤<≤是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，4321,,,a a a a 的绝对值互不相等，不妨设||||||||4321a a a a <<<，则||||(14)i j a a i j ≤<≤中最小的与次小的两个数分别是12||||a a 及13||||a a ，最大与次大的两个数分别是34||||a a 及24||||a a ，从而必须有121324341,81,3,24,a a a a a a a a ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=-⎪⎩ 10 分于是2341112113,,248a a a a a a a =-===-． 故2231412113{,}{,24}{2,}82a a a a a a =--=--，15分结合1a Q ∈，只可能114a =±．由此易知，123411,,4,642a a a a ==-==-或者123411,,4,642a a a a =-==-=．检验知这两组解均满足问题的条件． 故123494a a a a +++=±． 20 分2015A 二、（本题满分40分）设{}n A A A S ,,,21Λ=，其中n A A A ,,,21Λ是n 个互不相同的有限集合（2≥n ），满足对任意的S A A j i ∈,,均有S A A j i =Y ，若2min 1≥=≤≤i ni A k .证明：存在Y ni i A x 1=∈，使得x 属于n A A A ,,,21Λ中至少kn个集合（这里X 表示有限集合X 的元素个数）。

★证明：不妨设1||A k =．设在12,,,n A A A L 中与1A 不相交的集合有s 个，重新记为12,,,s B B B L ，设包含1A 的集合有t 个，重新记为12,,,t C C C L ．由已知条件，1()i B A S ∈U ，即112(){,,,}i t B A C C C ∈U L ，这样我们得到一个映射 12121:{,,,}{,,,},()s t i i f B B B C C C f B B A →=L L U ． 显然f 是单映射，于是，s t ≤． 10 分设112{,,,}k A a a a =L ．在n A A A ,,,21⋅⋅⋅中除去12,,,s B B B L ，12,,,t C C C L 后，在剩下的n s t --个集合中，设包含i a 的集合有i x 个（1i k ≤≤），由于剩下的n s t --个集合中每个集合与从的交非空，即包含某个i a ，从而 12k x x x n s t +++≥--L ． 20 分不妨设11max i i k x x ≤≤=，则由上式知i n s tx k --≥，即在剩下的n s t --个集合中，包含1a 的集合至少有n s tk--个．又由于),,2,1(1t i C A i ⋅⋅⋅=⊆，故12,,,t C C C L 都包含1a ，因此包含1a的集合个数至少为(1)n s t n s k t n s tt k k k---+---+=≥（利用2k ≥） nk≥（利用s t ≤)． 40 分2015B 6、设k 为实数，在平面直角坐标系中有两个点集{})(2),(22y x y x y x A +=+=和{}03),(≥++-=k y kx y x B ，若B A I 是单元集，则k 的值为◆答案： 2--★解析：点集A 是圆周22:(1)(1)2x y Γ-+-=，点集B 是恒过点)3,1(-P 的直线:3(1)l y k x -=+及下方（包括边界）．作出这两个点集知，当A 自B 是单元集时，直线l 是过点P 的圆Γ的一条切线．故圆Γ的圆心 M (1, l ）到直线l ，=2k =-2014A 2、设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤+21|3b a b a 中最大元素与最小元素分别为N M ,，则N M -的值为 ◆答案： 325-★解析：由21≤≤≤b a 知，52133=+≤+b a ，当1=a ，2=b 时，得最大元素5=M ，又3233≥+≥+a ab a ，当3==b a 时，得最小元素32=m 。