物理光学A傅里叶光学
物理光学教程 第五章 傅里叶光学
G( fξ , fη )
(5-66) 66)
ε ( fξ , fη )
G( fξ , fη )
ex { j Φε ( fξ , fη ) Φg ( fξ , fη ) } p
[
]
3. 相干传递函数与光瞳函数的关系
相干传递函数在空间频率坐标(f ξ,fη)的值 相干传递函数在空间频率坐标 (fξ,fη) 的值 , 与光瞳函数在空间坐标 (f 的值, (ξ=-λdf η=-λdfη)处的取值相等 处的取值相等. (ξ=-λdfξ,η=-λdfη)处的取值相等.
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5.1.1 薄透镜的位相变换因子
按照波动光学的观点,透镜的作用只不过是一个位相变换器, 按照波动光学的观点,透镜的作用只不过是一个位相变换器,它通过位相延迟 位相延迟的大小正比于透镜孔径内各点的光学厚度. 改变入射光波的波前 ,位相延迟的大小正比于透镜孔径内各点的光学厚度. 透镜的位相变换因子为: 透镜的位相变换因子为:
2. 线性系统与叠加积分
对于均匀各向同性媒质的近轴光学系统,在微扰原理成立的前提下, 对于均匀各向同性媒质的近轴光学系统,在微扰原理成立的前提下, 均可看做是线性系统. 均可看做是线性系统. 线性系统的最显著特征是,它对任意复杂函数的响应, 线性系统的最显著特征是,它对任意复杂函数的响应,能够表示为对 一系列"基元"函数响应的线性叠加. 一系列"基元"函数响应的线性叠加.系统对基元函数的输入输出性 质清楚了,它对任意复杂输入的响应特性也就清楚了, 质清楚了,它对任意复杂输入的响应特性也就清楚了,这是线性系统 分析的基本方法. 分析的基本方法. 对于光学系统,无论是相干光系统还是非相干光系统, 对于光学系统,无论是相干光系统还是非相干光系统,也不论系统是 否用于成像的目的, 否用于成像的目的,最直接的方法是将输入面上的光场分布分解为一 系列点光源的线性叠加. 系列点光源的线性叠加.
2-1衍射和傅里叶光学基础详解
2.1.1 标准形式的一维非初等函数
（1） 矩形函数
又称为门函数，表示为
rect(x)
rect x 或 x
1
1 rect(x) 1/ 2
0
x 1/ 2 x 1/ 2 x 1/ 2
x -1/2 O 1/2
rect( x)dx 1
曲线下面积为1，表示矩形光源、狭缝或矩形孔的透射率
（2）sinc 函数
与某函数相乘使其极性翻转
sgn(x)
1 x
0 -1
（5）阶跃函数
• 定义：
1 step(x) 1/ 2
0
x0 x0 x0
step(x )
1 x
0
表示刀口或直边衍射物体或开关信号等
（6）圆柱函数
1 circ(r) 1/ 2
0
r 1 r 1 r 1
Circ (r)
1
y
x
O
1
circ(
x2 a
y2
22
1、直角坐标系中的二维非初等函数
(1)二维矩形函数，定义式为：
1
rect(x, y) rect(x)rect( y) 1/ 2
0
————可分离变量函数
| x | 1/ 2and | y | 1/ 2 | x || y | 1/ 2
| x | 1/ 2and | y | 1/ 2
rect(x, y)
1
在光学问题中，常用来描述一个均匀 照明方形小孔的振幅透射系数。
二维矩形函数的一般表达式为：
1
1
2
rect( x x0 , y y0 ) rect( x x0 )rect( y y0 )
图11
ab
傅里叶光学
实验题目：傅里叶光学实验目的：傅里叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝（Abbe ）为了提高显微镜的分辨本领所做的努力。
他提出一种新的相干成象的原理，以波动光学衍射和干涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提高成像质量的理论问题。
1906年波特（Porter ）用实验验证了阿贝的理论。
1948年全息术提出，1955年光学传递函数作为像质评价兴起，1960年由于激光器的出现使相干光学的实验得到重新装备，因此从上世纪四十年代起古老的光学进入了“现代光学”的阶段，而现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六十年代起开始。
由于阿贝理论的启发，人们开始考虑到光学成像系统与电子通讯系统都是用来收集、传递或者处理信息的，因此上世纪三十年代后期起电子信息理论的结果被大量应用于光学系统分析中。
两者一个为时间信号，一个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都可以用傅立叶变换的方法。
将光学衍射现象和傅立叶变换频谱分析对应起来，进而应用于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象，而且使近代光学技术得到了许多重大的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配滤波器等等，因此形成了现代光学中一门技术性很强的分支学科—傅里叶光学。
实验原理：我们知道一个复变函数f(x,y)的傅立叶变换为⎰⎰+-=ℑ=dxdy vy ux i y x f v u F )](2exp[),()}y ,x (f {),(π ( 1 )F (u,v)叫作f(x,y)的变换函数或频谱函数。
它一般也为复变函数，f(x,y)叫做原函数，也可以通过求 F(u,v)逆傅立叶变换得到原函数f(x,y)，⎰⎰+=ℑ=-dudv vy ux 2i v u F v u F y x f 1)](exp[),()},({),(π （2）在光学系统中处理的是平面图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数（简称空间函数）来表示。
傅里叶光学解析
20世纪上半叶
20世纪40年代至 60年代 20世纪60年代以来
1、傅里叶光学的发展历史
5）现代光学发展的三件大事
✓ 1948年，全息术的诞生，物理学家第一次精确地拍摄下一张立体的物体 像，它几乎记录了光波所携带的全部信息 (这正是“全息”名称的来历)！ ✓ 1955年，科学家第一次提出“光学传递函数”的新概念，并用它来评价 光学镜头的质量。 ✓ 1960年，一种全新的光源-激光器诞生了，它的出现极大地推动了相关学 科的发展。
2、傅里叶光学的研究内容和研究方法
1）傅里叶光学基于傅里叶变换的方法研究光学信息在线性系统中的 传递、处理、变换与存储等。 2）傅里叶光学主要的研究内容包括： ✓光在空间的传播（衍射和干涉问题） ✓光学成像（相干与非相干成像系统） ✓全息术（包括计算全息） ✓光学信息处理（相干滤波、相关识别等） ✓光学变换、光计算、光学传感等 3）傅里叶光学主要的研究方法：
傅里叶光学 Fourier Optics
薛常喜 光电工程学院
1、傅里叶光学的发展历史
1）光学是一门古老的学科，主要研究光波的本性、光 波
的传播以及光与物质的相互作用。 2）光学的发展历史可以追溯到公元前5世纪，到目前 已经
有2000多年的历史，并逐渐在物理学中形成了一门 独立
的基础学科。 3）光学的发展历史可以看成是人们对光本性认识的历
史，以及人们利用光学技术推动社会不断进步的历 史。 4）在整个发展历史中，光学也从经典光学发展到现代
光学的发展历程
第一阶段：17世纪 中叶之前
经典光学的早期发 展阶段
【几何光学】
大学物理仿真实验傅里叶光学
⼤学物理仿真实验傅⾥叶光学⼤学物理仿真实验——傅⾥叶光学实验实验报告姓名：班级：学号：实验名称傅⾥叶光学实验⼀、实验⽬的1．学会利⽤光学元件观察傅⽴叶光学现象。
2．掌握傅⽴叶光学变换的原理，加深对傅⽴叶光学中的⼀些基本概念和基本理论的理解，如空间频率、空间频谱、空间滤波和卷积等。
⼆、实验所⽤仪器及使⽤⽅法防震实验台，He-Ne激光器，扩束系统（包括显微物镜，针孔（30µm），⽔平移动调整器)，全反射镜，透镜及架（f=+150mm，f=+100mm），50线/mm光栅滤波器，⽩屏三、实验原理平⾯波Ee(x,y)⼊射到p平⾯（透过率为）在p平⾯后Z=0处的光场分布为：E(x,y)= Ee(x,y)图根据惠更斯原理（Huygens’ Principle）,在p平⾯后任意⼀个平⾯p’处光场的分布可看成p平⾯上每⼀个点发出的球⾯波的组合，也就是基尔霍夫衍射积分（Kirchhoff’s diffraction integral）。
(1)这⾥：＝球⾯波波长；n＝p平⾯（x,y）的法线⽮量；K＝（波数）是位相和振幅因⼦；cos(n,r)是倾斜因⼦；在⼀般的观察成像系统中，cos(n,r)1。
r=Z+，分母项中r z；（1）式可⽤菲涅尔衍射积分表⽰：（菲涅尔近似 Fresnel approximation）(2)当z更⼤时，即z>>时，公式（2）进⼀步简化为夫琅和费衍射积分：（Fraunhofer Approximation）这⾥：位相弯曲因⼦。
如果⽤空间频率做为新的坐标有：，若傅⽴叶变换为(4)(3)式的傅⽴叶变换表⽰如下：E(x’,y’,z)＝F[E(x,y)]＝c图2 空间频率和光线衍射⾓的关系tg＝＝，tg＝＝＝，＝可见空间频率越⾼对应的衍射⾓也越⼤，当z越⼤时，衍射频谱也展的越宽；由于感光⽚和⼈眼等都只能记录光的强度（也叫做功率谱），所以位相弯曲因⼦(5)理论上可以证明，如果在焦距为f的汇聚透镜的前焦⾯上放⼀振幅透过率为g(x,y)的图象作为物，并⽤波长为的单⾊平⾯波垂直照明图象，则在透镜后焦⾯上的复振幅分布就是g(x,y)的傅⽴叶变换，其中空间频率，与坐标，的关系为：，。
【物理光学读书报告,傅里叶光学】王畅,3110101454
会聚透镜的最突出和最有用的性质之一是它能够进行二维傅里叶变换的本领。传统的傅里叶变换运算一般要用庞大、复杂且价格昂贵的电子学频谱分析仪才能进行，而这种复杂的模拟运算却可以用一具相干光学系统极其简单地完成。
透镜最为人熟悉的性质是它们的成像能力。若把一物体置于透镜之前并受到照明，那么在适当条件下在另一个平面上将出现一个与物体极为相似的光场强度分布，此强度分布称为该物体的像。像可实可虚，即光强分布可以出现在透镜后面的一个平面或者有透镜前的平面发出。利用傅里叶光学的分析手段求得透镜的脉冲响应并消去二次相位因子，可以方便地求出物体和像之间的关系以及光学传递函数。
而进入大学以来多门基础课专业课如微积分复变函数和信号与系统都讲授了傅里叶分析的有关知识这也使笔者对傅里叶分析在光学中的应用产生了浓厚兴趣阅读了不少相关文献加深了对傅里叶光学的学习和认识同时也进行了自己的思考和研究
物理光学读书报告
关于傅里叶光学的阅读、学习与思考
姓 名：王 畅
学 号：**********
2.傅里叶光学的主要内容
2.1标量衍射理论
为了透彻地了解光学成像系统和光学数据处理系统的特性，对衍射现象以及它对系统性能所加的限制有所理解是必须的。基尔霍夫在1882年把惠更斯和菲涅尔的概念放在了一个更为坚实的数学基础上，并且成功地证明了菲涅尔所赋予次级波源的振幅和相位其实是光的波动本性，形成了基尔霍夫理论。后来索末菲修正过基尔霍夫的理论，利用格林函数理论取消了基尔霍夫的两个假定，形成了瑞利-索末菲衍射理论。与此同时我们不应忽略，基尔霍夫理论和瑞利-索末菲理论都做了某些主要的简化和近似：在一定条件下把光当做标量现象来处理，即只考虑电场或磁场的一个横分量的标量振幅。要达到这种近似必须满足：（1）衍射孔径必须比波长大得多；（2）不要在太靠近孔径的地方观察衍射场。
傅里叶光学金典试题及答案和重要知识点总结
因位置不同而引起的位相色散
x , y
z z
菲涅耳衍射可视为函数
U
0
(
x0
,
y0 ) exp[
j
k 2z
( x0 2
y
0
2
)]
的傅里叶变换在处的值
（3）频域（角谱）表达式： A(u,v) A0 (u,v)exp( jkz)exp[ jz(u2 v2 )]
A(u, v) A0 , • H , H(u,v) exp( jkz)exp[ jz(u2 v2 )] A(u, v) 衍射场角谱 A0 , 孔径后角谱
3、脉冲响应是孔径的傅里叶变换或夫朗和费衍射图样，中心在（-Mx0, -My0）点。 8. 衍射受限系统, 阿贝成像理论；
所谓衍射受限 是指仅仅考虑系统的衍射限制， 不考虑系统的几何像差。
在衍射受限系统中，光的衍射仅受到系统孔径光阑尺寸的限制，因此在考察衍射受限系统时，实际上主要考察
孔径光阑的衍射作用。如果入（出）射光瞳无限大，则光的衍射不受系统的限制，点物应该成理想的点像。然而，
δ 函数的性质：①偶函数性质： （- x) （x) ②坐标缩放性质： (ax) 1 (x)
a
③筛选性质： f (x) (x x0 )dx f (x0 )
④乘积性质： f x• x x0 f x0 • x x0
⑤卷积性质： f x x f x
f x x x0 f x x0
成像过程包含了两次衍射过程：由物面到后焦面，物体衍射光波分解为各种频率的角谱分量，即不同方向传播
的平面波分量，在后焦面上得到物体的频谱。这是一次傅里叶变换过程。由后焦面到像面，各角谱分量又合成为
像，这是一次傅里叶变换逆过程。
9. 相干成像系统的点扩展函数, 相干传递函数； 相干照明系统中，脉冲响应是点物产生的衍射斑的振幅分布。
傅立叶光学实验报告
实验报告陈杨 PB05210097 物理二班实验题目: 傅里叶光学实验实验目的:加深对傅里叶光学中的一些基本概念和理论的理解，验证阿贝成像理论，理解透镜成像过程，掌握光学信息处理的实质，进一步了解透镜孔径对分辨率的影响。
实验原理：1.傅里叶光学变换二维傅里叶变换为：⎰⎰+-=ℑ=dxdyvy ux i y x f v u F )](2exp[),()}y ,x (f {),(π ( 1 ) 1()[(,)]x y g x F a f f -=， ''x y x f f y f f λλ⎧⎫=⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪=⎪⎪⎩⎭复杂的二维傅里叶变换可以用透镜来实现，叫光学傅里叶变换。
2.阿贝成像原理由于物面与透镜的前焦平面不重合，根据傅立叶光学的理论可以知换（频谱），不过只有一个位相因子的差别，对于一般情况的滤波处理可以不考虑。
这个光路的优道在透镜的后焦平面上得到的不是物函数的严格的傅立叶变点是光路简单，是显微镜物镜成像的情况—可以得到很大的象以便于观察，这正是阿贝当时要改进显微镜的分辨本领时所用的光路。
3.空间滤波根据以上讨论：透镜的成像过程可看作是两次傅里叶变换，即从空间函数(,)g x y 变为频谱函数(,)x y a f f ，再变回到空间函数(,)g x y ，如果在频谱面上放一不同结构的光阑，以提取某些频段的信息，则必然使像上发生相应的变化，这样的图像处理称空间滤波。
实验内容:1.测小透镜的焦距f1 （付里叶透镜f2=45.0CM ）.光路：直角三棱镜→望远镜（倒置）（出射应是平行光）→小透镜→屏。
（思考：如何测焦距？）夫琅和费衍射：光路：直角三棱镜→光栅→墙上布屏（此光路满足远场近似）（1）利用夫琅和费衍射测一维光栅常数；光栅方程：dsin θ=k λ 其中,k=0,±1, ±2, ±3,…请自己选择待测量的量和求光栅常数的方法。
（卷尺可向老师索要） 记录一维光栅的衍射图样、可看到哪些级？记录 0级、±1级、±2级光斑的位置；（2）记录二维光栅的衍射图样.3.观察并记录下述傅立叶频谱面上不同滤波条件的图样或特征； 光路：直角三棱镜→光栅→小透镜→滤波模板（位于空间频谱面上）→墙上屏思考：空间频谱面在距小透镜多远处？图样应是何样？（1）一维光栅：（滤波模板自制，一定要注意戴眼镜保护；可用一张纸，一根针扎空来制作，也可用其他方法）.a.滤波模板只让 0级通过;b.滤波模板只让0、±1级通过;c.滤波模板只让0、±2级通过;（2）二维光栅：a.滤波模板只让含0级的水平方向一排点阵通过；b.滤波模板只让含0级的竖直方向一排点阵通过；c.滤波模板只让含0级的与水平方向成45O一排点阵通过；d.滤波模板只让含0级的与水平方向成135O一排点阵通过.4.“光”字屏滤波物面上是规则的光栅和一个汉字“光”叠加而成，在实验中要求得到如下结果：a.如何操作在像面上仅能看到像面上是横条纹或竖条纹，写出操作过程；b. 如何操作在像面上仅能看到像面上是空心“光”，写出操作过程.实验数据处理：（详细见原始数据）1.小透镜的焦距按照实验内容中的光路图排好光路，在透镜后调节屏的位置。
光学经典理论傅里叶变换
光学经典理论｜傅里叶光学基础2018-02-24 17:00今天的光学经典理论为大家带来的是傅里叶光学基础，傅里叶光学是现代光学的一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方法移植到光学领域而形成的新学科。
光学人们可以看看！在电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号，一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。
在光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性理论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。
两者的区别在于，电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时间频率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换；在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数的傅里叶变换。
包含内容60年代发明了激光器，使人们获得了新的相干光源后，傅里叶光学无论在理论和应用领域均得到了迅速发展。
傅里叶光学运用傅里叶频谱分析方法和线性系统理论对广泛的光学现象作了新的诠释。
其主要内容包括标量衍射理论、透镜成像规律以及用频谱分析方法分析光学系统性质等。
推导演示一个光学信息系统和一个电学信息系统有许多相同之处，它们都是收集信息和传递信息，它们都有共同的数学工具──线性系统理论和傅里叶分析。
从信息论角度,关心的是信息在系统中传递过程;同样，对一个光学系统来讲，物和像的关系，也可以根据标量衍射理论由系统中光场的传播来确定，因此光学系统可以看成一个通信信道。
这样，通信理论中已经成熟的线性系统理论可以用来描述大部分光学系统。
当物体用非相干光照射时，在系统像平面上强度分布与物体上强度分布成线性（正比）关系。
而用来描述电学系统的脉冲响应h(t，τ)概念，即系统对一窄脉冲δ(t)（狄喇克δ函数）的响应，也可以用来描述光学系统，即用光学系统对点光源δ(x，y)的响应(点光源的像)h(x,y；ξ，η)来描述系统的性质，两者的区别仅仅在于电学系统的脉冲响应是时间一维函数，光学系统的脉冲函数是空间二维函数，另外两者都具有位移不变性，前者分布不随时间位移而变，后者分布不随空间位移而变（即等晕条件）。
傅里叶光学(高等物理光学)
第一章光场的表示和Fourier分析1.1 Maxwell方程与标量波1.2 平面波和球面波1.3 二维Fourier变换的定义和物理意义1.4 卷积和相关1.5 Fourier变换的基本性质1.6 可分离变量的Fourier变换1.7 一些常用函数和它们的Fourier变换17空间频率概念的引入f (2j eU )y ,x (U π=/1/1==f f y x λcos =X9112. ( f x , f y )的物理意义方向余弦为(cos α, cos β) 的单色平面波在xoy平面上的复振幅分布是以2π为周期的分布，该复振幅分布可用沿x，y 方向的空间频率( f x , f y ) 来描述3.根据波叠加原理，任何复杂的光场分布可以分解为许多不同方向传播的平面波的叠加，或分解为许多不同空间频率的波的叠加.此式表示一个在xy 平面上沿x方向的空间频率为f x ，沿y方向的空间频率为f y 作周期的复振幅函数，它代表一个传播方向为( cos α＝λf x ，cos β＝λf y )的平面波.)(20),(y f x f j y x eU y x U +=π)cos cos (0),(βαy x jk e U y x U +=四、球面波的复振幅1、定义：点光源发出的单色光波等相位面是球面波1215近轴条件：只考虑xoy 平面上与S 点张角不大的范围.3、近轴条件下球面波的复振幅(1)171.3 Fourier变换的定义和物理意义一、广义变换∫∞∞−=dxx k x f I f ),()()(αα把函数f (x)在x 空间变换成α空间的I f (α)的函数，I f (α) 叫函数f (x) 的以k (α,x) 为核的积分变换.变换Fourier e x k x j −−=−παα2),(拉普拉斯变换−−−x e α梅林变换−−−1αx 阶汉克尔变换n xJ n −−)(α18二、一维Fourier变换1、定义t j eπν2基元函数代表频率为ν的简谐振荡.F (ν)= F {f ( t )}=∫∞∞−−dte tf t j πν2)({}dve v F v F tf vt j π21)()()(∫∞∞−−==F 2、物理意义：1) f (t)可分解为许多基元函数的线性组合;2) F (ν)权重因子.1921四、存在条件(函数g(x,y)存在FT的条件)1、g(x,y)在整个xy平面绝对可积∫∫∞<dxdy y x g |),(|五、广义Fourier变换g (x ,y)＝),(lim y x g n n ∞→G (f x ,f y )＝),(lim y x n n f f G ∞→2、在任一有限区域里，g(x,y) 必须只有有限个间断点和有限个极大和（或）极小点;3、g(x,y)必须没有无限大间断点.23若g(x,y) 为实函数，G( f x , f y ) 是厄米函数，则G (-f x ,-f y ) = ( f x , f y )即振幅|G (-f x ,-f y ) | = |G( f x , f y )|幅角φ(-f x ,-f y ) = -φ( f x , f y )其中( f x , f y )是G( f x , f y )的共轭复数，G ( f x , f y )是中心对称的函数.傅立叶变换并不改变函数的奇偶性,通常该性质称为傅立叶变换的对称性.∗G ∗G24一、卷积（Convolution）1. 定义：αααd x h f x h x f x g )()()()()(−∫=∗=∞∞−展宽：卷积运算的宽度是原来两个函数宽度之和.设f (x) 宽度为b 1, h (x) 的宽度为b 2,则g (x) 的宽度是：b = b 1＋b 2 .1.4 卷积和相关卷积运算的几何解释：先反转h (α)，每平移一个距离x，计算f (α)h (x -α)相乘，∫∞∞−−da a x h a f )()(求面积；再绘成g(x) 随x 变化的图形；积分252627)}()({)}()({)()}()({x h x v b x h x u a x h x bv x au ∗+∗=∗+4)结合性：)()()()()()()()}()({x v x h x u x h x v x u x h x v x u ∗∗=∗∗=∗∗)()()(x u x v x h ∗∗=卷积的次序是无关紧要的.2. 性质：1)平滑性：g (x)的变化率<< f (x)、h (x)的最大变化率；2)对易性：f (x) * h (x)= h (x) * f(x)；3)线性性质：30二、相关（correlation）1. 定义：αααd x h f x h x f x g )()()()()(*−∫==∞∞−★令：x −=αβ得：βββd h x f )()(*∫∞∞−+ηξηξηξd d y x h f y x h y x f y x g ),(),(),(),(),(*−−∫∫=∞∞−＝★ηξηξηξ′′′′∫∫+′+′∞∞−d d h y x f ),(),(*＝与卷积运算的区别：没有反转，只有平移.)(αh )(α−h31相关运算示意图322.性质：1)尖峰化：相关运算是两个信号之间存在相似性的量度.34若f (x) = h (x),则：αααd x f f x f x f x g )()()()()(*−∫==∞∞−★ηξηξηξ∫∫−−=∞∞−d d y x f f y x f y x f ),(),(),(),(*★ηξηξηξ′∫∫′′′+′+′=∞∞−d d f y x f ),(),(*3. 自相关函数：1)定义：3538六、自相关定理七、Fourier积分定理对函数相继进行正FT变换和逆FT，得到原函数.八、FT的FT对函数相继进行FT，所得的函数形式不变，仅将坐标反向.F {g (x,y )☆g (x,y )}=|G (f x , f y )|2F {|G (f x , f y )|2}= g (x,y )☆g (x,y )F –1{F {g (x,y )}}= F {F –1{g (x,y )}}=g (x,y )F {F {g (x,y )}}=g (-x,-y )自相关函数的FT是原函数的功率谱，信号的自相关和功率谱之间存在FT关系.F {g (x,y )☆h (x,y )}= (f x , f y )·H (f x , f y )——互相关定理∗G 两函数的互相关与其互谱密度之间存在FT关系.41结论：在极坐标中可分离变量函数g (r ,θ)=g r (r )g θ(θ)它的频谱在极坐标中也是可分离变量函数，关于φ的函数是exp(j k φ)，关于ρ的函数是G k (ρ) 它为g r (r ) 的k 阶汉克尔变换.=ρ45464748491.7、一些常用函数和它们的FT50。
傅里叶光学
实验题目：傅里叶光学实验目的：加深对傅里叶光学中的一些基本概念和基本理论的理解，如空间频率、空间频谱、空间滤波和卷积等。
通过实验验证阿贝成像理论，理解透镜成像的物理过程，进而掌握光学信息处理的实质，通过阿贝成像原理，也可进一步了解透镜孔径对分辨率的影响。
实验原理：见预实验报告。
实验步骤：1、调节仪器打开激光器，取一张白纸挡在光路上，观察光圈中红光集中在那个位置，调节全反射镜，使红光集中在光圈中心。
然后将一维光栅、透镜放在光具座上，调节仪器竖直位置与水平位置，使得激光正好经过仪器正中央。
2、测透镜焦距取一张白纸家在遮光屏上，移动遮光屏，观察其上的激光，待到出现一排清晰的衍射光点时，该位置到透镜的距离即为透镜的焦距。
3、观察光分别经过一维、二维光栅后在屏上所成像，并计算一维光栅参数。
取下白纸，观察墙上光幕中有何现象。
取下一维光栅，安上二维光栅，观察墙上光幕有何现象。
4、观察一维光栅条纹取下二维光栅，换上一维光栅。
把白纸放回焦点上，并在k=0级衍射点处扎一小孔，使得只让0级衍射光通过，观察墙上光幕中有何现象。
在k=0、1、-1级衍射点处扎一小孔，使得只让0、1、-1级衍射光通过，观察墙上光幕有何现象。
在k=0、1、-1、2、-2级衍射点处扎一小孔，使得只让0、1、-1、2、-2级衍射光通过，观察墙上光幕有何现象。
5、观察二维光栅条纹取下一维光栅，换上二维光栅，将白纸放到焦平面上。
扎透含零级衍射的一列水平方向的衍射点，观察现象。
扎透含零级衍射的一列竖直方向的衍射点，观察现象。
扎透含零级衍射的一列与水平方向成45°角（逆时针方向旋转）的衍射点，观察现象。
扎透含零级衍射的一列与水平方向成135°角的衍射点，观察现象。
6、观察光通过光字板后的成像将小透镜与二维光栅取下，换上光字板与大透镜。
观察墙上光幕中光字中的条纹。
设法将光字中的横条纹去掉。
设法将光字中的纵条纹去掉。
设法将光字中的条纹都去掉。
傅立叶光学
Linear Systems
1．线性系统 3）线性系统的定义 g(x, y) = {f(x, y)}
定义: 如果 g1(x, y) = 输入
f(x, y)
{
}
输出
g(x, y)
{f1(x, y)}， g2(x, y) =
{f2(x, y)}
若对任意复常数a1， a2有： {a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } =
2.2 线性不变系统
输入输出关系: 空域
Linear Shift-Invariant System
2．二维线性空不变系统 2-D Linear Space Invariant Systems
+∞
∵ f ( x, y ) = f ( x, y ) ∗ δ ( x, y ) = ∫
∴ g (x, y) =
逆傅立叶变换的物理意义：物函数f(x,y)可看作是无数振幅不同 ( F ( f x , f y )df x df y） 方向不同（ cosα＝λfx cosβ＝ λ fy ）的平面波线性叠加的结果。 这种方法通常称为傅立叶分解
1.线性系统
2.1 线性系统 Linear Systems
4)线性系统的分析与综合：
g(x, y) =
=
叠加积分
{f(x, y)}
+∞
∫∫ ∫∫
f (ξ ,η )
{ δ ( x − ξ , y − η ) }d ξ d η
−∞ +∞
=
f (ξ ,η ) h ( x , y ; ξ ,η ) d ξ dη
−∞
只要知道各个脉冲响应函数(点扩散函数), 系统 的输出即为脉冲响应函数的线性组合. 问题是如 何求对任意点的脉冲δ (x-ξ, y- η)的响应h(x, y;Linear Space Invariant Systems
《傅里叶光学》课件
光通信
利用傅里叶光学原理实现高速光信号的传输和处 理，提高通信容量和速度。
3
光学仪器设计
傅里叶光学在光学仪器设计中的应用，如干涉仪 、光谱仪等。
傅里叶光学的发展前景和挑战
发展前景
随着光子技术的不断发展，傅里叶光学在光通信、光学仪器、生物医学等领域的应用前 景广阔。
傅里叶光学在光学显微镜、光谱仪和 OCT等生物医学成像技术中被广泛应 用。
光电子器件
利用傅里叶光学原理设计的光电子器 件，如光调制器、光滤波器和光开关 等。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程，通过正弦和余弦函数的线性组合 来表示信号。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换在信号处理中的应用
频域滤波
通过在频域对信号进行滤波，可以实现信号的降噪、增强等处理 。
信号压缩
利用傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而实现对信号的 压缩和编码。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有广泛应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。
03
光学信号的傅里叶分析
光学信号的表示和测量
05
傅里叶光学的实践应用
傅里叶光学的实验技术
光学干涉实验
利用干涉现象研究光的波动性质，验证傅里叶光学的 基本原理。
光学衍射实验
通过衍射实验观察光的衍射现象，理解傅里叶光学中 的衍射理论。
光学频谱分析实验
利用傅里叶变换对光信号进行频谱分析，研究光波的 频率成分。
傅里叶光学的应用案例
1 2
图像处理
干涉和衍射在光学系统中的应用
傅里叶光学实验
傅里叶光学的空间频谱与空间滤波实验11系09级X世杰日期2021年3月30日学号PB09210044实验目的：1.了解傅里叶光学中根本概念，如空间频率，空间频谱，空间滤波和卷积2.理解透镜成像的物理过程3.通过阿贝尔成像原理，了解透镜孔径对分辨率的影响实验原理：一、根本概念频谱面：透镜的后焦面空间函数：实质即光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数空间频谱：一个复变函数f(x,y)的傅立叶变换为⎰⎰+)exp[,(F)]((π,u){,()}f=dxdyvyℑv-ux=yx2ifxyF(u,v)叫作f(x,y)的变换函数或频谱函数空间滤波：在频谱面上放一些光栅以提取某些频段的物信息的过程滤波器：频谱面上的光阑二、阿贝尔成像原理本质就是经过两次傅里叶变换，先是使单色平行光照在光栅上，经衍射分解成不同方向的很多束平行光，经过透镜分别在后焦面上形成点阵，然后代表不同空间频率的光束又在向面上复合而成像。
需要提及的是，由于透镜的大小有限，总有一局部衍射角度大的高频成分不能进入到透镜而被丢弃了，因此像平面上总是可能会丧失一些高频的信息，即在透镜的后焦平面上得到的不是物函数的严格的傅立叶变换〔频谱〕，不过只有一个位相因子的差异，对于一般情况的滤波处理可以不考虑。
这个光路的优点是光路简单，而且可以得到很大的像以便于观察。
物面透镜频谱面像面三、空间滤波器在频谱面上放置特殊的光阑，以滤去特定的光信号(1)单透镜系统(2)双透镜系统(3)三透镜系统四、空间滤波器的种类a．低通滤波：在频谱面上放如图2.4-3(1〕所示的光阑，只允许位于频谱面中心及附近的低频分量通过，可以滤掉高频噪音。
b．高通滤波：在频谱面上放如图2.4-3(2)所示的光阑，它阻挡低频分量而让高频分量通过，可以实现图像的衬度反转或边缘增强。
c．带通滤波：在频谱面上放如图2.4-3(3)所示的光阑，它只允许特定区域的频谱通过，可以去除随机噪音。
傅里叶光学
~ U 2 ( x, y ) z
17
透镜的透射函数
由图中可以得出 D1 R 1 R 1 ( x 2 y 2 ) , 将 略去 x2y2 展开 D 1 , 2R 1 D 2 R 2 R 2 (x 2 y 2 ) x2y D2 2R 2
2
2 2 1 1 nd 0的影响，有 L ( x , y ) ( n 1)( （ ) x 2 y 2〕 2R 1 2R 2
透镜的傅立叶变换性质
2）当衍射屏置于透镜前一定距离时
E ( x2 , y2 ) E ( x1 , y1 ) E (x, y) E (u , v )
Light beam
f
L1
P
d0
F
从P到L1是菲涅尔衍射，所以有：
eikd0 ik 2 2 E ( x1, y1 ) E ( x , y ) exp{ [( x x ) ( y y ) 2 2 1 2 1 2 ]}dx2 dy2 id 0 2d 0 (3)
F
(1)
20
透镜的傅立叶变换性质
E ( x, y ) 是 E ' ( x1 , y1) 的菲涅耳衍射
eikf ' ik 2 2 E ( x, y ) E ( x , y ) exp{ [( x x ) ( y y ) 1 1 1 1 ]}dxdy i f 2f
23
透镜的傅立叶变换性质
从L1平面经过透镜到F面，由公式（2）给出。
x2 y2 ik[ f ] 2f
E ( x, y )
e
if e
x2 y2 ik[ f ] 2f
ik E ( x1 , y1 ) exp[ f ( xx1 yy1 )]dx1dy1 E ( x1 , y1 ) ( 2 )
傅里叶光学
傅里叶光学
傅里叶光学的原理是根据傅里叶分析的原理，利用光的波动特性，将一个复杂的光波分解成多个简单的光波，然后利用这些简单的光波来描述复杂的光波的特性。
这种分析方法可以用来研究光的传播，衍射，折射，反射和其他光学相关的现象，可以研究光的空间分布，特性，调制，幅度，相位等特性。
傅里叶光学是一种基于傅里叶变换的光学理论，它用来描述光线的行为，其中光线的行为可以用傅里叶变换的形式表示。
它是由法国物理学家和数学家约瑟夫·傅里叶发现的，他在1822年发表了一篇论文，提出了“傅里叶光学”的概念，并且将其用于描述光线的行为。
傅里叶光学的基本原理是，光线可以用一系列的正弦函数来表示，这些正弦函数的频率和振幅可以用傅里叶变换来表示。
换句话说，傅里叶光学可以用来描述光线如何传播，如何反射，如何折射，以及如何在介质中传播，等等。
傅里叶光学的原理被广泛应用于光学，以及其他科学和工程领域。
它可以用来解释和模拟光线在不同环境中的传播特性，以及光线在介质中的反射、衍射和折射等现象。
傅里叶光学简介
１．光栅衍射和空间频率
２．阿贝成像原理 3. 空间滤波和光学信息处理 (1) 阿贝-波特空间实验 (2) 网格实验 (3) 调制实验
数学中的傅里叶分析,应用到通信理论中, 将电信号的特征在频率域中讨论; 傅里叶分 析与光学中的衍射理论结合起来,形成傅里叶 光学. 傅里叶光学,是在频率域中讨论图象信 息.通信理论中涉及的是一维时间函数,傅立 叶光学中讨论的是二维空间的信号.
１．光栅衍射和空间频率
波长为的单色平面波垂直入射到平面 光栅G上．设光栅d/a=2, N很大,会聚透镜后 的焦平面上得到各级干涉极大，且偶数干涉 极大缺级.
x
0
3
1 -1
屏
0 -3
G光 栅
f
对于光栅我们可以用透过率函数（x） 来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形 波函数.
为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N无限大.
像
倾斜方向的频谱通过
像
灰网 尘格 粘 上 的
过只 让 网 格 的 频 谱 通
失网 格 的 像 灰 尘 消
(3)
调制实验
用白光照明透明物体,物体的不同部分是 由不同取向的透射光栅片组成.频谱面上(除 零级外)干涉主极大呈彩色.物面上不同的部 分的频谱在不同方向上. 将一个方向的频谱, 只保留一种颜色,滤掉其余的颜色,其对应的 象面上,就显示出该频率的颜色来.
5 p0
p
透射光栅的空间频率和功率谱
上图是矩形波在频率域中的表示,横坐标是 空间频率p, 纵坐标分别表示振幅A和功率A2. 周期性函数的频谱都是分立的谱,各谱线的 频率为基频整数倍.在p=0处有直流分量. 再回到光栅装置.由光栅方程,
d sin m ,
傅里叶光学实验报告
傅里叶光学实验报告摘要：本实验通过光学元件的调整，利用干涉仪实现了傅里叶光学实验。
实验结果表明，在合适的条件下，可以实现光场的物理变换，为光学信号的处理和传输提供了新的思路。
引言：傅里叶光学是基于傅里叶变换的原理，研究光场在透镜、衍射及干涉等传输过程中的变换规律。
傅里叶光学理论的应用，不仅可以为光学领域提供新的方法和实现技术，而且对于信息科学、通信技术等领域也具有重要的意义。
本次实验旨在掌握傅里叶光学实验的原理和方法，以及掌握干涉仪的基本操作技术。
实验原理：在光学传输过程中，各种光学元件会对光场进行各种变换，如缩放、旋转、平移等。
傅里叶光学理论认为，任何复杂的光学变换都可以分解为一系列基本变换的乘积，这些基本变换因形式各异而具有不同的物理意义。
例如，平移变换对应了频率空间中的相移，旋转变换对应了频率空间中的相位，缩放变换对应了频率空间中的尺度变换等。
傅里叶光学实验利用了干涉仪的干涉效应，实现了光场的物理变换，并通过干涉图案的记录和分析，得到了相关的光学信息。
在干涉仪中，可以通过调整反射镜、透镜等光学元件的位置和角度，实现不同的光学变换效果。
例如，在Fourier变换的情况下，通过调整透镜的位置或反射镜的角度，可以实现平移变换、缩放变换等操作。
实验结果：本次实验中，我们通过调整干涉仪的各个光学元件，实现了物理变换效果，并得到了相应的干涉图案。
通过对干涉图案的分析，实验结果表明，在适当的条件下，我们可以通过傅里叶光学实验，实现光学信号的物理变换、建模、分析和传输。
结论：傅里叶光学是一种重要的光学变换技术和分析手段，利用其可以实现光学信号的稳定传输和处理。
本次实验通过干涉仪实现了傅里叶光学实验，对傅里叶光学基本原理和实现方法有了更深入的了解，对后续的光学研究和应用具有良好的指导意义。
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白光
物面 傅里叶 频谱面 变换镜
输出面
S
f f
f
f
物面
频谱面
调制后的频谱面
调制后的像
光学信息处理应用举例:
(1)卫星拍照下来的月球照片是由许多照相 底片细工镶嵌而成的“合成照片”,但还能 看到各底片的接缝处的水平痕迹. 为了除 去这些痕迹,可用不透光的细长条将这些水 平接缝的频谱当住,在输出面上就得到没有 接缝的底片. (2)地震波记录的光学信息处理.
p
A2
5 p0 3 p0 p0 0 p0 3 p0 5 p0
p
透射光栅的空间频率和功率谱
上图是矩形波在频率域中的表示,横坐标是 空间频率p, 纵坐标分别表示振幅A和功率A2.
周期性函数的频谱都是分立的谱,各谱线的 频率为基频整数倍.在p=0处有直流分量.
再回到光栅装置.由光栅方程,
d sin m, (m 0, 1, 2, )
阿贝成像原理将成像过程分为两步:
第一步“分频”；第二步“合成”.
由阿贝的观点来看,许多成像光学仪器就 是一个低通滤波器,物平面包含从低频到高频 的信息,透镜口径限制了高频信息通过,只许 一定的低频通过,因此,丢失了高频信息的光 束再合成,图象的细节变模糊. 孔径越大,丢 失的信息越少,图象越清晰.
频 谱 面ຫໍສະໝຸດ f (x)2dd
d d 4
0d 4
d 2
3d 4
x
2d
(x)是周期性函数
f (x) f (x md), (m ,1, 2, )
d是空间周期.将上式用 傅里叶级数展开:
f (x) 1 2 cos(2 1 x) 2 cos(2 3 x)
2
d 3
d
2 cos(2 5 x)
5
d
令
p0
２．阿贝成像原理频
谱 面
图中光线不同
像
的颜色表示发
面
自不同的物点.
C
A
B
C
B A
透 镜
f
阿贝成像原理
透镜成像有两个观点:
(1) 几何光学：自物点Ａ，Ｂ，Ｃ发出的球 面波,经透镜折射后,各自会聚到它们的 像点Ａ,Ｂ,Ｃ.
(2) 阿贝成像原理: 物是一系列不同空间频率 的集合.入射光经物平面发生夫琅和费衍射, 在透镜焦面（频谱面）上形成一系列衍射 光斑,各衍射光斑发出的球面次波在相面上 相干叠加,形成像.
在近轴条件下
sin
f
m
d
mp0,
因此透镜后焦面上频率为 p mp0
,
f
上面的讨论可以说明, 理想夫琅和费衍射系 统起到空间频率分析器的作用.这就是现代光学 对夫琅和费衍射的新认识。
当单色光波入射到待分析的图象上时,通过 夫琅和费衍射,一定空间频率的信息就被一定特 定方向的平面衍射波输送出来. 这些衍射波在近 场彼此交织在一起,到了远场它们彼此分开,从而 达到分频的目的.
１．光栅衍射和空间频率
波长为的单色平面波垂直入射到平面 光栅G上．设光栅d/a=2, N很大,会聚透镜后 的焦平面上得到各级干涉极大，且偶数干涉 极大缺级.
x
0
G
光 栅
3
1 0
-1
-3
屏
f
对于光栅我们可以用透过率函数（x） 来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形 波函数.
为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N无限大.
透过率函数也可用复数傅里叶级数表示:
f (x) 1 1 (ei2 p0x ei2 p0x ) 1 (ei2 3p0x e ) i2 3p0x
2
3
1 (ei2 5 p0x ei2 5 p0x )
5
在光学中,负的空间频率也可以被赋予物理 意义.在光学中,用复数表示更方便,更合理
A
5 p0 3 p0 p0 0 p0 3 p0 5 p0
物 面
高频信息
阿贝成像原理的意义在于:它以一种新的 频谱语言来描述信息,它启发人们用改造频谱 的方法来改造信息.
3.空间滤波和光学信息处理
(1) 阿贝-波特空间实验
•
x
•
x
•
•
光
•
•
•
栅 的 频
a / d 1/3
•谱
•
光 栅
频 谱
像 面
面
光栅的夫琅和费衍射图样,记 录下光栅的空间频率信息.
光栅的像是一 条条直条纹
(2) 网格实验
物平面 (网格)
频谱面
像平面
S
f f
f f
4空间滤波系统
通过控制频谱来控制像面的信息．
物:网格
频谱（衍射图样）
一
列
频 谱
像
通
过
一
行 频
像
谱
通
过
像 倾斜方向的频谱通过
灰网 尘格
粘 上 的 过只 让 网 格 的 频 谱 通
失网 格 的 像 灰 尘 消
(3) 调制实验
用白光照明透明物体,物体的不同部分是 由不同取向的透射光栅片组成.频谱面上(除 零级外)干涉主极大呈彩色.物面上不同的部 分的频谱在不同方向上. 将一个方向的频谱, 只保留一种颜色,滤掉其余的颜色,其对应的 象面上,就显示出该频率的颜色来.
1 d
,
f
(x)
1 2
2
cos(2p0 x)
2
3
cos(2 3 p0 x)
2
5
cos(2 5 p0 x)
上式表明,图中表示的矩形波可以分解为不同频 率的简谐波,这些简谐波的频率为
p , 1 , 3 , 5 , ddd
这里p称为空间频率. P0是p的基频.
有时称P0=1/d是矩形波函数的频率,但这 不是严格意义上的频率, 只有简谐波(正弦波 和余弦波)的频率才是严格意义上的频率.
(3) 检查大规模微型集成电路板的疵病.
(4) 相衬显微镜.
第六章 傅里叶光学简介
１．光栅衍射和空间频率 ２．阿贝成像原理 3. 空间滤波和光学信息处理
(1) 阿贝-波特空间实验 (2) 网格实验 (3) 调制实验
数学中的傅里叶分析,应用到通信理论中, 将电信号的特征在频率域中讨论; 傅里叶分 析与光学中的衍射理论结合起来,形成傅里叶 光学. 傅里叶光学,是在频率域中讨论图象信 息.通信理论中涉及的是一维时间函数,傅立 叶光学中讨论的是二维空间的信号.
• •
x
•
•
•
•
•
•
光
栅 的
I (x)
频
谱
•
傅氏面上的光阑
屏幕上光
只让零级通过.
强分布
它是一个低通滤
波器.
控制频谱就控制了像面
屏上无条纹
•
x
•
•
•
•
•
•
光 栅 的 频 谱
•
•
傅氏面上的光 阑让零级和正 负一级通过.
屏幕上光 强分布,是 基频和直 流成分
屏上有细小 的亮条 纹.．
频谱面上的光阑使物的频谱通过 得越多，所成的像与物越接近．