全国高中数学联赛试题专题分类汇编集合

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编

1、集合部分

2019A 2、若实数集合{}1,2,3,x 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之

和，则x 的值为 ．

◆答案：3

2

-

★解析：假如0x ≥，则最大、最小元素之差不超过{}max 3,x ，而所有元素之和大于

{}max 3,x ，不符合条件．故0x <，即x 为最小元素．于是36x x -=+，解得3

2

x =-。

2019B1. 若实数集合{}1,2,3,x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x 的值

为 ． ◆答案：3-

★解析：条件等价于1,2,3,x 中除最大数以外的另三个数之和为0 ．显然0<，从而

120x ++=，得3x =-．

2018A1、设集合{

}99,,3,2,1Λ=A ，集合{}A x x B ∈=|2，集合{}A x x C ∈=2|，则集合C B I 的元素个数为

◆答案：24

★解析：由条件知，{}48,,6,4,2ΛI =C B ，故C B I 的元素个数为24。

2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A Y 的所有元素之和是 ◆答案： 31

★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A Y ，元素之和为31.

2018B 三、（本题满分50分）设集合{}n A ,,2,1Λ=，Y X ,均为A 的非空子集（允许Y X =）

．X 中的最大元与Y 中的最小元分别记为Y X min ,max ．求满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目。

★解析:先计算满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目.对给定的X m max =，集合

X 是集合{

}1,,2,1-m Λ的任意一个子集与{}m 的并，故共有1

2-m 种取法.又Y m min ≤，故Y 是{}n m m m ,,2,1,Λ++的任意一个非空子集，共有121--+m

n 种取法. 因此，满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目是：

()[]

()1212212

21

11

1

11

+⋅-=-=-∑∑∑=-==-+-n n

m m n m n

n

m m

n m n

由于有序集合对),(Y X 有()()()

2

121212-=--n n n 个，于是满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目是()

()124122122

+-=-+⋅--n n n n n n n

2017B 二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集+

N 分拆为k 个互不相交的子集k A A A ,,,21Λ，每个子集i A 中均不存在4个数d c b a ,,,（可以相同），满足m cd ab =-．

★证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+L 设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡•-•=+，

故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m -=

2017B 四、（本题满分50分）。设{}5,4,3,2,1,,,2021∈a a a Λ，{}10,,3,2,1,,,2021ΛΛ∈b b b ，集合{}

0))((,201|),(<--≤<≤=j i j i b b a a j i j i X ，求X 的元素个数的最大值。 ★解析：考虑一组满足条件的正整数12201220(,,,,,,,)a a a b b b L L

对1,2,,5k =L ，设120,,a a L 中取值为k 的数有k t 个，根据X 的定义，当i j a a =时，

(,)i j X ∉，因此至少有5

2

1

k

t k C =∑个(,)i j 不在X 中，注意到5

1

20k k t ==∑，则柯西不等式，我们

有5

5555

222

11111

111120()(())20(

1)3022525k

t k k k k k k k k k C t t t t ======•-≥•-=••-=∑∑∑∑∑ 从而X 的元素个数不超过2

203019030160C -=-=

另一方面，取4342414k k k k a a a a k ---====（1,2,,5k =L ），6i i b a =-（1,2,,20i =L ）， 则对任意,i j （120i j ≤<≤），有

2()()()((6)(6))()0i j i j i j i j i j a a b b a a a a a a --=----=--≤

等号成立当且仅当i j a a =，这恰好发生24530C =次，此时X 的元素个数达到22030160C -=

综上所述，X 的元素个数的最大值为160.

2016B 四、（本题满分50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}v u A v u uv B ≠∈=,,|求B 的元素个数的最小值．

★解析：记{}1121,,,a a a A Λ=，不妨设1121a a a <<<Λ ①若0≥i a ()111≤≤i 恒成立；由于1110113112423221a a a a a a a a a a a a <<<<<<<ΛΛ，

这里显然可以发现有18个数在B 中，即18≥B

②若1111210a a a a a a k k k <<<≤<<<<++ΛΛ，其中5≤k 时，由于

1111121121111121a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k >>>>>>>>--++ΛΛ有10个非负数；

又11101141131124232a a a a a a a a a a a a k k k k k k k <<<<<<<+++++++ΛΛ有k 217-个正数， 故此时，1722721710≥-=-+≥k k B ，当5=k 时，17min =B ，如

{}4322,2,2,2,1,0±±±±±=A ，{}

87654322,2,2,2,2,2,2,2,1,0-±±±±±±±-=B 满足； ③若1111210a a a a a a k k k <<<≤<<<<++ΛΛ，其中6≥k 时，由于

1111121121111121a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k >>>>>>>>--++ΛΛ有10个非负数；

又0621<<<

故此时，18810=+≥B

④若0