配方法 (2)
配方法解一元二次方程(2)二次项系数不为1
【复习引入】
1、用配方法解下列方程：
(1)x2-6x-16=0；(2)x2+3x-2=0；
2、请你思考方程x2- x+1=0与方程2x2-5x+2=0有什么关系？
【新知探究】
问题1、如何解方程2x2-5x+2=0？
对于二次项系数不为1的一元二次议程，如何用配方法求解？
引导学生交流思考与探索
（对于二次项系数不为1的一元二次议程，我们可以先将两边同时除以二次项系数，再利用配方法求解）
问题2、对于二次项系数是负数的一元二次方程，如何用配方法求解？
例1解下例方程：
先把x2的系数变成1，即把原方程两边同时除以
得
移项，得配方，得即开平方，得所以原方程的根是x1=，x2=
-
先把x2的系数变成1，即把原方程两边同时除以
得
移项，得
配方，得
即
开平方，得
所以原方程的根是x1=，x2=
用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
系数化一， 移项， 配方， 开方， 解一元二次方程
【当堂训练】
1、填空：(1)x2- x+=(x-)2, (2)2x2-3x+=2(x-)2.
2、用配方法解一元二次方程2x2-5x-8=0的步骤中第一步是。
3、用配方法解下列方程，配方错误的是（）
A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100B.t2-7t-4=0化为(t- )2=
鸡西市第十九中学学案
班级姓名
学科
数学
课题
配方法（2）
课型
新课
时间
2014年 月 日
人教版
八年级下
学习目标
会用配方法二次项系数不为1的一元二次方程
配方法(第2课时) 优秀课件
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结
探究二：利用配方法解一元二次方程重点、难点知
活 动1
配方法的练习
识★▲
例1.已知2x2 12x a bx c2
，求a，
【解b，题c过的程值】。
解：∵2x2 12x a
2x2 6x9
2x 32
【思路点a拨】2将9 二18，次b项 2系，c数 3不为1的二次三项式
x2 4x4
x 22。
a 4，b 1，c 2。
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结
探究二：利用配方法解一元二次方程重点、难点知
识★▲
活
动1 例2.二次三项2x式2 4x 3
C 的值
（）
【解题A.过小程于】1 B.大于1 C.大于等于1 D.不解大：于∵2x12 4x 3
有实数解，但方程两边同时加上的数不是4； 有实数解，且方程两边同时加上的数是4；
方法二3：x2 6x 12 0 x2 2x4 0
x 12 5 0 x 12 5
x1 5 x1 1 5，x2 1 5
两种方法哪种更简单？
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结
探究一：配方法解一元二次方程的规律 难点知
识▲
活 动3
集思广益，归纳方法
先将二次项的系数提出 来，将括号内的二次三项式 的二次项系数化为1。
再按照二次项系数为1的 二次三项式的配方法进行配
3x2 6x 12
3x2 2x4
3 x 12 5 3 x 12 15
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结
探究一：配方法解一元二次方程的规律 难点知
用 配 方 法 解ax2 一bx元c 0二a 0次 方 程
《配方法(2)》课件
3 2
m
3 4
2
1 2
3 4
2
m
3 4
2
1 16
【思路点拨】将二次项系数 不为1的一元二次方程两边
m3 1 44
m 31 44
m
1 1, m2
1 2
同除以二次项系数，化成二 次项系数为1的一元二次方
程，再将方程化成 x m2 n
的形式，直接开方法求解. 9
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
11
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：利用配方法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
活动2 练习4.下列配方有错误的是（ D ）
A.x2 4x 1 0化为 x 22 5
B.x2 6x 8 0化为 x 32 1
C.2 x 2
7x
6
0化为
x
7 4
2
97 16
D.3x2 4x 2 0化为3x 22 2
重点、难点知识★▲
活动2 例4.在方程的两边同时加上4，用配方法可求得实数解的方程
是（ C ）
A. x2 4x 6 B. 2x2 4x 5
C. x2 4x 5
D. x2 2x 2
【解题过程】
CAB...xx222x2 44xx4x5,56,,x2xx224x24xx4524,5x422,,2xxx122225291,2，无x 实1数2 解72；
用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0a 0 的一般步骤：
（1）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数； （2）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的 右边； （3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
（4）将原方程变成 x m2 n 的形式；
一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础
一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. （•淄博）解方程：x 2+4x ﹣1=0．【思路点拨】首先进行移项，得到x 2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．【答案与解析】解：∵x 2+4x ﹣1=0∴x 2+4x=1∴x 2+4x +4=1+4∴（x +2）2=5 ∴x=﹣2±∴x 1=﹣2+，x 2=﹣2﹣．【总结升华】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2=0； (2)x 2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x 2-4x=2．两边都加4，得x 2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-． 于是，原方程的根为x=2+或x=2-． (2)将常数项移到方程右边x 2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x 2+6x+32=-8+32， ∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ． 【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4】3．用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0． 【答案与解析】解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣，∵（x ﹣）2≥0，∴﹣8（x ﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4变式1】 【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值． 【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式． 【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 3312222a -=-=-=-． 【总结升华】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （贵州）用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣3=0时，原方程可变形为（ ）A ．（x +2）2=1B ．（x +2）2=7C ．（x +2）2=13D ．（x +2）2=192．下列各式是完全平方式的是（ ）A ．277x x ++B ．244m m --C ．211216n n ++ D ．222y x -+ 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．3±D ．以上都不对4．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-15．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=26．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2．-2．．二、填空题7．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2.8．（长兴县月考）用配方法将方程x 2-6x+7=0化为（x +m ）2=n 的形式为 ．9．若226x x m ++是一个完全平方式，则m 的值是________．10．求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .11．当x= 时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为 ．12．已知a 2+b 2-10a-6b+34=0，则的值为 ．三、解答题13. 用配方法解方程（1） （2）221233x x +=14.已知a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，求a+b 的值．15．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2226810500a b c a b c ++---+=．(1)求a ，b ，c 的值；(2)判断三角形的形状．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B ．【解析】x 2+4x=3，x 2+4x +4=7，（x +2）2=7．2．【答案】C ； 【解析】211216n n ++214n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 3.【答案】C ；【解析】 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 2=9,解得m=3±；4.【答案】A ；【解析】a 2-4a+5= a 2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ；5.【答案】C ；【解析】方程x 2+3=4x 化为x 2-4x=-3，x 2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1.6.【答案】B ；【解析】方程x 2+4x=10两边都加上22得x 2+4x+22=10+22，x=-214二、填空题7．【答案】（1）4；2； （2）9；3； （3）16；4.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8.【答案】（x ﹣3）2=2．【解析】移项，得x 2﹣6x=﹣7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x 2﹣6x +9=﹣7+9， （x ﹣3）2=2．9．【答案】±3；【解析】2239m ==．∴ 3m =±.10．【答案】-338； 【解析】∵2x 2-7x+2=2（x 2-72x ）+2=2（x-74）2-338≥-338，∴最小值为-338， 11．【答案】-1,1 【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣（x 2+2x ）=﹣（x 2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1，∴x=﹣1时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为1；故答案为：﹣1，1．【解析】 -3x 2+5x+1=-3（x-56）2+3712≤3712，• ∴最大值为3712． 12．【答案】4.【解析】∵a 2+b 2-10a-6b+34=0∴a 2-10a+25+b 2-6b+9=0∴（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3，∴=4．三、解答题13.【答案与解析】（1）x 2-4x-1=0x 2-4x+22=1+22(x-2)2=5x-2=5 x 1=5x 2=5(2) 221233x x += 226x x +=2132x x += 222111()3()244x x ++=+2149()416x +=1744x +=± 132x = 22x =-14.【答案与解析】解：∵a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，∴a 2﹣4a+4+b 2+6b+9=0，∴（a ﹣2）2+（b+3）2=0，∴a ﹣2=0，b+3=0，∴a=2，b=﹣3，∴a+b=2﹣3=﹣1．15.【答案与解析】（1）由2226810500a b c a b c ++---+=，得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-= 又2(3)0a -≥，2(4)0b -≥，2(5)0c -≥，∴ 30a -=，40b -=，50c -=，∴ 3a =，4b =，5c =．（2）∵ 222345+= 即222a b c +=，∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形．。
配方法2
如果方程能化成 x p或 ( mx n ) p ( p 0) 的形式，那 么可得 x p或mx n p .
2 2
练
习
2 2 2
解下列方程：
2 x 8 0; 2 9 x 5 3; 3 1 x 6 9 0; 2 2 2 4 3 x 1 6 0 ； 5 x 4 x 4 5; 6 9 x ＋6 x＋ 1 4.
问题1 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰 好刷完10个同样的正方体现状的盒子的全部外表面，你能算出盒 子的棱长吗？
设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为 6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程 10×6x2=1500 由此可得 x2=25 即 ①
x1=5，x2=－5
3 x 6
解：移项
2
9 0
2
2 4 3x 1 6 0
x 6
9
解：
x 1
2
2,
x 6 3,
x＋6=3 方程的两根为 x1 =－3, x1 =－9. x＋6=－3,
x 1 2,
x x
2
8 0
2
9 x2 5 3 2
解：移项 x
4,
得 x 2,
方程的两根为:
x1 2 x2 2.
移项 9 x2 8, 8 2 得 x , 9 2 2 x , 3 方程的两根为:
2 2 x1 3
2 2 x2 . 3
可以验证，5和－5是方程 ① 的两根，但是棱长不能是负值，所 以正方体的棱长为5dm．
方程x2+6x+9=2的左边是完全平方形式，这个方程可以化成
一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础
一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【答案与解析】解：2x 2+3x ﹣1=0x 2+x 2+） x+x 1= 【点评】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax 2+bx+c=0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n ≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2=0； (2)x 2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x 2-4x=2．两边都加4，得x 2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-． 于是，原方程的根为x=2+或x=2-． (2)将常数项移到方程右边x 2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x 2+6x+32=-8+32， ∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4】【答案与解析】解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣，∵（x ﹣）2≥0，∴﹣8（x ﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．【点评】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4变式1】【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值． 【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式． 【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 3312222a -=-=-=-． 【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．。
配方法(2)
配方法第2课时）
1、解一元二次方程的基本思想
二次方程
降次 转化
一次方程
3、用配方法解一元二次方程的一般步骤 （1）移项:把常数项移到方程的右边; （2）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; （3）开方:根据平方根意义,方程两边开平方; （4）求解:解一元一次方程;
例1 解下列方程：
1 x2 8x 1 0；
2 2x2 1 3x；
3 3x2 6x 4 0
P9 练习2（3）-（6）
1.若x2 y2 4x 6y 13 0，则xy -8
2.二次三项式x2 6x 13的最小值是 __4_____ .
思考：x2 y2 4x 6 y 17的值（ A ）.
A.总不小于4. C.可为任何实数.
B.总不小于17. D.可能为负数.
1.配方法解二次项系数不为1的 一元二次方程. 2. 转化思想和配方法
作业：P17 3 (3) (4)
一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础
一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1.（2014•岱岳区校级模拟）用配方法解方程：2x2+3x﹣1=0．【思路点拨】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【答案与解析】解：2x2+3x﹣1=0x2+x2+）x+x1=【点评】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0； (2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x2-4x=2．两边都加4，得x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-．于是，原方程的根为x=2+或x=2-．(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++ 2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4】3．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0． 【答案与解析】解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2 =﹣8（x ﹣）2﹣，∵（x ﹣）2≥0，∴﹣8（x ﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．【点评】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4变式1】【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4．已知223730216ba ab -+-+=，求4a b -的值．【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式．【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ 302a -=且104b -=，∴ 32a =，14b =．∴ 31314422422a b -=-=-=-．【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．。
配方法2
教学案例学校：宝鸡市金台区宝工中学学科：数学课题：配方法教材版本：北师大版教学案例学校：宝鸡市金台区宝工中学学科：数学课题：配方法2教材版本：北师大版2.2.2《配方法》导学案班级： 姓名： 组名：一、学习目标：1. 利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。
2. 进一步理解配方法的解题思路。
3. 利用方程解决实际问题． 二、学习重点、难点：1、重点：用配方法解一元二次方程的思路；给方程配方；利用方程解决实际问题.2、难点：对于开放性问题的解决，即如何设计方案． 三、预习导引： 1、什么叫配方法？ 2、怎样配方？3、解方程：（1）x 2+4x+3=0 （2）x 2―4x+2=0四、问题导学：1. [例题] 解方程：3x 2+8x ―3=0分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。
解：两边都除以3，得： x 2+83x ―1=0移项，得：x 2+83x = 1配方，得：x 2+83 x+(43 )2= 1+(43 )2（方程两边都加上一次项系数一半的平方）(x+43 )2=(53 )2即：x+43 =±53所以x 1=13，x 2=―32.从以上例题你能否得到什么启示，用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ （1）把二次项系数化为 ；（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为 ； （3）方程两边同时加上 的平方。
（4）用直接开平方法求出方程的根。
3. 我们已经学习了用配方法解一元二次方程，在生产生活中常遇到一些问题，需要用一元二次方程来解答，请同学们将课本翻到54页，阅读课本，并思考，你还有其他设计方案吗？小结：（1）本节内容的设计方案不只一种，只要合符条件即可。
（2）设计方案时，关键是列一元二次方程。
（3）一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的解。
五、训练反馈：1.-2 x2 + 23x -2 = -2 (x )2 + ( ）.2.用配方法解方程2x2 -4x +1 = 0的根是.3.用配方法解方程2x2 -x -15 = 0的根是.4.用配方法解关于x的方程mx2 -x -1 = 0 (m > 0)的根为.5.若9x2 -ax +4是一个完全平方式，则a等于（）.A. 12B. -12C. 12或-12D. 6或-66.用配方法解方程2x (x -1) = 5 (x -1), 的方程的根为（）.A. x = 52 B. x = 1 C. x1 =52, x2= 1 D. x1 =25, x2 = 17.用配方法解下列方程：（1）4x2 -4x -1 = 0；（2）7x2 -23x +6 = 0.8.当x为何值时，代数式5x2 +7x +1和代数式x2 -9x +15的值相等？9. 两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4 cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长.10. 试证：不论k取何实数，关于x的方程 (k2 -6k +12)x2 = 3 - (k2 -9)x必是一元二次方程.六、本节课你的收获是什么？你还有那些不懂的地方？小组评价：自我评价：。
二次三项配方法
配方法（2）
主备人潘长锁审核人审查人
学习目标：
把二次三项式ax2+bx+c化为 a(x+m)2+n的形式，从而确认代数式的取值范围及最值自主学习
用配方法解方程：2x2—4x+1=0
小组合作
例1：将x2—4x+3配方化为a(x+m)2+n的形式，并求出这个二次三项的取值范围及最值解：x2—4x+3
=
=
∵（）2 0 （学生讨论，教师引导）
∴
∴
例2：将2x2—x+2配方化为a(x+m)2+n的形式，并求出这个二次三项的取值范围及最值解：2x2—x+2
= （利用提公因式法，将二次项系数化为1 ）
= （将括号里配成完全平方式）
= （去括号、合并整理成a(x+m)2+n形式）
∵（以下取值范围及最值确定参照例1独立完成）∴
∴
展示反馈
用配方法说明：不论x 取何值，代数式—2x 2—x+1的值总不大于
8
9 ，并求出当x 取何值时这个代数式的值最大，最大值
归纳总结
分层训练
1已知代数式x 2—5x+7,先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数;再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少
2用配方法说明：不论x 取何值，代数式—3x 2+6x —10的值总为负数，并求出当x 取何值时这个代数式—3x 2+6x —10的值最大，最大值多少
3用配方法说明：不论x取何值，代数式x2+6x+10的值总为正数，并求出当x取何值时这个代数式x2+6x+10的值最小，最小值多少
4求证：对于任何实数X，代数式-12x2-3x-5的值恒为负数。
配方法2
可以验证，5和－5是方程 ① 的两根，但是棱长不能是负值，所 以正方体的棱长为5dm．
方程x2+6x+9=2的左边是完全平方形式，这个方程可以化成
x 3 2 ，方程的根为 （x+3）2=2，进行降次，得______________ x1=___________ 3 2 ． 3 2 ，x2＝__________
方程两根为
x1 1 2
x2 1 2.
5 x2 4x 4 5
解：
x 2
2
5,
x 2 5,
x 2 5, x 2 5, 方程的两根为 x 2 5 x2 2 5. 1
6 9x 2＋6x＋ 1 4 2 解： 3 x 1 4,
问题1 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰 好刷完10个同样的正方体现状的盒子的全部外表面，你能算出盒 子的棱长吗？
设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为 6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程 10×6x2=1500 由此可得 x2=25 即 ①
x1=5，x2=－5
1 2x
2
8 0
2
9 x2 5 3 2
解：移项 x
4,
得 x 2,
方程的两根为:
x1 2 x2 2.
移项 9 x2 8, 8 2 得 x , 9 2 2 x , 3 方程的两根为:
2 2 x1 3
2 2 x2 . 3
3 x0
2
2 4 3x 1 6 0
x 6
9
解：
x 1
2
2,
x 6 3,
2.2配方法(2)
2.2 配方法(2)
1．熟练运用配方法解系数较复杂的一元 二次方程； 2．会运用一元二次方程解决等量关系比 较明显的实际问题；
(1)
x 2x 7 0
2
2
(2)
2 x 4 x 14 0
①观察(1),(2)两个方程的各项系数,我 们可以得到什么结论? ②你能解第二个方程了吗?
2.在解决新问题的过程中,我们用了什么 数学思想?
作业:P40第1,2题
思考题
2.P40第3题
在列方程解应用题的过程中我们应关 注哪些关键点?
1.P39随堂练习在解这些方程来自过程中,我们容易出 现什么错误?
P38做一做
思考题 如图,点A在直线L 上,点B到直线L的距 离为xcm,将曲线段AB沿直线L的方向 平移(x-10)cm,连接BD,得到面积为 75cm2的曲四边形ABCD,求x的值.
l
D C B A
1.本节我们主要学习了什么知识和方法?
3x 8 x 3 0
2
在解二次项系数不为1的一元二次方程 时,整个流程的步骤是什么?
定义：
将方程化为(x+m)2=a 的形式，当a≥0时，
两边直接开平方即可求出它的解，这种方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤: 把方程的二次项系数化为1
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开平方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程，得出原方程的解.
北师大版九年级上册数学 2.2 第2课时 配方法(优质) 教学课件
解：移项，得 2x2－3x=－1,
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 ,
22
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
1 2
3 4
2
,
即
x
3 4
2
1 16
,
移项和二次项系数
由此可得 x 3 1 ,
3
为什么方程 两边都加12？
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，
上式都不成立，所以原方程无实数根．
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？
移项时需注意改变符号.
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. ①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
+(
3 2
)2= (
3 2
)2
-
2,
（t -
3 2
）2
=
1 4
.
移项,得
（t - 3 ）2 = 1 ,
2
2
即
t - 3 = 1 ,或 t - 3 = 1 .
22
2
2
所以
t1= 2 , t2 = 1 .
即在1s或2s时，小球可达10m高.
例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零.
规律总结
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.
①当p>0时,则 x n p ,方程的两个根为
配方法解一元二次方程(2)
7.2.2用配方法解一元二次方程第二课时教学目标(一)教学知识点1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤．(二)能力训练要求1．理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法．2．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．3．能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤．(三)情感与价值观要求通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力．教学重点用配方法求解一元二次方程．教学难点理解配方法．教学方法讲练结合法．教具准备投影片三张第一张，练习题(A)第二张：例题(B)第三张：做一做(C)教学过程I．巧设现实情景，引入新课[师]上节课我们探讨了一元二次方程的解法：直接开平方法和配方法．现在来复习巩固一下．(出示投影片A)解下列方程：(1)x2＝2；(2)(x-2)2＝2；(3)x2-4x+4＝5；(4)x2+8x+3＝0；(5)x2+5x+2＝0．[生甲]方程(1)可以用开平方法来解．解：两边同时开方，得x＝±2，即x 1＝2，x 2＝-2．[生乙]只要把方程(2)中的(x-2)看作整体，就化归为方程(1)的形式．解：两边同时开平方，得x-2=±2，即：x-2=2或x-2＝-2∴x 1＝2+2，x 2＝2-2．[生丙]方程(3)的左边是完全平方式，所以就可以变形为(x-2)2，即化归为方程(2)的形式．解：原方程变为(x-2)2＝5.两边同时开平方，得x-2＝±5，即x-2＝5或x-2＝-5．∴x 1=2+5，x 2=2-5[生丁]方程(4)需要利用配方法，把它化为(x+m)2＝n 的形式，然后利用开平方法即可求出其解．解：把常数项移到方程的右边，得x 2+8x ＝-3．两边都加上42(一次项系数8的一半的平方)，得x 2+8x+42＝-3+42，即(x+4)2＝13．两边同时开平方，得x+4＝±13，即x+4＝13或x+4＝-13．∴x 1=-4+13，x 2＝-4-13[生戊]方程(5)的一次项系数5是奇数它的一半(即25)是分数，如果利用配方法的话，那么，配的常数项是分数而不是整数．老师，这样是否也能求解呢?[师]噢，那大家想一想，做一做，看戊同学的问题能不能解决?[生]能，我的解答如下：把常数项移到方程的右边，得x 2-5x ＝-2．两边都加上(25)2，得 x 2+5x+(25)2＝-2+(25)2， 即(x+25)2=417．两边同时开平方，得x+25＝±217，即x+25＝217或x+25＝-217所以x 1＝2175+-，x 2＝2175--．[师]同学们能触类旁通，这很好．这节课我们继续来探讨利用配方法解一元二次方程．Ⅱ．讲授新课[师]由刚才大家求解的方程可知：不论方程的一次项系数是奇数还是偶数，只要通过配方把方程的一边变形为完全平方式，另一边变形为非负数，就可以求解． 下面同学们来用配方法解方程．(出示投影片B)1．用配方法解方程x 2+38x-1＝0． [生甲]解：移项，得x 2+38x ＝1．配方，得 x 2+38x+(34)2＝1+(34)2， (x+34)2=．925两边同时平方，得 x+34＝±35， 即x+34=35或x+34＝-35．所以x 1= 31，x 2＝-3．[师]很好．这个方程的一次项系数是分数，所以配方时一定要注意正确性．接下来，我们来看另一题：(出示投影片B)2．尝试将方程3x 2+8x-3＝0的左边配方，并求解这个方程．[师]观察一下，这个方程与前面解的方程一样吗?[生乙]不一样．这个方程的二次项系数是3，而前面解的那些方程的二次项系数是1．[师]噢，那二次项系数不为1的一元二次方程的左边如何配方呢?如何求解这个方程呢?[生丙]完全平方式是a 2±2ab+b 2．由此可知：配方法中方程的两边都加上一次项系数一半的平方的前提是方程的二次项系数为1，所以，这个方程应先利用等式的性质进行更形，使它的二次项系数为1，然后再利用配了法进行求解．[生丁]噢，我知道了，只要把方程3x 2+8-3＝0的两边都除以3，方程就变形为二次项系数为1的方程，而二次项系数为1的方程我们可以通过配方求解，所以方程3x 2-8x-3＝0也可求解．[师]对，这样我们就把新知识转化为旧知识，新知识便可理解、掌握了．现在我们共同来解方程3x 2+8x-3=0．[师生共析]解：两边都除以3，得x 2+x38-1＝0． 移项，得x 2+38x ＝1． 配方，得x 2+38x+(34)2=1+(34)2 (x+34)2=925． 两边同时开平方，得 x+34=±35， 即x+34=35或x+34=-35． 所以x 1=31；x 2＝-3．[师]好，下面我们来总结用配方法解方程的一般步骤．(1)化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数．(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项．(3)要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的)(4)方程变形为(x+m)2=n 的形式．(5)如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．[师]同学们做得很好，下面大家来看一实际问题，你能解答吗?(出示投影片C) 做一做一小球以15 m ／s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：h=15t-5t 2．小球何时能达到10 m 高?[生]要求小球何时能达到10m 高，而小球向上弹出时满足h=15t-5t 2，因此根据题意，可得15t-5t 2＝10．这样只需求出方程15t-5t 2=10的解，本题即可解答．[师]这位同学分析得对吗?[生齐声]对．[师]噢，那你能解这个方程吗?[生]能．解：-5t 2+15t ＝10，两边都除以-5，得t 2-3t ＝-2．配方，得t 2-3t+(-23)2=-2+(-23)2， (t-23)2=41，即，t-23=21或t-23=21．所以t 1＝2,t 2=1．[师]很好，这两个解是原方程的解。
配方法(2)
当二次项系数不为1时，又如何配方 4、你还有需要归纳的吗 （整理在你的学案上）
大家一起看
用配方法解一元二次方程步骤是：
（1）把原方程化成一般形式. （2）把二次项系数化为1.即方程兩边都除以
二次项系数. （3）把常数项移到方程的右边. （4）配方.即方程兩边都加上一次项系数一 半的平方. （5）用直接开平方法求出它的解.
老师却继续说，所有的恒星中，有一颗星叫天狼星，它距离我们地球10光年。而牛郎星和织女星， 离我们长达27光年。而现在距离我们最远的恒星是8万光年之外。 我们所看到的天穹，都不是现在的模样。我们此刻见到的是10光年之前的天狼星，27光年前的牛 郎星和织女星，8万光年之外的外星系。而现在的天狼星，我们在10年后才能知道。现在的牛郎 织女星要在27年后才知道，最远的外星系，在8万年之后。 同学们，人生就像天际边的一颗恒星，我希望你们从现在开始，从此刻开始，努力地发光。十年 后，二十年后，我就能见到你们的最亮丽的人生。
努力发光
教我们高等数学的老师其实是个哲学家。十多年前，在长江岸边，我们面临着毕业。所有的老师 都祝愿我们以后事业有成。但他却在最后的一堂课上说：“最后一堂课，我们随便聊聊吧。”
那是一个下午，阳光很好，教室外的梧桐树华荫如盖，阳光从叶间抛洒下来，他指指一束阳光， 问：“你们见到的阳光是现在的吗？"
我们说：“当然是现在的阳光。” 老师说：“错了，太阳是距离地球最近的恒星，它发出的光线需要走8分钟才能到达地球。我们 现在所见到的阳光，是太阳8分钟之前发出，而不是现在。” 我们茫然，但又觉得莫名其妙。我们不知老师为什么要聊天文方面的话题。
自我练习
根据刚才学习的配方法自己独立完成课本第34 页练习1 练习2（左边的1、2、3右边的2、4、6）
1.22一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(提高)
1.22一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（提高）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力。
【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. 用配方法解方程：(1)2410x x --=； (2)22730x x ++=．【思路点拨】方程(1)的二次项系数是1，方程(2)的二次项系数不是1，必须先化成1，才能配方，这是关键的一步．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是把方程化为2()(0)mx n P P +=≥的形式，然后用直接开平方法求解． 【答案与解析】(1)移项，得241x x -=． 配方，得224214x x -+=+．即2(2)5x -=．直接开平方，得25x -=±， ∴ 125x =+，225x =-． (2)移项，得2273x x +=-，方程两边同除以2，得27322x x +=-， 配方，得22277372424x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2725416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，直接开平方，得7544x +=±． ∴ 112x =-，23x =-． 【点评】配方要注意一次项的符号决定了左边的完全平方式中是两数和的平方还是两数差的平方．举一反三：【变式】 用配方法解方程 （1）（2）20x px q ++=【答案】（1）2235x x +=2253x x -=-25322x x -=-2225535()()2424x x -+=-+ 251()416x -=5144x -=±123,12x x ==.（2）20x px q ++=222()()22p px px q ++=-+224()24p p qx -+=①当240p q -≥时，此方程有实数解，221244,22p p q p p qx x -+----==； ②当240p q -＜时，此方程无实数解.类型二、配方法在代数中的应用2. 用配方法证明21074x x -+-的值小于0．【思路点拨】本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致． 【答案与解析】22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫-+-=-+-=--- ⎪⎝⎭ 27494910410400400x x ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭ 274910420400x ⎡⎤⎛⎫=----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵ 2710020x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴ 271111002040x ⎛⎫---< ⎪⎝⎭， 即210740x x -+-<．故21074x x -+-的值恒小于0．【点评】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．举一反三：【变式】试用配方法证明：代数式223x x -+的值不小于238． 【答案】 22123232x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭22211123244x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21123416x ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112348x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2123248x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．∵ 1204x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴ 2123232488x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭．即代数式223x x -+的值不小于238．3. 若实数x y ，满足224250x y x y +--+=，则32x y y x+-的值是（ ）Ａ．1Ｂ．322+ Ｃ．322+ Ｄ．322-【答案】C ；【解析】对已知等式配方，得2210x y -+-=2（）（），∴21x y ==，． ∴32x y y x+-22121213222132221+++====+---（）．故选Ｃ． 【点评】本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 举一反三： 【变式】（1）的最小值是 ；（2）的最大值是 .【答案】（1）222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+-=+-=++--=+-⎢⎥⎣⎦；所以的最小值是152-（2）22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x -++=--+=--+-+=--+所以的最大值是9.4. 分解因式：42221x x ax a +++-． 【答案与解析】42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++- 4222212x x x ax a =++--+（）（）2221x x a =+--（）（） 22(1)(1)x x a x x a =++-+-+．【点评】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式． 【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程220x x m --=，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．2(1)1x m -=+ B ．2(1)1x m +=+ C ．22(1)1x m -=+ D ．22(1)1x m +=+ 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -= B ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．2890x x ++=化为2(4)25x +=D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3．用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( )A ．(x ＋1)2＝6B ．(x ＋2)2＝9C ．(x －1)2＝6D ．(x －2)2＝9 4．不论x 、y 为何实数，代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式 的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-43x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 8．已知223730216b a a b -+-+=，则4a b -的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，•所以方程的根为_________．11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．已知.则的值为 .三、解答题13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14．分解因式44x +．15．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】A ；【解析】配方的步骤是：(1)移项，把常数项移到等号右边；(2)把二次项系数化为1，即在方程两边同时除以二次项系数；(3)配方，在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方．2．【答案】C ；【解析】选项C ：2890x x ++=配方后应为2(4)7x +=．3．【答案】C ；【解析】x 2－2x －5＝0，x 2－2x ＝5，x 2－2x ＋1＝5＋1，(x －1)2＝6. 4．【答案】D ； 【解析】2222247(1)(2)22x y x y x y ++-+=++-+≥．5．【答案】A ；【解析】原方程化简为：（x 2+y 2）2-2(x 2+y 2)-8=0,解得x 2+y 2=-2或4，-2不符题意舍去.故选A. 6．【答案】A .【解析】由t 是方程的根得at 2+bt+c=0,M=4a 2t 2+4abt+b 2=4a(at 2+bt)+b 2= b 2-4ac=△.故选A.二、填空题7．【答案】（1）49；23x -； （2）24p ；2px +.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方. 8．【答案】12－；【解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 31314422422a b -=-=-=-． 9．【答案】4；【解析】4x 2-ax+1=(2x-b)2化为4x 2-ax+1=4x 2-4bx+b 2,所以241a b b =-⎧⎨=⎩－ 解得41a b =⎧⎨=⎩或41a b =-⎧⎨=-⎩所以4ab =.10．【答案】（x-1）2=5；15± ．【解析】方程两边都加上1的平方得（x-1）2=5，解得x=15±.11．【答案】；2或6.【解析】3x 2-2x-3=0化成；即2(-)232aa =-，a=2或6.12.【答案】5； 【解析】原式三、解答题13. 【答案与解析】(1)将常数项移到方程右边 3x 2-4x=2将二次项系数化为1：x 2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x 2-x+()2=+()2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x 1=， x 2=.(2)将常数项移到方程右边x 2-4x=-6．两边都加“一次项系数一半的平方”=(-2)2，得x 2-4x+(2)2=-6+(2)2．(x-2)2=2，用直接开平方法，得 x-2=±， ∴ x=3或x=．14. 【答案与解析】4222224()22222x x x x +=++-22222(2)(2)(22)(22)x x x x x x =+-=++-+． 15. 【答案与解析】a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=(a 2+6ab+9b 2)-(25b 2-10bc+c 2)=(a+3b)2-(5b-c)2=(a+8b-c)(a-2b+c)∵a,b,c 为三角形的三边长,∴a+b-c ＞0,a+8b-c=(a+b-c)+7b ＞0. 故由条件只有 a-2b+c=0,即a+c=2b.。
配方法(2)
高石崖初级中学九年级数学导学案年级九课题配方法（二）授课时间9.20学习提纲一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系： h=15 t―5t2小球何时能达到10m高？解：解方程：(1) 4x2=64 (2) 2(x+4)2= 8二次备课设计人王勇使用人王勇飞王勇贾光荣审签人学习目标1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤．复习回顾1、什么叫配方法？2、怎样配方？_________________________________________________.3、解方程：（1）x2+4x+3=0 （2）x2―4x+2=0学习提纲自主学习：解方程：3x2+8x―3=0（通过分析我发现本题与上节课所学内容有何区别_________________________________________________）解：两边都除以3，得： ________________移项，得：__________________配方，得：______________________（方程两边都加上一次项系数一半的平方）_____________即：x+43=±53所以x1=13，x2=―3合作探究1、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把________________化为1；（2）通过_________使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项。
（3）方程两边同时加上________________________.（4）用__________________法求出方程的根。
2、、学以致用，我的课堂我做主二次备课达标检测解方程： (1)2x2+4x－16=0 (2)41x2－6x+3=0.拓展延伸两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4 cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长.收获体会课后学生作业设计日期： 班级： 姓名： 学号：A 类 作 业B 类 作 业日期 次数 等级1、填空：（1）22)1(3_______63-=+-x x x2、用配方法解方程（1）0762=--x x （2）01322=--x x（3）02932=+-x x （4）06322=--x x3、当x 为何值时，1722-+x x 与14+x 的值相等？日期 次数 等级1、填空 32(______)312322+=+-x x 2、用配方法解方程（1）0132=++x x （2）6x 2-7x+1=0（3）5x 2-18=9x （4）5x 2=4-2x3、如图，在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE=EB=EC=a ，且a 是一元二次方程0322=-+x x 的根，求ABCD 的周长。
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=(x-5)2+(y+4)2+1;
无论x,y取何值,(x-5)2≥0,(y+4)2≥0,
故(x-5)2+(y+4)2+1≥1>0.
因此代数式的值总是正数.
2 2 2
【规律总结】用配方法解一元二次方程“五步法” 1.移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数. 2.化1:方程的两边同除以二次项系数,把二次项系数化为1. 3.配方:在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方,化成(x+m)2=n 的形式. 4.开方:若n≥0,则两边直接开平方得到一元一次方程,若n<0,则原方 程无解. 5.求解:解所得到的一元一次方程,得出原方程的解.
当x=5时,x2-10x+36=(x-5)2+11=11.
(2)∵-4x2+8x-5=-4(x2-2x)-5=-4(x-1)2-1,
∵(x-1)2≥0,∴-4(x-1)2≤0,
∴-4(x-1)2-1<0. 即:代数式-4x2+8x-5的值是负数, 当x=1时,最大值为-1,无最小值.
(3)小明的说法是正确的.此代数式总是正数.
25 5 2. 3.x2+10x+___=(x+__) 12 6 2. 4.x2+___x+36=(x+__) 4 5.x2+8x+20的最小值为__.
知识点一
用配方法解一元二次方程
【示范题1】(6分)(2014·泰州中考)解方程:2x2-4x-1=0.
【规范解答】移项，得2x2-4x=1.………………………………1分
知识点二
配方法的应用
【示范题2】用配方法求2y2-7y+2的最小值. 【教你解题】
【规律总结】用配方法判断代数式最值的方法 把二次三项式配方成a(x+h)2+k的形式: (1)当a<0,x=-h时该二次三项式有最大值k. (2)当a>0,x=-h时该二次三项式有最小值k.
【备选例题】(1)对于二次三项式x2-10x+36,小聪同学作出如下结论:
无论x取什么实数,它的值都不可能等于11.你是否同意他的说法?说明
你的理由.
(2)说明代数式-4x2+8x-5的值是正数还是负数,并求出该代数式的最
大值或最小值. (3)小明说,无论x取何实数,代数式x2+y2-10x+8y+42的值总是正数.你 的看法如何?请谈谈你的理由.
【解析】(1)不同意.∵x2-10x+36=(x-5)2+11;
21.2.1 配 方 法
第2课时
1
二次项 常数项
一次项
1
3
-1
【结论】
1.配方法的定义
完全平方 形式来解一元二次方程的方法. 通过配成_________
2.配方法解一元二次方程的一般步骤
(1)二次项系数为1时. 二次项 、_______, 一次项 右边为_______; 常数项 ①移项:使方程左边为_______ 加上一次项系数一半的平方 ②配方:等号的两边都_________________________; ③直接开平方(降次); 一元一次方程 ④解_____________.
二次项系数 将二次项 (2)二次项系数不为1时,先将方程的各项除以___________, 系数化为1.
【小题快练】
1.判断对错:
(1)用配方法解方程x2+2x=2时两边同加上1.( √ ) (2)在方程2x2-6x=9的两边同时加上9,即把左边配成完全平方式.( × ) (3)代数式x2-8x配方后变为(x-4)2( × ) 2.若代数式x2-6x+k为完全平方式,则k的值为( C ) A.3 B.-3 C.9 D.-2分
配方，得x2-2x+12= 1 +12,
2 2 2
(x-1)2= 3 .………………………………………………………4分 两边开平方，得x-1=± 6 , ∴x1= 1 6 ,x2=1 6 .…………………………………………6分