华南师范大学 离散数学 集合论-复习题

与该划分对应的等价关系。 解: R={<1,1>,<1,4>,<4,1>,<4,4>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}
集合论——复习题
重点（6）：偏序关系 ¾ 偏序的定义、哈塞图 ¾ 考察方式：给出偏序关系，画出哈塞图；反之亦然
例6 （1） 恒等关系IA是等价关系吗？是偏序关系吗？ 解：恒等关系满足：自反性、对称性、反对称性、传递性，
例2 （2）设 f(x)=2x+1, g(x)=x2。求：(g ○ f -1) 解： 令： y= f (x) =2x+1, 其反函数：x= (y-1)/2 将自变量y换为x： f -1(x) = (x-1)/2
g ○ f -1= g (f -1(x)) = ((x-1)/2 )2 = (x2-2x+1)/4
= A − ( A1 + A2 − A1 ∩ A2 ) = 15 − (12 + 6 − 4)
=1
集合论——复习题
重点（2）：函数的性质和运算 单射：A中元素无相同的像
¾ 单射函数、满射函数、双射函数满射：B所有元素都有原像
¾ 逆函数、复合函数
双射：单射+满射
¾ 考察方式：判断函数性质、求函数运算结果
重点（5）：关系的等价 ¾ 集合的划分、等价类 ¾ 考察方式：给出划分，写出等价关系
例5 （1）以下那个选项不是集合的A={1,2,3,4}划分： A. {{1},{2,3,4}} B. {{1,2}, {3,4}} C. {{1,2,3,4}} D. {{1},{3}} 解：D 例5 (2)集合A={1,2,3,4}，A的一种划分为：{{1,4}, {2,3}}.写出
例2 （1）已知A={1,2,3,4,5}, B={6,7,8,9,10}, f={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>}, 则函数是( ).
A.双射 B.是单射,但不是满射 C. 满射,但不是单射
1
6
D. 既不是单射,也不是满射
2 3
7 8
解：D
4
9
5
10
集合论——复习题
A有n个元素， 其幂集的元素个数：2n。
2元子集：{a, {a}}, {a, {b, c}}, {{a}, {b, c}}
3元子集：{a, {a}, {b, c}}
A的幂集：{∅, {a}, {{a}}, {{b, c}}, {a, {a}}, {a, {b, c}},
{{a}, {b, c}}, {a, {a}, {b, c}} }
集合论——复习题
例1 （2）一个团体共有15人，其中会象棋的12人，会军旗
的6人，会象棋和军棋的4人。计算不会这两种棋的人数。
解：A：团队的集合。 A1：会象棋的人。 A2：会军旗的人。
A = 15 A1 = 12 A2 = 6
包含排斥定理：
A∪B = A + B − A∩B
A3：会象棋和军旗的人。 A3 = A1 ∩ A2 = 4 德摩根定理 A4：不会这两种棋的人。 A4 = A1 ∩ A2 = A1 ∪ A2 = A − A1 ∪ A2
集合论——复习题
重点（3）：二元关系的概念和性质 ¾ 笛卡尔积、关系图、关系矩阵 ¾ 自反性、对称性、传递性 ¾ 要求：概念清晰
例3 （1）集合A={a,b}与集合B={1,2}的笛卡儿乘积为： A×B={<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>} 例3 (2) 下列命题是否正确： 1）关系A不能同时具有自反性与反自反性。 （ √ ） 2）关系A可以同时具有对称性与反对称性。 （ √ ）
集合论——复习题
例4 （1）已知关系R的关系矩阵如下，求R的对称闭包的关
系矩阵。
⎡11 0 ⎤
解：
M Rs = ⎢⎢1 1 0⎥⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦
⎡1 0 0⎤ M R = ⎢⎢1 1 0⎥⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦
（2）已知关系R的关系图如下，求R的传递闭包的关系图。
b
bHale Waihona Puke Baidu
a
c
解：
a
c
e d
e d
集合论——复习题
既是等价关系，也是偏序关系。 （2）空关系￠是等价关系吗？是偏序关系吗？ 解：空关系满足：反自反性，不具有自反性，
既不是等价关系，也不是偏序关系。
集合论——复习题
例7 （1）给出以下哈塞图，写出对应的偏序关系？
解：思路：将哈塞图还原成普通的关系图：
5
（1）自反性；各节点添加闭环；
4 3
（2）反对称性：添加箭头方向（由下至上）;
集合论——复习题
重点（4）：关系的闭包 ¾ 自反闭包、对称闭包、传递闭包 ¾ 考察方式：计算
自反闭包的构造：Rr = R ∪ IA, 其中 IA ={<a, a>| a ∈ A} 对称闭包的构造：
Rs = R ∪ R-1, 其中 R-1为关系R的逆关系。
传递闭包的构造：
n
U Rt = Ri ,其中n为集合A中的元素数目 i =1
离散数学
Discrete Mathematics
华南师范大学 教育信息技术学院
集合论——复习题
重点（1）：集合的概念和运算
¾ 子集、交集、并集、补集；
¾ 考察方式：证明（集合相等）、计算（幂集、集
合的计数）。
例1 （1）设A={a, {a}, {b, c}}，求其幂集。
解：0元子集：∅ 1元子集：{a}, {{a}}, {{b, c}}
2
（3）传递性：任意两节点若有通路，则添加一条边。 1
5
对应的偏序关系为：
4
3 R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,
2
<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<2,3>,
<2,4>,<2,5>,<3,4>,<3,5>,<4,5>}
1
集合论——复习题
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