第3章 线性系统的可控性与可观测性
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注意: (1).(2-6) 是无穷矩阵。如不注意到这一点容 易出错; (2). t 是[t1，t2] 中的任一固定点（包括端 点）！
例2-3：令
F(t )
sin1000t sin 2000t
F(t)
F(1)
(t)
sin1000t sin 2000t
103 cos1000t
2
103
cos
2000t
定理2-1 f1, f2 , …, fn在[t1，t2]上线性无关的充分必要条 件是W(t1，t2)非奇异。 证明：充分性：反证法。
事实上，若 fi 线性相关，则存在非零 1×n行向 量，使得
αF(t) 0 t [t1,t2]
因此有
t2
W(t1,t2 ) F(t)F *(t)dt 0 t1
A(t)为n n, B(t)为n p, C(t)为q n, D(t)为q p阵。
注1：一个函数 f 称为在 [t0, ) 上分段连续， 系指对任意给定的闭区间 [t1, t2] [t0, ) , 其不 连续点的个数有限。
注2：也存在其它类型的控制信号， 但容许控 制是工程中最容易实现，因而也是应用最为广 泛的一类控制信号。
容易看出，当 t 0, ,
1000 <2。
时，rnak[F(t) F(1)(t)]
但却有如下结论：
定理：设 fi (i=1,2,n) 在[t1，t2]上解析，则 fi 在
[t1，t2]上线性无关的充分必要条件是在[t1，t2]上几 乎处处有
rank[F(t) F(1) (t) F(Байду номын сангаас1) (t)] n 证明：略。
维复值向量函数，F是由 fi 构成的n×p矩阵。则 称
t2
例2-3：令
F(t )
sin1000t sin 2000t
F(t)
F(1)
(t)
sin1000t sin 2000t
103 cos1000t
2
103
cos
2000t
定理2-1 f1, f2 , …, fn在[t1，t2]上线性无关的充分必要条 件是W(t1，t2)非奇异。 证明：充分性：反证法。
事实上，若 fi 线性相关，则存在非零 1×n行向 量，使得
αF(t) 0 t [t1,t2]
因此有
t2
W(t1,t2 ) F(t)F *(t)dt 0 t1
A(t)为n n, B(t)为n p, C(t)为q n, D(t)为q p阵。
注1：一个函数 f 称为在 [t0, ) 上分段连续， 系指对任意给定的闭区间 [t1, t2] [t0, ) , 其不 连续点的个数有限。
注2：也存在其它类型的控制信号， 但容许控 制是工程中最容易实现，因而也是应用最为广 泛的一类控制信号。
容易看出，当 t 0, ,
1000 <2。
时，rnak[F(t) F(1)(t)]
但却有如下结论：
定理：设 fi (i=1,2,n) 在[t1，t2]上解析，则 fi 在
[t1，t2]上线性无关的充分必要条件是在[t1，t2]上几 乎处处有
rank[F(t) F(1) (t) F(Байду номын сангаас1) (t)] n 证明：略。
维复值向量函数，F是由 fi 构成的n×p矩阵。则 称
t2
第3章_线性系统的能控性和能观测性
段连续的输入U(t)，能在[t0，tf]有限时间区间内使得 系统的某一初始状态X(t0)转移到指定的任一终端状态 X(tf)，则此状态是能控的。
若系统的所有状态都是能控制的，则称此系统是状 态完全能控的，或简称系统是能控的。
“任意”的要求意味着U(t) 应可以独立地影响状态向量的 每一分量。
能控性反映了控制输入对状态的制约能力。
此电路是状态不能控和状 态不能观测的。
[例3.2] 如图所示的电路。
此电路是状态不能控和状 y 态完全能观测的。
(1)对于状态空间表达式：
（教材例）
x1
x
2
1 0
0
2
x1 x2
02u
y 1
0
x1 x2
分析：将动态方程矩阵写
成方程组形式：
x x
1 2
x1 2x2
2u
y x1
i0
(3.24)
X (0 ) n 1A iB tf 0
i()u ()d
i 0
(3 .2 5 )
X (0)n 1A iB0 tfi( )u()d
(3.25)记
tf 0
i()u()dUi
i0
U0
n1
X(0) AiBUi B
i0
AB
An1BU 1
Un1
(3.26)
由此分析，将状态完全可控性的条件阐述为：当且仅 当向量组 BA , 是B ,线An性1B无关的，或n×n维矩阵
能控性判据说明 设线性系统为： X 06 15X12u
方法1： M cBA B 1 2 4 2 ran c1 k2 M
系统不能控
方法2：其对角标准型 X ˆ 02 03X ˆ 10u
若系统的所有状态都是能控制的，则称此系统是状 态完全能控的，或简称系统是能控的。
“任意”的要求意味着U(t) 应可以独立地影响状态向量的 每一分量。
能控性反映了控制输入对状态的制约能力。
此电路是状态不能控和状 态不能观测的。
[例3.2] 如图所示的电路。
此电路是状态不能控和状 y 态完全能观测的。
(1)对于状态空间表达式：
（教材例）
x1
x
2
1 0
0
2
x1 x2
02u
y 1
0
x1 x2
分析：将动态方程矩阵写
成方程组形式：
x x
1 2
x1 2x2
2u
y x1
i0
(3.24)
X (0 ) n 1A iB tf 0
i()u ()d
i 0
(3 .2 5 )
X (0)n 1A iB0 tfi( )u()d
(3.25)记
tf 0
i()u()dUi
i0
U0
n1
X(0) AiBUi B
i0
AB
An1BU 1
Un1
(3.26)
由此分析，将状态完全可控性的条件阐述为：当且仅 当向量组 BA , 是B ,线An性1B无关的，或n×n维矩阵
能控性判据说明 设线性系统为： X 06 15X12u
方法1： M cBA B 1 2 4 2 ran c1 k2 M
系统不能控
方法2：其对角标准型 X ˆ 02 03X ˆ 10u
现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性
A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题
现代控制理论 3-3 线性系统的可观性 3-4 可控可观标准型
返回
说说 明明
⎧x&(t) = Ax(t) ⎩⎨y(t) = Cx(t)
e 当输出个数与状态个数相等，且C 阵可逆时，
状态观测值可以立刻获得：x(t) = Cn×n−1y(t)
a 当输出个数少于状态个数时，状态观测值需要一定
c的时间来确定，即：
y(t0 ) = Cx(t0 )
y y(t1) = Cx(t1) = CeA(t1−t0 )x(t0 )
tc M
x(t ) = eA(t−t0 )x(t0 )
y(t) ⇒ x(t0 ) ⇒ x(t)
——由输出测量值求状 态初值，再由状态初值 求状态任意时刻的值。
定义
3
二、线性定常连续系统的可观测性判据
e 格拉姆矩阵判据
ca 线性定常连续系统完全可观 ⇔ 存在 t1 > 0
tcy ∫ 使格拉姆矩阵
注 意 对角阵含有相同元素时，要求更高！
e ⎡λ1
⎤
⎢
a ⎢
λ1
⎥ ⎥
⎢⎣
λ2 ⎥⎦
A 的两重特征值有两个 独立的特征向量
c¾¾CC矩矩阵阵的的列列线线性性无无关关 tcy or:秩判据
⎡C⎤
⎢ rank ⎢
CA
⎥ ⎥=n
⎢M⎥
⎢ ⎣CA
n−1
⎥ ⎦
返回
8
例：判别下列对角规范型线性定常系统的可观性。
CA M
⎥
⎥ ⎥
=
dim
A
=
n
tc ⎢⎣CA
n−1
⎥ ⎦
nq×n阶可观测性矩阵
返回
4
例：判别下列系统的可观性。
⎡0 1 0⎤
e x&
现代控制理论 工程硕士 第三章 线性系统的能控性与能观性
如果存在着无约束的阶梯输入序列
ui ( k ), ui ( k + 1),, ui ( k + m 1) ( i = 1,2,, p )
在有限的m个采样周期之内, 在有限的m个采样周期之内,能使系统的状态向 量从任意给定的初态x(k) x(k), 量从任意给定的初态x(k),转移到任意期望的终 (k+m), 态xf(k+m),则称该离散系统是状态完全能控的 简称系统能控. ,简称系统能控.
定理
n阶线性定常离散系统 x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu( k )
状态完全能控的充要条件为, 状态完全能控的充要条件为,系统的能控性矩阵
Qk = [ B
的秩为n 的秩为n
AB
A 2 B A n 1 B ]
例:设单变量线性定常离散系统的状态方程为 1 2 1 0 x( k + 1) = 0 1 0 x( k ) + 0 u( k ) 1 4 3 1 试判断系统的能控性. 试判断系统的能控性. 解
输出y只能反映状态变量 x2 ,所以
x1不能观测.
例2:取 iL 和uc 作为状态变量,u—输入, y= uc --输出. L (1)当 R1 R4 ≠ R2 R3 + u -
iL
R1
R2
R3
uc
R4
状态能控,能观测 (2)当 R1 R4 = R2 R3 uc ≡ 0 u只能控制 iL , 不能控,不能观测.
λ3 λ3 λ3
0 1 0 B = 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
能控
4. 线性变换后系统的能控性不变 设
x = Ax + Bu
ui ( k ), ui ( k + 1),, ui ( k + m 1) ( i = 1,2,, p )
在有限的m个采样周期之内, 在有限的m个采样周期之内,能使系统的状态向 量从任意给定的初态x(k) x(k), 量从任意给定的初态x(k),转移到任意期望的终 (k+m), 态xf(k+m),则称该离散系统是状态完全能控的 简称系统能控. ,简称系统能控.
定理
n阶线性定常离散系统 x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu( k )
状态完全能控的充要条件为, 状态完全能控的充要条件为,系统的能控性矩阵
Qk = [ B
的秩为n 的秩为n
AB
A 2 B A n 1 B ]
例:设单变量线性定常离散系统的状态方程为 1 2 1 0 x( k + 1) = 0 1 0 x( k ) + 0 u( k ) 1 4 3 1 试判断系统的能控性. 试判断系统的能控性. 解
输出y只能反映状态变量 x2 ,所以
x1不能观测.
例2:取 iL 和uc 作为状态变量,u—输入, y= uc --输出. L (1)当 R1 R4 ≠ R2 R3 + u -
iL
R1
R2
R3
uc
R4
状态能控,能观测 (2)当 R1 R4 = R2 R3 uc ≡ 0 u只能控制 iL , 不能控,不能观测.
λ3 λ3 λ3
0 1 0 B = 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
能控
4. 线性变换后系统的能控性不变 设
x = Ax + Bu
第3章 能控性和能观性
注：证明要用到结构的可控性分解的结果
PBH特征向量判据
线性定常系统完全可控的充分必要条件是不存在A 的非零左特征向量 T与B的所有列正交，即
T T T A , B0 i
证明：采用反证法。反设存在向量 0
A , B0 i
T T T T T B 0, T AB B 0, i
3.2 线性定常系统的可控性判据
由定义，可控性仅与状态方程式有关，与输出方 程式无关。 由 x(T ) 0 有
x0 e
t0
T
A
Bu ( )d
由此有 x0 可控的充分必要条件是存在满足上式的
容许控制：
u ( )
t0 T
说明：根据上述条件进行可控性判定难于操作。 引理1 点 x n 可控的充分必要条件是 0
那么对于任意的非零初始状态 x0 可构造控制律
u(t ) B e
T AT t
W (0, t1 ) x0 , 0 t t1
1
在该控制作用下系统在t时刻的状态为
x(t1 ) e x0 e
At1 0
t1
A t1 t t1
Bu (t )dt BB e
1 T AT t
说明：
1. 定义中没有对状态转移的轨迹和具体的时间 长度加以限制和规定，因此它仅是系统运动的一 定性特性； 2. 定义中的容许控制是指满足使系统解唯一存 在的所有控制的集合，对线性定常系统来说，是 要求其每个分量平方可积。 3. 对于时变系统，可控性与初始时间 t0 有关， 而对于线性定常系统，则可控性与初始时间 t0 无 关 4. 对于连续线性定常系统，可控性和可达性等 价，而对于时变及离散系统两者不等价。
现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性
1 x1 u x 2 2 x2 u x y x x 1 2
1 x
u
1 s 1 s
2
x1
y
x2
2 x
由于状态变量x1、x2都受控于输入u，所以系统 是能控的；输出y能反映状态变量x1，又能反映状 态变量x2的变化，所以系统是可观测的。 即状态变量x1能控、可观测；状态变量x2能控、 可观测。
任意初态 x(t0 ) x 零终态 x(t f ) 0
状态完全能控
Байду номын сангаас
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点， 即 x(t 0 ) 0，终端状态规定为任意非零有限点， 则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu ，如果 x
存在一个分段连续的输入 u (t )，能在 [t 0 , t f ] 有限时间间隔内，将系统由零初始状态 x(t 0 ) 转移 到任一指定的非零终端状态 x(t f ) ，则称此系统 是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。 任意初态 x(t0 ) 0 零终态 x(t f ) x 状态完全可达
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
1. 直接由A，B矩阵的结构判断系统的能控性 定理： 系统
( A, B )
即
A(t )x B(t )u x y C (t )x D(t )u
状态完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵
Qk [ B AB A2 B An1 B]
一、线性定常连续系统状态能控性的定义 定义3.1（状态能控性定义）：
Ax Bu，如果存在一个 对于线性定常系统 x 分段连续的输入u(t)，能在有限时间间隔[t0,tf]内， 使得系统从某一初始状态x(t0)转移到指定的任一 终端状态x(tf) ，则称此状态是能控的。若系统的 所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能 控的，简称系统是能控的。
线性系统的可控性与可观测性
第3章 线性系统的可控性和可观测性
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第三章 线性系统的可控性与可观测性
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运
动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如
可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。
在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容
是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、
可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被
证明这是系统的两个基本结构属性。
本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学
定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性
的各种准则，这的。
整理版
1
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义 3.2 线性定常连续系统的可控性判据（※） 3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（※） 3.4 对偶原理
如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可
由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，否则就
称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
整理版
3
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
例3-1：给定系统的状态空间描述为
xx1204 05xx1212u
y 0
6
x1 x2
图3-1 系统结构图
如果对取定初始时刻 t0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1Tt,t1t0 和一个无约 束的容许控制u(t)，t [t0,t1]，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
整理版
5
第3章 线性系统的可控性和可观测性
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第三章 线性系统的可控性与可观测性
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运
动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如
可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。
在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容
是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、
可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被
证明这是系统的两个基本结构属性。
本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学
定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性
的各种准则，这的。
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1
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义 3.2 线性定常连续系统的可控性判据（※） 3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（※） 3.4 对偶原理
如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可
由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，否则就
称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
例3-1：给定系统的状态空间描述为
xx1204 05xx1212u
y 0
6
x1 x2
图3-1 系统结构图
如果对取定初始时刻 t0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1Tt,t1t0 和一个无约 束的容许控制u(t)，t [t0,t1]，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
整理版
5
第3章 线性系统的可控性和可观测性
线性系统的可控性和可观测性
线性系统的可控性和可观测性可控性和可观测性的概念第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。
在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。
现代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。
这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。
如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。
相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。
可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。
可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。
下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。
（a ） (b) (c)图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别对图8-20所示的结构图，其中图（a ）显见1x 受u 的控制，但2x 与u 无关，故系统不可控。
系统输出量y =1x ，但1x 是受2x 影响的，y 能间接获得2x 的信息，故系统是可观测的。
图（b ）中的1x 、,2x 均受u 的控制，故系统可控，但y 与2x 无关，故系统不可观测。
图（c ）中的1x 、2x 均受u 的控制，且在y 中均能观测到1x 、2x ，故系统是可控可观测的。
第三章线性系统的能控性与能观性2
试判断该系统的能控性．
Hale Waihona Puke .解：Sc [b Ab]
Sc b Ab b1 b2
1b1 b1b2 (2 1 ) 2b2
0
如果rank Sc =2, 则必须要求 b1 0, b2
4. 定理3：设 x Ax Bu ， 若Ａ为约当标准形，且每个约当块所 对应的特征值均不相同，则状态完全能控 的充要条件是：
且
ri1 ri 2 rii i
由 Bik (k 1,2,, i ) 的最后一行组 成的矩阵：
bri1 r bri 2 对i 1, 2, , l均为行线性无关 Bi bri i 则系统能控
例：设 x Ax Bu ，已知
第三章 线性系统的能控性和能观性
3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性定常连续系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性定常系统结构分解 3.9 传递函数矩阵的实现 3.10传递函数中零极点对消与状态能控性、能观性之间 的关系
定理2：若
x Ax Bu
若Ａ为对角型，且对角线上的元素均不相同， 则状态完全能控的充要条件为： Ｂ中没有任意一行的元素全为零．
x1 1 x1 b11u1b12u2 b1 pu p
x2 2 x2 b21u1b22u2 b2 pu p
例：线性系统的状态方程为 x Ax bu 其中： 1 0 b1 A b 0 2 b2
Ci C1i1 C1i2 C1ii
Hale Waihona Puke .解：Sc [b Ab]
Sc b Ab b1 b2
1b1 b1b2 (2 1 ) 2b2
0
如果rank Sc =2, 则必须要求 b1 0, b2
4. 定理3：设 x Ax Bu ， 若Ａ为约当标准形，且每个约当块所 对应的特征值均不相同，则状态完全能控 的充要条件是：
且
ri1 ri 2 rii i
由 Bik (k 1,2,, i ) 的最后一行组 成的矩阵：
bri1 r bri 2 对i 1, 2, , l均为行线性无关 Bi bri i 则系统能控
例：设 x Ax Bu ，已知
第三章 线性系统的能控性和能观性
3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性定常连续系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性定常系统结构分解 3.9 传递函数矩阵的实现 3.10传递函数中零极点对消与状态能控性、能观性之间 的关系
定理2：若
x Ax Bu
若Ａ为对角型，且对角线上的元素均不相同， 则状态完全能控的充要条件为： Ｂ中没有任意一行的元素全为零．
x1 1 x1 b11u1b12u2 b1 pu p
x2 2 x2 b21u1b22u2 b2 pu p
例：线性系统的状态方程为 x Ax bu 其中： 1 0 b1 A b 0 2 b2
Ci C1i1 C1i2 C1ii
现代控制理论课件ch3(11级本1)
⎡ −1 2 x1 (0) ⎤ ⎢ ⎥ 欲使该方程有解，必有：rank ⎢ 0 0.5 x2 (0) ⎥ = 2 ⎢ ⎣ 2 −3 x3 (0) ⎥ ⎦ ⎡ −1 2 x1 (0) ⎤ ⎥ = 2 时， 可使x(1)=0， 0 0.5 (0) x 也即：当rank ⎢ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 2 −3 x3 (0) ⎥ ⎦ 而不能由任意初始状态一步内转移到原点。
可见，系统的可控性只与状态方程有关，或者说，只与系数矩阵A,B有关。 该定理的另一个说法是： 系统状态完全可控的充要条件是 可控性判别矩阵满秩。
第3章 线性系统的可控性和可观测性
可控性——系统内部所有变量的运动能否由u来控制，即u~x的关系。 可观性——系统内部所有变量的运动能否由y来反映，即y~x的关系。
⎧ ⎡ s1 = x ⎪ ⎢0 ⎣ ⎨ ⎪y = c [1 ⎩ 0⎤ ⎡ b1 ⎤ + u x ⎥ ⎢ ⎥ s2 ⎦ ⎣ b2 ⎦ c2 ] x
解： 可控性矩阵S：
⎡0 0 ⎤ ⎥ H =⎢ 0 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 0⎥ ⎦ 3×2
⎡0 0 | − 1 2 | 2 − 4 ⎤ ⎢ 4⎥ S = H GH G 2 H = ⎢0 1 | 0 − 2 | 0 ⎥ ⎢ ⎣1 0 | 0 − 4 | − 1 10 ⎥ ⎦ rank S = 3 ，故系统可控。
系统状B
A2 B " An −1 B ⎤ ⎦=n
AB
A2 B " An −1 B ⎤ ⎦ 被称为可控性判别矩阵。
可见，系统的可控性只与状态方程有关，或者说，只与系数矩阵A,B有关。 该定理的另一个说法是： 系统状态完全可控的充要条件是 可控性判别矩阵满秩。 思考： 矩阵 ⎡ ⎣B
状态可达： 坐标原点(初始) u(t) 某终端状态xf 系统可控： 意指状态完全可控，体现在x0的任意性； 系统可达： 意指状态完全可达，体现在xf的任意性。 注： 对于线性定常系统， 可控与可达是等价的； 但对离散系统和时变系统， 严格讲，二者不等价。
K3.10-线性系统的可控制性和可观测性
线性系统的可控制性和可观测性
知识点K3.10
Ch.8.5
线性系统的可控制性和可观测性
主要内容：
1.状态的可控制性和可观测性 2.系统的可控制性 3.可控性矩阵和可观测性矩阵
基本要求：
1.掌握可控性和可观性的基本概念 2.掌握判定方法
1
线性系统的可控制性和可观测性
K3.10 线性系统的可控制性和可观测性
分类：完全可控制系统；部分可控制系统；完全不可 控制系统。
3
线性系统的可控制性和可观测性
系统的可控制性反映了状态可由输入控制的能力， 在现代控制工程中，以状态方程来描述系统，目的就 是控制系统状态，以达到理想的输出。
系统可控的含义：通过一定的激励，可以使得系统 从任意的初始状态（不一定是零状态）过渡到任意的 另一个状态。
) f
f (t (t)
)
A
2
1
1 2
,
B
1 1
,
AB
1 1
MC
[B,
AB]
1 1
1 1
Mc的行列式等于零，不是满秩阵，故系统不可控。
线性系统的可控制性和可观测性
3. 系统的可观测性 定义：系统在给定控制后，对于任意初始时刻t0，在
有限时间T>t0内，根据t0到T的系统输出的测量值，能 唯一确定系统在t0时刻的状态，则称系统完全可观；若 只能确定部分起始状态，则称系统不完全可观。
系统可控的判定：对于比较复杂的系统，需要判断 可控性矩阵来进行判定。
4
线性系统的可控制性和可观测性
定义：可控性矩阵Mc
MC [B, AB, A2B,, An1B]
系统满足可控性的充要条件：可控性矩阵Mc满秩。
知识点K3.10
Ch.8.5
线性系统的可控制性和可观测性
主要内容：
1.状态的可控制性和可观测性 2.系统的可控制性 3.可控性矩阵和可观测性矩阵
基本要求：
1.掌握可控性和可观性的基本概念 2.掌握判定方法
1
线性系统的可控制性和可观测性
K3.10 线性系统的可控制性和可观测性
分类：完全可控制系统；部分可控制系统；完全不可 控制系统。
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线性系统的可控制性和可观测性
系统的可控制性反映了状态可由输入控制的能力， 在现代控制工程中，以状态方程来描述系统，目的就 是控制系统状态，以达到理想的输出。
系统可控的含义：通过一定的激励，可以使得系统 从任意的初始状态（不一定是零状态）过渡到任意的 另一个状态。
) f
f (t (t)
)
A
2
1
1 2
,
B
1 1
,
AB
1 1
MC
[B,
AB]
1 1
1 1
Mc的行列式等于零，不是满秩阵，故系统不可控。
线性系统的可控制性和可观测性
3. 系统的可观测性 定义：系统在给定控制后，对于任意初始时刻t0，在
有限时间T>t0内，根据t0到T的系统输出的测量值，能 唯一确定系统在t0时刻的状态，则称系统完全可观；若 只能确定部分起始状态，则称系统不完全可观。
系统可控的判定：对于比较复杂的系统，需要判断 可控性矩阵来进行判定。
4
线性系统的可控制性和可观测性
定义：可控性矩阵Mc
MC [B, AB, A2B,, An1B]
系统满足可控性的充要条件：可控性矩阵Mc满秩。
线性系统的可控性与可观测性概述
2．系统可控
考虑n维线性时变系统的状态方程
x A(t ) x B(t )u
x(t0 ) x0
t Tt
如 果 状 态 空 间 中 的 所 有 非 零 状 态 都 是 在 t0 （ t 0 Tt ）时刻可控的，则称系统在时刻t0是
完全可控的，简称系统在时刻 t0 可控。若系
统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致
可控的。
6
第3章 线性系统的可控性和可观测性
3．系统不完全可控
对于线性时变系统
x A(t ) x B(t )u
x(t0 ) x0
t Tt
取定初始时刻 t 0 Tt ，如果状态空间中存在一 个或一些非零状态在时刻 t0 是不可控的，则称 系统在时刻 t0 是不完全可控的，也称为系统是 不可控的。
第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运 动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如 可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。 在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容 是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、 可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被 证明这是系统的两个基本结构属性。 本章首先给出可控性、可观测性的严格的数 学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测 性的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还 是在实际应用中都是很有用的。 1
13
第3章 线性系统的可控性和可观测性
因系统完全可控，根据定义对此非零向量 x0 应有
x(t1 ) e x0 e At1 e At Bu (t )dt 0
At1 0 t1
x0 e At Bu(t )dt
线性系统的可控性与可观性
可控性可观测性例题
【例】
y 1 0 x
1 0 0 x x u 0 2 2
解：上述动态方程可写成：
1 x1 x 2 2 x 2 2u x y x 1
输入u不能控制状态变量 x1，所以状态变量 x 1 是不可控的； 从输出方程看，输出y不能反映状态变量
n 1
a1 a 0
则A满足特征方程
f (A) A
证明 证明:
n
a n 1 A
n 1
a1 A a 0 I 0
Ax Bu x x (t ) (t to ) x (t0 )
tf t0
x ( t 0 ) ( t 0 )Bu ( )d
x(t) 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出 的变化过程 输出方程描述由状态变化所引起的输出
y(t ) 的变化。
可控性和可观性回答：“输入能否控制系统状态的变化”——可控性 状 变化能否 输 反映 观性 “状态的变化能否由输出反映”——可观性 可控性和可观性的概念是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出, 是经典控 制进入现代控制理论的标志之 。 制进入现代控制理论的标志之一。
x (t0 )
tf t0
m 0
n 1
A
m
B
t t0
f
m
( t 0 ) u ( ) d
tf t0
[ B 0 ( t 0 ) u ( )d A B 1 ( t 0 ) u ( )d A
u0 u AB An 1 B ) 1 u n 1
线性系统的可控性与可观性
线性系统的可控性和可观性
线性系统的可控性和可观性摘要：线性系统的可控性和可控性是线性系统最基本的概念。
本文从这个基本概念着手，介绍了线性系统的可控标准形和可观标准形，并且对系统可控性和可观性的判据做了详细的介绍。
本文的研究有利于对线性系统可控性和可观性的知识体系有一个比较好的了解，对进一步学习现代控制理论提供一个扎实的基础，同时通过对相关知识的归纳总结，为以后的学习研究提供了一个好的方法。
通过对其中大量高等数学的学习与应用，可以提高应用高等数学解决相关问题的意识与能力。
关键词:线性系统；可控性；可观性Linear system controllability and observabilityHou Shibo Liu Yingrui Wang linlin Lin HuanAbstact: Controllability of linear systems and control is the most basic concepts of linear systems. This paper started from this basic concept, introduced the form of linear system controllability and observability of the standard normal form, and the system controllability and observability criterion for a detailed description. This study is beneficial to the linear system controllability and observability of knowledge have a better understanding of the further study of modern control theory provides a solid foundation, through summarized the relevant knowledge for the future of learning Study provides a good method. Through which a large number of learning and application of advanced mathematics, applied mathematics can improve awareness of the problem solving and capacity-related.Key words: Linear system ；Controllable ；Observability0 引言在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。
现代控制导论 第三章 线性系统的可控性与可观性2011(1)
第三章 线性系统的可控性与可观性 (1)
1
本章内容
________________________________________________________
一、可控与可观测的概念及意义 二、线性系统的可控性 三、线性系统的可观性 四、可控与可观规范型及对偶原理 五、线性系统的规范分解 六、传递函数的实现
21
证明：
x(0)= [ x 1 (0) x(t f ) = e
A(t f -t 0 )
x 2 (0)
x n (0) ] → x(t f )=0求 u(t)
T
t f A(t f -t 0 ) x(t 0 ) + ∫ e Bu(τ)dτ t0
t 0 = 0,x(t f ) = 0 t f -Aτ x(0) = - ∫ e Bu(τ)dτ 0
25
例 图示电路，判断系统能控性条件
L iL
R1 R2
u
R3
uC R 4
解 选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为：
R3 R4 ⎞ R3 ⎞ 1 ⎛ R1R2 1 ⎛ R1 1 + − x1 = − ⎜ ⎟ x1 + ⎜ ⎟ x2 + u L ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠ L ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠ L 1 ⎛ R2 1⎛ 1 1 ⎞ R4 ⎞ − − x2 = ⎜ ⎟ x1 − ⎜ ⎟ x2 C ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠ C ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠
28
例.设线性定常系统的状态方程为： ⎡1 2 -1⎤ ⎡0⎤ x = ⎢0 1 0 ⎥ x + ⎢0⎥ u ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 -4 3 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 试分析该系统的能控性。 ⎡1 2 -1⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ −1⎤ 解： AB = ⎢0 1 0 ⎥ ⎢0 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 -4 3 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1
本章内容
________________________________________________________
一、可控与可观测的概念及意义 二、线性系统的可控性 三、线性系统的可观性 四、可控与可观规范型及对偶原理 五、线性系统的规范分解 六、传递函数的实现
21
证明：
x(0)= [ x 1 (0) x(t f ) = e
A(t f -t 0 )
x 2 (0)
x n (0) ] → x(t f )=0求 u(t)
T
t f A(t f -t 0 ) x(t 0 ) + ∫ e Bu(τ)dτ t0
t 0 = 0,x(t f ) = 0 t f -Aτ x(0) = - ∫ e Bu(τ)dτ 0
25
例 图示电路，判断系统能控性条件
L iL
R1 R2
u
R3
uC R 4
解 选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为：
R3 R4 ⎞ R3 ⎞ 1 ⎛ R1R2 1 ⎛ R1 1 + − x1 = − ⎜ ⎟ x1 + ⎜ ⎟ x2 + u L ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠ L ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠ L 1 ⎛ R2 1⎛ 1 1 ⎞ R4 ⎞ − − x2 = ⎜ ⎟ x1 − ⎜ ⎟ x2 C ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠ C ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠
28
例.设线性定常系统的状态方程为： ⎡1 2 -1⎤ ⎡0⎤ x = ⎢0 1 0 ⎥ x + ⎢0⎥ u ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 -4 3 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 试分析该系统的能控性。 ⎡1 2 -1⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ −1⎤ 解： AB = ⎢0 1 0 ⎥ ⎢0 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 -4 3 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
第3章 线性系统的能控性和能观测性分析PPT课件
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5
3.2 能控性与能观测性的概念与示例
【例3-1】给定系统的状态空间表达方式为
xx12
2
0
0 x1 3x2
1 2u
y 7
6xx12
,其状态变量图如图3-1所示。
系统的 状态是完全 能控且完全 能观测的。
图3-1
6
【例3-2】桥式电路如图 3-2所示，选取电感L的电
流 i(t)x(t)为状态变量，
8
1.状态能控
对于式（3-2）所示线性时变连续系统，如果对 指定初始时刻t0 T d 的一个非零初始状态 x(t0)x0， 存在一个时刻t f Td ，tf>t0 ,和一个无约束的容许控 制u(t),t[t0、tf ] ,使状态由x(t0)x0转移到tf 时的 x(tf ) 0 ,则称此 x 0 是在 t 0 时刻能控的。
一确定一个非零的初始状态向量 x 0 ，则称此非零 状态 x 0 在 t 0 时刻是能观测的。
15
2.系统能观测
对于式（3-10）所示线性时变连续系统，如果指 定初始时刻t0 Td ，存在一个有限时刻t f Td ，t f > t 0 ，
对于所有 t[t0,tf ]，系统的输出y(t)能惟一确定 t 0 时 刻的任意非零的初始状态向量 x 0 ，则称系统在 t 0 时
是状态不能观测的。该电路为状态既不能控，也不能
观测系统。
7
3.3 能控性和能观测性定义
3.3.1 能控性定义
线性时变连续系统的状态方程为
x (t) A (t)x (t) B (t)u (t), x(t0)x0 , t Td （3-2）
式中,x为n维状态向量，u为r维输入向量,Td为时间定
义区间,A(t)和B(t)分别为nn和 nr 矩阵。
5
3.2 能控性与能观测性的概念与示例
【例3-1】给定系统的状态空间表达方式为
xx12
2
0
0 x1 3x2
1 2u
y 7
6xx12
,其状态变量图如图3-1所示。
系统的 状态是完全 能控且完全 能观测的。
图3-1
6
【例3-2】桥式电路如图 3-2所示，选取电感L的电
流 i(t)x(t)为状态变量，
8
1.状态能控
对于式（3-2）所示线性时变连续系统，如果对 指定初始时刻t0 T d 的一个非零初始状态 x(t0)x0， 存在一个时刻t f Td ，tf>t0 ,和一个无约束的容许控 制u(t),t[t0、tf ] ,使状态由x(t0)x0转移到tf 时的 x(tf ) 0 ,则称此 x 0 是在 t 0 时刻能控的。
一确定一个非零的初始状态向量 x 0 ，则称此非零 状态 x 0 在 t 0 时刻是能观测的。
15
2.系统能观测
对于式（3-10）所示线性时变连续系统，如果指 定初始时刻t0 Td ，存在一个有限时刻t f Td ，t f > t 0 ，
对于所有 t[t0,tf ]，系统的输出y(t)能惟一确定 t 0 时 刻的任意非零的初始状态向量 x 0 ，则称系统在 t 0 时
是状态不能观测的。该电路为状态既不能控，也不能
观测系统。
7
3.3 能控性和能观测性定义
3.3.1 能控性定义
线性时变连续系统的状态方程为
x (t) A (t)x (t) B (t)u (t), x(t0)x0 , t Td （3-2）
式中,x为n维状态向量，u为r维输入向量,Td为时间定
义区间,A(t)和B(t)分别为nn和 nr 矩阵。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运 动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如 可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。 在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容 是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、 可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被 证明这是系统的两个基本结构属性。 本章首先给出可控性、可观测性的严格的数 学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测 性的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还 是在实际应用中都是很有用的。 1
8
第3章 线性系统的可控性和可观测性
三．可观测性定义
1．系统完全可观测
对于线性时变系统
A(t ) x, x y C (t ) x x(t0 ) x0 t0 , t Tt
如果取定初始时刻 t0 Tt ，存在一个有限时刻t1 Tt , t1 t0 ,
对于所有 t t0 , t1 ，系统的输出y(t)能唯一确定状态向量 可观测。如果对于一切t1>t0系统都是可观测的，则称系 的初值x(t0)，则称系统在[t0, t1]内是完全可观测的，简称
Ak rm Am，k n
m0 n 1
注：此推论可用以简化矩阵幂的计算。
15
第3章 线性系统的可控性和可观测性
3）推论2：矩阵指数函数可表示为A的(n-1)阶多项式
e At m (t ) Am
m0 n 1
1 2 例3-4：已知A ，计算A100=? 0 1
完全可控的充分必要条件是
n 1 rank B AB A B n n 1 B AB A B 其中: n为矩阵A的维数，S 称 为系统的可控性判别阵。
注：秩判据是一种比较方便的判别方法。
18
第3章 线性系统的可控性和可观测性
证明：充分性：已知 rankS=n，欲证系统完全可控， 采用反证法。反设系统为不完全可控，则有：
10
第3章 线性系统的可控性和可观测性
3. 2 线性定常连续系统的可控性判据(※)
一、线性定常连续系统的可控性判据（※）
1．格拉姆矩阵判据 线性定常系统
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x x(0) x0 t 0
完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时 刻t1>0，使如下定义的格拉姆矩阵： 为非奇异。
W (0, t1 ) e
0 t1 At
BB e
T AT t
dt ,
t1 0
为奇异，这意味着存在某个非零n维常向量α使
0 W (0, t1 ) e
T T 0 t1 At
BB e
T
T
AT t
dt
e 0
T
t1
At
B e
T
At
B dt
T e At B 0,
可得到:
t 0, t1
将上式求导直到(n-1)次，再在所得结果中令t=0，则
T B 0, T AB 0, T A2 B 0, , T An1B 0
19
第3章 线性系统的可控性和可观测性
T B 0, T AB 0, T A2 B 0, , T An1B 0
统在[t0, ∞)内是完全可观测的。
9
第3章 线性系统的可控性和可观测性
2．系统不可观测
对于线性时变系统
A(t ) x, x y C (t ) x x(t0 ) x0 t0, t Tt
如果取定初始时刻 t0 Tt ，存在一个有限时刻t1 Tt , t1 t0 , 对于所有 t t0 , t1 ，系统的输出y(t)不能唯一确定所有状 态的初值xi(t0)，i=0,1,…,n，即至少有一个状态的初值不 能被y(t)确定，则称系统在[t0, t1]内是不完全可观测的， 简称不可观测。
BB e
T
AT t
dtW 1 (0, t1 ) x0 x0 R n
e At1 x0 e At1W (0, t1 )W 1 (0, t1 ) x0 e At1 x0 e At1 x0 0
这表明：对任一取定的初始状态 x0≠0 ，都存在有限 时刻t1>0和控制u(t)，使状态由x0转移到t1时刻的状态 x(t1)=0 ，根据定义可知系统为完全可控。
12
第3章 线性系统的可控性和可观测性
必要性：已知系统完全可控，欲证W(0, t1) 非奇异。反
设W(0, t1)为奇异，即存在某个非零向量 x0 Rn ，使
T x0 W (0, t1 ) x0 0
0 x W (0, t1 ) x0 x e
T 0 0 T 0 t1 T
t1
At
W [0, t1 ] e
0 t1 At
BB e
T
AT t
dt
注意：在应用该判据时需计算 eAt，这在 A的维数较 高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。
11
第3章 线性系统的可控性和可观测性
证：充分性：已知 W(0, t1) 为非奇异，欲证系统为完 全可控，采用构造法来证明。对任一非零初始状态x0 可构造控制u(t)为：
2．系统可控
考虑n维线性时变系统的状态方程
A(t ) x B(t )u x
x(t0 ) x0
t Tt
如 果 状 态 空 间 中 的 所 有 非 零 状 态 都 是 在 t0 （ t 0 Tt ）时刻可控的，则称系统在时刻t0是
完全可控的，简称系统在时刻 t0 可控。若系
统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致
2．秩判据（※）
1）凯莱-哈密尔顿定理：设n阶矩阵A的特征多项式为
(s) | sI A | sn n1sn1 1s 0
则矩阵A满足其特征方程，即
( A) An n1 An1 1 A 0I 0
2）推论1：矩阵A的k (k≥n)次幂可表示为A的(n-1)阶多 项式
根据数学归纳法有
Ak kA (k 1) I
所以：
A
100
100 200 99 0 100 A 99I 0 100 0 99 1 200 0 1
17
第3章 线性系统的可控性和可观测性
4）秩判据（※）
线性定常系统
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x x(0) x0 t 0
可控的。
6
第3章 线性系统的可控性和可观测性
3．系统不完全可控
对于线性时变系统
A(t ) x B(t )u x
x(t0 ) x0
t Tt
取定初始时刻 t 0 Tt ，如果状态空间中存在一 个或一些非零状态在时刻 t0 是不可控的，则称 系统在时刻 t0 是不完全可控的，也称为系统是 不可控的。
第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义
3.2 线性定常连续系统的可控性判据（※） 3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（※）
3.4 对偶原理
2
第3章 线性系统的可控性和可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义
一．可控性与可观测性的物理概念
13
第3章 线性系统的可控性和可观测性
因系统完全可控，根据定义对此非零向量 x0 应有
x(t1 ) e x0 e At1 e At Bu (t )dt 0
At1 0 t1
x0 e At Bu(t )dt
0
t1
x0
2
x x0 e 0
T 0 t1
如果对取定初始时刻 t 0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1 Tt , t1 t 0 和一个无约 束的容许控制u(t)， t [t 0 , t1 ] ，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
5
第3章 线性系统的可控性和可观测性
n 1 T S T B AB A B 0
20
第3章 线性系统的可控性和可观测性
n 1 T S T B AB A B 0
T Ai B 0;
At
t1 T T AT t Bu (t )dt x0 u (t ) B e x0 dt 0
T
x0
2
0
即 x0 0
0
此结果与假设 x0 0 相矛盾，即W(0, t1)为奇异的反设不成 立。因此，若系统完全可控， W(0, t1)必为非奇异。
14
第3章 线性系统的可控性和可观测性
u (t ) B e
T AT t
W 1 (0, t1 ) x0 ,
t 0, t1
则u(t)作用下系统状态x(t)在t1时刻的结果:
x(t1 ) e x0 e A(t1 t ) Bu (t )dt
At1 0 t1
e x0 e
At1
At1
t1ຫໍສະໝຸດ 0e At
解：A的特征多项式为：
(s) det(s I A) s2 2s 1
由凯莱-哈密顿定理，得到
2 ( A) A2 2 A I 0 A 2 A I
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
故
A3 AA2 2 A2 A 2(2 A I ) A 3 A 2I A4 AA3 3 A2 2 A 3(2 A I ) 2 A 4 A 3I
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运 动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如 可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。 在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容 是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、 可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被 证明这是系统的两个基本结构属性。 本章首先给出可控性、可观测性的严格的数 学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测 性的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还 是在实际应用中都是很有用的。 1
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
三．可观测性定义
1．系统完全可观测
对于线性时变系统
A(t ) x, x y C (t ) x x(t0 ) x0 t0 , t Tt
如果取定初始时刻 t0 Tt ，存在一个有限时刻t1 Tt , t1 t0 ,
对于所有 t t0 , t1 ，系统的输出y(t)能唯一确定状态向量 可观测。如果对于一切t1>t0系统都是可观测的，则称系 的初值x(t0)，则称系统在[t0, t1]内是完全可观测的，简称
Ak rm Am，k n
m0 n 1
注：此推论可用以简化矩阵幂的计算。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
3）推论2：矩阵指数函数可表示为A的(n-1)阶多项式
e At m (t ) Am
m0 n 1
1 2 例3-4：已知A ，计算A100=? 0 1
完全可控的充分必要条件是
n 1 rank B AB A B n n 1 B AB A B 其中: n为矩阵A的维数，S 称 为系统的可控性判别阵。
注：秩判据是一种比较方便的判别方法。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
证明：充分性：已知 rankS=n，欲证系统完全可控， 采用反证法。反设系统为不完全可控，则有：
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
3. 2 线性定常连续系统的可控性判据(※)
一、线性定常连续系统的可控性判据（※）
1．格拉姆矩阵判据 线性定常系统
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x x(0) x0 t 0
完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时 刻t1>0，使如下定义的格拉姆矩阵： 为非奇异。
W (0, t1 ) e
0 t1 At
BB e
T AT t
dt ,
t1 0
为奇异，这意味着存在某个非零n维常向量α使
0 W (0, t1 ) e
T T 0 t1 At
BB e
T
T
AT t
dt
e 0
T
t1
At
B e
T
At
B dt
T e At B 0,
可得到:
t 0, t1
将上式求导直到(n-1)次，再在所得结果中令t=0，则
T B 0, T AB 0, T A2 B 0, , T An1B 0
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
T B 0, T AB 0, T A2 B 0, , T An1B 0
统在[t0, ∞)内是完全可观测的。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
2．系统不可观测
对于线性时变系统
A(t ) x, x y C (t ) x x(t0 ) x0 t0, t Tt
如果取定初始时刻 t0 Tt ，存在一个有限时刻t1 Tt , t1 t0 , 对于所有 t t0 , t1 ，系统的输出y(t)不能唯一确定所有状 态的初值xi(t0)，i=0,1,…,n，即至少有一个状态的初值不 能被y(t)确定，则称系统在[t0, t1]内是不完全可观测的， 简称不可观测。
BB e
T
AT t
dtW 1 (0, t1 ) x0 x0 R n
e At1 x0 e At1W (0, t1 )W 1 (0, t1 ) x0 e At1 x0 e At1 x0 0
这表明：对任一取定的初始状态 x0≠0 ，都存在有限 时刻t1>0和控制u(t)，使状态由x0转移到t1时刻的状态 x(t1)=0 ，根据定义可知系统为完全可控。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
必要性：已知系统完全可控，欲证W(0, t1) 非奇异。反
设W(0, t1)为奇异，即存在某个非零向量 x0 Rn ，使
T x0 W (0, t1 ) x0 0
0 x W (0, t1 ) x0 x e
T 0 0 T 0 t1 T
t1
At
W [0, t1 ] e
0 t1 At
BB e
T
AT t
dt
注意：在应用该判据时需计算 eAt，这在 A的维数较 高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
证：充分性：已知 W(0, t1) 为非奇异，欲证系统为完 全可控，采用构造法来证明。对任一非零初始状态x0 可构造控制u(t)为：
2．系统可控
考虑n维线性时变系统的状态方程
A(t ) x B(t )u x
x(t0 ) x0
t Tt
如 果 状 态 空 间 中 的 所 有 非 零 状 态 都 是 在 t0 （ t 0 Tt ）时刻可控的，则称系统在时刻t0是
完全可控的，简称系统在时刻 t0 可控。若系
统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致
2．秩判据（※）
1）凯莱-哈密尔顿定理：设n阶矩阵A的特征多项式为
(s) | sI A | sn n1sn1 1s 0
则矩阵A满足其特征方程，即
( A) An n1 An1 1 A 0I 0
2）推论1：矩阵A的k (k≥n)次幂可表示为A的(n-1)阶多 项式
根据数学归纳法有
Ak kA (k 1) I
所以：
A
100
100 200 99 0 100 A 99I 0 100 0 99 1 200 0 1
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
4）秩判据（※）
线性定常系统
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x x(0) x0 t 0
可控的。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
3．系统不完全可控
对于线性时变系统
A(t ) x B(t )u x
x(t0 ) x0
t Tt
取定初始时刻 t 0 Tt ，如果状态空间中存在一 个或一些非零状态在时刻 t0 是不可控的，则称 系统在时刻 t0 是不完全可控的，也称为系统是 不可控的。
第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义
3.2 线性定常连续系统的可控性判据（※） 3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（※）
3.4 对偶原理
2
第3章 线性系统的可控性和可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义
一．可控性与可观测性的物理概念
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
因系统完全可控，根据定义对此非零向量 x0 应有
x(t1 ) e x0 e At1 e At Bu (t )dt 0
At1 0 t1
x0 e At Bu(t )dt
0
t1
x0
2
x x0 e 0
T 0 t1
如果对取定初始时刻 t 0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1 Tt , t1 t 0 和一个无约 束的容许控制u(t)， t [t 0 , t1 ] ，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
n 1 T S T B AB A B 0
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
n 1 T S T B AB A B 0
T Ai B 0;
At
t1 T T AT t Bu (t )dt x0 u (t ) B e x0 dt 0
T
x0
2
0
即 x0 0
0
此结果与假设 x0 0 相矛盾，即W(0, t1)为奇异的反设不成 立。因此，若系统完全可控， W(0, t1)必为非奇异。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
u (t ) B e
T AT t
W 1 (0, t1 ) x0 ,
t 0, t1
则u(t)作用下系统状态x(t)在t1时刻的结果:
x(t1 ) e x0 e A(t1 t ) Bu (t )dt
At1 0 t1
e x0 e
At1
At1
t1ຫໍສະໝຸດ 0e At
解：A的特征多项式为：
(s) det(s I A) s2 2s 1
由凯莱-哈密顿定理，得到
2 ( A) A2 2 A I 0 A 2 A I
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
故
A3 AA2 2 A2 A 2(2 A I ) A 3 A 2I A4 AA3 3 A2 2 A 3(2 A I ) 2 A 4 A 3I
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第3章 线性系统的可控性和可观测性